2020年秋学期西南大学[0346]《初等数论》作业3答案

2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案

2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案⼀填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是⾮零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []ab个.6.设,a b 是⾮零整数,c 是整数,⽅程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7).13.同余⽅程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余⽅程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次⾮剩余的充要条件是 -121(mod ).p np ≡- .17.3()=5 -1 ; 4()=5 1 .18.,p 设是奇素数则2()p=218(1).p --.19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1()p= -12(-1).p .20. 5()=9 1 ; 2()=45-1 .⼆判断题(判断下列结论是否成⽴，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成⽴2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成⽴3. 23|,|a b a b 若则.不成⽴4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈?≡成⽴5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡?≡不成⽴6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或⾄少有⼀个成⽴. 不成⽴ 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成⽴8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成⽴ 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b L L 若与都是模m 的完全剩余系不成⽴1122{,,,}.m m a b a b a b m +++L 则也是模的完全剩余系不成⽴10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成⽴ 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ∈==若则成⽴12. 同余⽅程24330(mod15)x x -+≡和同余⽅程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成⽴13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余⽅程等价于不定⽅程成⽴14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则成⽴15. 2,()1,(mod ).a m x a m m=≡当不是奇素数时若则⽅程⼀定有解不成⽴三计算题1. (1859,1573)-求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143-===-?===2.求 [-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.-==?=?=??∴=??=Q3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.x y =+==?=?=??=??∴??===由等式起逐步回代得4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1=?+=?=?=??=??=??=??-?=?-?=?-?=?-?=?-?-=?-?=?-?-?=?-?∴由等式起逐步回代得38773162625 1.-=5. 12!.分解为质因数乘积（8分）6. ,10|199!k k 求最⼤的正整数使.（8分）7. [1+L 求(10分) 8. 81743.x y +=求⽅程的整数解(6分)9.求⽅程19 x ＋20y=1909的正整数数解。

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。

2015秋季西南大学初等数论大作业答案

证明：因为p是奇数,所以2是p＋1的因数．
因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同,p、p＋2都不被3整除,所以p＋1被3整除．
于是6是p＋1的因数．
\
6.叙述孙子定理的内容。
11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,
(1)
设 ,
则同余式组(1)的解是
(2)
其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。
三、计算题（每小题8分，共40分）
1.求210与55的最大公因数。
答：210=2x3x5x7 ,55=5x11 210与55的最大公因数是5.
1.叙述整数a被整数b整除的概念。
答：设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a
2.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。
答一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数(或素数)。14的所有质数2,3，5，7, 11，13.
性质3①若a1=b1(mod m),a2=b2(mod m),则a1+ a2 =b1+ b2( (mod m)
②若a+b≡c(mod m),则a≡c-b(mod m)
5. 196是否是3的倍数，为什么？
答：196不是3的倍数。因为由定义可知设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式a=bq成立,则将a叫做b的倍数。所以a=196,b=3,不存在一个整数q使得等式a=bq成立,所以196不是3的倍数。
西南大学网络与继续教育学院课程考试答题卷
学号：1513150663001姓名：陈琛层次：专科起点本科
类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2015年11月西南大学网络教育鹰潭职业技术学院学习中心

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48ϕ=_________________________________。

(0346)《初等数论》网上作业题及答案

（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。

A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。

作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。

（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。

通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。

（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。

（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。

（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。

3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。

A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。

A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。

A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。

A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。

A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。

A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。

（完整版）初等数论练习题二（含答案）

（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。

西南大学2020秋季 [0346]《初等数论》考试答案

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。

(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。

6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

西南大学2016《初等数论》网上作业（共4次）

西南大学2016《初等数论》网上作业（共4次）初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a被整数b整除的概念。

2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。

3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。

4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。

5. 不定方程c+有整数解的充分必要条件是什么？byax=6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。

7. 写出一组勾股数。

8. 写出两条同余的基本性质。

9. 196是否是3的倍数，为什么？10. 696是否是9的倍数，为什么？11. 叙述孙子定理的内容。

12. 叙述算术基本定理的内容。

13.给出模6的一个完全剩余系。

14.给出模8的一个简化剩余系。

15.写出一次同余式)ax≡有解得充要条件。

(mod mb答：1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。

2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。

a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。

3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。

14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。

14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。

5.不定方程cax=+有整数解的充分必要条件是。

by6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。

7.一组勾股数为3,4,5。

8.同余的基本性质为：性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则①a≡a（mod m）；②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）。

性质3①若（mod m），（mod m），则（mod m）②若a＋b≡c（mod m），则a≡c－b（mod m）。

（完整版）初等数论练习题二（含答案）

（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯] =[1768,391] = 173911768⨯ =104⨯391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

《初等数论》复习思考题答案

（0346）《初等数论》复习思考题答案1．一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

解：设这个自然数为q ，则q | 1000 – 967，即q | 33。

又q | 2001 – 1000，即q | 1001，所以 q = 11。

2．求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

证明：由于p 1与p 2的和为奇数，故p 1与p 2中有一个为2，设p 2 = 2，则110101*********-++++= p 。

因为10 ≡ 1(mod 9)，所以p 1 ≡ 19 – 1 ≡ 0 (mod 9)，即p 1不是质数，矛盾。

3．如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

证明：首先p 是大于3的质数，则p 不是3的倍数。

又p + 2是大于3的质数，所以p – 1不是3的倍数。

故p + 1 必为3的倍数。

但p + 1 为偶数，所以p + 1 为2的倍数。

由于2与3互质，所以p + 1 为6的倍数，于是6 | p + 1。

4．设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

证明：若m 或n 为3的倍数，则mn 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加1，则m -n 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加2，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加1，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加2，则m -n 是3的倍数，结论成立。

5．证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

证明：若a =2k +1为奇数，则a 2-1=4k (k +1)，因2|k (k +1)，所以8| a 2-1。

于是当a , b 均为奇数时，由8| a 2-1与8| b 2-1得8|a 2-b 2。

即两个奇数的平方差是8的倍数。

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。

(完整版)初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48ϕ=_________________________________。