习题参考答案63422
2022年(有答案)浙科版必修2课后练习(4)
2022年(有答案)浙科版必修2课后练习(4)1. 已知一段mRNA含有30个碱基,其中A和G有12个,转录该段mRNA的DNA分子中应有C和T的个数是()A.12B.24C.18D.302. 遗传学上的密码子是指()A.DNA一条链上相邻的3个碱基B.mRNA上决定一个氨基酸的3个相邻碱基C.tRNA上一端的3个碱基D.DNA分子上3个相邻的碱基对3. 若某DNA模板链上的3个相邻的碱基为CAT,则转运RNA上相应的3个碱基是()A.GATUC.CAUD.GAU中心法则的基本内容是什么?你认为它还可能被新的发现进一步修正吗?请说出你回答这个问题的依据。
DNA的两条链如果都能表达蛋白质,请问它们所产生的多肽链一样吗?为什么?哪一条链相应区段的碱基序列(除T和U的替代外)与mRNA的碱基序列一致(模板链还是模板链的互补链)?根据蛋白质生物合成过程中遗传信息的传递规律,请在下表的空白处填出相应的碱基符号:生活在现代社会,使得每个人都有可能接触到各种各样的药品、化妆品、食品防腐剂、杀虫剂、污染物等。
这些物质中有很多是生物变异的诱变剂,能够诱导基因发生突变。
如果基因突变发生在体细胞而不是生殖细胞中,将不会对人类健康带来危险。
请判断这种说法是否科学,说明你的理由。
在果蝇的一条染色体上,正常的染色体片段排列顺序为123•456789,中间的黑点代表着丝粒,染色体异常的果蝇有如下的结构:(1)123•476589 (2)123•46789 (3)123•4566789请判断以上各种染色体变异的类型。
假如在一个生物种群中,有许多不同表现型的个体,它们的基因都是纯合的。
在它们产生子代的过程中,如果不发生基因突变,但有基因重组情况发生,则在子代中能有新的表现型吗?请列举鱼和蛙在外部形态和生理特征方面的相同点和不同点。
参考答案与试题解析2022年(有答案)浙科版必修2课后练习(4)1.【答案】D【考点】遗传信息的转录和翻译【解析】在双链DNA分子中,碱基之间的配对遵循碱基互补配对原则,即A﹣T、C﹣G,而互补配对的碱基两两相等,所以A=T,C=G,则A+G=C+T,即嘌呤碱基总数等于嘧啶碱基总数.【解答】mRNA是以DNA的一条链为模板转录而来的,若mRNA有30个碱基,则转录该mRNA的DNA含有碱基数为30×2=60个。
2022-2023年高级经济师之工商管理通关练习题附答案详解
2022-2023年高级经济师之工商管理通关练习题附答案详解单选题(共20题)1. 供应链管理实质上是一个扩展了的()概念。
供应链管理实质上是一个扩展了的()概念。
A.市场B.物流C.企业D.合作【答案】 C2. 2010年,中国房地产实施“房地产新政”,该措施对目前的房地产产生了明显的影响。
房地产呈现出一种新的僵持格局。
目前的博弈僵持状态是国家、开发商、消费者对房地产市场的理性判断与重新认识的过程。
这对房地产企业来说,面临的外部环境因素是()。
2010年,中国房地产实施“房地产新政”,该措施对目前的房地产产生了明显的影响。
房地产呈现出一种新的僵持格局。
目前的博弈僵持状态是国家、开发商、消费者对房地产市场的理性判断与重新认识的过程。
这对房地产企业来说,面临的外部环境因素是()。
A.经济环境B.政治环境C.科技环境D.社会文化环境【答案】 B3. 汽车生产企业的装配流水线车间所采用的生产过程空间组织形式是()。
汽车生产企业的装配流水线车间所采用的生产过程空间组织形式是()。
A.固定布置B.工艺专业化布置C.对象专业化布置D.混合类型布置【答案】 C4. 某企业为了扩大市场,积极开展市场营销活动,采用了新的市场营销战略,从企业战略层次分析,该企业采取的是()战略。
某企业为了扩大市场,积极开展市场营销活动,采用了新的市场营销战略,从企业战略层次分析,该企业采取的是()战略。
A.企业总体战略B.企业业务战略C.企业多元化战略D.企业职能战略【答案】 D5. 钢铁生产中的连铸系统、早期福特公司采用的流水作业生产方式,这些都属于技术创新中的()。
钢铁生产中的连铸系统、早期福特公司采用的流水作业生产方式,这些都属于技术创新中的()。
A.产品创新B.工艺创新C.服务创新D.设备创新【答案】 B6. 编制生产作业计划的重要依据是()。
编制生产作业计划的重要依据是()。
A.生产计划B.期量标准C.生产期限D.生产控制【答案】 B7. 适用于社会对产品需要比较稳定情况的进度安排方法是( )。
经济学原理第六版课后答案
经济学原理第六版课后答案1. 弹性。
a. 弹性的概念。
弹性是指某一变量对另一变量变化的敏感程度。
在经济学中,我们通常关注价格弹性和收入弹性。
价格弹性衡量了消费者对价格变化的反应程度,而收入弹性衡量了消费者对收入变化的反应程度。
b. 价格弹性的计算。
价格弹性可以通过以下公式计算,价格弹性 = (变化后的数量变化前的数量)/ 变化前的数量÷ (变化后的价格变化前的价格)/ 变化前的价格。
c. 弹性的分类。
根据价格弹性的数值大小,我们可以将产品分为几种不同的弹性分类,完全弹性、完全不弹性、单位弹性和其他弹性。
2. 边际成本与边际效益。
a. 边际成本的概念。
边际成本是指生产一个额外单位产品所需的额外成本。
在决定生产数量时,企业通常会比较边际成本与边际收益,以确定最优生产数量。
b. 边际效益的概念。
边际效益是指增加一个单位产品所带来的额外收益。
当边际效益等于边际成本时,我们可以达到最优生产数量。
c. 边际成本与边际效益的比较。
在理性决策中,企业应该比较边际成本与边际效益。
如果边际效益大于边际成本,那么应该增加生产数量;反之,则应该减少生产数量。
3. 市场结构。
a. 完全竞争市场。
在完全竞争市场中,存在许多买家和卖家,产品是同质化的,市场价格由市场供求决定。
企业在这样的市场中是价格接受者,无法通过调整价格来影响市场。
b. 垄断市场。
在垄断市场中,只有一个卖家,他控制着市场上的所有产品。
因此,垄断者可以通过调整价格来影响市场,并且能够获得超额利润。
c. 寡头垄断市场。
寡头垄断市场是指市场上只有少数几家主要卖家,它们之间存在一定程度的互相影响。
在这样的市场中,卖家之间存在一定的合作和竞争,价格和产量通常会在一定范围内波动。
4. 生产成本。
a. 生产成本的分类。
生产成本可以分为固定成本和变动成本。
固定成本是不随产量变化而变化的成本,如房租、设备折旧等;而变动成本是随产量变化而变化的成本,如原材料成本、人工成本等。
自然辩证法课后习题及答案
第一章马克思主义自然观1. 如何理解朴素唯物主义自然观、机械唯物主义自然观和辩证唯物主义自然观的辩证关系?1.古代朴素自然观以直观性、思辩证和猜测性的方式从整体上把握认识自然界的本原和发展,但缺乏系统的、以实验为基础的科学依据,尤其是将非物质性的东西当作先于物质世界的独立存在,并认为物质世界是它的派生物,为唯心主义的产生提供了借口,最终导致人类认识的分化。
2.机械唯物主义自然观的核心是自然界绝对不变,虽然在实证科学的基础上继承和坚持了古代朴素唯物主义的思想,但是不懂得一般与个别、运动和静止等的辩证关系,以一种片面的、孤立的和静止的方法观察自然界,即不懂得自然界的辩证法,自然不能把唯物主义坚持到底。
3.辩证唯物主义自然观克服了以往哲学自然观的缺陷,坚持了物质世界的客观实在性的唯物主义一元论原则,突出了物质世界的整体性和矛盾性,提示了物质世界的普遍联系,强调了人类起源于自然界、依赖于自然并在把握自然界发展规律的基础上能够能动地和改造自然。
强调了人与自然界的和谐统一。
2. 如何认识机械唯物主义自然观的局限性?机械唯物主义的基本特征是:承认世界的物质性,但却用孤立、静止、片面的观点解释世界,看不到世界的事物和现象之间的普遍联系和变化发展,或者只是承认机械的联系和机械的运动,因而表现出机械的、形而上学的特征。
近代机械唯物主义的产生和形成,同这个时期自然科学的发展的特点是密切相关的。
这个时期的自然科学还处于分门别类的收集、整理、分析经验材料的阶段,只有力学发展到了比较完整的形态。
18世纪下半叶到19世纪,近代自然科学获得了全面的、系统的发展,它从不同的领域打开了机械唯物主义自然观的一个有一个缺口,局限性逐渐暴露出来,并受到德国自然哲学家的批判,但只有在马克思主义的科学的、完整的自然观(见辩证唯物主义自然观)中才得到真正的扬弃。
自然科学的发展也逐步突破了机械唯物主义的束缚。
机械唯物主义自然观用孤立的静止的和机械的观点观察和解释世界的思维方式,造成了近代机械唯物主义所特有的、在当时不可避免的局限性。
习题数电参考答案(终)(可编辑修改word版)
第一章数字逻辑概论1.1 数字电路与数制信号1.1.1 试以表1.1.1所列的数字集成电路的分类为依据,指出下列IC器件属于何种集成度器件:(1)微处理器;(2)计数器;(3)加法器;(4)逻辑门;(5)4兆位存储器。
解:依照表1.1.1所示的分类,所列的五种器件:(1)、(5)属于大规模;(2)、(3)属于中规模;(4)属于小规模。
1.1.2一数字信号波形如图题1.1.2所示,试问该波形所代表的二进制数是什么?解:图题1.1.2所示的数字信号波形的左边为最高位(MSB),右边为最低位(LSB),低电平表示0,高电平表示1。
该波形所代表的二进制数为010110100。
1.1.3 试绘出下列二进制数的数字波形,设逻辑1的电压为5V,逻辑0的电压为0V。
(1)001100110011(2)0111010 (3)1111011101解:用低电平表示0,高电平表示1,左边为最高位,右边为最低位,题中所给的3个二进制数字的波形分别如图题1.1.3(a)、(b)、(c)所示,其中低电平为0V,高电平为5V。
1.1.4一周期性数字波形如图1.1.4所示,试计算:(1)周期;(2)频率;(3)占空比。
解:因为图题1.1.4所示为周期性数字波,所以两个相邻的上升沿之间持续的时间为周期,T=10ms。
频率为周期的倒数,f=1/T=1/0.01s=100Hz。
占空比为高电平脉冲宽度与周期的百分比,q=1ms/10ms×100%=10%。
1.2 数制1.2.1 一数字波形如图1.2.1所示,时钟频率为4kHz,试确定:(1)它所表示的二进制数;(2)串行方式传送8位数据所需要的时间;(3)以8位并行方式传送的数据时需要的时间。
解:该波形所代表的二进制数为00101100。
时钟周期T=1/f=1/4kHz=0.25ms。
串行方式传送数据时,每个时钟周期传送1位数据,因此,传送8位数据所需要的时间t=0.25ms×8=2ms。
宏观经济学第六版课后习题答案(高鸿业版)
宏观经济学第六版课后习题答案(高鸿业版)第十二章国民收入核算解答:两者之间的区别在于:(1)研究的对象不同。
微观经济学研究组成整体经济的单个经济主体的最优化行为,而宏观经济学研究一国整体经济的运行规律和宏观经济政策。
(2)解决的问题不同。
微观经济学要解决资源配置问题,而宏观经济学要解决资源利用问题。
(3)中心理论不同。
微观经济学的中心理论是价格理论,所有的分析都是围绕价格机制的运行展开的,而宏观经济学的中心理论是国民收入(产出)理论,所有的分析都是围绕国民收入(产出)的决定展开的。
(4)研究方法不同。
微观经济学采用的是个量分析方法,而宏观经济学采用的是总量分析方法。
(1)相互补充。
经济学研究的目的是实现社会经济福利的最大化。
为此,既要实现资源的最优配置,又要实现资源的充分利用。
微观经济学是在假设资源得到充分利用的前提下研究资源如何实现最优配置的问题,而宏观经济学是在假设资源已经实现最优配置的前提下研究如何充分利用这些资源。
它们共同构成经济学的基本框架。
(2)微观经济学和宏观经济学都以实证分析作为主要的分析和研究方法。
(3)微观经济学是宏观经济学的基础。
当代宏观经济学越来越重视微观基础的研究,即将宏观经济分析建立在微观经济主体行为分析的基础上。
由于微观经济学和宏观经济学分析问题的角度不同,分析方法也不同,因此有些经济活动从微观看是合理的、有效的,而从宏观看是不合理的、无效的。
例如,在经济生活中,某个厂商降低工资,从该企业的角度看,成本低了,市场竞争力强了,但是如果所有厂商都降低工资,则上面降低工资的那个厂商的竞争力就不会增强,而且职工整体工资收入降低以后,整个社会的消费以及有效需求也会降低。
同样,一个人或者一个家庭实行节约,可以增加家庭财富,但是如果大家都节约,社会需求就会降低,生产和就业就会受到影响。
2.举例说明最终产品和中间产品的区别不是根据产品的物质属性而是根据产品是否进入最终使用者手中。
解答:在国民收入核算中,一件产品究竟是中间产品还是最终产品,不能根据产品的物质属性来加以区别,而只能根据产品是否进入最终使用者手中这一点来加以区别。
22年广东数学专业综合真题答案解析
22年广东数学专业综合真题答案解析一、选择题部分1.选B。
根据题意,求两点之间的距离,可以使用勾股定理。
将已知坐标代入公式计算即可得到答案。
2.选D。
根据题意,已知三角形的两边长度,以及这两边之间的夹角,可以使用余弦定理来计算第三边的长度。
将已知数据代入公式计算即可得到答案。
3.选A。
根据题意,已知三角形的三个角度,可以使用正弦定理来计算三个边的长度。
将已知数据代入公式计算即可得到答案。
4.选C。
根据题意,已知三角形的一个角度和两个边的长度,可以使用余弦定理来计算第三边的长度。
将已知数据代入公式计算即可得到答案。
5.选B。
根据题意,已知多边形的顶点坐标,可以通过计算每个边的长度,再利用求和公式计算多边形的周长。
将已知数据代入公式计算即可得到答案。
6.选D。
根据题意,等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d,将已知的首项和公差代入公式,再求解得到第100项的值。
7.选A。
根据题意,等比数列的通项公式为an = a1 *q^(n-1),将已知的首项和公比代入公式,再求解得到第8项的值。
8.选C。
根据题意,已知一元二次方程的根之和为-2,根之积为1,可以通过求解方程组的方法得到方程的解。
9.选B。
根据题意,已知等差数列的前n项和为Sn =n * (a1 + an) / 2,将已知的前n项和代入公式,再求解得到n的值。
10.选D。
根据题意,已知等差数列的前n项和为Sn =n * (a1 + an) / 2,将已知的前n项和代入公式,再求解得到n的值。
二、解答题部分1.题目:已知函数f(x) = x^2,求曲线y = f(x)在[x1,x2]上的曲线长度。
解答:曲线长度可以通过积分来计算。
首先,对曲线方程进行求导,得到函数f’(x) = 2x。
然后,计算曲线在[x1, x2]上的弧长公式为L = ∫√(1 + (f’(x))^2)dx。
将已知函数f’(x)代入弧长公式中,即可得到曲线在[x1, x2]上的曲线长度。
《自然辩证法》(高教版)课后习题参考答案
绪论1,自然辩证法和科学技术有什么关系?(P1)答:(1)自然辩证法是马克思主义的重要组成部分,其研究对象是自然界发展和科学技术发展的一般规律、人类认识和改造自然的一般方法以及科学技术在社会发展中的作用。
(2)自然辨证法的创立与发展同哲学与科学技术的进步密切相关,是马克思主义关于科学、技术及其与社会的关系的已有成果的概括和总结。
2,自然辨证法的研究内容与研究范围?(P3)答:自然辩证法是马克思主义的重要组成部分,它的研究对象与研究范围涉及的领域包括:自然界—科学—技术—社会。
与此相适应,自然辩证法的体系和主要内容是:自然观—科学观—技术观—科学技术与社会。
3,自然辩证法在现代有哪些发展?(P12)答:20世纪中叶的现代科学技术革命,把人类历史推向一个新的时代,自然辩证法的问题与内容又有了新的发展。
(1)在自然观方面。
①结合现代系统科学的发展,提出了系统自然观;②结合生物科学、环境科学与生态学的发展,提出了生态自然观。
(2)在科学观与科学方法论方面。
①规范认识论方向,规范的科学哲学重点研究科学理论的形成与建立问题,把重点放在科学理论的辩护问题或合理性问题上,代表性的有:逻辑经验主义【即归纳主义和证实主义,其科学认识过程:经验->假说->证实】、批判理性主义【即演绎主义和证伪主义,其科学认识过程:问题->假说->证伪】、历史主义【认为科学理论的发展不能片面地归结为证伪的过程,它还有一个证实的过程,前者是科学革命,后者是常规科学。
科学理论的发展过程是“常规科学->科学革命”不断循环往复的一个过程】。
②实证认识论方向,实证的科学哲学重点研究科学理论的发展问题,说到底是创造性思维问题。
实证的科学哲学家认为,这是规范的科学哲学无法解决的。
(3)在技术观与技术方法论方面。
理性主义传统;实证主义传统;马克思主义传统。
(4)在科学技术与社会方面。
马克思主义的基本原则就是要发展生产力,特别是要发展作为第一生产力的科学技术。
数学分析十讲习题册课后习题答案
