高中数学恒成立问题(学生)
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。
某函数地定义域为全体实数R 。
●某不等式地解为一切实数。
❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。
高中数学恒成立问题
高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.解：由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4 已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.例5 对于任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立，求实数a 的取值范围.分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.解法1：设f （x ）=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,（x ≤1）3，（-1＜x ≤2）2x-1,（x ＞2） ∴f （x ）min =3. ∴a ＜3.分析②：利用绝对值不等式│a │-│b │＜│a ±b │＜│a │+│b │求解f （x ）=│x+1│+│x-2│的最小值.解法2：设f（x）=│x+1│+│x-2│，∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3，∴f（x）min=3. ∴a＜3.分析③：利用绝对值的几何意义求解.解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3，当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3，因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞，3）.小结求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
高考数学重难点第二讲 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第二讲一元二次不等式恒成立与能成立问题——每天30分钟7天掌握恒成立与能成立问题5大题型【命题趋势】不等式是高考数学的重要内容。
其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。
一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式对任意实数恒成立⇔==⎧⎨>⎩a bc或Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式对任意实数恒成立⇔==⎧⎨<⎩a bc或Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即.三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：1、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.2、对任意的，恒成立⇒；若存在，有解⇒；若对任意，无解⇒.【热点题型】【题型1一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】【例1】（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）使得不等式210x ax -+>对R x ∀∈恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．02a <<B ．02a <≤C ．2a <D ．2a >-【变式1-1】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知命题“x ∃∈R ，使()24110x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)-∞-B ．()5,3-C ．(5,)+∞D ．(3,5)-【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“关于x 的不等式22410mx mx m ++-<对一切实数x 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是____________．【变式1-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知关于x 的不等式0k->恒成立，则实数k 的取值范围是_____________．【变式1-4】（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）关于x 的不等式()2216(4)10ax a x ----≥的解集为∅，则实数a 的取值范围为_________．【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试）已知不等式220x bx c -++>的解集{}13x x -<<，若对任意10x -≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立．则t 的取值范围是__________．【变式2-1】（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知关于x 的不等式2(13)20ax a x +-+≥的解集为A ，设{1,1}B =-，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．3124a -≤≤B ．1342a -≤≤C ．14a -≤D ．32a ≥【变式2-2】（2022秋·河南·高三期末）已知0a >，b ∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-≥恒成立，则4b a+的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．【变式2-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数()2f x ax x a =++，不等式()5f x <的解集为3—12⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求a 的值；（2）若()f x mx >在(]0,5x ∈上恒成立，求m 的取值范围．【变式2-4】（2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习）已知二次函数()f x 满足()21f =-，()11f -=-，且()f x 的最大值是8.（1）试确定该二次函数的解析式；（2）()2f x x k >+在区间[]3,1-上恒成立，试求k 的取值范围.