初三数学经典例题

《二元一次方程》【1】若△ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．任意三角形 D．不能确定考点：因式分解的应用．分析：利用完全平方公式进行局部因式分解，再根据非负数的性质进行分析．解答：解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形．故选B．点评：此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．【2】用配方法证明代数式2x2-4x+5的值恒大于零．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．分析：把含x的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可．解答：解：2x2-4x+5，=2（x2-2x+1）+3，=2（x-1）2+3，∵2（x-1）2为非负数，∴2（x-1）2+3为正数，∴2x2-4x+5的值恒大于零．点评：考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完全平方式与一个正数的和的形式．【3】如果关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0的根为（）A．34 B．1或3 C．-1或3 D．1或-3考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．分析：由关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，有m+2=0，即m=-2，然后把m=-2代入关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0，得到4x-3=0，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，∴m+2=0，即m=-2，把m=-2代入关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0，得到4x-3=0，解得x=3 4 ．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）和一元一次方程的定义．【4】如果关于x的方程x2-2（1-k）x+k2=0有实数根α，β，那么α+β的取值范围＿＿＿.考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据方程有实数根，求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求出α+β的取值范围．解答：解：∵关于x的方程x2-2（1-k）x+k2=0有实数根α，β，∴△=[-2（1-k）]2-4×1×k2＞0，解得k＜1 2 ，∵α，β是二次函数的两个根，∴α+β=2（1-k）=2-2k，又∵k＜1 2 ，∴α+β≥1．点评：此题主要考查了根与学生的关系，将根与系数的关系与不等式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．《图形的旋转》【1】如图，分别以正方形ABCD的边AB、BC为直径画半圆，若正方形的边长为a，则阴影部分面积为_____.考点：相交两圆的性质．分析：根据两段半圆的交点即为正方形的对称中心，连接AC、BD，将两个弓形分别进行旋转，即可将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积，即可得出答案．解答：解：因为两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AC，则AC必过点O，连接OB；将弓形OmB绕点O旋转并与弓形OaA重合；同理将弓形OnB绕点O旋转并与弓形ObC重合，此时阴影部分的面积正好是△ADC的面积，即正方形面积的一半；因为正方形的边长为a，所以正方形的面积为为a2，所以阴影部分的面积为：½ a²；故答案为：½ a².点评：此题考查了相交两圆的性质，此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，难度适中，关键是将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积．【2】如图，已知△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边的中线，则AD的范围是_______，考点：三角形三边关系分析：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，易证明△ADC≌△BDE，得到BE=AC；在△ABE中，根据三角形三边关系，得2＜AE＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD ＜7；解答：解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵BD=CD，DE=AD，∠ADC=∠EDB，=∴△ADC≌△BDE，∴BE=AC．在△ABE中，根据三角形三边关，得2＜AE＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7；点评：本题考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定；通过作辅助线--倍长中线，把要求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系求解是正确解答本题的关键．《圆》【1】B是⊙O的直径P是AB上一点(不与A、B重合),C是⊙上一点，试问线段PA,PC,PB三者之间有怎样的数量关系？考点：圆的半径；三角形三边关系分析：连接O、C。

根据三角形两边之和大于第三边及同圆内半径都相等进行进一步解题，即可求出答案。

