【全国卷】2018高三理科数学总复习第五节 指数与指数函数(001)
最新-2018届高考数学理一轮复习 25 指数与指数函数课件 新人教A版 精品
[解] (1)当 x<0 时，f(x)＝0； 当 x≥0 时，f(x)＝2x－21x. 由条件可知 2x－21x＝2， 即 22x－2·2x－1＝0，解得 2x＝1± 2. ∵2x>0，∴x＝log2(1＋ 2)．
(2)当 t∈[1,2]时，2t(22t－212t)＋m(2t－21t)≥0， 即 m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故 m 的取值范围是[－5，＋∞)．
解析：分别作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断 参数的取值范围．
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如右图所示，由图象可得|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
热点之三 指数函数的性质及应用 对指数函数的直接考查并不多，多的是考查指数函数型的复合函 数，考查这类复合函数的定义域、值域、单调性，或者涉及指数式的 二次函数的定义域、值域、单调性，此类问题一般较复杂，解决问题 过程中注意知识的迁移，关键还是指数函数性质的应用及有关指数幂 的运算．
5 ． 函 数 y ＝ ax ＋ 2009 ＋ 2010(a>0 且 a≠1) 的 图 象 恒 过 定 点 __________．
解析：∵y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax＋2009＋2010恒过定点(－2009,2011)． 答案：(－2009,2011)
热点之一 指数与指数运算 1．化简原则 (1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序． 2．结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； (2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负 指数幂．
高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第五节 指数与指数函数
a=b=c,则ea-eb=ec-ea=0,满足题意;对于B,若a>b>c,则ea-eb>0,ec-ea<0,满足
题意;对于C,若b>c>a,则ea-eb<0,ec-ea>0,满足题意;对于D,若b>a>c,则
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
微点拨在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不
能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= ars
(a>0,r,s∈Q);
3.f(x)=ax与g(x)=a-x=
1
x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.指数函数的图象以x轴为渐近线.
5.函数y=
-1
+ 1
(a>0,且a≠1),y=ax-a-x(a>0,且a≠1)均为奇函数,函数
y=ax+a-x(a>0,且a≠1)为偶函数.
6.若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域为(0,+∞),则f(x)的值域必为R.
根式的概念
n=a
x
如果
,那么x叫做a的n次方根
符号表示
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个
正数 ,负数的n次方根是一个 负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这
浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第2章 第5讲指数与指数函数含解析
第5讲 指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知 识 梳 理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n＝1a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴a x2＋1≥a.故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7.答案 B3.函数y＝a x－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )解析 函数y ＝a x－1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D. 答案 D4.(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)6.(2017·金华模拟)设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案14 215考点一 指数幂的运算【例1】 化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是()(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.c <b <a(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于()A.1B.aC.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x >1，则f (f (2))＝________，不等式f (x －3)<f (2)的解集为________. 解析 f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴f (f (2))＝12，当x －3>1时，即x >4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3－1<12，解得x >5， 当x －3≤1时，即x ≤4时，x －3<12，解得x <72， 综上所述不等式f (x －3)<f (2)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5. 答案 12 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5 8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ).∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1. 答案 D12.已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A.a <0，b <0，c <0B.a <0，b ≥0，c >0C.2－a <2cD.2a ＋2c <2解析 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0<c <1，∴0<2a <1，1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案 －2x (x <0)14.