人教版高中数学(理科)选修函数极限的运算法则教案
人教版高中数学(理科)选修极限的四则运算教案
极限的四则运算●教学目标(一)教学知识点1.数列极限的四则运算法则2. ∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n liman (二)能力训练要求1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限.2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”.(三)德育渗透目标1.培养学习进行类比的数学思想.2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊 ”，从“特殊”到“一般”转化的思想.●教学重点数例极限的四则运算法则.●教学难点如何利用数列极限的四则运算法则求数列的极限.怎样掌握一些基本的方法.通过典型例题的讲解，从而总结归纳求数列极限的方法.●教学方法发现法.●教具准备幻灯片两张第一张：函数极限的四则运算法则及基本方法(记作§2.5.2A)第二张：数列极限的四则运算法则(记作§2.5.2B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们学习了函数极限的四则运算法则，那现在回忆一下，具体内容是什么？ ［生］0lim x x →［f(x)±g(x)］=0lim x x →f(x)±0limx x →g(x). 0lim x x →［f(x)·g(x)］=0lim x x →f(x)·0lim x x →g(x). )(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→=.［师］第三个等式中，要满足什么条件吗？［生］0lim x x →g(x)≠0.［师］三个推导的公式呢？［生］0lim x x →［c ·f(x)］=c ·0lim x x →f(x). 0limx x →［f(x)］2=［0lim x x →f(x)］2. 0lim x x →［f(x)］n=［0lim x x →f(x)］n. ［师］回答得很好.那么我们在求一些比较复杂的函数的极限时，有哪些基本的方法呢？［生］代入法、因式分解法、分子，分母同除以x 的最高次幂、分子有理化法. Ⅱ．讲授新课［师］(打出幻灯片§2.5.2A)我们知道，学函数极限是从特殊的函数数列是n 的函数转化到一般的函数而得到的.那么能否再从“一般”转化到“特殊”呢？从函数极限的四则运算法则，类比得到数列极限的四则运算法则呢？［生］能.如果∞→n lim an=a ，∞→n limbn=b.那么 ∞→n lim (an ±bn)=∞→n lim an ±∞→n lim bn=a ±b. ∞→n lim (an ·bn)= ∞→n lim an ·∞→n limbn=a ·b. b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim (b ≠0).［师］回答得很好，那么它也能推导出其他的公式吗？ ［生］∞→n lim (c ·an)=c ·∞→n lim an.(c 是常数). ∞→n lim an2=(∞→n liman)2 ［师］因为函数极限中的第三个推导公式与n 有关，所以数列极限中就没有类似的公式了.(打出幻灯片§2.5.2B)(板书)注意：数列极限中极限四则运算法则只适用于“有限个”与“都有极限”的情况.1.课本例题求下列极限.(1))21(lim 2n n n +∞→. 解：0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n . (2)n n n 23lim-∞→. 解：(方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (方法二)∵n →∞，∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n . (3)232lim 22++∞→n n n n .［师］第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n2+2，有常数项，所以例(2)的方法一就不能用了. 解：3203022lim 3lim 1lim 2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . ［师］第二题与第三题实际上分子、分母关于n 的次数是相同，而极限就是分子、分母中最高次项的系数之比.这样我们可以对这一类题型，总结一个规律. (学生回答)规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比. (4)24323lim n n n n n -+∞→.解：分子、分母同除n 的最高次幂即n4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .［师］这个题中，分子关于n 的次数比分母关于n 的次数小，当n →∞时，分母增加的速度比分子增加的速度快，所以极限就为0.对于这类题目，我们同样可以总结规律.谁来总结一下？(学生回答)规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0.［师］如果把上述几题中的n 都换成是x ，解题的方法与答案有变化吗？ ［生］没有变化.［师］对，没有什么变化，把n 换成x ，y ，z 等等其他字母解题的方法、答案都不变.只是题目的外形变了，本质还是不变.就像一个人今天穿红衣服，明天穿蓝衣服，后天穿黄衣服，外形变了，但还是这个人.2.精选例题［例1］)13(lim 2n n n n -+-∞→. 解：11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n . ［例2］21323lim-++-∞→n n n . 解：30103211323lim 21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→n n n n n n n n . ［例3］1513lim ++-∞→n n n .解：001001lim 1lim 5lim 13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n .Ⅲ.课堂练习1.已知∞→n lim an=2，∞→n lim bn=－31，求下列极限.(1) ∞→n lim (2an+3bn －1) (2)n n n n n b a b a +-∞→lim解：(1)∞→n lim (2an+3bn －1)=∞→n lim (2an)+∞→n lim (3bn)－∞→n lim1 =2∞→n lim an+3∞→n lim bn －1=2·2+3·(－31)－1=2. (2)57)31(2)31(2lim lim lim lim )(lim )(lim lim =-+--=+-=+-=+-∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a2.求下列极限. (1))15(lim 2n n -∞→ (2)n n n n n 23123lim 22+-++∞→ (3))1)(12()2)(1(lim-+-+∞→x x x x n (4)12144lim 232+++-∞→x x x x n解：(1).5051lim 5lim )15(lim 22=-=-=-∞→∞→∞→n n n n n (2)1030032lim )3(lim 1lim 2lim 3lim 23123lim 23123lim 2222-=+-++=+-++=+-++=+-++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n . (3)22222211lim 122lim )1)(12()2)(1(lim x x x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x (4)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了数列极限的四则运算法则，求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了.Ⅴ．课后作业2.预习提纲(1)如何将我们所学的知识解决一些实际问题？(2)注意应用极限的四则运算法则应用什么条件？●板书设计极限的四则运算(二)1.求数列极限的基本方法2.规律一3.规律二课本例题(1)(2)(3)(4) 精选例题例1、例2、例3 课堂练习1.已知∞→n lim an=2. ∞→n lim bn=－31.求下列极限.(1)(2)2.求下列极限(1)(2)(3)(4) 课时小结 课后作业。