第4天掌握给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题模型【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（2021·吉林松原·校考三模）若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（）A ．(][),83,-∞-⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【变式3-1】（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【变式3-2】（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求x 的取值范围．【变式3-4】（2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）设函数()21f x mx mx =--．（1）若对于[]2,2x ∈-，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围．【题型4一元二次不等式在实数集上的有解问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数x ，使得()220mx m x m --+<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．(]13,0,32∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【变式4-1】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）若关于x 的不等式()()224210ax a x -++-≥的解集不为空集，则实数a 的取值范围为（）A ．62,5⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．6(,2)[,)5-∞-⋃+∞D ．6(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____．【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____【题型5一元二次不等式在某区间上的有解问题】【例5】（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）若关于x 的不等式2620x x a -+->在区间[]0,5内有解，则实数a 的取值范围是（）．A ．()2,+∞B ．(),5-∞C ．(),3-∞-D ．(),2-∞【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(-∞B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．)+∞D ．127⎛⎫+∞⎪⎝⎭，【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（）A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤【变式5-3】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在[0,1]x ∈，有2(1)30x a x a +-+->成立，则实数a 的取值范围是__________.【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）已知命题“[1,1]x ∃∈-，20030-++>x x a ”为真命题，则实数a 的取值范围是______．【变式5-5】（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，对于任意x R ∈均有()()24f x g x mx +=-.若()()220f x x g x -+≥在()0,x ∈+∞上有解，则实数m 的取值范围是______.第7天融会贯通及限时检测（建议用时：60分钟）1．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A ．m>2B ．0m <C ．1m <D ．m 1≥2．（2022秋·北京大兴·高三统考期中）若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．1m £C ．1m >D ．1m ≥3．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）设m ∈R ，则“34m >-”是“不等式210x x m -++≥在R 上恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）已知命题p ：R x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）设函数()22f x ax ax =-，命题“[]0,1x ∃∈，()3f x a ≤-+”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．24,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞7．（2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的{|13}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．57m <B ．507m ≤<C ．0m <或507m <<D ．0m ≤8．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）设函数22()223f x x ax a a =++-+，若对于任意的x R ∈，不等式()()0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．32a ≥B ．2a ≤C ．322a <≤D ．32a ≤9．（2022秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在12x ≤≤上有解，则（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≤D ．52a ≥10．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“0x ∃∈R ，()20014204x a x +-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围（）A ．(],0-∞B ．[]0,4C ．[4,+∞）D ．(],0-∞[)4⋃+∞,11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<<C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤12．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎫-∞-⎪⎝⎭13．（2021秋·江苏徐州·高三统考阶段练习）若存在实数x ，使得关于x 的不等式2430ax x a -+-<成立，则实数a 的取值范围是______.14．