习 题 1-11.计算下列极限(1)lim x ax a a x x a→--, 0;a >解:原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)a a a -(2)sin sin limsin()x a x ax a →--;解:原式sin sin lim x a x ax a→-=-(sin )'cos x a x a ===(3)2lim 2), 0;n n a →∞->解:原式2n =20[()']x x a ==2ln a = (4)1lim [(1)1]pn n n→∞+-,0;p >解:原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -== (5)10100(1tan )(1sin )lim;sin x x x x→+-- 解:原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=(6)1x →,,m n 为正整数;解:原式11lim11nx x x →=--1111()'()'mx nx x x ===n m=2.设()f x 在0x 处二阶可导,计算00020()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解:原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3.设0a >,()0f a >,()f a '存在,计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解:1ln ln ()lim[]x a x a f x -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x a x ax ae→----='()()f a a fa e=习 题 1-21.求下列极限 (1)lim sin x →+∞;解:原式lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ,其中ξ在1x -与1x +之间(2)40cos(sin )cos lim sin x x xx→-;解:原式=40sin (sin )limx x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16,其中ξ在x 与sin x 之间(3) lim x →+∞解:原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x xξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ,其中ξ在11x -与11x +之间 (4) 211lim (arctan arctan);1n n n n →+∞-+ 解:原式22111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++1=,其中其中ξ在11n +与1n 之间 2.设()f x 在a 处可导,()0f a >,计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解:原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题 1-31.求下列极限(1)0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解:原式0limx x x λλμμ→==(2)0x →;解:02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x→++⋅⋅⋅+=- 20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑ (3)011lim)1xx x e →--(; 解:原式01lim (1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x x →== (4)112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解:原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞== 2. 求下列极限 (1)2221cos ln cos limsin x x x x xe e x-→----;解:原式222201122lim12x x x x x →+==- (2)0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--;解:原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=-- 02lim442x x x xx x x→++==--习 题 1-41.求下列极限(1)21lim (1sin )n n n n→∞-;解:原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+=(2)求33601lim sin x x e x x→--;解:原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---=== (3)21lim[ln(1)]x x x x→∞-+;解:原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12=(4)21lim (1)x xx e x-→+∞+;解:原式211[ln(1)]2lim x x xx ee +--→∞==此题已换3.设()f x 在0x =处可导,(0)0f ≠,(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.解:因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++,(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++ 所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlim h h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而 10a b +-= 20a b += 解得:2,1a b ==- 3.设()f x 在0x 处二阶可导,用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-解:原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x = 4. 设()f x 在0x =处可导,且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x→+. 解 因为 2200sin ()sin ()2lim()lim x x x f x x xf x x x x→→+=+= []22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x→'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以 01()l i mx f x x→+01(0)(0)()l i m x f f x o x x →'+++=02()l i m 2x x o x x →+==习 题 1-51. 计算下列极限(1) limn n →∞++解:原式limn →∞=2n ==(2)2212lim (1)nn n a a na a na+→∞+++⋅⋅⋅+> 解:原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2. 设lim n n a a →∞=,求 (1) 1222lim nn a a na n →∞+++;解:原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==- (2) 12lim 111n nna a a →∞+++,0,1,2,,.i a i n ≠=解:由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==, 所以12lim 111n nna a a a →∞=+++3.设2lim()0n n n x x -→∞-=,求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n-→∞-.解:因为2lim()0n n n x x -→∞-=,所以222lim()0n n n x x -→∞-=且2121lim()0n n n x x +-→∞-=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn -→∞→∞-==,且212121lim lim 0212n n n n n x x x n ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=,111lim lim lim 01nn n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4.设110x q <<,其中01q <≤,并且1(1)n n n x x qx +=-, 证明:1lim n n nx q→∞=.证明:因110x q<<,所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<,所以210x q <<,用数学归纳法易证,10n x q <<。
高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全(陈策提mai供huan)
习题七1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢?答: 在xOy面上的点,z=0;在yOz面上的点,x=0;在zOx面上的点,y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢?答:x轴上的点,y=z=0;y轴上的点,x=z=0;z轴上的点,x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离:(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解:(1)s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149z=173174即所求点为M (0,0,149). 7. 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明:因为|AB |=|AC |=7.且有|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.故△ABC 为等腰直角三角形.8. 验证:()()++=++a b c a b c .证明:利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v解:232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =c ,BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解:1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a 3335D A BA BD =-=--c a 444.5D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.解:设M 的投影为M ',则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A 的坐标.解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----175解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1(4,0,5),终点是P 2(7,1,3),试求:(1) 12PP 在各坐标轴上的投影; (2) 12PP 的模;(3) 12PP 的方向余弦; (4) 12PP 方向的单位向量.解:(1)12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP ==(3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R 的大小和方向余弦. 解:R =(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)||==R cos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c=-2i -j +2k 的模,并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a ,b ,c .解:||==a||==b ||3==c176, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解:a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17.解:设{,,}x y z a a a a =则有c o s (1,1)3x a i a a i a iπ⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 4a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M 1(2,5,-3),M 2(3,-2,5),点M 在线段M 1M 2上,且123M M MM =,求向径OM 的坐标.解:设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为,123M M MM = 所以,11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩177故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A (0,0,12)的距离是7,OP 的方向余弦是236,,777,求点P 的坐标. 解:设P 的坐标为(x , y , z ), 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P (2,3,6)或P (190285570,,494949).20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=,且3,4==b a ,计算:(1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).解:(1)a ·b =2π1cos ||||cos 3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b(2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算:(1)a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b ); (3)2||-a b解:(1)46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=17822. 已知四点A (1,-2,3),B (4,-4,-3),C (2,4,3),D (8,6,6),求向量AB 在向量CD 上的投影.解:AB ={3,-2,-6},CD ={6,2,3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角.解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得:222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ,所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明:以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明:以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a -b ,且a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求:(1) a ×b ; (2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解:(1) 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直,且||3, ||4==a b .