热学竞赛题

f (vx，v y，vz ) dvx dv y dvz 1

f (v x )dv x
f (v y )dv y


f (v z )dv z 1



Ax e

mv 2 x 2 kT
dv x Ay e



mv 2 y 2kT
dv y Az e
十、 玻尔兹曼关系式（P247）
W——热力学概率(微观状态数)
S = k lnW ——玻尔兹曼关系式 k——玻尔兹曼常数
dN f (vx，vy，vz ) dvxdvy dvz N f (vx，vy，vz ) ——速度分布函数
d
O

vz vx
vy
表示速度在 v (v x , v y , vz ) 附近单位速度体积元中 分子出现的概率。
vx
vy
Maxwell 速度分布律 Maxwell提出平衡态下，理论上有
1.00kg冰熔化为水时的熵变为
S2 S1
2 1
dQ 1 T T

2
1
Q m lm 1.22 kJ/K dQ T T
[例3] 1kg的20 ℃ 水用 100 ℃的炉子加热到100℃, 求 S水和 S炉子. 水的比热 cp＝ 4.2 J/kg· K. [解] (1)求 S水 设计一个可逆传热过程
七、范德瓦尔斯方程（P205） •理想气体忽略了分子本身的体积
• 理想气体忽略了分子间的引力
解决真实气体从修正理想气体模型入手
1. 分子体积所引起的修正 1 mol 理气 pVm RT Vm ——理气分子可自由活动空间. 分子为刚性球,则分子能自由活动的空间 体积为 Vm-b. b是体积修正量. 则
一、混合理想气体物态方程 气体由n种理想气体混合而成. 第i 组分质量Mi ，摩尔质量 Mmi 分压强pi ：与混合气体T、V相同时，这个 组分单独存在时的压强. 实验定律——道尔顿分压定律 p pi p1 p2 pn
即混合气体的压强等于各组分的分压强之和.
Mi piV RT M mi i 1,2,
M Mi
Mm M

——各组分质量和 i M 混合理想气 pV RT Mm 体物态方程
二、气体分子的平均平动动能 （P182）
1 3 2 mv kT 2 2
三、麦克斯韦速度分布律
速度分布——指出速度分量分别在 v x v x dv x v y v y dv y vz vz dvz 区间的分子数或比率. vz 速度体积元 d dv xdv ydvz
S 2 S1
2 1 2 pdV dQ R 1 T T
p
1
2
选理想气体等温膨胀可逆过程 dE=0
V2
V1
V2
V
V2 V1
S2 S1 0
dV V2 V1 V R lnV1
熵增加
热力学第二定律的数学表式 系统由初态A经不可逆过程到达末态B，熵增量 不可逆 热力学第二定律数学表式：