（完整版）高中数学《函数的极限》教案
（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量
高中数学教案极限的运算法则与无穷小量高中数学教案：极限的运算法则与无穷小量一、引言数学中的极限是一种重要的概念，在高中数学中也是一个重要的内容。
本教案将重点介绍极限的运算法则与无穷小量的相关知识。
通过深入了解这些内容，学生将能够更好地理解和应用极限的概念。
二、极限的运算法则与无穷小量的定义1. 无穷小量的定义及性质无穷小量是指当自变量趋于某一确定值时，函数值也趋于零的量。
常见的无穷小量有极限为零的数列和极限为零的函数。
2. 极限的四则运算法则在计算极限时，可以利用四则运算法则简化计算过程。
四则运算法则包括：- 两个极限的和等于极限的和；- 两个极限的差等于极限的差；- 两个极限的积等于极限的积；- 两个极限的商等于极限的商（其中除数极限不为零）。
三、极限的运算法则的应用1. 极限的运算示例通过具体的例子来演示极限的运算法则的应用，例如计算以下极限：- lim(x→2) [3x^2 + 2x - 1]- lim(x→1) [√(2x+1) + 4]2. 极限的运算法则的推理在应用极限的运算法则时，有时需要进行推理和证明。
通过给出一些列的推理步骤和相应的证明过程，学生可以更好地理解极限的运算法则的原理。
四、极限的运算法则与函数的性质1. 连续函数的性质连续函数在定义域内具有连续性的特点，具体包括：- 在定义域内无间断点；- 函数值与自变量在定义域内的微小变化成正比。
2. 极限的运算法则与连续函数的关系利用极限的运算法则，可以更好地理解和证明连续函数的性质。
通过给出一些典型的连续函数和相应的极限运算，学生可以加深对连续函数性质的理解。
五、总结通过学习本教案，我们对极限的运算法则与无穷小量有了更深入的了解。
极限的四则运算法则为我们计算极限提供了方便，而无穷小量的概念则帮助我们更好地理解函数的趋势。
希望同学们通过本教案的学习，能够在高中数学中更加熟练地运用极限的运算法则与无穷小量的概念。
人教版高中数学(理科)选修函数的极值教案
函数的极值目的要求1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用．2．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．内容分析1．本节课是从函数图象出发，向学生介绍函数极大值、极小值、极值、极值点的有关</PGN0132B.TXT/PGN>概念；在此基础上介绍利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法．2．本小节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入．它是上一节的继续并为下一节做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点．通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路．3．本节的重点是正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．难点是正确掌握“点是极值点〞的充分条件及必要条件，使学生灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．4．在教学过程中，函数极值的有关概念和求解方法的讲授要注意与函数的图象相结合，养成学生数形结合思考问题的习惯．借助多媒体辅助教学去加深学生对它们的理解，提高教学效率．为使学生能清楚地掌握“点是极值点〞的充分条件或必要条件，适当地补充一些实例，包括导数不存在时的例题，加强练习以提高学生的解题能力．教学过程本节课学习“函数的极值〞．1．复习引入问题1 对于函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7，利用函数的导数讨论它在R上的单调性．(此题为上一节例2的变式．多媒体展示)同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的解答和函数图象(略)．</PGN0133A.TXT/PGN>2．新授观察函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7图象可知，函数值f(0)比临近x＝0点的其他函数值都要大；函数值f(2)比临近x＝2点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．(略)(此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示定义)强调“临近点〞的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如以下图形——图44－1．有f(x1)＜f(x2))问题2 观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．(多媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大，并增加展示出图象上点(x0，f(x0))处的切线x0变化的动画．给出问题2)在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0(本例题中，极值点处的导数为0)；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．(此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出判别f(x0)是极大、极小值的方法(略))3．例题与练习讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写的格式．(结合例1展示利用导数求函数极值的步骤(略))练习1 教科书第136页练习第(1)、(2)题．请两名学生上讲台板演，其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后，展示老师的解法、书写和图形．说明：导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．(展示此函数的图形)例2 求y＝(x2－1)3＋1的极值．(教科书上例2，解略)讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非充分条件．</PGN0134A.TXT/PGN>练习2 教科书第136页练习第(3)、(4)题．