计算:(1) |(a +b )×(a -b )|;(2) |(3a +b )×(a -2b )|.(1)|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b179π2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量,并求上述两向量夹角的正弦. 解:411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,-1)和b =(1,-2,1)为邻边,求其对角线夹角的正弦. 解:两对角线向量为13=+=-l a b i j ,232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1),点M ,N ,P 分别是AB ,BC ,CA 的中点,证明:1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明:中点M ,N ,P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =-180 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i jk44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.(1)解: x y zx y z i j ka b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k ()()()则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x ya b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅()()()() x y zx y z x y za a ab b b C C C =若 ,,C a b 共面,则有 a b ⨯后与 C 是垂直的.从而 C 0a b ⨯⋅=() 反之亦成立.(2) C x y zx y z x y za a a ab b b b C C C ⨯⋅=()a x y zx y z x y zb b b b C C C C a a a ⨯⋅=()b x y z x y z x y zC C C C a a a a b b b ⨯⋅=()由行列式性质可得:x y z x y z x y zx y z x y z x y z x y z x y z x y za a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b ==故 C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅()()()18131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解:设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ,B ,D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+.32.解:设四面体的底为BCD ∆,从A 点到底面BCD ∆的高为h ,则13BCD V S h =⋅⋅,而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+=又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅=33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9),证:此三点共线.证明:{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ,B ,C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直,求动点的轨迹方程.解:设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得:2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.35. 求通过下列两已知点的直线方程:(1) (1,-2,1), (3,1,-1); (2) (3,-1,0),(1,0,-3).182 解:(1)两点所确立的一个向量为s ={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直线的标准方程为:121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- (2)直线方向向量可取为s ={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直线的标准方程为:31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程. 解:所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为:771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解:所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6},又过点(4,1,-2)故所求平面方程为:3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3),且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解:所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为:x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1),而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍,求此平面方程.解:设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上,则有121122b b b-++=183得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.解:由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点,有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解:(1) y =0表示xOz 坐标面(如图7-2)(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x –y =0表示过z 轴的平面(如图7-5)(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面(如图7-6).图7-4 图7-5 图7-642. 通过两点(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面x +y -z =0的平面.解:设平面方程为Ax +By +Cz +D =0则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1}过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点(1,1,1)在平面上,所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件:(1)经过点(5,-4,6);(2)与平面2x-3y+z=0成π4的角.解:(1)因平面过点(5,-4,6)故有5-4k-2×6=9得k=-4.(2)两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得2k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解:(1)n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又(1,-1,1)在所求平面上,故A-B+C+D=0,得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=018418546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量.解:n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n 故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k47. 求下列直线与平面的交点: (1) 11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0.解:(1)直线参数方程为1126x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1故交点为(2,-3,6).(2) 直线参数方程为221332x ty t z t=-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0.故交点为(-2,1,3).48. 求下列直线的夹角:(1)533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z xy z +-+=⎧⎨++-=⎩;(2)2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解:(1)两直线的方向向量分别为:s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321i j k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}186由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直,夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程:(1)经过点(2,-3,4),且与平面3x -y +2z -4=0垂直;(2)过点(0,2,4),且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行;(3)过点(-1,2,1),且与直线31213x y z --==-平行. 解:(1)可取直线的方向向量为s ={3,-1,2}故过点(2,-3,4)的直线方程为 234312x y z -+-==- (2)所求直线平行两已知平面,且两平面的法向量n 1与n 2不平行,故所求直线平行于两平面的交线,于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n 故过点(0,2,4)的直线方程为24231x y z --==- (3)所求直线与已知直线平行,故其方向向量可取为s ={2,-1,3}故过点(-1,2,1)的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系:(1)34273x y z ++==--和4x -2y -2z =3; (2)327x y z ==-和3x -2y +7z =8;187(3)223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解:平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2,-7,3}平面的法向量n ={4,-2,-2},所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0(-3,-4,0)代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量,故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上,因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点(2,-2,3)在平面上.51. 求过点(1,-2,1),且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程. 解:直线的方向向量为12123111-=++-ij k i j k , 取平面法向量为{1,2,3},故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点(1,-2,3)和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程.解:设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++=其中λ为待定常数,又因为所求平面过点(1,-2,3)故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点(-1,2,0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解:过点(-1,2,0)作垂直于已知平面的直线,则该直线的方向向量即为已知平面的法向量,即s =n ={1,2,-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0188 得23t =- 于是所求点(-1,2,0)到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点(3,-1,2)到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离. 解:过点(3,-1,2)作垂直于已知直线的平面,平面的法向量可取为直线的方向向量 即11133211==-=---ij k n s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d == 55. 求点(1,2,1)到平面x +2y +2z -10=0距离.解:过点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线,直线的方向向量为s =n ={1,2,2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333,且与点(1,2,1)的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程.解:球的半径为R ==设(x ,y ,z )为球面上任一点,则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点(2,0,-3)的距离与离点(4,-6,6)的距离之比为3,求此动点的轨迹方程.189解:设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得:8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面,并画出其图形:(1)22()()22aax y -+=; (2)22149x y -+=;(3)22194x z +=; (4)20y z -=;(5)220x y -=; (6)220x y +=.解:(1)母线平行于z 轴的抛物柱面,如图7-7.(2)母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8(3)母线平行于y 轴的椭圆柱面,如图7-9.(4)母线平行于x 轴的抛物柱面,如图7-10.图7-9 图7-10(5)母线平行于z 轴的两平面,如图7-11.(6)z 轴,如图7-12.图7-11 图7-1219059. 