解答：解：连接O、C，可知：AO=CO=BO(半径）根据三角形两边之和大于第三边，可知：PC+PO>CO,PC<CO+PO而CO=AO=BO=AP+PO,CO+PO=PO+BO=PB∴PC+PO>AP+PO,PC<PB∴AP<CP<BP【2】（2004•本溪）已知点P是半径为5的圆O内一定点，且OP=4，则过点P的所有弦中，弦长可能取到的整数值为（）A．5，4，3 B．10，9，8，7，6，5，4，3C．10，9，8，7，6 D．12，11，10，9，8，7，6考点：垂径定理；勾股定理．分析：由于点P是圆内的定点，所以过点P最长的弦是10，最短的弦是垂直于OP的弦，利用垂径定理和勾股定理求出最短的弦长为6，因此过点P的所有弦中整数值是6、7、8、9、10五个值．解答：解：点P是圆内的定点，所以过点P最长的弦是直径等于10，最短的弦是垂直于OP的弦，如图示，OP⊥AB，∴AP=BP，由题意知，OA=5，OP=4，在Rt△AOP中，AP= 5²-4² =3，∴AB=6，即过点P的最短的弦长为6，所以过P的所有弦中整数值是6、7、8、9、10．故选C．点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r²=d²+（a/2 ）²成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．【3】（2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．分析：延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．解答：解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=1 2 OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选D．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．【4】（2010•德州）已知三角形的三边长分别为：3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（）A．0，1，2，3 B．0，1，2，4 C．0，1，2，3，4 D．0，1，2，4，5考点：直线与圆的位置关系．分析：根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．解答：解：∵32+42=25，52=25，∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r，则1/2（3+4+5）r=1/2×3×4，解得r=1，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆与三角形内切圆时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．故选C．点评：本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键．【5】某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m（如图所示）．现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？考点：垂径定理的应用．分析：连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．解答：解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴BD=1 2 AB=3.6m．又CD=2.4m，设OB=OC=ON=r，则OD=r-2.4m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9m．∵CD=2.4m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96，∴EN= 2.96 ．∴MN=2EN=2× 2.96 ≈3.44米＞3米．∴此货船能顺利通过这座拱桥．点评：解决此类桥拱问题，通常是利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度．要注意本题是通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．【6】（2005•河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）．考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：作出辅助线OC∥AG，便可证明出△AEG∽△OEC，于是可知各线段的比，求出AE=EF=FB．解答：解：∵点E、F均为所在线段的三等分点，连接OC，设圆的半径长是r，则AB=AG=2r．∵∠COA=60°，∠GAC=60°，∴OC∥AG，∴△AEG∽△OEC，∴OE：AE=CO：AG=r：2r=1：2，又∵OE=OF=1 2 EF∴EF：AE=1：1，同理可证：BF：FE=1：1，故AE=EF=FB．点评：本题将实际问题和三角形相似，圆心角、弧、弦之间的关系联系起来，体现了数学应用于生活，来源于生活的理念．【7】如图所示，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P，Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（）A.（0，3） B．（0，5/2 ） C．（0，2） D．（0，3/2）考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质．分析：连接MP，过M作MA⊥PQ于A，设⊙M的半径为R，所以MP=R，PA=R-1，MA=PB=2，根据勾股定理则有：MP2=MA2+PA2，即可求得R=5/2 ．解答：解：连MP，过M作MA⊥PQ于A，则PB=MA=2，设⊙M的半径为R，则MP2=MA2+PA2，即R2=22+（R-1）2，解得R=5/2 ，故选B．点评：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．【8】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻．当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？为什么？（不考虑其他因素）考点：圆周角定理．分析：谁射门好，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大．由图得∠B=∠NCM，而∠NCM＞∠A，所以∠B＞∠A，于是将球回传给乙好些．解答：解：迅速回传乙，让乙射门较好．