补充例题1 函数f(x)＝|x|，在x＝0处函数极值的情况是[ ]A．没有极值B．有极大值C．有极小值D．极值情况不能确定解：当x＞0时，f(x)＝x，知f′(x)＝1＞0；当x＜0时，f(x)＝－x，知f′(x)＝－1＜0；当x＝0时，f(x)＝0，且f′(x)不存在．知x＝0是此函数的极小值点，应选C．展示函数的图象，着重说明：函数的不可导点也可能是极值点．可知x＝1时，f′(x)＝0；而x＝0和x＝2时，f′(x)不存在．由x＝0、x＝1、x＝2三点将定义域分成四个区间，列表：函数f(x)有极小值f(0)＝0，f(2)＝0，有极大值f(1)＝1．展示函数的图象．着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．4．归纳小结(1)可微函数的极值与其导数的关系．第一，函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．第二，点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．点是极值点的必要条件是在这点的导数为0．第三，函数的不可导点也可能是极值点．(2)求解函数极值的步骤是：第一，确定函数的定义域；第二，求方程f′(x)＝0的根；第三，用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并列成表格；第四，由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．课外研究题注：此题是上节“课外研究题2〞的变式，解题思路可作调整．f′(x)＜0，－1＜x＜0时f′(x)＞0，知f(0)＝0是此函数的极大值．知f(x)在x＞－1时f(x)≤0．同理可证g(x)＝ln(1＋x)－x在x＞－1时g(x)≤0．综上获证．。
高中数学极限教案
高中数学极限教案
教学内容：极限的概念及运算法则
教学目标：
1. 了解极限的概念，掌握极限的定义；
2. 掌握求极限的常用方法，如代入法、夹逼定理等；
3. 能够熟练运用极限的运算法则，解决相关题目。
教学重点：
1. 极限的定义及性质；
2. 极限的计算方法。
教学难点：
1. 运用夹逼定理求极限；
2. 掌握极限的运算法则。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
通过回顾前几节课的内容，引导学生了解极限的基本概念及性质。
二、新知讲解（15分钟）
1. 讲解极限的定义及性质；
2. 介绍极限的运算法则：四则运算法则、三角函数的极限、指数函数的极限等。
三、示例演练（20分钟）
1. 通过几道例题，让学生熟悉求极限的常用方法；
2. 演示如何运用极限的运算法则解题。
四、练习巩固（15分钟）
布置一定数量的练习题，让学生独立完成，并及时纠正错误。
五、课堂总结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，强调学生应掌握的重点和难点。
教学反思：
1. 学生是否能够理解极限的定义及性质；
2. 学生是否能够熟练运用极限的运算法则解题；
3. 教学过程中是否能够引导学生主动思考及互动讨论。
教学扩展：
可以通过拓展练习或应用题，加深学生对极限概念的理解及掌握。
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则(二)
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则（二）高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则（二）一、引言在上一篇文章中，我们学习了极限的运算法则的基本概念和常用方法。
本篇文章将继续讨论极限的运算法则，并引入洛必达法则，通过具体的例子和练习来加深理解。
二、乘法法则和除法法则1. 乘法法则当两个函数的极限存在时，它们的乘积的极限等于两个函数的极限的乘积。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)g(x)]=AB。
【示例】求lim(x→2)(x^2+3x-10)。
解：根据乘法法则，lim(x→2)(x^2+3x-10)=lim(x→2)(x-2)(x+5)。
当x→2时，(x-2)(x+5)→0×7=0。
所以，lim(x→2)(x^2+3x-10)=0。
2. 除法法则当两个函数的极限存在时，它们的商的极限等于两个函数的极限的商，其中除数不为0。
即若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B（B≠0），则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。
【示例】求lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)。
解：根据除法法则，lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=[lim(x→1)(x+1)]/(lim(x→1)(x-1))。
当x→1时，分子和分母分别趋于2和0，所以lim(x→1)(x+1)/(x-1)不存在。
三、洛必达法则1. 洛必达法则的引入当我们遇到一些特殊的极限形式时，如果直接套用极限的运算法则并不能得到准确的结果，我们需要使用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们解决一些“0/0”或“∞/∞”的不定型极限。
2. 洛必达法则的表述设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域内可导，且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)g(x)=0或±∞，若lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]存在且不为无穷大，则有lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)[f'(x)/g'(x)]。
人教课标版高中数学选修1-1《函数的极值与导数》教学设计
3.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1．核心素养通过学习函数的极值与导数，形成基本的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力，并依据运算法则解决数学问题．2．学习目标（1）理解函数极值的概念．（2）理解函数极值与导数的关系．（3）掌握求函数极值的方法，并能应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断函数零点的个数等问题．3．学习重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．4．学习难点函数在某一点取得极值的必要条件与充分条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近点的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近点的最低点.假设如图是群山中各个山峰的一部分图像，观察如图中P 点附近图像从左到右的变化趋势，P 点的函数值以及点P 位置各有什么特点.想一想：图中P 点，Q 点的函数值与其附近的函数值有何关系？任务2预习教材P93—P96，完成P96相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1.