已知函数f (x )＝m ·6x －4x ，m ∈R .(1)当m ＝415时，求满足f (x ＋1)>f (x )的实数x 的范围； (2)若f (x )≤9x 对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围.解 (1)当m ＝415时，f (x ＋1)>f (x )， 则415·6x ＋1－4x ＋1>415·6x －4x ，整理得43·6x >3·4x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得x >2，即实数x 的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x ∈R ，f (x )≤9x 恒成立，则m ·6x －4x ≤9x ，整理得m ≤4x ＋9x 6x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x . 对任意的x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥2，则m ≤2，即实数x 的取值范围是(－∞，2]. 15.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
最新-2018年高三数学总复习 第二篇第五节配套课件教师用 理 精品
根据指数函数的单调性解不等式需将不等式的两边都凑成底数相同的指数式， 并判断底数与1的大小．
指数函数的综合问题
【例 4】 已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立．求 b 的取值范围．
思路点拨：先求出函数的定义域，再根据指数函数的单调性求解． 解析：∵2x2＋x≤(14)x－2＝2－2(x－2)，且 y＝2x 在 R 上是增函数， ∴x2＋x≤－2(x－2)，即 x2＋3x－4≤0， ∴－4≤x≤1. 令 2x＝t，则116≤t≤2， ∴y＝2x－2－x＝t－1t . 又当 t∈(0，＋∞)时，y 为增函数， ∴y≤2－12＝32，即 y＝2x－2－x 的最大值为32. 答案：32
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：an＝a·a·…·na个 (n∈N*)； ②零指数幂：a0＝1(a≠0)； ③负整数指数幂：a－p＝a1p(a≠0，p∈N*)；
④正分数指数幂：amn ＝ n am(a>0，m、n∈N*，且 n>1)；
⑤负分数指数幂：a－mn ＝ 1m＝ an
思路点拨：先研究函数定义域，再依照奇偶函数的定义判断奇偶性；对于单调性，可结 合指数函数的单调性进行分析；对于恒成立问题，则可借助单调性，求出 f(x)的最值，再求 解 b 的范围．
解：(1)函数定义域为 R，关于原点对称． 又因为 f(－x)＝a2－a 1(a－x－ax)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数．
(1)已知函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进行恰当的化简，然后与一些 熟知的函数图象相联系，通过图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换等)得到要求 的函数图象． (2)对于解析式中含有绝对值的函数，应该先通过分类讨论，去掉绝对值符号，化为分 段函数，由此得到函数图象．
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第2章第5节指数与指数函数
即时应用
1 2 1 1 1 16 ＋4×3－10＝1＋6－10＝15.
考点一
5 (2)6a · b－2· (－3a b－1)÷ (4a · b－3) ；
即时应用
考点一
1．规律方法 指数幂运算的 4 个原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
－x3 1．化简 x 的结果是( A ) A．－ －x B． x D ． －x
依题意知x<0，∴ －x3 x2 ＝－ －x.
－x3 ＝－ x
即时应用
C．－ x
考点二
指数函数图象及应用
2．(1)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( B )
，x≥1， 2 f(x)＝ 故选B. 1x－1 ， x <1 ， 2
x－ 1
即时应用
考点二
(2)(2017· 衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直 线y＝b没有公共点，则b的取值范围是
与指数函数图象有关的应用问 曲线 |y|＝2x＋1与直线y＝b的图 题的2种求解策略 象如图所示，由图可知：如果 |y| (1) ＝与指数函数有关的函数的图 2x＋1与直线y＝b没有公共 象的研究，往往利用相应指数 点，则b应满足的条件是b∈[－ 函数的图象，通过平移、对称 1,1]． 变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题 的求解，往往利用相应的指数 型函数图象数形结合求解.
即时应用
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先 化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算 性质来解答． 2．易错纠偏 利用根式的运算性质进行化简求值时易忽视根式中字母有意义的条件、导致化 简失误．
2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5节指数与指数函数课件文北师大版
当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除 选项D.]
4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”).
＞ [设f (x)＝0.2x，f (x)为减函数，
【导学号：66482052】
由已知f (m)＜f (n)，∴m＞n.]
5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________. 【导学号：66482053】
(1,2) [由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]
指数幂的运算
[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂， 以便利用法则计算，但应注意：
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．化简[(－2)6] －(－1)0的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
B [原式＝(26) －1＝8－1＝7.]
3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是( )
A
B
C
D
C [法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的 只有选项C.