指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形:(1)222149y z x ++=; (2)22369436x y z +-=;(3)222149y z x --=; (4)2221149y z x +-=;(5)22209z x y +-=.解:(1)半轴分别为1,2,3的椭球面,如图7-13.(2) 顶点在(0,0,-9)的椭圆抛物面,如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面,如图7-15.(4) 单叶双曲面,如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面,其中心轴是z 轴,如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形:(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0;(3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.191解:(1)(2)(3)(4)分别如图7-18,7-19,7-20,7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点: (1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解:(1)直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1.得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2).(2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为(4,-3,2).62. 设有一圆,它的中心在z 轴上,半径为3,且位于距离xOy 平面5个单位的平面上,试建立这个圆的方程.192 解:设(x ,y ,z )为圆上任一点,依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状,并写出其方程.(1) 平面x =2; (2) 平面y =0;(3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解:(1)截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩其形状为x =2平面上的双曲线.(2)截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.193故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并分别指出它们的聚点集和边界: (1) {(x , y )|x ≠0};(2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x , y )|y <x 2};(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}.解:(1)开集、无界集,聚点集:R 2,边界:{(x , y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集,有界集, 聚点集:{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界:{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集, 聚点集:{(x , y )|y ≤x 2}, 边界:{(x , y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集,聚点集即是其本身,边界:{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x , y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解:222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解:f ( x + y , x -y , x y ) =( x + y )xy +(x y )x +y +x -y =(x + y )xy +(x y )2x . 4. 求下列各函数的定义域:2(1)ln(21);z y x =-+(2)z =(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+194(7)u =解:2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限:10y x y →→ 22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→x y →→00sin (5)lim ;x y xy x →→2222221cos()(6)lim.()ex y x y x y x y +→→-++解:(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+1956. 判断下列函数在原点O (0,0)处是否连续:33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解:(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=,且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0,0)点,则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0,0)点,则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0,0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断:(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x+-;(3) f (x ,y )=ln(1-x 2-y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩196解:(1)因为当y =-x 时,函数无定义,所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断,而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时,函数无定义,所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时,函数无定义,所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0,0)是函数的间断点,而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数:(1)z = x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z = x; (4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy )y ; (6)u = z xy ;(7)u = arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解:(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+197[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .yyzz yy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y =+,求证:3u uxy u x y∂∂+=∂∂. 证明: 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明: 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1981121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y ) = x +(y,求f x (x ,1) .解:1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成的倾角.解:(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数: (1)z = x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z = arctan y x; (3)z = y x ;(4)z = 2ex y+.解:(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ,, 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,1992222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x , y , z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解:2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15315.设z = x ln ( x y ),求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解:ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分: (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =;(4)yzu x =.解:(1)∵2222e 2,e 2x y x y z z x y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )xy xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()x z y x x y x y =--+ (3)∵11,ln z z z y y z u uy x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂154ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分: (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解:(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量,近似计算: (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解:(1)设f (x ,y )=x 3·y 2,则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03,则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则155d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y , 取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=19.矩型一边长a =10cm ,另一边长b =24cm, 当a 边增加4mm ,而b 边缩小1mm 时,求对角线长的变化.解:设矩形对角线长为l ,则d d ).l l x x y y ==+当x =10,y =24,d x =0.4,d y =-0.1时,d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm. 20.解:因为圆锥体的体积为21.3V r h π=⋅ 0030,0.1,60,0.5r r h h ====- 而221.33V V V dV r h yh r r h r h ππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂0030,0.1,60,0.5r r h h ====-时, 2213.1430600.130(0.5)33V π≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯- 230()cm =-21.解:设水池的长宽深分别为,,x y z 则有:V xyz =精确值为:50.242 2.850.22 3.6 2.V =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 313.632()m = 近似值为:156V dV zx y xy z ≈=+0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.454V d V ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,zv∂∂; (2)z =arc tanx y , x =u +v ,y =u -v , 求z u ∂∂,z v∂∂; (3)ln(e e )xyu =+, y =x 3, 求d d ux; (4) u =x 2+y 2+z 2, x =e cos tt , y =e sin tt , z =e t, 求d d ut. 解:(1)222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y xx x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.15723. 设f 具有一阶连续偏导数,试求下列函数的一阶偏导数: (1)22(,e );xyu f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解:(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数,证明: .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+15825. 设22()yz f x y =-,其中f (u )为可导函数,验证: 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明:∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数,求22222,,.z z zx x y y∂∂∂∂∂∂∂ 解:2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知,22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数: (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解:(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂1592212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,zy yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yzxf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证:利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程。
《线性代数》课后习题答案(陈维新)