已知0)(0='x f ，则下列结论中正确的是( )A.0x 一定是极值点B.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极大值C.如果在0x 附近的左侧0)(0>'x f ，右侧0)(0<'x f ，那么)(0x f 是极小值D.如果在0x 附近的左侧0)(0<'x f ，右侧0)(0>'x f ，那么)(0x f 是极大值解：B 直接根据极值概念判断,也可画出图象进行分析 .2.函数23bx ax y +=取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和31，则( ) A.02=-b a B.02=-b a C.02=+b a D.02=+b a解：D bx ax y 232+='，据题意，0和31是方程0232=+bx ax 的两根,∴3132=-a b ，∴02=+b a . 3.若函数m x x y ++-=236的极大值为13，则实数=m .解：19- x x y 1232+-='，由0='y ，得0=x 或4=x ，容易得出当4=x 时函数取得极大值,所以1342643=+⨯+-m ，解得19-=m .4.若kx x y +=3在R 上无极值，则k 的取值范围为 .解：),0[+∞ k x y +='23，∵kx x y +=3在R 上无极值，∴0≥'y 恒成立，∴),0[+∞∈k .（二）课堂设计1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵函数的导数与函数的单调性的关系.⑶用导数求函数单调区间的步骤.2．问题探究问题探究一 函数极值的概念 ★●活动一 探求新知如图观察，函数)(x f y =在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？如：以d 、e 两点为例，函数)(x f y =在点d x =处的函数值)(d f 比它在点d x =附近其他点的函数值都小；函数)(x f y =在点e x =处的函数值)(e f 比它在e x =附近其他点的函数值都大.探究：)(x f y =在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f(x)的导数的符号有什么规律？0)(='d f ，在d x =的附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ；0)(='e f ，在e x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .得出新知1．极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．(3)极值点与极值极小值点 、极大值点 统称为极值点， 极小值 和 极大值 统称为极值（extreme value ）． 说明：（1）极值反映了函数值在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．（2）极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷” ．2．理解极值概念的注意点（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．（2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．（3）若函数)(x f 在],[b a 内有极值，那么函数)(x f 在],[b a 内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．（4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极大值与极小值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．（5）若函数)(x f 在],[b a 上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． ●活动二 想一想：怎样根据函数图像确定极值？由图像确定极大值或极小值时，需要关注图像在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点.若图像由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点的函数值比它附近的点的函数值都大，因此是极大值；若图像由“下降” 变为“上升” ，则在该点附近，该点的位置最底，即该点的函数值比它附近的点的函数值都小，因此是极小值.问题探究二 函数极值与导数的关系 ●活动一阅读教材P95，结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是其导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点， 举例如下：（1）导数值为0的点是极值点：2)(x x f =，0)0(='f ，0=x 是极小值点；（2）导数值为0的点不是极值点：3)(x x f =，0)0(='f ，0=x 不是极值点；（3）不可导点是极值点：||)(x x f =，当0=x 时，不可导，是极小值点；（4）不可导点不是极值点：31)(x x f =，当0=x 时，不可导，不是极值点.●活动二结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：导数为零是该点为极值点的什么条件？ 导数值为0的点只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号. 即可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件是：（1）必要条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的必要条件是0)(0='x f .（2）充分条件：可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值的充分条件是)(x f '在0x x =两侧异号． 因此导数等于零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零，导数为零是某点为极值点的必要不充分条件.●活动三结合函数2)(x x f =与函数3)(x x f =的图像思考：单调函数有极值吗？有极值的函数单调吗？单调函数没有极值，有极值的函数不单调.问题探究三 函数极值的求解步骤 ●活动一阅读教材P94的例4，根据例4及函数极值的概念归纳出求函数)(x f y =的极值的步骤．1．求函数)(x f y =的极值的方法解方程0)(='x f ，当0)(0='x f 时：(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是 极大值 ．(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是 极小值 ．2．求可导函数)(x f y =的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；(2)求方程0)(='x f 的根（可能不止一个）；(3)用方程0)(='x f 的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，可将x ，)(x f '，)(x f 在每个区间内的变化情况列在同一表格中．检测)(x f '在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值．