2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利 用单调性转化为一般不等式求解．
3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶 性、最值(值域)等性质的方法一致．
易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定 时，要分类讨论．
[思想与方法] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利 用分数指数幂进行根式的化简运算． 2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令 x＝1 得到底数的值 再进行比较．
全国通用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数课件文北师大版
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含 义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概 念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,3,10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数 模型．
1．根式
3．指数函数的图像与性质 a>1
0<a<1
图像
定义域 值域
R (0，＋∞)
过定点 (0,1) ，即x＝0时，y＝1
性 当x>0时， y>1 ；
当x<0时， y>1 ；
质 当x<0时， 0<y<1
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是 减函数
诊断自测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
∈N＋，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是
＝ 1 (a>0， n am
m，n∈N＋，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数 幂 没有意义 ．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；
(ab)r＝ arbr ，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
解 (1)原式＝ (2)原式＝－287 ＋5100 － 51－0 2＋1 ＝－287 ＋500 －10( 5＋2)＋1 ＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
Байду номын сангаас
＝ab－1.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为 分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数 幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母 又含有负指数．
【全国卷】2018高三理科数学总复习第五节 指数与指数函数(001)
第五节 指数与指数函数【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na)n ＝a ．(2)当n 为奇数时，na n ＝a ． (3)当n 为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0）－a （a ＜0）.(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 4（－4）4＝－4.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案：B3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0)解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)．答案：A4．(2016·一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]5．指数函数y ＝(2－a)x 在定域是减函数，则a 的取值围是________．解析：由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2. 答案：(1，2)两种方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．三点注意1．指数函数的单调性取决于底数a 的大小，因此解题时通常分0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程式不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的围．一、选择题1．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103 D.43解析：由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x－2－x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43.答案：D2．函数f(x)＝2|x －1|的图象是( )解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1，.由图象特点可知选B. 答案：B3．函数f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x)解析：f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又由1－1＝0知(1，1)不在函数y ＝1－x 的图象上．答案：A 4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：由f(1)＝19， 得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．答案：B(2015·卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c＜a＜b.答案：C二、填空题7．(2015·卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.答案：{x|－1＜x＜2}(或(－1，2))8．(2015·卷)已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．解析：当a ＞1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32. 答案：－32三、解答题10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f(t)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ， 此时f(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数． 所以f(t)max ＝f(a)＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)， 综上得a ＝13或3.11．已知f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a 的取值围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 对于定义域任意x ，有f(－x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x)3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f(x)＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即a x＋12（a x－1）＞0，即a x－1＞0，a x＞1.又∵x＞0，∴a＞1.因此a＞1时f(x)＞0.。
高考数学总复习 第2章 第5讲 指数及指数函数课件 理 新人教A版
• (2) 有理数指数幂的运算性质 • ①ar·as＝________(a>0，r、s∈Q)； • ②(ar)s＝________(a>0，r、s∈Q)； • ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． • 上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数
指数幂也适用．
11
下列根式和分数指数幂的互化是否正确 ①(－ x)＝(－x)12(x≠0)( )
13
• 3. 指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
性质
____
________
过定点________
当x>0时，
当x>0时，
________；当x<0 ________；当x<0
时，________
时，________
在R上是________ 在R上是________
14
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝(
填一填：(1)(－∞，0] (2)[12，＋∞) (3)(1，＋∞)
18
核心要点研究
19
例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
×(－
7 6
)0＋80.25×
4 2
＋(
3 2
×
3 )6－
；
. 20
• [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是 化简的关键．根式与指数式间互化也是解题 关键．
② ＝－3 x(x≠0)( )
③(yx)
4 ＝
yx3(x，y>0)(
)
④6 y2＝ (y<0)( )
12
2018届高三数学一轮复习第二章函数第五节指数与指数函数课件理
考点突破
考点一 指数幂的运算
1 2
典例1 化简:
1 0.5 -(0.01) 3+2 -2· (1) ; 2 2
5
1
0
4
1
-2 -1 -3 5 · 3 3 2 b )÷(4 · (2) b · (3 b ; )2 a a a 6
2
1
(3) (a .b ) a b
方法技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取一些特殊点,判断选项中的图 象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题, 一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而 得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关 指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数 形结合求解.
1 2
x 2 2 x 1
的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1], ∴所求减区间为(-∞,1].
规律总结
与指数函数性质有关的问题类型与解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)进行比较. (2)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同其他函数的性 质(如单调性、奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时, 对底数的分类讨论.
考点二 指数函数的图象及应用 典例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的
是 (
)
A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 . (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是
高考数学(理)一轮复习文档 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第5讲 指数与指数函数 Word版含答案
第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编有下列四个式子：①3（－8）3＝－8；② （－10）2＝－10；③4（3－π）4＝3－π；④2 017（a －b ）2 017＝a －b . 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B ①④正确，（－10）2＝|－10|＝10，②错误； 4（3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选B.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3xD 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．3．(2017·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝1－x 的图象上．4．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x的值域为________． 由1－e x ≥0，e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}． 所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0，0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b －1＝－54b.化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b－32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝21－x的大致图象为()(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求．(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)A (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．)1.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2.指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．