数列经典例题(裂项相消法)
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数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型
1．已知等差数列}{n
a 的前n 项和为,
15,5,55==S a S
n 则数列}1
{1
+n n
a
a 的前100项和为( )
A ．100101
B ．99101
C ．99100
D ．101
100
2．数列,
)1(1
+=
n n a
n
其前n 项之和为,109
则在平面直角坐标系中，
直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n
a 的各项均为正数，且6
22
321
9,132a a a a a
==+．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设,
log log log 32313n n
a a a b
+++= 求数列}1{n
b 的前n 项和．
4．正项数列}{n a 满足0
2)12(2
=---n a n a
n n
．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式n
a ； (Ⅱ)令,
)1(1
n
n
a n b
+=
求数列}{n
b 的前n 项和n
T ．
5．设等差数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，且1
2,4224
+==n n a a S S ．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设数列}{n
b 满足,,2
1
1*221
1N n a b a b a
b
n n n ∈-=+++
求}{n
b 的前n 项和n
T ．
6．已知等差数列}{n
a 满足：26
,7753
=+=a a a ．}{n
a 的前n 项和为n
S ．
(Ⅰ)求n
a 及n
S ；
(Ⅱ)令),(1
1
*2
N n a b
n n
∈-=
求数列}{n
b 的前n 项和n
T ．
7．在数列}{n
a 中n
n a n
a a
211
)1
1(2,1,+==+．
(Ⅰ)求}{n
a 的通项公式； (Ⅱ)令,
2
1
1n n n
a a b
-=+求数列}{n
b 的前n 项和n
S ；
（Ⅲ）求数列}{n
a 的前n 项和n
T ．
8．已知等差数列}{n
a 的前3项和为6，前8项和为﹣4．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设),
,0()4(*1N n q q a b
n n n
∈≠-=-求数列}{n
b 的前n 项和n
S ．
9．已知数列}{n
a 满足,
2,021
==a a
且对*
,N n m ∈∀都有
2
11212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．
(Ⅰ)求5
3
,a a ；
(Ⅱ)设),
(*1212N n a a b
n n n
∈-=-+证明：}{n
b 是等差数列；
（Ⅲ）设),
,0()(*11N n q q a a c
n n n n
∈≠-=-+求数列}{n
c 的前n 项和n
S ．
10．已知数列}{n
a 是一个公差大于0的等差数列，且满足
16
,557263=+=a a a a ．
(Ⅰ)求数列}{n
a 的通项公式； (Ⅱ)数列}{n
a 和数列}{n
b 满足等式),(2
222*
33221N n b b b b a
n n n
∈++++=
求数
列}{n
b 的前n 项和n
S ．
11．已知等差数列}{n
a 的公差为2，前n 项和为n
S ，且4
21,,S S S 成
等比数列．
(1)求数列}{n
a 的通项公式；
∴a n=2n．
(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，
∴b n===，
T n===．
数列{b n}的前n项和T n为．
5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由
S4=4S2，a2n=2a n+1有：，
解有a1=1，d=2．
∴a n=2n﹣1，n∈N*．
(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．
∴=，n∈N*
由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．
∴b n=，n∈N*．
又T n=+++…+，
∴T n=++…++，