(4)求出极值．●活动二 初步运用，运用导数求函数的极值例1 已知函数119)(23+--=x ax x x f 且12)1(-='f ．⑴求函数)(x f 的解析式；⑵求函数)(x f 的极值．【知识点：函数极值的求法；数学思想：数形结合】详解：⑴∵923)(2--='ax x x f ，又12923)1(-=--='a f ，∴3=a ．⑵由⑴得：)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，当31>-<x x 或时，0)(>'x f ，当31<<-x 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在)1,(--∞，),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数，∴函数)(x f 的极大值为16)1(=-f ，极小值为16)3(-=f ．点拨：求可导函数)(x f y =的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数)(x f '；⑵解不等式0)(>'x f 得增区间，解不等式0)(<'x f 得减区间，再判断0)(='x f 的解左右)(x f '的正负得极值点；⑶求出极值．●活动三 对比提升，根据极值求参数例2 若函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值10，试求a ，b 的值．【知识点：根据极值求参数】详解：∵b ax x x f ++='23)(2，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+++==++='114101)1(023)1(2b a a b a f b a f 或⎩⎨⎧=-=33b a ，但当⎩⎨⎧=-=33b a 时，0363)(2≥+-='x x x f 恒成立，故)(x f 在R 上单调递增，不可能在1=x 处取得极值，∴不合题意，舍去；而当⎩⎨⎧-==114b a 时，经检验知符合题意，故4=a ，11-=b ．点拨：已知函数的极值，求参数问题的解题步骤：求函数的导数)(x f '；⑵由极值点的导数为0，列出方程（组），求解参数．⑶当求出参数多于一组解时，一定要验证是否满足题目的条件．●活动四 综合应用，函数的极值与零点问题例3 设函数)()(2R a e ax x f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，求实数a 的值范围．【知识点：根据极值求参数的范围；数学思想：转化与化归、数形结合】详解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，显然0x =不是此方程的解，方程可变形为2x e a x =-，问题转化为直线y a =与函数()2xe g x x=-的图象有两个交点．2(1)'()2x e x g x x-=-，当0x <时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x >，当01x <<时，'()0g x >，()g x 递增，且()0g x <，当1x >时，'()0g x <，()g x 递减，且()0g x <，所以1x =时，()g x 取极大值(1)2e g =-，又当x →+∞时，()g x →-∞，又当0x →+时，()g x →-∞，因此当(1)2e a g <=-时，直线y a =与函数()2x e g x x =-的图象有两个交点．另解：'()2x f x ax e =+，由题意20x ax e +=有两解，即2x e ax =-，问题转化为直线2y ax =-与函数x y e =的图象有两个交点，作函数x y e =图象，设直线y kx =与函数x y e =的图象相切，切点为00(,)x y ，x y e =的导函数为'x y e =，则0x e k =，00000x x y e k e x x ===，解得01x =，即切点为(1,)e ，此时k e =，作直线2y ax =-，由图象知直线与2y ax =-函数x y e =图象有两个交点时有2a e ->，即2e a <-． 点拨：利用求函数极值的方法确定方程解的个数时，要根据所求极值，画出函数的大致图像，运用数形结合的思想求解.3．课堂总结【知识梳理】数学知识：(1)函数极值的概念以及极值的判定方法．(2)求解函数)(x f y =极值的步骤:①)确定函数的定义域，求导数f ′(x ) （养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）；②求方程)(x f '=0的根； ③检查)(x f '在方程)(x f '＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。
人教版高中数学(理科)选修函数的极限教案
函数的极限【考点透视】一、考纲指要1．极限的概念及其渗透的极限的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具．深入地理解函数极限的概念．2．函数极限的四则运算法则，能正确熟练地求某些函数的极限．3．了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值的性质．4．掌握两个重要的极限，并能利用它解决有关问题．二、命题落点1．此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主。
应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限，如例1．2．利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算，如例3、例5．3．利用两个重要极限求函数的极限：⑴0sin lim 1x x x →=；⑵1lim(1)x n e x→∞+=或10lim(1)x n x e →+=．如例2．4．函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.如例4．【典例精析】例1：（1996·上海理）)2144(lim 22---→x x x = . 解析： 本题考查函数极限的定义．原式=41)21(lim 42lim )4244(lim 222222-=+-=--=-+--→→→x x x x x x x x x . 答案：－41 例2：（2000·上海）计算n n n n )2(lim +∞→=_____. 解析：运用重要极限1lim(1)n n e n→∞+=或10lim(1)n n n e →+=．22222})]22(1{[lim )221(lim )2(lim -+-+-∞→∞→∞→=+-+=+-=+e n n n n n n n n n n n n . 答案：e －2例３：已知函数2()lim 2n nn nn x f x x →∞-=+，试求： （1）()f x 的定义域，并画出图像；（2）求22lim (),lim ()x x f x f x -+→-→-，并指出2lim ()x f x →-是否存在。
高二数学人教版函数的极限教案
高二数学人教版函数的极限教案【高二数学人教版函数的极限教案】一、教学目标：1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握求函数的极限的基本方法；3. 能够运用函数的极限解决实际问题。
二、教学重点与难点：1. 理解函数极限的概念；2. 运用极限的基本性质求解函数的极限；3. 运用函数的极限解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：教案、教材、多媒体设备；2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