(1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. ①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解】 (1)选B.把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1243，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，即b <a <c . (2)①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．②令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R ) 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.有关指数函数性质的问题类型及解题策略(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小 1．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1BA 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73. B 中，因为y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， 所以0.6－1>0.62. C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． 因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， 所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.角度二 解简单的指数方程或不等式2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________． 因为2x 2－x <4，所以2x 2－x <22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质 3．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在 因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是 1——换元法解决指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x与a 2x(log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间上单调递减，则m 的取值范围为________．设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x＋m ·3x －3在区间上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减， 故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． (－∞，－18]1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2xBA 中，y ＝－5x<0，B 中，因为1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数，C 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1≥0，D 中，y ＝1－2x ，由于2x >0，故1－2x <1，又1－2x≥0，故0≤y <1，故符合条件的只有B.2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6abC 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－(－13)b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C.3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )D 函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误．4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >aA 由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .5．(2017·莱芜模拟)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 设f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.438.614－(π－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫164－23＝________． 原式＝52－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋(4－3)－23＝32－32＋42＝16. 169．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．①当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.－3210．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.(－1，2)11．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19. (1)显然定义域为R .因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2， 因为y ＝3x为增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，所以y ≥0. 即函数的值域为 (1)因为f (x )为偶函数， 所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，所以a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a.因为a <－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)． 14．(2017·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1. b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，215．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围． 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间 (－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减，且函数y ＝2t在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减． 又因为函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.16．已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数的值域；(3)当x ∈(0，1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围． (1)因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， 所以f (0)＝0，即1－42a 0＋a ＝0.解得a ＝2.(2)因为y ＝f (x )＝2x－12x ＋1，所以2x＝1＋y 1－y .由2x>0知1＋y 1－y >0，所以－1<y <1.即f (x )的值域为(－1，1)． (3)不等式tf (x )≥2x －2等价于t （2x －1）2x＋1≥2x －2，即(2x )2－(t ＋1)2x＋t －2≤0.令2x ＝u ，因为x ∈(0，1]，所以u ∈(1，2]． 又u ∈(1，2]时，u 2－(t ＋1)u ＋t －2≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧12－（t ＋1）＋t －2≤0，22－2（t ＋1）＋t －2≤0，解得t ≥0.故所求t 的取值范围为[0，＋∞)．。
2018年《指数与指数函数》高三第一轮复习讲义
2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》咸丰一中数学组：青华高考要求：（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
重点难点：对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．知识梳理1．根式的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a ( n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做___________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做_______，这里n叫做_________，a叫做__________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．负数没有偶次方根______(_____(0)||(_____(0)naa na⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪<⎩⎩为奇数）为偶数）;n=__________（a.=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：∈⋅⋅⋅=naaaa n(N*).n个②零指数幂：)0(10≠=aa③负整数指数幂：∈=-paapp(1Q a≠0，).④正分数指数幂：a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ⑤负分数指数幂：m na-=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）⑥0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂___________.(2)有理指数幂的运算性质①a r a s ＝________(a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝________(a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q )． （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
高考数学一轮复习 指数与指数函数 理
目 链 接
∴x32＋x－32＝18，∴x23＋x－32－3＝15，
∴xx322＋＋xx－－232－－23＝31.
考点探究
变式探究
1．化简与计算：
4 (1)(1－a)
（a－1 1）3；
栏
3 (2) xy2·
xy－1·
xy；
目 链
(3)0.25－0.5＋217－31－6250.25.
接
考点探究
解析：(1)原式＝(1－a)(a－1)－34
，且n>1)．
(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义．
课前自修
3．有理数指数幂的性质．
(1)aras＝as＋r(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝asr(a＞0，r，s∈Q)．
栏
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
目 链
接
课前自修
二、指数函数的定义
形如 y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是
在(－∞，＋∞)上为减函数
图象过点(0,1)及(1,a),(－1,a－1)． 若x>0，则0<y<1； 若x＝0，则y＝1； 若x<0，则y>1
栏 目 链 接
课前自修
基础自测
1．化简
3 ab8·a3 11
(a，b为正数)的结果是(
B)
（a6·b3）4
栏
b A.a
B．a
目 链
C.ab
D．b
接
解析：原式＝
③零的任何次方根都是零．
课前自修
2．幂的有关概念．
(1)正整数指数幂：
(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．
栏
2018届高考 第二章 第5讲指数与指数函数
)
解析
1 1 x 函数 y＝a －a是由函数 y＝a 的图象向下平移a个单位
x
1 长度得到，A 项显然错误；当 a>1 时，0<a<1，平移距离小于 1 1，所以 B 项错误；当 0<a<1 时，a>1，平移距离大于 1，所以 C 项错误，故选 D.
答案 D
4.(2015· 山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c 的大小关系是( A.a<b<c ) B.a<c<b
第5讲
指数与指数函数
最新考纲
1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有
理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运 算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数 1 1 图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10，2，3的指数 函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
知识梳理
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一
为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同
底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分 母又含有负指数.
【训练 1】 化简求值：
1 2
1
ab a 3b3
－
2
1 1
－
＝a2
3 1
＋ －1＋
1
6
3b
1＋
1 3
－2 －
1
－1 ＝ ab . 3
27 1 －1 3 (2)原式＝－ 8 ＋500 2－
1 8 3 ＝－27 ＋5002－10( 2
2018年高考数学总复习指数与指数函数
的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解
.