（2021·全国·高三专题练习）已知函数2,0()0x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩.若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立，则实数a 的取值范围是________.15．（2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若命题：“存在整数x 使不等式()24(4)0kx kx ---<成立”是假命题，则实数k 的取值范围是____________.16．（2022秋·江苏连云港·高三校考开学考试）2210,0ax x x -+≥∀>恒成立，则实数a 的取值范围是_________.17．（2021·全国·高三专题练习）若不等式22x mx ->对满足1m ≤的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________18．（2023·全国·高三专题练习）若不等式22210x t at -+-+≥对任意[1,1]x ∈-及[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围是__________．重难点第二讲一元二次不等式恒成立与能成立问题——每天30分钟7天掌握恒成立与能成立问题5大题型【命题趋势】不等式是高考数学的重要内容。
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
数学中恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上 f x若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 f x minmaxAB常用方法1、分别变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、改正主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题 1. 若关于 x 的不等式 ax 22x2 0 在 R 上恒成立 , 求实数 a 的取值范围 .解题思路 ：结合二次函数的图象求解解析：当 a0 时 , 不等式 2x2 0 解集不为 R , 故 a 0 不满足题意 ;当 a0 时 , 要使原不等式解集为a 0, 解得a1R , 只要4 2a 0 222综上 , 所求实数 a 的取值范围为 ( 1,)22、转变成二次函数的最值求参数的取值范围例题 2：已知二次函数满足 f (0) 1，而且 f ( x 1) f ( x) 2x ，请解决以下问题（ 1） 求二次函数的解析式。
，求 m 的取值范围。
（ 2） 若 f (x) 2x m 在区间 [ 1,1] 上恒成立解题思路 ：先分别系数 , 再由二次函数最值确定取值范围.解析： (1)设 f ( x)ax 2 bx c(a 0) .由 f (0)1 得 c 1,故 f ( x) ax2 bx 1.∵ f ( x 1) f ( x)2x ∴ a( x1)2 b( x 1)1 (ax2 bx 1) 2x即 2axa b 2x ,因此 2a 2, a b 0 ,解得 a 1,b1 ∴ f ( x)x 2x 1(2)由 (1) 知 x 2x 12x m 在 [ 1,1]恒成立 ,即 m x 2 3x 1 在 [ 1,1] 恒成立 .令 g( x)x 23x 1 (x 3)2 5 , 则 g(x) 在 [ 1,1] 上单调递减 . 因此 g(x) 在 [ 1,1] 上的最小值为g(1)1 .2 ( 4 , 1) .m 的取值范围是因此 规律总结 ：m f (x) 对所有 x R 恒成立 , 则 m [ f (x)]min ; m f ( x) 对所有 x R 恒成立 , 则 m [ f (x)]max ；注意参数的端点值能否取到需检验。
高中数学恒成立问题的解题方法和思路
高中数学恒成立问题的解题方法和思路【摘要】高中数学中的恒成立问题是学生在学习数学时经常会遇到的挑战，掌握恒成立问题的解题方法对于提高数学水平至关重要。
本文首先探讨了理解恒成立问题的重要性和挑战高中数学恒成立问题的意义，引发读者对该问题的关注。
接着介绍了学习恒成立问题的基础知识和常用解题方法，包括代数方法和几何方法。
特别对恒成立问题的特殊情况进行了思考和分析。
在总结了解题方法，并展望了高中数学学习的未来发展。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解和掌握高中数学中的恒成立问题，提升自己的数学解题能力。
【关键词】高中数学，恒成立问题，解题方法，思路，理解，挑战，基础知识，常用方法，代数，几何，特殊情况，总结，展望1. 引言1.1 理解恒成立问题的重要性理解恒成立问题的重要性在高中数学学习中起着至关重要的作用。
恒成立问题是数学中的基础概念之一，对建立数学思维和逻辑推理能力具有重要意义。
通过理解和解决恒成立问题，可以深化对数学知识的理解，提升数学推导能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
理解恒成立问题还能帮助学生更好地应对高考和数学竞赛中的问题，提高解题速度和准确度。
掌握了恒成立问题的解题方法和思路，学生在考试中就能更加游刃有余，更加得心应手。
理解恒成立问题的重要性不仅在于提高数学学习的效果，还在于培养学生的数学素养和解决问题的能力。
应该重视恒成立问题的学习，努力提升解决问题的能力，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
1.2 挑战高中数学恒成立问题的意义挑战高中数学恒成立问题的意义在于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
这些恒成立问题往往需要学生灵活运用所学的知识和方法，通过逻辑推理和数学证明找出问题的解决方案。
在挑战这些问题的过程中，学生需要不断思考、分析和总结，从而培养自己的解决问题的能力。
挑战高中数学恒成立问题也可以帮助学生扩展数学思维，拓宽数学应用的范围。
通过解决这些问题，学生可以更深入地理解数学知识的内涵和应用，培养出对数学的兴趣和热爱。
高中数学素能培优(二) 恒成立与能成立问题
例2(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=log3 9 ·log3(3x),函数g(x)=4x-2x+1+5.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若存在实数m∈[-1,2],使不等式f(x)-g(m)≥0成立,求实数x的取值范围.
1
2 3
2
令 =t,则 t∈(0, ],- 2 − +1=-3t2-2t+1,
3
2
2
5
1
5
2
2
令 g(t)=-3t -2t+1,t∈(0, ],则 g(t)的最小值为 g =- ,所以 2-4m ≤- ,
3
3
3
3
33Biblioteka 3222
整理可得(3m +1)(4m -3)≥0,解得 m ≥ 4,即 m≥ 2 或 m≤- 2 .
2
因为
2
y= -x
7
在(1,4)内单调递减,所以值域为(- ,1),所以
2
2
-x
在(1,4)内能成立,
a 的取值范围是(-∞,1).