2 mv z 2kT
dv z 1

Ax e
mv 2 x 2 kT
dv x 1
1 2
m Ax ( ) 2πkT
mv 2 x 2kT
1 2
f (v x , v y , vz ) f (v x ) f (v y ) f (vz )
2 2 m 3 / 2 m(v2 x v y v z ) / 2 kT ( ) e 2πkT
z 气体 dS u=u(z) y
z0
x
六、热传导——由于物体相邻部分间的温度差 引起的能量输运.（P201） 实验指出dt 时间内通过 dS沿z轴方向传递的热量为
dT dQ ( ) z 0 dSdt dz
低
A
z0 dS
高
B
z
κ——热导率(导热系数)，单位：W· m-1· K-1 与物质的种类和状态有关 负号表示热量沿着温度降低的方向传递
pdV dE CV ,m dT R dV dS T V TT V dT dV
C v , m S S0
T0
T
R
V0
V
其中S’0是参考态（T0，V0）的熵。 若温度范围不大，理想气体 Cv,m看作常量，有
这是以（T，V）为独立变量的熵函数的表达式。
T V CV ,m l n R l n S S0 T0 V0
九、熵的定义：（P242）
S2 S1
2 1
dQ T
（可逆过程） 或
TdS dQ
对无限小过程
dQ dS T
dS 微小过程中的熵变 T 微小可逆过程中的温度
dQ 微小可逆过程中吸收的热
说明 ① 熵是状态参量, 与 E、T、p 同地位.系统状 态确定,熵就确定；
② 熵定义的是差值，选一参考态的熵值为零； ③ 积分路径的限制--- 沿可逆过程！ ④ 熵具有可叠加性； ⑤ 对不可逆过程，熵变的计算的方法是： a. 设计一相同初、终态的可逆过程；
[解] 离心力 f mr 2 离心势能 E p 0
n n0e
r
为保守力 r 1 2 fdr mr dr m 2 r 2 0
2
mr 2 2 2 kT
微粒按径向的分布律 (设转轴处粒子数密度n0)
E p / kT
n0e
mr 2 2 2 kT
压强 p nkT p0e
n /n0 n /n0 1 H2 O2 1
T2 > T1 T2 T1
z
O
z
O
重力场中的等温气压公式
p nkT
n n0e
mgz / kT
n0e
- Mm gz/R T
p p0 e
Mm g z / RT
p0 e
m g z / kT
——等温气压公式
试由玻尔兹曼分布律求旋转体中微粒按径向的 分布律。
T2 3J / K 0 ＝c p m ln 1 . 0 10 T 1
S 0
克劳修斯不等式与熵增加原理
理想气体向真空膨胀过程 绝热容器，理想气体 初态：V1 T 末态：V2 T 绝热 Q 0 W=0（真空） 所以 E1 = E2
dQ dE pdV pdV
dQ SB S A A T
B
dQ SB S A A T
B
d Q or dS T
“=”可逆过程
“ > ”不可逆过程
熵增加原理 由热力学第二定律数学表式,对绝热过程有dQ 0 SB S A 0 dS 0 or 热力学系统从一平衡态绝热地到达另一个平 衡态的过程中,它的熵永不减少.若过程是可逆的, 则熵不变;若过程是不可逆的,则熵增加.------熵增 加原理 又表述为: 孤立系统内进行的过程, 熵永不减少. 注意: •孤立系统内过程必有 ΔS 0 •实际一个过程还可能有 ΔS 0
m f (v x ) ( ) e 2πkT
dN m 3 / 2 m ( v x2 v 2y vz2 ) / 2kT ( ) e dv x dv y dv z N 2πkT
由速度分布可以导出速率分布. 2 2 2 2 2 速率体积元 d 4πv dv v v x v y vz 代入速度分布式中
同样可求出以（T，P）和（P，V）为独立变量 的熵函数的表达式分别为
T p C P ,m l n R l n S S0 T0 p0 V p C P ,m l n CV ,m l n S S0 V0 p0 T V CV ,m ln R ln S S0 T0 V0
f (v x , v y , v z ) Ae
2 2 m(v 2 x v y v z ) / 2 kT
Ax e
mv 2 x 2kT
Aye

mv 2 y 2 kT
Az e
2 mv z 2 kT
f ( v x ) f (v y ) f ( v z ) 其中，Ax、Ay、Az和A均为常数，由归一化条件确定。
dN m 4π( N 2πkT
mv 2 3 ) 2 e 2 kT
v dv
2
vz
v O
vx
vy
v dv
（P195， 式（12-22）） 四、 n n0e 重力场中分子按高度的分布
n n0e
mgz / kT
E p / kT
n0e
- Mm gz/R T
n0为z = 0 处的分子数密度 m——一个分子质量；Mm——摩尔质量
RT p Vm b
d B
A
b实测与分子种类有关。
1mol理想气体状态方程： pVm RT RT p 完成了第一步的修正 Vm b
2. 分子间引力所引起的修正
RT 令 p V b p m
p——内压强
令：
a p 2 Vm
a与分子的种类有关，需实际 测量
RT a p 2 Vm b Vm
b. 把熵作为状态参量的函数表达式推导出来， 再将初终两态的参量值代入，从而算出熵变。
熵变的计算 热力学基本方程 dQ d W dE
T d S (d Q)可逆
若只有体积功,则 TdS dE＋pdV
pdV dE dS T
1 理想气体的态函数熵。 解 根据 pV=RT 和 dE=Cv,m dT ，有
压强沿径向按平方指数迅速增长
五、黏性（内摩擦）现象（ P200 ）