一、指数运算
例 2.48 化简并求值 .
32
3
2
(a (1) 若 a=2， b=4，
a b ) ( b ab ) 1 1 的值；
3a 3b
3b
3
3
1
(2) 若 x 2
1
x2
3，
x2 x2
x2 3
x2
的值； 2
(3) 设 a
1
1
2014 n
2014 n (n
(2) 指数函数 y=ax(a>0 且 a 1)的图像和性质如表 2-6 所示 .
y= a x
a>1
0< a<1
图象
值域
(1)定义域：R (2) 值域： (0,+ ) (3) 过定点 (0,1) (4) 在 R 上是增函数 . (5)0< y<1 x<0
y=1 x=0 y>1 x>0
(1)定义域：R (2) 值域： (0,+ ) (3) 过定点 (0,1) (4) 在 R 上是减函数 . (5)0< y<1 x>0
第五节 指数与指数函数
考纲解读
1. 了解指数函数模型的实际背景 .
2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质
.
3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点
.
4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型 .
命题趋势探究
指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位
3
b
(3 a 3 b)2 1
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第五节指数与指数函数
【最新考纲】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为
2，3，10，
1 2
，
1
3
的指数函数的图象.4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式的性质
(1)(
n
a)n＝a．
(2)当n为奇数时，
n
a n＝a．
(3)当n为偶数时，
n
a n＝|a|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a （a≥0）
－a （a＜0）
.
(4)负数的偶次方根无意义．
(5)零的任何次方根都等于零．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a
m
n＝
n
a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－
m
n＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)；
②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
图象
a＞1 0＜a＜1
定义域R
值域(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1
在R上是增函数在R上是减函数
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)
4
（－4）4＝－4.( )
(2)(－1)24＝(－1)1
2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )
(4)函数y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]1
2－(－1)0结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9
解析：[(－2)6]12－(－1)0＝(26)1
2－1＝8－1＝7. 答案：B
3．已知函数f(x)＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A. (1，5) B ．(1，4) C ．(0，4) D ．(4，0)
解析：由a 0＝1知，当x －1＝0，即x ＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1，5)．
答案：A
4．(2016·唐山一模)函数f(x)＝2－x －2的定义域是________． 解析：由题意可得：2－x －2≥0，∴2－x ≥2，∴－x ≥1，∴x ≤－1，即函数的定义域为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
5．指数函数y＝(2－a)x在定域内是减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.
答案：(1，2)
两种方法
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
三点注意
1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常分0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成并且一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程式不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
一、选择题
1．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝()
解析：由x ＝log 43，得4x
＝3，即2x
＝3，2－x
＝3
3
，
所以(2x
－2－x
)2
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2332＝4
3. 答案：D
2．函数f(x)＝2|x －1|的图象是( )
解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x －1，x ≥1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1，x ＜1，.
由图象特点可知选B. 答案：B
3．函数f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x)
解析：f(x)＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又由1－1＝0知(1，1)不在函数y ＝1－x 的图象上．
答案：A 4．若函数f(x)＝a |2x －4|
(a ＞0，a ≠1)，满足f(1)＝1
9
，则f(x)的单
调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝1
9，得a
2＝
1
9，∴a＝
1
3(a＝－
1
3舍去)，即f(x)＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
3
|2x－4|
.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案：B
(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f＝2||－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c＜a＜b.
答案：C
二、填空题
7．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，
∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x|－1＜x ＜2}(或(－1，2))
8．(2015·山东卷)已知函数f(x)＝a x ＋b(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．
解析：当a ＞1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由
题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a －1
＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f(x)＝a x ＋b 在[－1，
0]上为减函数，由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨
⎧a ＝1
2，b ＝－2，
所以a ＋b ＝
－3
2
. 答案：－3
2
三、解答题
10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．
解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．
①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
a ，1a ，
此时f(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a ，1a 上为增函数．
所以f(t)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
－2＝14.
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝1
3.
又因为a ＞0，所以a ＝1
3
.
②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1a ，a ，
此时f(t)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1a ，a 上是增函数．
所以f(t)max ＝f(a)＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)， 综上得a ＝1
3
或3.
11．已知f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a 的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立． 解：(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有
f(－x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －x －1＋12(－x)3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
a x 1－a x ＋12(－x)3 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1－1a x －1＋12(－x)3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况．
当x ＞0时，要使f(x)＞0，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12x 3
＞0，
即a x ＋1
2（a x
－1）＞0，即a x －1＞0，a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1. 因此a ＞1时f(x)＞0.。