命题点3
更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量
和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
1
例 1(2024·江西南昌模拟)已知函数 f(x)=x -ax+a ,若在区间[ ,a]上,
数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。
（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。
高中数学恒成立问题主要类型
高中数学恒成立问题主要类型
一、函数恒成立问题
函数恒成立问题主要涉及函数的基本性质和导数等相关知识。
在解决这类问题时，学生需要理解函数的单调性、最值、奇偶性等性质，并能够运用导数进行求解。
二、不等式恒成立问题
不等式恒成立问题涉及到不等式的基本性质和解题技巧。
这类问题要求学生能够分析不等式的结构，灵活运用基本不等式和放缩法等技巧，判断不等式是否恒成立。
三、数列恒成立问题
数列恒成立问题主要考查学生对数列的基本性质和递推公式的掌握。
这类问题要求学生能够判断数列的性质，如等差数列、等比数列等，并能够运用数列的递推公式进行求解。
四、三角函数恒成立问题
三角函数恒成立问题涉及到三角函数的性质和图像。
学生需要理解三角函数的周期性、奇偶性等性质，掌握同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，运用这些知识解决三角函数恒成立的问题。
五、导数恒成立问题
导数恒成立问题主要涉及导数的计算和应用。
学生需要掌握导数的定义和计算方法，理解导数的几何意义，掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识，解决导数恒成立的问题。
六、方程恒成立问题
方程恒成立问题主要考查学生对一元二次方程的解法和判别式的掌握。
学生需要理解一元二次方程的解法，掌握判别式的应用，运用这些知识解决方程恒成立的问题。
七、集合恒成立问题
集合恒成立问题主要考查学生对集合的基本概念和运算的掌握。
学生需要理解集合的表示法、集合之间的关系和运算等知识，运用这些知识解决集合恒成立的问题。
高一上学期专题5--函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔 〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕 可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
如何正确处理高中数学中的“恒成立”问题
・ ． ‘
ｌ 厂 （ ２ ） ： ２ （ － １ ） 一 （ ２ 一 １ ） ＜ Ｏ
解得
二
＜１ ＋ Ｘ ／ ３ －
・ ． ．
“ 恒成立” 问题 中一般有两个甚 至三个 变量 ， 变形 中若能把变
量分离 出来 ， 问题可转化为求函数最值 ， 往往会 给解题带来方便。 例３ ： 已知 函数 ｆ（ ） ｘ ＋ ａ ｌ ｎ ｘ ， 当ｘ ＞ ｌ时 （ ） ≤ 恒 成立 ， 求ａ 的取值范围 ； 解： 由 厂（ ） ≤ 恒成立 ， 得： ａ ｌ ｎ ｘ ≤ 在 ｘ ＞ ｌ 时恒成立 当ｘ ＞ ｌ 时ｌ ｎ ｘ ＞ ０ ， 则不 等式可化为 ： ｏ ≤ （ 此 时也 就转化为
解得一 １＜ ｃ ＜
・ ．
．
ｃ的取值范 围为一 １＜ ｃ ＜
解： 原不等式可化为（ 乙１ ） ｍ 一 （ 一 １ ） ＜ ０ ，
设 ｆ（ ｍ） ＝ （ ｘ ２ － １ ） ｍ一 （ ２ ｘ 一 １ ） ， （ 一 ２ ≤ｍ≤２ ）
二、 最 值 法
例２ ： 不等式 Ｘ ２ － ＋ ｎ ２ 一 ａ 一 ５ ＞ ０在 ［ ３ ， ５ ］ 上恒成立 ， 求 实数 ａ的
‘
．
．
０ —２＞ ０
’ ．
．
Ⅱ ＜ 一 １ 或ａ ＞ ２
・
． ．
实数 ａ的取值范围为（ 一 ， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ ）
三、 分 离 参 数 法
自变量 ， ｔ 为参量 ， 进一步去求解不等式 ， 得到实数 ｔ 的取值范围。 解・ ． ・ ｔ ２ — ２ ａ ｔ ＋ １ Ｉｓ ＞ ｉ ｎ ｘ 对一切 Ｅ［ 一 １ Ｔ ， 耵］ 都成立
高中数学重点专项：经典的恒成立和存在性6道经典问题
高中数学重点专项：经典的恒成立和存在性6道经典问题1. （1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ， {}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.3. 对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
4. 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+，（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。
5. 若函数y =R 上恒成立，求m 的取值范围。
6. 已知函数2()3f x x ax a =++-，⑴在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
⑵若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
⑶若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