因为在不考虑其他因素的情况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图所示，则∠A＜MCN=∠B，即∠B＞∠A，从而B处对MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些．点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了三角形外角的性质．【9】如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2π B．4π C．2√3 D．4考点：切线的性质．分析：如图，根据角平分线性质定理的逆定理，得∠BCO=30°，根据直角三角形的性质求得OC，再根据勾股定理求出CF即可．解答：解：如图，连接OC，OE，OF，∵⊙O与AC和BC都相切，E和F为切点，∴OF⊥BC，OE⊥AC，∵∠ACB=60°，OF=OE，∴∠BCO=30°，∵OF=2，∴OC=4，∴由勾股定理得，OF2+CF2=CO2，∴CF=2√3 ．故答案为：2√3 ．点评：本题考查了切线的性质、勾股定理以及角平分线性质的逆定理，是基础知识要熟练掌握．【10】（2010•绍兴）如图为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1，⊙O2均与⊙O的弧AB相切，且O1O2∥l1（l1为水平线），⊙O1，⊙O2的半径均为30mm，弧AB的最低点到l1的距离为30mm，公切线l2与l1间的距离为100mm．则⊙O的半径为（）考点：相切两圆的性质．分析：设⊙O的半径为R，由图可知，CE=100-30=70，DE=CE-CD=70-30=40，OD=OE-DE=R-40，在Rt△OO1D中，运用勾股定理求R．解答：解：如图，设⊙O的半径为Rmm，依题意，得CE=100-30=70，∵l2∥O1O2，∴CD=O1D=30，DE=CE-CD=70-30=40，OD=OE-DE=R-40，在Rt△OO1D中，O1O=R-30，O1D=30，由勾股定理，得O1D²+OD²=O1O²，即30²+（R-40）²=（R-30）²，解得R=80mm．故选B．点评：根据直线与圆相切，圆与圆相切及题中的数量关系，把问题转化到直角三角形中，用勾股定理求解，是解决圆的问题常用的方法．【11】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是__________.考点：直线与圆的位置关系；垂线段最短；勾股定理．专题：分类讨论．分析：此题注意两种情况：（1）圆与AB相切时；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．解答：解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB=5．分两种情况：（1）圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r=2.4．点评：本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．【12】（2002•南昌）如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O 从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．（1）若r=√3厘米，求⊙O首次与BC边相切时，AO的长．（2）在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况写出不同情况下X 的取值范围及相应的切点个数．（3）设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部、⊙O未经过的部分的面积为S，在S＞0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；解直角三角形．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求AO的关键是求出BO，如果设与BC相切时切点为D的话，可在直角三角形BOD 中用半径的长和∠ABC的正弦值求出BO的长，也就能求出AO的长了．（2）考虑直线与圆的位置，只需考虑半径的长以及圆心到直线的距离即可．当圆的半径正好等于等边三角形的高的时候，那么只有圆心在等边三角形三个顶点时，圆才与等边三角形相切；当圆的半径小于高时（半径应大于0），在每一条边运动时都要与三角形的两边相切即切点有两个，那么走完3条边后切点应有6个；当圆的半径大于高的时候，圆与三角形的三边相交或三角形在圆内，因此没有切点．（3）本题的关键是求出内部三角形的边和相应的高．根据题意我们不难得出内部的三角形应该和三角形ABC相似，即内部的三角形也应该是等边三角形．如果设这个三角形为A′B′C′，那么可作出三角形ABC和A′B′C′的高来求解．连接AA′并延长其交B′C′，BC于E，F，那么A′E就应该是内部三角形的高，如果求出了高就可以通过三角函数求出内部三角形的边长也就能求出它的面积，因此求A′E长就是解题的关键．我们观察后发现，EF=r，而AF可以在三角形ABC中求出，那么关键是求A′A，可通过构建直角三角形求解．过A′作A′G⊥AB于G，那么A′G=r，那么我们可根据∠A′AG的度数用三角函数和r表示出AA′，这样就能求出A′E和内部三角形的边长了，那么根据三角形的面积公式就能得出关于S，r的函数解析式了．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、解直角三角形等多个知识点．【13】（2010•无锡）如图，已知点A(6 3，0)，B(0，6)，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．考点：一次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）过点P向y轴引垂线．根据已知点A、B的坐标可以求得∠BAO=30°，从而可以结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；（2）此题应分作两种情况考虑：①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC 的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．