四、教学过程：Step 1 引入（15分钟）教师通过提问和实例引导学生理解极限的概念，例如：1. 当变量 x 在无限接近某一值时，函数 f(x) 的值是否也趋于某一确定的值？为什么？2. 如何判断一个函数在某一点是否具有极限？Step 2 概念解释与例题演示（30分钟）教师对函数的极限的定义进行详细解释，并通过几个例题演示求解函数的极限，包括：1. 极限的定义：函数 f(x) 的极限为 L，表示当 x 趋近于某一值时，f(x) 的值越来越接近 L；2. 求函数极限的基本方法：代入法、夹逼准则、无穷小量比较法等。
Step 3 练习与拓展（30分钟）学生进行小组讨论和个人练习，解决一些典型的函数极限问题，并尝试运用极限解决一些相关的实际问题。
Step 4 归纳总结（15分钟）教师引导学生归纳总结函数的极限的性质和基本方法，并帮助学生关联相关知识，如导数的概念和应用等。
Step 5 探究拓展（30分钟）学生通过探究性学习的方式，进一步拓展函数极限的应用场景，并尝试解决一些较为复杂的函数极限问题。
五、教学拓展：1. 学生可以通过阅读相关优秀数学论文和文献，了解函数的极限的深入理论和应用；2. 学生可以应用函数的极限理论进行数学建模和实际问题的解决。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数的极限有了初步的了解，掌握了求解函数极限的基本方法，并能够应用函数的极限解决实际问题。
对于拓展性的学习需要进一步引导学生主动思考和探索，培养他们的数学建模能力和创新思维。
函数的极限运算教案
函数的极限运算教案一、引言函数的极限是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质和计算函数的变化趋势等问题有重要的作用。
本教案将从定义、性质和运算等方面系统地介绍函数的极限运算，帮助学生全面理解和掌握这一概念。
二、定义和记法1. 函数的极限定义：对于函数f(x)，当自变量x趋向于某一实数a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε（无论ε有多么小），总能找到一个正数δ（对应于ε），使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限是L。
记作：lim(x→a)f(x) = L2. 函数的单侧极限：当函数f(x)在a点的邻域内只有一个方向的极限存在时，称其为单侧极限。
分别表示为：lim(x→a+)f(x) 和lim(x→a-)f(x)3. 极限的无穷性：当x趋向于±∞时的极限称为无穷极限，分别表示为：lim(x→∞)f(x) 和lim(x→-∞)f(x)三、函数极限的性质1. 极限的唯一性：函数的极限如果存在，那么极限值唯一。
2. 极限的局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的某个邻域内极限存在，那么f(x)在该邻域内有界。
3. 四则运算法则：若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)分别存在，则有以下运算法则：a) 两个函数的和的极限等于极限的和：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)b) 两个函数的差的极限等于极限的差：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)c) 两个函数的乘积的极限等于极限的乘积：lim(x→a)(f(x) * g(x)) = lim(x→a)f(x) * lim(x→a)g(x)d) 一个函数的极限与另一个函数的商的极限的商等于极限的商（假设分母的极限不为0）：lim(x→a)(f(x) / g(x)) = lim(x→a)f(x) /lim(x→a)g(x)4. 复合函数的极限：若lim(x→a)f(x) = L，lim(y→L)g(y) = M，则有以下复合函数的极限关系：lim(x→a)g(f(x)) = M四、极限运算的计算方法1. 直接代入法：当函数在极限点处有定义时，可以通过将极限点代入函数来计算极限值。
高数极限的运算法则教案
课题名称极限的运算法则授课时间授课地点授课课型讲授学时安排2学时教学目标知识目标：掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限能力目标：能够熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的素质目标：培养学生的数学的思维和数学兴趣教学重点会利用函数极限的运算法则求函数的极限教学难点函数的极限的运算法则。
教学方法教法：以讲授为主，师生互动、习题训练为辅学法：讲练结合教学资源PPT、教学过程教学环节教学内容师生活动教学资源复习旧课5’导入新课5’一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）2、函数的左右极限。
（理解）二、导入新课在学习了函数极限的概念后，我们返现有些函数的极限可以利用观察法直接得到，如（1）函数xxf1)( 的图形。
提问、复习讲授新课启发式教学提问式教学PPT讲授新课20’（2）观察函数当时的极限。
（3）观察函数当时的极限。
但是对于比较复杂的一些极限问题，就没办法直接通过观察法得出，所以还要研究极限的运算法则。
三、讲授新课极限的运算法则（熟记）设则有（1）极限的可加（减）性；（2）极限的可乘性；（3）极限的可除性。
根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。
推论1 常数可以提到极限号前，即CAxfCxCf==)(lim)(lim。
推论2若m为正整数，则[]mmm Axfxf==)]([lim)(lim。
注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。
常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因对比教学法小组讨论法例题讲述20学生练习教师点评25’子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。
四、例题讲述例1：求极限解：例2：222234lim3xx xx→-+-解：因为时，分母的极限不为0，所以222234lim3xx xx→-+-=2222lim234lim3xxx xx→→-+-（）（）=2222222lim2lim3lim4lim lim3x x xx xx xx→→→→→-+-=2222222lim2lim lim lim3lim4lim lim3x x x x xx xx x xx x→→→→→→→-+-=例3：求极限.解：.例4：求极限.解：当时，分子、分母的极限均不存在(为无穷大)，不能直接使用极限运算法则.注意到时,所以可用除分子与分母，然后再求极限，即五、课堂演练练习1：求下列函数的极限（1）444lim222-+-→xxxx；（2）hxhxh22)(lim-+→；（3）213lim2xxx→+-；（4）3232231lim532xx xx x→∞-++-；讲练结合。
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则极限是高等数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握极限的概念和相关运算法则，本教案将系统地介绍极限的运算法则，并引入洛必达法则，以帮助学生更深入地理解极限的计算方法。