参考答案1.（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a （2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥.4. 解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式()0g x <的问题，实际上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转化为对11a -≤≤，()0a ϕ<恒成立，又由()a ϕ是a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩ 解得213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. 解法2.考虑不等式()23350g x x ax a =-+-<.由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为223660366066a a a a a a x --++-+<<. 但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.为此,设()()2236603660,66a a a a a a g a h a --++-+==. 不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒成立,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()236606a a a g a --+=在11a -≤≤上是增函数,则()()max 213g a g ==-, ()236606a a a h a +-+=在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以, 213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <.6.解法一：由题设,0a ≠.()0f x =的两个根为12112,x a a =-+22112,x a a=++显然,120,0x x <>.(1) 当0a <时,{}12A x x x x =<<,21A B x ≠∅⇔>⇔2112a a ++1> 2.a ⇒<- (2) 当0a >时, {}{}12A x x x x x x =<>, 23A B x ≠∅⇔<⇔2112a a ++637a <⇒>. 于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 解法二:(1) 当0a <时,因为()f x 的图象的对称轴10a<，则对()1,3x ∈，()1f 最大，()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-(2) 当0a >时, ()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或()3f 实现, 由()()120,376f a f a =--<=-,则()637607f a a =->⇒>于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 上述不含答案的试题请使用手机搜题软件搜索答案。
高中数学--恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
高中数学第三讲：恒成立与存在性问题
专题——恒成立与存在性问题在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题．两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．知识点总结：(1)恒成立问题1. ∀x ∈D,均有f (x )>A 恒成立，则f (x )min >A ；2. ∀x ∈D,均有f (x )﹤A 恒成立，则 f (x )ma x <A .3. ∀x ∈D,均有f (x ) >g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) >0，∴ F (x )min >04. ∀x ∈D,均有f (x )﹤g (x )恒成立，则F (x )= f (x )- g (x ) ﹤0，∴ F (x ) ma x ﹤05. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立，则f (x )min > g (x )ma x6. ∀x 1∈D, ∀x 2∈E,均有f (x 1) <g (x 2)恒成立，则f (x ) ma x < g (x ) min(2)存在性问题1. ∃x 0∈D,使得f (x 0)>A 成立，则f (x ) ma x >A ；2. ∃x 0∈D,使得f (x 0)﹤A 成立，则 f (x ) min <A3. ∃x 0∈D,使得f (x 0) >g (x 0)成立，设F (x )= f (x )- g (x )，∴ F (x ) ma x >04. ∃x 0∈D,使得f (x 0) <g (x 0)成立，设F (x )= f (x )- g (x )，∴ F (x ) min <05. ∃x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立，则f (x ) ma x > g (x ) min6. ∃x 1∈D, ∃x 2∈E,均使得f (x 1) <g (x 2)成立，则f (x ) min < g (x ) ma x(3)相等问题1. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E,使得f (x 1)=g (x 2)成立，则{ f (x )} {g (x )}(4)恒成立与存在性的综合性问题1. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) >g (x 2)成立，则f (x )m in > g (x ) m in2. ∀x 1∈D, ∃x 2∈E, 使得f (x 1) <g (x 2)成立，则f (x ) max < g (x ) max3.设函数()x f 、()x g ，对任意的∀x 1∈D, ∃x 2∈E ，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.⊆(5)恰成立问题1. 若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；2.若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
谈高中数学中的恒成立问题
多媒体把四棱锥和三棱锥进行比对ꎬ讨论出四棱锥的空间特点等概念.３.几何体和空间向量的转化能力教师要引导学生认识几何体在空间中的特性ꎬ并且不断提高数学信息的转换能力.还是对立体几何的证明与计算或者把空间几何体转化成为向量的关系等.空间想象力有关的逻辑推理能力的目的是为了解决立体几何的相关问题ꎬ基于此ꎬ要不断地进行信息的处理ꎬ运用文字信息㊁符号信息和图形信息等方式进行立体几何信息的交流ꎬ最终的目的是让学生们能够就某个具体的立体几何问题进行数据的转换ꎬ提高逻辑推理能力.在进行立体几何问题的证明时ꎬ须要进行文字信息㊁符号信息以及图形信息的相互转化ꎬ不断进行已知㊁求证㊁证明的推导过程.㊀㊀三㊁立体几何教学对于学生逻辑推理核心素养的培养的几个方面㊀㊀立体几何教学对于广大青年学生逻辑推理核心素养的培养主要表现在六个方面.这六个方面分别是符号的表示方面㊁思想的转化方面㊁归纳类比方面㊁推导证明方面㊁运算的求解方面㊁以及反思与建构方面.教师在教学过程中ꎬ要注重对青年学生运用符号语言和图形语言的培训ꎬ要时常向学生渗透转化思想的能力ꎬ提高他们逻辑推理核心素养.在教学实践中有意识地培养学生们的归纳类比的素养ꎬ养成复习和预习的好习惯.要求学生们对 线面平行 等数学公理和定理的相互推导熟练掌握.要培养青少年在求证和推导的过程中专心致志ꎬ提高解决数学问题的正确率.要敦促学生们对自己的推理过程进行不断的反思ꎬ从而得出对这一问题的新认识.综上所述ꎬ数学是中学教育的课程中最富有逻辑思维的学科ꎬ立体几何又是流于生活㊁形于研究ꎬ具有形㊁数的双重特征ꎬ是培养学生逻辑推理核心素养的重要学科.㊀㊀参考文献:[１]杨莹.高中数学立体几何教学中情景教学有效运用分析[Ｊ].才智ꎬ２０１７(２６):８０.[２]邓天发.高中立体几何教学如何培养学生空间想象能力[Ｊ].学周刊ꎬ２０１６(３６):１７７－１７８.[３]仇夜生.高中立体几何教学中如何帮助学生形成空间想象能力[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０１６(１２):１３２.[责任编辑:杨惠民]谈高中数学中的恒成立问题陈德华(江苏省溧阳市竹箦中学㊀２１３３５１)摘㊀要:高中数学需要学生有很强的思维能力ꎬ所以教师在进行教学时要注意培养学生的思维能力.且在进行数学解题过程中ꎬ学生需要掌握正确的教学方法ꎬ而后才能够快速而且正确的去进行数学问题的解决.恒成立问题作为高中数学学习中不可缺少的一部分ꎬ需要教师在进行教授过程中多多让学生练习相关的解题方法.而且掌握高中数学恒成立问题的解法和思路不仅是高中阶段的重要任务ꎬ还是日后学习数学的一个基础.关键词:高中数学ꎻ恒成立问题ꎻ解题方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)０９－０００３－０２收稿日期:２０１８－０１－０１作者简介:陈德华(１９６７.２－)ꎬ男ꎬ江苏省溧阳人ꎬ高级教师ꎬ本科ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀高中数学十分考验学生的综合能力ꎬ而且学生在进行数学问题的解决过程中会提升自身的思维能力ꎬ所以教师在进行高中数学教授时要注意讲究方法ꎬ从而提升学生在数学方面的综合素质.数学问题有很多种类ꎬ而且针对不同的不同种类的数学问题有不同的解决方法ꎬ学生只有掌握了正确的解决方法ꎬ才能够高效率地去解决数学问题ꎬ所以教师在平时课堂教授过程中应该多多去传授给学生解题方法ꎬ而不应该让学生去进行记忆解题.恒成立问题是数学问题的一个重要类别ꎬ而且解决该问题时有很多种思路和方法ꎬ例如分离参数法ꎬ函数最值法等ꎬ教师在进行教授时应该针对每一种解题方法都举例说明ꎬ并让学生做适当的练习ꎬ在做题的过程中去进行总结ꎬ从而提升学生自身的逻辑能力和解决数学问题的能力.㊀㊀一㊁构造函数恒成立法函数是数学问题中一个很重要的类别ꎬ通过函数学生可以解决很多问题ꎬ并且将数学问题进行简化.而恒成立问题是指在已知条件下ꎬ无论其他变量有什么变化ꎬ其３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.命题都永远成立.高中数学恒成立问题中涉及到很多函数ꎬ所以在进行该问题的解决时ꎬ教师不妨让学生利用函数去求解.一次函数ꎬ二次函数甚至是多元函数等都是数学中重要的知识点ꎬ也是考试的重点内容.