第一章 行列式习题1.11. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆.所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++.我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域.所以有理数的和、差、积仍然为有理数.所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a .则必有22,b a 不同时为零.从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数.所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述.我们有)3(Q 是数域。
(2)类似可证明)(p Q 是数域.这儿p 是一个素数。
(3)下面证明:若q p ,为互异素数.则)()(q Q p Q ⊄。
(反证法)如果)()(q Q p Q ⊆.则q b a p Q b a +=⇒∈∃,.从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数.而q 是无理数.所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a .则2qb p =.这与q p ,是互异素数矛盾。
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章
《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章1、试从数学科学发展的角度,探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由,并进一步论述数学与逻辑的关系。
答:一般认为,数学是研究空间形式和数量关系的一门科学,逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学,但它们都完全撇开其内容,仅仅从形式方面加以研究,因而均具有高度的抽象性,所以在分类上它们同属于形式科学。
同时,数学和逻辑的应用都十分广泛,往往成为研究其它科学的工具,因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下去,曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。
其中逻辑主义、直觉主义,过多强调了数学和逻辑的同一性,而忽视了数学与逻辑的差异性。
因此,认识数学和逻辑的关系,在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。
研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来,不论是在逻辑史学界,还是在数学史学界,对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。
但从下面我们简单论述来看,加强这方面的研究却具有显明的必要性。
一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同,但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方,正因为如此,才使得它们关系十分密切,在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。
一般认为,数学是研究空间形式和数量关系的一门科学,逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学,但它们都完全撇开其内容,仅仅从形式方面加以研究,因而均具有高度的抽象性,所以在分类上它们同属于形式科学。
同时,数学和逻辑的应用都十分广泛,往往成为研究其它科学的工具,因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻辑与数学的关系讨论下去,曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。
其中逻辑主义、直觉主义,过多强调了数学和逻辑的同一性,而忽视了数学与逻辑的差异性。
因此,认识数学和逻辑的关系,在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。
首先,肯定数学和逻辑的同一性。
这是因为:(1)数学和逻辑都是高度抽象的学科,数学是研究数量的形式结构的,逻辑是研究思维的形式结构的,形式结构都是高度抽象的,是抽象结构,它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容;(2) 数学和逻辑都讲严格性,数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学,逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学;(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性,数学的应用自不待言,对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑,一切科学都在应用逻辑。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
15、 。
16、(1)由x-2得三重因式(2)无重因式。
17、当t=3时有三重根x=1,;当t= 由二重根 。
18、
19、a=1,b=-2。
20、证因为f(x)的导函数 所以 于是
从而f(x)无重根。
21、证因为 , ,由于a是 的k重根,故a是 的k+1重根。代入验算知a是g(x)的根。所以s-2=k+1 s=k+3,即证。
22、证必要性:设 是f(x)的k重根,从而是 的k-1重根,是 的k-2重根。。。。。,是 的一重根,并且 不是 的根。于是 ,而 。
充分性由 而 ,知 是 的一重根。又由于 ,知 是 的二重根,以此类推,可知 是f(x)的k重根。
23、解:例如:设 ,那么 以0为m重根。
24、证要证明 ,就是要证明f(1)=0(这是因为我们可以把 看做为一个变量。
高等代数习题答案(一至四章)
第一章多项式习题解答
1、(1)由带余除法,得
(2) ,
2、(1) ,(2)由 得 或 。
3、(1)
(2)q(x)= ,
4、(1)有综合除法:
(2)
(3)
5、(1)x+1(2)1(3)
6、(1)u(x)=-x-1,v(x)=x+2(2) ,
(3)u(x)=-x-1,
7、 或
17、
证:只要证明向量组等价即可。有题设,知 可由 线性表出。
现在把这些等式统统加起来,可得 于是 ,
(i=1,2,。。。r)即证 也可由 线性表出,从而向量组 与
等价。
18、(1)4(2)3(3)2(4)3(5)5
19、(1) =1时无穷多解 =-2时无解
人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答之南宫帮珍创作第一章 导数及其应用 3.1变动率与导数 练习(P6)在第3 h 和5 h 时, 原油温度的瞬时变动率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近, 原油温度年夜约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时, 原油温度年夜约以3 ℃/h 的速率上升. 练习(P8)函数()h t 在3t t =附近单调递增, 在4t t =附近单调递增. 而且, 函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9)函数()r V =(05)V ≤≤的图象为 根据图象, 估算出(0.6)0.3r '≈, (1.2)0.2r '≈.说明:如果没有信息技术, 教师可以将此图直接提供给学生, 然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10)1、在0t 处, 虽然1020()()W t W t =, 然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以, 企业甲比企业乙治理的效率高.说明:平均变动率的应用, 体会平均变动率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆, 所以, (1) 3.3h '=-. 这说明运带动在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆, 所以, (5)10s '=. 因此, 物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m /s, 它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ, 时间为t , 则2(0)kt t θ=>.由题意可知, 那时0.8t =, 2θπ=. 所以258k π=, 于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆, 所以(3.2)20θπ'=.因此, 车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数界说及熟悉其符号暗示的巩固. 5、由图可知, 函数()f x 在5x =-处切线的斜率年夜于零, 所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得, 函数()f x 在4x =-, 2-, 0, 2附近分别单调递增, 几乎没有变动, 单调递加, 单调递加. 说明:“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线, 其斜率是一个小于零的常数, 因此, 其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加;对第三个函数, 当x 小于零时, ()f x '小于零, 当x 年夜于零时, ()f x '年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变动的快慢, 即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变动的快慢, 根据物理知识, 这个量就是加速度.2、说明:由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息, 并据此画出()s t 的图象的年夜致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解, 以及数与形之间的相互转换.3、由(1)的题意可知, 函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-, 所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象, 然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的年夜致形状. 下面是一种参考谜底.说明:这是一个综合性问题, 包括了对导数内涵、导数几何意义的了解, 以及对以直代曲思想的领悟. 本题的谜底不惟一.1.2导数的计算 练习(P18)1、()27f x x '=-, 所以, (2)3f '=-, (6)5f '=.2、(1)1ln 2y x '=; (2)2x y e '=; (3)4106y x x '=-; (4)3sin 4cos y x x '=--;(5)1sin 33x y '=-; (6)21y x '=-习题1.2 A 组(P18)1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆, 所以, 0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V V π'=4、(1)213ln 2y x x '=+; (2)1n x n x y nx e x e -'=+; (3)2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=; (4)9899(1)y x '=+; (5)2x y e -'=-; (6)2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+, 解得032x =6、(1)ln 1y x '=+; (2)1y x =-.7、1xy π=-+.8、(1)氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.(2)(7)25.5A '=-, 它暗示氨气在第7天左右时, 以25.5克/天的速率减少.习题1.2 B 组(P19) 1、(1)(2)当h 越来越小时, sin()sin x h xy h+-=就越来越迫近函数cos y x =.(3)sin y x =的导数为cos y x =.2、那时0y =, 0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-, 所以01x y ='=-.所以, 曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以, 上午6:00时潮水的速度为0.42-m /h ;上午9:00时潮水的速度为0.63-m /h ;中午12:00时潮水的速度为0.83-m /h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24-m /h.1.3导数在研究函数中的应用 练习(P26)1、(1)因为2()24f x x x =-+, 所以()22f x x '=-.当()0f x '>, 即1x >时, 函数2()24f x x x =-+单调递增; 当()0f x '<, 即1x <时, 函数2()24f x x x =-+单调递加. (2)因为()x f x e x =-, 所以()1x f x e '=-.当()0f x '>, 即0x >时, 函数()x f x e x =-单调递增; 当()0f x '<, 即0x <时, 函数()x f x e x =-单调递加. (3)因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-.当()0f x '>, 即11x -<<时, 函数3()3f x x x =-单调递增; 当()0f x '<, 即1x <-或1x >时, 函数3()3f x x x =-单调递加. (4)因为32()f x x x x =--, 所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>, 即13x <-或1x >时, 函数32()f x x x x =--单调递增;当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =--单调递加. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠, 所以()2f x ax b '=+. (1)那时0a >,()0f x '>, 即2bx a >-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增; ()0f x '<, 即2bx a<-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.(2)那时0a <,()0f x '>, 即2bx a <-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增;()0f x '<, 即2bx a>-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.4、证明:因为32()267f x x x =-+, 所以2()612f x x x '=-.那时(0,2)x ∈, 2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习(P29)1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极年夜值点, 4x x =是函数()y f x =的极小值点.注:图象形状不惟一.2、(1)因为2()62f x x x =--, 所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=, 得112x =. 