一、极限的基本概念回顾在开始介绍极限的运算法则之前，我们先回顾一下极限的基本概念。
在高中数学中，极限一般用符号“lim”表示，表示当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的稳定趋势。
极限有左极限和右极限之分，分别表示从左侧和右侧逼近某个特定值时的函数取值趋势。
二、极限的运算法则1. 基本的四则运算法则对于两个函数的和、差、积和商，我们可以通过分别对两个函数的极限进行运算来得到结果函数的极限。
具体而言，如果函数f(x)和g(x)在某一点a的附近均有定义，且lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)均存在，则有以下公式：- 和的极限：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)- 差的极限：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)- 积的极限：lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)- 商的极限：lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) （前提是lim(x→a)g(x)≠0）2. 复合函数的极限法则对于复合函数，我们可以将其视为两个函数的复合。
如果函数f(x)在点a的附近有定义，并且lim(x→a)f(x)存在，且函数g(x)在lim(x→a)f(x)的附近有定义，则可以得到以下运算法则：- 复合函数的极限：lim(x→a)g[f(x)] = lim(x→a)g(u) （其中，u = lim(x→a)f(x)）三、洛必达法则洛必达法则是一种在计算极限过程中特别有用的工具。
人教版高中数学(理科)选修极限的四则运算2课件
x px 2 q ，求 p q 的值。 练习：已知 lim x 2 x2
2
(p =3,q =-1,pq =-3)
三、极限在无穷等比数列中的应用
1.无穷等比数列（|q|＜1）的各项和
2 n1 a , a q , a q , , a q , (|q|＜1) 对于数列 1 1 1 1
1 0 3 1 ; 1 0
x3 1 3 1 2 x lim x 3 1 1 3 x 3 lim 1 2 x x 3 1 lim 1 3 x x
1 0 3 1 ; 1 0
x 3
lim
x2 3 x3 1
≠
x
lim
x2 3
3
x3 1
∴
lim
x2 3 x3 1
x 3
不存在。
例2 求极限：
x x 1 1) lim 4 x 2 x x 2
3
2) lim( x 1 x 1)
2 2 x
x x 3) lim( 2 ) x lim( ) 2 1 sin x x
2
sin x lim( ) x 1 sin x
2
提示：（1）分子有理化。 （2）通分。
2
lim （sin x）
x
2
lim （ 1 sin x）
x
sin x sin x ) 1 （3）原式 lim ( 2 2 cos x cos x x 2 2
x 8
lim
1 x 3 3 x 2
3
2
lim
( 1 x 3)( 1 x 3)( x 2 x 4) ( x 2)( x 2 2 x 4)( 1 x 3)
人教版高中数学(理科)选修函数的极限1
函数的极限教学目标(一)教学知识点1.数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n－a|无限地接近于0)，它有两个方面的意义.2.ε—N定义定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a，要深刻理解|a n－a|能任意小，并保持任意小.对于ε的理解它既具有任意性又具有相对的固定性.3.定义法求简单数列的极限.(二)能力训练要求※1.掌握数列极限的ε—N的定义.※2.会用ε—N，求数列的极限.(三)德育渗透目标1.培养学生有限与无限、精确与近似、量变与质变的辩证关系.2.培养学生数形结合、极限的数学思想方法和灵活应变的解题能力，培养学生学会利用定义解题.3.通过“割圆术〞的介绍，培养学生的爱国主义精神和弘扬中华民族优秀文化的精神.教学重点理解数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大，数列的项a n无限地趋近于某个常数a〞的意义有两个方面：一方面，数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的，即随着n的增大a n越来越接近于a；另一方面，a n不是一般地趋近于a，而是“无限〞地趋近于a，即|a n－a|随n的增大而无限地趋近于0.理解数列的极限的ε—N的定义是定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a.对于预先指定的任意小的正数ε，都存在一个正整数N，使得只要n＞N，就有|a n－a|＜ε.教学难点数列的极限的ε—N定义的理解，这个定义具有一定的抽象性.数列{a n}的极限为a，意味着当n无限增大时，|a n－a|能任意小，并保持任意小.这就是说，对于预先给定的任意小的正数ε，都可以找到相应的N，当n＞N时，|a n－a|比ε还要小，即{a n}中第N项以后的所有项都保持|a n－a|＜ε.利用数列的极限的定义求数列的极限的步骤是：求|a n－a|的解析式(关于n)→求解关于n的不等式|a n－a|＜ε(ε是任意给定的小正数)n＞n0→取n0的整数部分作为N→由定义得出∞→n lima n =a .教学方法建构主义理论指导教学法. 教具准备 准备三X 幻灯片 第一X ：(记作Ａ)作圆的内接正六边形，再平分每条边所对的弧，作圆的内接正十二边形；用同样的方法继续作圆的内接正二十四边形，正四十八边形，…….问题1：随着边数的不断增加，圆内接正多边形圆，圆内接正多边形的周长也圆的. 问题2：设圆的半径为R ，圆内接正三角形，正四边形，…，正n 边形…的周长组成数列，P 3，P 4，P 5，P 6，…，P n ，….通项P n 的公式是什么：即P n =.当n 无限增大时， P n 是否应无限呢？第二X ：(记作Ｂ)请观察以下数列，随n 变化时，a n 是否趋向于某一个常数：(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101第三X ：(记作Ｃ)Ⅰ.课题导入［师］高一上学期我们学习了数列的有关概念、数列通项公式的求法，仔细研究了两个重要的数列——等差数列，等比数列.打出幻灯片A ，让同学们解决以下问题：［师］按影片上的要求，我们再画出正二十四边形，正四十八边形，…，从直观上看，随着边数的不断增加，圆内接正多边形与圆的关系？正多边形的周长与圆周长的关系是什么？［生1］正多边形越来越接近(逼近、趋近)于圆；圆内接正多边形的周长也就越来越接近(逼近、趋近)于圆的周长.［师］设圆的半径为R ，圆内接正三角形、正四边形、正五边形、…，正n 边形的周长所组成的数列P 3，P 4，P 5，…，P n ，….那么通项公式P n =.［生2］P 3=3·2R sin R333=π，P 4=4·2R sin R244=π，P 5=2R sin 5π×5=10R sin 5π，…，P n =n ·2R sin n π.［师］由图形可以直观看出当n 趋向无限大时，P n 就无限地趋向于什么呢？ ［生3］P n 无限地趋向于2πR .［师］这也是数列的另一个重要方面，今天我们就来学习研究数列的另一个侧面：随n 变化时，a n 是否趋向于某一个常数(虽然“趋向于〞并没有确切定义，但是同学们能感觉是什么意思——由“粗〞到“细〞.板书：研究数列a n 随n 变化时是否趋向于某一个常数) Ⅱ．