函数在数学问题中以多种形式展现ꎬ因此其学习难度系数较大ꎬ所以教师在让学生利用函数去解决恒成立问题时ꎬ要教授给学生正确的方法ꎬ让数学问题不再成为难题.而利用函数去解决恒成立问题ꎬ其中一个重要的方法就是构造新函数ꎬ通过新函数的构造来简化问题ꎬ从而使得恒成立求解更加容易ꎬ让学生能够更加高效率的解决恒成立问题.除此之外ꎬ函数可以在坐标系中作图ꎬ所以在解决恒成立问题时ꎬ教师可以利用函数的图像来进行求值.我们在利用函数解决恒成立问题时要注意转化ꎬ可以通过未知数的转化ꎬ或者是将函数转化成图像来进行求解.例如ꎬ若不等式２ｘ－１>ｍ(ｘ２－１)ꎬ对满足－２ɤｍɤ２所有的ｘ都成立ꎬ求ｘ的取值范围.这是一道关于不等式的恒成立问题ꎬ而且不等号两边都有未知数ꎬ我们不妨先将原不等式转化为ｍ(ｘ２－１)－(２ｘ－１)<０ꎬ而为了借助函数去解决该问题ꎬ我们可以再构造函数ｆ(ｍ)＝(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)(－２ɤｍɤ２)ꎬ不难发现ꎬ该函数是一次函数ꎬ那么题干中的不等式恒成立问题便转化成一次函数的恒成立问题ꎬ即ｆ(ｍ)>０恒成立.在该问题中ꎬ需要求出变量的取值范围ꎬｘ为已知参数ꎬ这与以往的求未知数的取值范围不同.那么在此问题中ꎬ我们可以针对一次项的系数进行分类ꎬ当ｘ－１分别等于０ꎬ小于０ꎬ大于０时ꎬ让函数大于０的关于ｘ的解集ꎬ根据此种方法ꎬ我们将ｘ看成变量ꎬ完成了函数变量的转化ꎬ从而更加容易的解决恒成立问题.所以学生在平时解决恒成立问题中ꎬ不妨多多去利用函数的性质来简化恒成立问题.㊀㊀二㊁数形结合恒成立法数学学习过程中会有很多图形ꎬ而且这些图形与数字有着密切的联系ꎬ并且在解题过程中ꎬ若利用图像ꎬ会简化问题的解决步骤.而且图像与很多类数学问题都有联系ꎬ例如函数问题.而在进行函数图像绘画时ꎬ首先需要去构造函数ꎬ并且求出自变量的范围ꎬ而后再做出坐标系去考虑函数与函数图像之间的联系ꎬ最后作出函数图像.在数学问题的解决过程中ꎬ数形结合的思想应用很普遍ꎬ也很高效.利用该思想可以直接将一些复杂难懂的公式以及概念通过图像直观表示出来ꎬ从而使得学生能够更进一步的理解数学问题.而在解决恒成立问题过程中ꎬ学生也可以利用数形结合的方法去进行该类问题的解决ꎬ且通过做出图像能够更加准确地求出恒成立问题成立时未知数的范围.例如ꎬ解由２ｘ－１ȡｘ－２ꎬｘ＋８ȡ４ｘ－１组成的方程组ꎬ传统解法中直接去计算方程组的解ꎬ但为了简便计算ꎬ我们可以将其看成为不等式的恒成立问题并且去利用图像进行求解ꎬ首先我们计算出每一个方程的解集ꎬ作出数轴ꎬ并将两个方程的解集分别标在数轴上ꎬ取其交集ꎬ而交集即是恒成立问题的解ꎬ也是该方程组的解.很明显这种方法比直接解方程组速度快ꎬ正确率高.所以学生在解决恒成立问题时ꎬ不妨多多作图像ꎬ从而在图像中寻找解决问题的简便方法.㊀㊀三㊁分离参数恒成立法恒成立问题往往是求不同变量的取值范围ꎬ而且在该问题的整式中会含有多种参数ꎬ包括已知和未知参数.所以学生在进行解题时ꎬ要能够将这些参数进行分离ꎬ分离的过程可以通过将含有参数的不等式问题进行变形来实现.分离参数解决恒成立问题ꎬ能够将复杂的恒成立问题简单化ꎬ且能够提升解决问题的正确率和效率.在平时的数学问题解答过程中ꎬ我们通常将不同的位置数转换成未知元ｘꎬ在恒成立习题中ꎬ我们可以将参数视作主元ꎬ通过这种转化可以简化恒成立问题.分离参数进行恒成立问题的解决时ꎬ学生需要正确将未知数转化ꎬ而实现此能力需要学生进行多次的锻炼ꎬ那么教师在平时的课堂上ꎬ便可以多多去带领学生练习该方面的习题.例如在 ｘɪＲ时ꎬ不等式４ａ＋ｓｉｎｘ＋ａ２ȡ０恒成立ꎬ求出实数ａ的取值范围. 的恒成立问题解题过程中ꎬ通过观察已知条件ꎬ我们发现该问题中有两个变量ａ和ｘꎬ其中ｘɪＲꎬ另一变量ａ范围是求值数ꎬ所以在利用分离参数解决恒成立问题时ꎬ首先我们要对ａ和ｘ进行分离ꎬ解出解析式的变形后为ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ<ａ２－４ａꎬ而这边转化成了不等式的恒成立问题ꎬ所以为了使得该不等式永远成立ꎬａ２－４ａ必须大于ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘꎬ此时我们便可以求函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ的最值来求解ꎬｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘ＝(ｓｉｎｘ＋２)２－４ɤ５ꎬ则ａ２－４ａ>５ꎬ最终我们解出ａ的范围:小于－１或者是大于５.在该问题中ꎬ我们通过分离参数ꎬ将恒成立问题转化成求得函数的最值问题ꎬ从而进行进一步参数的求值.总之ꎬ高中数学恒成立问题主要是探求未知数的取值范围和解集ꎬ而且往往恒成立问题中会掺杂许多其他种类的数学知识ꎬ包括数学的函数ꎬ数学不等式以及各种图像等ꎬ这便让恒成立问题解决起来变得困难.但也正是由于恒成立问题中包含许多其他类问题ꎬ我们所能用来解决问题的数学性质增多ꎬ这便为我们解决数学恒成立问题提供了多种方法.教师在进行恒成立问题的教授时应该让学生多多去练习ꎬ并且在练习中学会总结ꎬ从而让学生找出最适合自己的解决恒成立问题的解题方法.㊀㊀参考文献:[１]孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２００４(０１).[责任编辑:杨惠民]４Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学恒成立问题