【14】如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=1/2 ED，延长DB到点F，使FB=1/2BD，连接AF．求证：直线AF与⊙O相切．考点：切线的判定．分析：连OA，由AE=1/2 ED，FB=1/2 BD，则AE：ED=FB：BD，根据平行线分线段成比例定理得到BE∥AF；由AB=AC，根据垂径定理的推论得到OA⊥BC，则OA⊥AF，根据切线的判定定理即可得到结论．解答：证明：连OA，如图，∵AE=1/2 ED，FB=1/2 BD，∴AE：ED=FB：BD，∴BE∥AF，又∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∴直线AF与⊙O相切．点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了垂径定理的推论以及平行线分线段成比例定理．【15】如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．考点：切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：（1）连接OC，根据PC2=PE•PO和∠P=∠P，可证明△PCO∽△PEC，则∠PCO=∠PEC，再由已知条件即可得出PC⊥OC；（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得PC2=PA•PB，则PA•PB=PE•PO，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径；（3）连接BC，根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，由三角函数的定义可得出答案．点评：本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义的综合应用，是中考压轴题，难度中等．【16】（2004•黄石）在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，（1）如图1，D、E、F为切点，求△ABC内切圆⊙O的半径r1的值．（2）如图2△ABC中放置两个互相外切的等圆⊙O1、⊙O2，⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求它们的半径r2时，小李同学是这样思考的：如果将⊙O2连同BC边向左平移2r2，使⊙O2与⊙O1重合、BC移到DE，则问题转化为第（1）问中的情况，于是可用同样的方法算出r2，你认为小李同学的想法对吗？请你求出r2的值（不限于上述小李同学的方法）．（3）如图3，n个排成一排的等圆与AB边都相切，又依次外切，前后两圆分别与AC、BC 边相切，求这些等圆的半径rn．考点：相切两圆的性质；三角形的内切圆与内心．分析：（1）根据三角形的内切圆的半径的性质即可求解；（2）（3）分别求出三角形的三边的长，根据三角形的内切圆的半径的性质即可求解．点评：本题主要考查了相切两圆的关系以及三角形的内切圆的性质，正确理解三角形的内切圆的半径的性质即可求解是解题的关键．【17】已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交两圆于C、D两点，过B的直线交两圆于E、F两点，连接DF、CE．（1）说明CE∥DF；（2）若G为CD的中点，说明CE=DF．考点：圆周角定理；全等三角形的判定．分析：（1）可根据圆周角定理来解．要证CE∥DF，关键是证明∠C=∠D，以∠ABE为中间值，根据所求的两个角与∠ABE在不同的圆中对应的圆弧相等来得出所求角相等，从而得出CE ∥DF．（2）可通过证明三角形CEG和FGD全等来得出结论，这两个三角形中已知的条件有：CG=BD，一组对顶角，只要再证得一组对应角相等即可得出两三角形全等，由（1）的平行线可知：∠C=∠D，这样就构成了两三角形全等的所有条件，便可得出CE=DF．解答：解：（1）在⊙O1中，∠C和∠ABE所对的都是弧AE∴∠C=∠B同理可在⊙O2中得出：∠D=∠B，∴∠C=∠D∴CE∥DF（2）由（1）知：∠C=∠D∵CG=GD，∠CGE=∠FGD∴△CEG≌△FGD∴CE=DF．点评：本题主要考查了全等三角形的判定和圆周角定理，通过圆周角得出三角形全等是本题解题的关键．【18】（2010•十堰）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB•BC=2O2B•BO1；（3）如果AB•BC=12，O2C=4，求AO1的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，可证O1A⊥AO2，又O2A=O2C，O1A=O1B 可证O2C⊥O2B，故可证．（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，三角形相似，进而证明出结论．（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A，三角形相似，列出比例式，进而求出AO1的长．解答：（1）证明：∵O1A为切线，∴∠O1AB+∠BAO2=90°，又∵AO2=O2C，∴∠BAO2=∠C，又∵AO1=BO1，∴∠O1AB=∠ABO1=∠CBO2，∴∠CBO2+∠C=90°，∴∠BO2C=90°，∴O2C⊥O1O2；（2）证明：延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°．又由（1）可知∠BO2C=90°，∴∠BAD=∠BO2C，又∵∠ABD=∠O2BC，∴△O2BC∽△ABD，O2B/AB =BC/BD ，∴AB•BC=O2B•BD，又∵BD=2BO1，∴AB•BC=2O2B•BO1．（3）解：由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∵∠AO2B=∠DO2A，∴△AO2B∽△DO2A，AO2/DO2 =O2B/O2A ，∴AO2²=O2B•O2D，∵O2C=O2A，∴O2C²=O2B•O2D①，又由（2）AB•BC=O2B•BD②，由①-②得O2C²-AB•BC=O2B²即4²-12=O2B²，∴O2B=2，又∵O2B•BD=AB•BC=12，∴BD=6，∴2AO1=BD=6，∴AO1=3．点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，此题比较繁琐，做题时应该细心．【19】。