那时112x >, ()0f x '>, ()f x 单调递增;那时112x <, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 那时112x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. (2)因为3()27f x x x =-, 所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=, 得3x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即3x <-或3x >时;②当()0f x '<, 即33x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 3x =-()f x 那时3x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为54-. (3)因为3()612f x x x =+-, 所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即22x -<<时;②当()0f x '<, 即2x <-或2x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 2x =-()f x 10- 那时2x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为22 (4)因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=, 得1x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即11x -<<时;②当()0f x '<, 即1x <-或1x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 那时1x =-, ()f x 有极小值, 而且极小值为2-; 那时1x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为2 练习(P31)(1)在[0,2]上, 那时112x =, 2()62f x x x =--有极小值, 而且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-, (2)20f =.因此, 函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最年夜值是20、最小值是4924-. (2)在[4,4]-上, 那时3x =-, 3()27f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为(3)54f -=;那时3x =, 3()27f x x x =-有极小值, 而且极小值为(3)54f =-; 又由于(4)44f -=, (4)44f =-.因此, 函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最年夜值是54、最小值是54-.(3)在1[,3]3-上, 那时2x =, 3()612f x x x =+-有极年夜值, 而且极年夜值为(2)22f =. 又由于155()327f -=, (3)15f =. 因此, 函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最年夜值是22、最小值是5527. (4)在[2,3]上, 函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-, (3)18f =-.因此, 函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最年夜值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组(P31)1、(1)因为()21f x x =-+, 所以()20f x '=-<. 因此, 函数()21f x x =-+是单调递加函数.(2)因为()cos f x x x =+, (0,)2x π∈, 所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈.因此, 函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.(3)因为()24f x x =--, 所以()20f x '=-<.因此, 函数()24f x x =-是单调递加函数. (4)因为3()24f x x x =+, 所以2()640f x x '=+>. 因此, 函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、(1)因为2()24f x x x =+-, 所以()22f x x '=+.当()0f x '>, 即1x >-时, 函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即1x <-时, 函数2()24f x x x =+-单调递加. (2)因为2()233f x x x =-+, 所以()43f x x '=-.当()0f x '>, 即34x >时, 函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<, 即34x <时, 函数2()233f x x x =-+单调递加.(3)因为3()3f x x x =+, 所以2()330f x x '=+>.因此, 函数3()3f x x x =+是单调递增函数. (4)因为32()f x x x x =+-, 所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>, 即1x <-或13x >时, 函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =+-单调递加. 3、(1)图略. (2)加速度即是0.4、(1)在2x x =处, 导函数()y f x '=有极年夜值; (2)在1x x =和4x x =处, 导函数()y f x '=有极小值; (3)在3x x =处, 函数()y f x =有极年夜值; (4)在5x x =处, 函数()y f x =有极小值.5、(1)因为2()62f x x x =++, 所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=, 得112x =-. 那时112x >-, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 那时112x <-, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 112x =-时, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.(2)因为3()12f x x x =-, 所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时;②当()0f x '<, 即22x -<<时.当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为16-. (3)因为3()612f x x x =-+, 所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时;②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为10-. (4)因为3()48f x x x =-, 所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=, 得4x =±. 下面分两种情况讨论:①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时;②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表:因此, 4x =-()f x 128- 那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128. 6、(1)在[1,1]-上, 那时112x =-, 函数2()62f x x x =++有极小值,而且极小值为4724. 由于(1)7f -=, (1)9f =,所以, 函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最年夜值和最小值分别为9,4724. (2)在[3,3]-上, 那时2x =-, 函数3()12f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为16;那时2x =, 函数3()12f x x x =-有极小值, 而且极小值为16-. 由于(3)9f -=, (3)9f =-,所以, 函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最年夜值和最小值分别为16, 16-.(3)在1[,1]3-上, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=, (1)5f =-, 所以, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最年夜值和最小值分别为26927, 5-.(4)那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128.. 由于(3)117f -=-, (5)115f =,所以, 函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最年夜值和最小值分别为128, 117-.习题3.3 B 组(P32)1、(1)证明:设()sin f x x x =-, (0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<, (0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递加因此()sin (0)0f x x x f =-<=, (0,)x π∈, 即sin x x <, (0,)x π∈. 图略(2)证明:设2()f x x x =-, (0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-, (0,1)x ∈所以, 那时1(0,)2x ∈, ()120f x x '=->, ()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=;那时1(,1)2x ∈, ()120f x x '=-<, ()f x 单调递加,2()(1)0f x x x f =->=;又11()024f =>. 因此, 20x x ->, (0,1)x ∈. 图略(3)证明:设()1x f x e x =--, 0x ≠. 因为()1x f x e '=-, 0x ≠所以, 那时0x >, ()10x f x e '=->, ()f x 单调递增, ()1(0)0x f x e x f =-->=;那时0x <, ()10x f x e '=-<, ()f x 单调递加, ()1(0)0x f x e x f =-->=;综上, 1x e x ->, 0x ≠. 图略(4)证明:设()ln f x x x =-, 0x >. 因为1()1f x x'=-, 0x ≠所以, 那时01x <<, 1()10f x x'=->, ()f x 单调递增,()ln (1)10f x x x f =-<=-<;那时1x >, 1()10f x x'=-<, ()f x 单调递加,()ln (1)10f x x x f =-<=-<;那时1x =, 显然ln11<. 因此, ln x x <. 由(3)可知, 1x e x x >+>, 0x >. . 综上, ln x x x e <<, 0x >图略2、(1)函数32()f x ax bx cx d =+++的图象年夜致是个“双峰”图象, 类似“”或“”的形状. 若有极值, 则在整个界说域上有且仅有一个极年夜值和一个极小值, 从图象上能年夜致估计它的单调区间.(2)因为32()f x ax bx cx d =+++, 所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论:那时0a ≠, 分0a >和0a <两种情形: ①当0a >, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;当2()320f x ax bx c '=++<, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加.当0a >, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≥, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增;当2()320f x ax bx c '=++<, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加. 当0a <, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≤, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加 1.4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组(P37)1、设两段铁丝的长度分别为x , l x -, 则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x-, 两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+, 0x l <<.令()0f x '=, 即420x l -=, 2lx =.那时(0,)2l x ∈, ()0f x '<;那时(,)2lx l ∈, ()0f x '>.因此, 2lx =是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.所以, 当两段铁丝的长度分别是2l时, 两个正方形的面积和最小.2、如图所示, 由于在边长为a四个边长为x 的小正方形, 做成一个无盖方盒, 盖方盒的底面为正方形, 且边长为2a x -, 高为x (1)无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<. (2)因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=, 得2a x =(舍去), 或6ax =. 那时(0,)6a x ∈, ()0V x '>;那时(,)62a ax ∈, ()0V x '<.因此, 6ax =是函数()V x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 那时6ax =, 无盖方盒的容积最年夜.3、如图, 设圆柱的高为h , 底半径为R , 则概况积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=, 得2Vh R π=. 因此, 2222()222V VS R R R R R Rππππ=+=+, 0R >.令2()40V S R R R π'=-+=, 解得R =.那时R ∈, ()0S R '<; 那时)R ∈+∞, ()0S R '>. (第2题)(第3题)因此, R =是函数()S R 的极小值点, 也是最小值点. 此时,22V h R R π===. 所以, 当罐高与底面直径相等时, 所用资料最省.4、证明:由于211()()n i i f x x a n ==-∑, 所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=, 得11ni i x a n ==∑,可以获得, 11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.这个结果说明, 用n 个数据的平均值11nii a n =∑暗示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基来源根基理. 