A．0 B．－2 C．－3 D．－522．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．3．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋2对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围？4若函数f(x)＝x2－ax－3对x∈[1，3]上恒有f(x)<0成立，求a的取值范围？5．已知函数y＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.6.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．7．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).A ．0B ．－2C ．－3D ．－52答案D [由对一切x ∈(0，12]，不等式x 2＋ax ＋1≥0都成立，所以ax ≥－x 2－1，即a ≥－x －1x .设g (x )＝－x －1x ，只需a ≥g (x )max ，而g (x )＝－x －1x 在x ∈(0，12]上是增函数，所以g (x )＝－x －1x 的最大值是g （12）＝－52.] 2．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案(0，8) [因为x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，所以Δ＝a 2－4×2a <0，所以0<a <8.]3．若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋2对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，如何求实数a 的取值范围？ 解析：当a ＝0，显然f (x=2)>0对一切x ∈R 都成立．当a ≠0时，f (x )＝ax 2＋2ax ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上 则{a >0∆=(2a)2−8a <0 解得0≤a <2 4若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[1，3]上恒有f (x )<0成立，求a 的范围？解：要使f (x )<0在[1，3]上恒成立，则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[1，3]上的图象在x 轴的下方，由f (x )的图象可知，此时a 应满足{f(1)<0f(3)<0，解得 a >2 5．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R.(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.[解] (1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0，恒成立．①当a ＝0时，1≥0恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，a 的取值范围为[0，1]. (2)由x 2－x －a 2＋a <0得，(x －a )[x －(1－a )]<0.因为0≤a ≤1，所以①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ； ②当1－a ＝a ，即a ＝12时，（x −12）2<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上所述，当0≤a <12时，解集为(a ，1－a )；当a ＝12时，解集为∅；当12<a ≤1时，解集为(1－a ，a ).6.已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．[解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2，2]时的最小值为g (a )，则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a >4矛盾，不符合题意．(2)当－a 2∈[－2，2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2. (3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.7．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R).[解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为（x −2a ）(x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为（x −2a ）(x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；在此处键入公式。
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.n b +证明：当
（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.
3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.
4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，
B≠∅，求实数。