5、设矩形的底宽为x m, 则半圆的半径为2x m, 半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m , 矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++, 0x <<令22()104a l x x π'=+-=,得x =.那时x ∈, ()0l x '<;那时x ∈, ()0l x '>. 因此, x =()l x 的极小值点, 也是最小值点.所以,时, 所用资料最省.6、利润L 即是收入R 减去本钱C , 而收入R 即是产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式, 再用导数求最年夜利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-, 0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=, 即12104q -+=, 84q =.那时(0,84)q ∈, 0L '>;那时(84,200)q ∈, 0L '<;因此, 84q =是函数L 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 产量为84时, 利润L 最年夜, 习题1.4 B 组(P37)1、设每个房间每天的订价为x 元, 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=, 解得350x =.那时(180,350)x ∈, ()0L x '>;那时(350,680)x ∈, ()0L x '>.因此, 350x =是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当每个房间每天的订价为350元时, 宾馆利润最年夜. 2、设销售价为x 元/件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--, 54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=, 解得458a b x +=.那时45(,)8a b x a +∈, ()0L x '>;那时455(,)84a b bx +∈, ()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 销售价为458a b+元/件时, 可获得最年夜利润.1.5定积分的概念练习(P42)83. 说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步伐, 体会“以直代曲”和“迫近”的思想. 练习(P45)1、22112()[()2]()i i ii i s s v t n n n nn n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅, 1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值, 得说明:进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想. 2、223km. 说明:进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想, 熟悉求变速直线运植物体路程的方法和步伐. 练习(P48) 2304x dx =⎰. 说明:进一步熟悉定积分的界说和几何意义.从几何上看, 暗示由曲线3y x =与直线0x =, 2x =, 0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组(P50)1、(1)10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰; (2)50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰;(3)100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明:体会通过分割、近似替换、求和获得定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为:18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(m ); 距离的过剩近似值为:271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(m ).3、证明:令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()n ni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑, 从而 11lim n b a n i b adx b a n →∞=-==-∑⎰, 说明:进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义, 0⎰暗示由直线0x =, 1x =,0y =以及曲线y , 即四分之一单元圆的面积,因此04π=⎰. 5、(1)03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 所以定积分031x dx -⎰暗示由直线0x =,1x =-, 0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.(2)根据定积分的性质, 得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,1]上30x ≥, 所以定积分131x dx-⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.(3)根据定积分的性质, 得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,2]上30x ≥, 所以定积分231x dx -⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明:在(3)中, 由于3x 在区间[1,0]-上是非正的, 在区间[0,2]上是非负的, 如果直接利用界说把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分, 那么和式中既有正项又有负项, 而且无法抵抗一些项, 求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为023310x dx x dx -+⎰⎰, 这样, 3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的, 再利用定积分的界说, 容易求出031x dx -⎰, 230x dx ⎰, 进而获得定积分231x dx -⎰的值. 由此可见, 利用定积分的性质可以化简运算.在(2)(3)中, 被积函数在积分区间上的函数值有正有负, 通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组(P50)1、该物体在0t =到6t =(单元:s )之间走过的路程年夜约为145 m.说明:根据定积分的几何意义, 通过估算曲边梯形内包括单元正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)9.81v t =.(2)过剩近似值:8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑(m );缺乏近似值:81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑(m )(3)409.81tdt ⎰; 409.81d 78.48t t =⎰(m ).3、(1)分割在区间[0,]l 上等间隔地拔出1n -个分点, 将它分成n 个小区间:[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n l l n-,记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-(1,2,i n =), 其长度为 (1)il i l l x n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n ll n-上质量分别记作:12,,,n m m m ∆∆∆,则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.(2)近似取代当n 很年夜, 即x ∆很小时, 在小区间(1)[,]i l iln n-上, 可以认为线密度2()x x ρ=的值变动很小, 近似地即是一个常数, 无妨认为它近似地即是任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是, 细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=(1,2,i n =). (3)求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i lm m x n ρξξ====∆≈∆=∑∑∑.(4)取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑, 所以20l m x dx =⎰.. 1.6微积分基本定理 练习(P55)(1)50; (2)503; (3)533-; (4)24; (5)3ln 22-; (6)12; (7)0; (8)2-. 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组(P55)1、(1)403; (2)13ln 22--; (3)9ln 3ln 22+-; (4)176-; (5)2318π+; (6)22ln 2e e --. 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它暗示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为:位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和. 习题1.6 B 组(P55) 1、(1)原式=221011[]222x e e =-; (2)原式=4611[sin 2]22x ππ=; (3)原式=3126[]ln 2ln 2x =.2、(1)cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰; (2)sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m mππππππ--=|=--=⎰; (3)21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰; (4)21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、(1)0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. (2)由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程, 为了解这个方程, 我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质, 那时0t >, 0.201t e -<<, 从而 5000495245t <<,因此,500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯, 52450.2749245 1.2410e -⨯-≈⨯, 所以, 70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而, 在解方程0.2492452455000t t e -+-=时, 0.2245t e -可以忽略不计.因此, .492455000t -≈, 解之得 524549t ≈(s ). 说明:B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分, 可视学生的具体情况选做, 不要求掌握. 1.7定积分的简单应用 练习(P58) (1)323; (2)1. 说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习(P59)1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰(m ).2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰(J ). 习题1.7 A 组(P60) 1、(1)2; (2)92.2、2[]bb a a q q q q W kdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =, 即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体到达最年夜高度.最年夜高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰(m ). 4、设t s 后两物体相遇, 则 200(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰,解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时, 物体A 离动身地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰(m ). 5、由F kl =, 得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰(J ). 6、(1)令55()501v t t t=-+=+, 解之得10t =. 因此, 火车经过10s后完全停止. (2)1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰(m ). 习题1.7 B组(P60)1、(1)22aa a x dx --⎰暗示圆222x y a +=与x 轴所围成的上 半圆的面积, 因此2222aa a a x dx π--=⎰(2)120[1(1)]x x dx ---⎰暗示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形(如图所示)的面积,因此, 2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明:建立如图所示的平面直角坐标系, 可设抛物线的 方程为2y ax =, 则2()2b h a =⨯, 所以24h a b =.从而抛物线的方程为 224h y x b =. 于是, 抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰.y xO1(第1(2)题)y x h bO(第2题)223y x y x⎧=+⎨=⎩ 得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =, 22x =. 于是, 所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明:2[]()R hR h R R Mm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组(P65)1、(1)3; (2)4y =-.2、(1)22sin cos 2cos x x x y x +'=; (2)23(2)(31)(53)y x x x '=-+-; (3)22ln ln 2x xy x x '=+; (4)2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-.4、(1)()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.(2)(3)4f '=-标明在3℃附近时, 红茶温度约以4℃/min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =所以()f x '=.当()0f x '=>, 即0x >时, ()f x 单调递增;当()0f x '=<, 即0x <时, ()f x 单调递加.6、因为2()f x x px q =++, 所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=, 即12px =-=时, ()f x 有最小值.由12p-=, 得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=, 所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+,所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=, 即3c x =, 或x c =时, 函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意那时2x =, 函数2()()f x x x c =-有极年夜值, 所以0c >. 由于所以那时3cx =函数2()()f x x x c =-有极年夜值. 此时, 23c=, 6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时, AOB ∆的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a , (1,1)P ,所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--, 即1()1y x a a=--. 那时0x =, 1a y a =-, 即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此, AOB ∆的面积21()212(1)AOB a a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=, 即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =, 或2a =时, ()0S a '=, 0a =分歧题意舍去. 由于所以当2a =即直线AB 的倾斜角为135︒时, AOB ∆的面积最小, 最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m, 另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以, 长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V , 则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++, 0 1.6x <<.令()0V x '=, 即26 4.4 1.60x x -++=.所以, 415x =-(舍去), 或1x =. 那时(0,1)x ∈, ()0V x '>;那时(1,1.6)x ∈, ()0V x '<.因此, 1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当长方体容器的高为1 m 时, 容器最年夜, 最年夜容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=, 即105000x -+=, 50x =.又(0)100000f =, (80)108000f =, (50)112500f =. 所以, 50x =是函数()f x 的最年夜值点.所以, 当旅游团人数为150时, 可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为x cm 时, 可使其打印面积最年夜.因为打印纸的面积为623.7, 长为x , 所以宽为623.7x ,打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--, 5.0898.38x <<. 令()0S x '=, 即23168.3966.340x -=, 22.36x ≈(负值舍去), 623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点, 且为极年夜值, 从而是最年夜值点.所以, 打印纸的长、宽分别约为27.89cm, 22.36cm 时, 可使其打印面积最年夜.13、设每年养q 头猪时, 总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=, 即3000q -+=, 300q =. 那时300q =, 25000y =;那时400q =, 20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点, 且为极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 每年养300头猪时, 可使总利润最年夜, 最年夜总利润为25000元.14、(1)2; (2)22e -; (3)1;(4)原式=22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x πππ-=-=+=+⎰⎰;(5)原式=22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明:利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =, 得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰(J ) 第一章 复习参考题B 组(P66) 1、(1)43()10210b t t '=-⨯. 所以, 细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.(2)那时05t ≤<, ()0b t '>, 所以细菌在增加; 那时55t <<+, ()0b t '<, 所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r , 中心角为α弧度时, 扇形的面积为S . 因为212S r α=, 2l r r α-=, 所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-, 02l r <<. 令0S '=, 即40l r -=, 4l r =, 此时α为2弧度. 4l r =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点, 且是极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时, 扇形的面积最年夜. 3、设圆锥的底面半径为r , 高为h , 体积为V , 那么222r h R +=.因此, 222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-, 0h R <<.令22103V R h ππ'=-=, 解得3h R =.容易知道, h R =是函数()V h 的极年夜值点, 也是最年夜值点.。
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第1章习题参考答案1.对C语言来说,下列标识符中哪些是合法的,哪些是不合法的total, _debug, Large&Tall, Counter1, begin_解答:Large&Tall不合法,其余都合法。
2.改写本章节中的流程图,求1~100中能被6整除的所有整数的和。
解答:sum = 0i = 1真i <= 100真能被整除假假sum = sum + ii = i + 1打印sum图“求1~100中能被6整除的所有整数的和”的流程图113.改写本章节中的程序,求1~100中能被6整除的所有整数的和,并在编程环境中验证该程序的运行结果。
解答:#include <>int main(void){int i, sum = 0;for(i = 1; i <= 100; i++)if (i%6 == 0)sum = sum + i;printf("%d", sum);return 0;}运行结果:8164.对于给定的整数n(n>1),请设计一个流程图判别n是否为一个素数(只能被1和自己整除的整数),并分析该流程图中哪些是顺序结构、哪些是分支结构与循环结构。
解答:在流程图中,分支结构和循环结构如图所示,自上而下的2个实线框和2个虚线组成了顺序结构。
输入ni = 2i<=n/2假真真能被整除假循环结构i = i + 1真打印n是素数i>n/2假打印n不是素数分支结构第2章习题参考答案(i)4.编写程序,输入两个正整数m和n,求解答:#include <>int main(void){int i, m, n;double sum;scanf("%d%d", &m, &n);sum = 0;for(i = m; i <= n; i++)sum = sum + i * i + / i;printf("sum = %.6f\n", sum);return 0;}23i。
4565.编写程序,输入一个正整数n,计算解答:#include <>int main(void){int flag, i, n;double item, sum;scanf("%d", &n);sum = 0;flag = 1;for(i = 1; i <= n; i++){item = flag * * i / (2 * i - 1);sum = sum + item;flag = -flag;} 1357911.....的前n 项之和。
261} printf("sum = %.3f\n", sum); return 0;8.编写程序,输入一个正整数n,求型是double。
解答:#include <>int main(void){int i, n;double sum;double fact(int n);scanf("%d", &n);sum = 0;for(i = 0; i <= n; i++){sum = sum + fact(i);}printf("sum = %.0f\n", sum);return 0;}double fact(int n){int i;double product;product=1;for(i = 1; i <= n; i++)product = product * i;return product;} e i!。
要求定义和调用函数fact(n)计算n!,函数类第3章习题参考答案程序设计题1.输入三角形的3条边a, b, c,如果能构成一个三角形,输出面积area和周长perimeter(保留2位小数);否则,输出"These sides do not correspond to a valid triangle"。
在一个三角形中,任意两边之和大于第三边。
三角形面积计算公式:解答:areas(sa)(sb)(sc),其中s = (a+b+c)/2#include <>#include <>int main(void){int a,b,c;double area,s,perimeter;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);if((a+b>c)&&(b+c>a)&&(a+c>b)){perimeter=a+b+c;s=(a+b+c)*2;area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));printf("area=%.2f,perimeter=%.2f\n",area,perimeter);}elseprintf("These sides do not correspond to a valid triangle\n");return 0;}4.输入一个正整数n,再输入n个学生的成绩,计算平均分,并统计各等级成绩的个数。
成绩分为5个等级,分别为A(90~100)、B(80~89)、C(70~79)、D(60~69)、E(0~59)。
#include <>int main(void){int mark, n, i, sum;double average;int counta, countb, countc, countd, counte;printf("Enter n: ");scanf("%d",&n);counta= countb = countc = countd = counte =sum=0;for(i=1; i<=n; i++){scanf("%d",&mark);sum=sum+mark;if(mark>=90) counta++;else if (mark>=80) countb++;else if(mark>=70) countc++;else if(mark>=60) countd++;else counte++; }}average=sum*n;printf("average=%.1f\n",average);printf("A: %d, B: %d, C: %d, D: %d, E: %d\n",counta, countb, countc, countd, counte);return 0;}5.输出21世纪所有的闰年。
判断闰年的条件是:能被 4 整除但不能被100 整除,或者能被400 整除。
解答:#include <>int main(void){int year;for(year=2000; year<=2099; year++){if( (year%4==0 && year%100!=0) || (year%400==0))printf("%d\n",year);}return 0;}第4章习题参考答案程序设计题1.输入一批正整数(以零或负数为结束标志),求其中的偶数和。
解答:#include <>int main(void){int x, sum;printf("Input integers: ");scanf("%d", &x);sum = 0;while(x>0){if(x%2==0) sum = sum + x; scanf("%d", &x); }printf("The sum of the even numbers is %d\n", sum); return 0; }2.输入1个实数 x ,计算并输出下式的值,直到最后一项的绝对值小于10 要求定义和调用函数fact(n)计算n 的阶乘,可以调用pow()函数求幂。
2! 3! 4!解答: #include <> #include <> int main(void) {int i;double item, s, x; double fact(int n); scanf("%le", &x); s = 0; item = x;i = 1;while(fabs(item) >= {item = pow(x,i)/fact(i); s = s+ item; i++;}printf("s=%.2f\n", s); return 0; }double fact(int n) {int i;double result=1; for(i=1;i<=n;i++) result=result*i; return result; }2 3 4 x x xsx3.输入一个整数,求它的各位数字之和及位数。
例如234的各位数字之和是9,位数是3。
解答:#include <>int main(void){int count, sum;long in;printf("Input an integer: ");scanf("%ld", &in);if(in<0) in=-in;count=0;sum=0;while(in!=0){sum = sum + in%10;in=in/10;count++;}printf("count = %d, sum = %d\n", count, sum);return 0;}7.求1~10000之间所有满足各位数字的立方和等于它本身的数。
例如153的各位数字的立333方和是1+5+3=153。
解答:#include <>int main(void){int i, digit, number, sum;for (i=1; i<=10000; i++){number = i;sum = 0;while(number!=0){digit = number%10;number = number/10;sum = sum + digit*digit*digit;}if(sum==i) printf("%d\n", i);}return 0;}8.验证哥德巴赫猜想:任何一个大于等于6的偶数均可表示为两个素数之和。