讲授新课打出幻灯片B ，请同学们观察以下数列，随n 变化时，a n 是否趋向于某一个常数：(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101.大部分学生在观察、思考，有的在草稿纸上写、画，有的在一起共同讨论.(几分钟以后)教师：“第一个数列a n =n n 12+趋向于一个常数吗？〞几乎全体学生：“趋向于2〞(板书：(1)n →∞，a n →2).“第二个呢〞“趋向于3〞(板书：(2)n →∞，a n →3).［师］(小结)数列(1)中，a n 趋向于2；数列(2)中，a n 趋向于3. “第三个数列a n =4·(－1)n －1趋向于一个常数吗？〞 ［生4］n 为奇数时趋向4，n 为偶数时趋向于－4. ［生5］不趋向于任何常数.持这两种观点的学生在一起激烈地争论.经过短暂的探讨，形成了一致的结论，学生一致认为：它一会儿是4，一会儿是－4，不趋向于一个固定的常数.［师］噢，原来它是一个“朝三暮四〞的数列.不“朝四暮负四〞的数列. 学生大笑，课堂气氛十分和谐、宽松.［师］第四个数列a n =2n ，它是否趋向某一个常数呢？ ［生6］数列a n =2n ，趋向于+∞.几乎有80%的同学都认为这是对的，但也有几个学生提出质疑，或在位子上直摇头. ［生7］(突然站起来)数列a n =2n 不趋向于+∞，实质上+∞不是一个具体的固定的常数. ［生6］站起来(反驳)+∞是一个很大很大的数，是一个要多大有多大的数.［生7］(也不甘示弱，同时生7的支持者也参与声援)，一个要多大有多大的数，那么究竟是什么样的固定常数呢？你们能找出来吗？或者讲，能确定这个数吗？［生6］(思考片刻后)不能，但好像应该存在.［师］(小结)大家争论得很好,你的思维能力就是在思维火花碰撞中发展起来的,“‘+∞’不是一个确定的数，是用来描述变量状态的.〞这一次是真理掌握在少数人的手中.课堂中，学生热烈鼓掌，异常兴奋.［师］第五个数列a n =3是否趋向某一个常数呢？这时学生中又出现很大的分歧.80%的学生认为不趋向于3，认为它就是3，谈不上趋向不趋向于3.还是形成两种观点的激烈辩论.［生8］刚才大部分学生没有把数列看成函数，根据数列的定义，它可以是一个特殊的函数.而a n =3表示一个常量函数，不论n 取何值，a n 都是3，也就是常数为3.(板书：n →∞时，a n →3)此时学生都认为［生8］的解释是完全正确的，大家齐为她鼓掌，该生在掌声中微笑，从掌声中体验到成功的乐趣.［师］第六个数列a n =n n 2)1(1--是否趋向于某一个常数？ ［生9］数列a n =n n 2)1(1--趋向于零.(板书：n →+∞时，a n →0)［师］它是怎样趋向于零的呢？ ［生9］像阻尼振动一样，振幅越来越小. ［师］能靠上零吗？ ［生9］不能.［师］这个“运动〞会停止吗？ ［生9］不会.［师］第七、第八两个数列是否趋向于某一个常数？［生10］a n =(21)n 趋向于0，a n =6+(101)n 趋向于6(板书n →∞时，a n =(21)n →0，a n =6+(101)n→6).教师小结各数列是否“趋向于〞一个常数的情况.［师］你们认为随着n 的不断变化，数列a n =n n 12+趋向于2.你们的“趋向于〞我还不明白是怎么回事，我想请一个同学来解释一下什么叫“趋向于2〞.［生11］就是无限接近2. ［师］什么叫“无限接近〞？［生11］“就是n 越来越大，a n 与2的差越来越小〞.学生又补充说“就是距离|a n －2|越来越小.〞［师］距离|a n －2|比要小，行不行？(板书：|a n －2|＜0.1) ［生11］行，只要n ＞10即可.［师］距离|a n －2|比要小，行不行？(板书：|a n －2|＜0.01). ［生11］行，只要n ＞100即可.教师打出投影C.从图象上来看a n 与常数的距离越来越小，同时教师也可以借助于电脑来验证一下.这时教室的屏幕上出现数列a n =n n 12+的图象，并同时给出y ，y 的图象，故意给出的n 的取值X 围是1，…，5.图象并不在，2.1)间.［师］数列中的各项并不在，2.1)上，并不靠近2呀. 片刻［生12］：老师，你给出的n 太小了.把n 的X 围设定为11，12…，19时，数列的各项都在区间，2.1)上了.［师］看样子，当n 在(10，20)上时，数列的各项是在，2.1)上了，会不会n 到了(100，120)间，数列中有一项跑出，2.1)呢？把n 的X 围设定为(100，120)，同学们发现数列的各项离2更近了. ［师］你们认为在区间，2.1)上，此数列有多少项？ ［生13］有无限项.［师］有无限项？赞成的请举手(全体学生都举手).再给出|a n －2|＜呢？多少项以后，这个数列的各项就能在区间，2.01)上，大多数同学说100项以后，但有几个同学不假思索就说1000、2000等都可以.［师］对，是100项以后.刚才，我听到几个同学说1000、2000、10000项，你们算了吗？ ［生14］(这类学生的代表)没算.只要有就行. ［师］你们认为他的说法对不对呢？ 学生齐声道：对！［师］对给出的小正数，只要能找到一项，使这一项以后的各项与2的差的绝对值小于就可以了，不必计较大小.(然后，再给出|a n －2|＜，|a n －2|＜，用电脑进行了演示).刚才那几个同学找出1000、2000、10000项的同学在课堂学习中能实事求是回答自己的过程是十分可贵的，有了这种精神和态度，你们不仅数学成绩能大幅度提高，同时你们的优秀品质也正在形成.(教师的人格力量对学生的影响是永远的，教师不仅仅是传授知识，同时也是学生思想工作的第一线工作者).教师一边与学生讨论一边板书，至此，黑板形成的板书是：(1)a n =n n 12+，n →∞，a n →2n ＞N : 10 100 1000 10000 …… |a n －2|＜:0.1 0.01 0.001 0.0001 ……［师］我们把第二行中的数找个代表记作ε，第一行中的数记作N .此时ε代表了，，，，…就是不论给定一个多么小的正数ε(如，，，，……)，都能找到一个自然数N (如10，100，1000，10000，……)，使a N 以后各项与2的差的绝对值|a n －2|都小于ε，即|a n －2|＜ε恒成立.你们的“趋向于1〞是这个意思吗？［生］(齐声回答)是.［师］给出一个ε，都可以找到一个N ，那么ε与N 是什么样的关系呢？ ［生15］N 与ε的关系是通过解关于n 的不等式|a n －2|＜ε找出来的. ［师］你能具体地解一下吗？［生15］(走上讲台，拿起粉笔在黑板上写)|a n －2|＜ε即是n 1＜ε(因为|a n －2|=|n n 12+－2|=|2+n 1－2|=n 1).∴n ＞ε1.这样N =ε1(检验ε，，，时都是正确的).［师］如果ε呢？［生15］也可以，3100000003.01==N ？(片刻)噢，不对，310000不是整数.那就取N =3334，就可以了.(又补充道)或3334以后的任何一个整数都可以作为N .［师］回答很好.究竟N 如何确定呢？［生16］刚才解出n ＞ε1，取ε1的整数部分作为N ，记作N =［ε1］.(同学们一致赞同)教师小结，提出数列极限的定义，请几位同学总结概括，教师与学生共同完成定义(板书)：对于无穷数列{a n }，如果存在一个常数A ，无论预先指定的多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得这一项后面的所有项与A 的差的绝对值都小于ε，即当n ＞N 时，|a n －A |＜ε恒成立，我们把常数A 叫做数列{a n }的极限，记作∞→n lima n =A .也可以写成：当n →∞时，a n→A .这就是数列极限的定义(板书：本节课题数列极限的定义).根据这个定义，我们再来查一下其他几个数列.［师］运用定义说明(3)a n =4·(－1)n －1;(4)a n =2n 为何没有极限？［生17］据第(3)题数列通项取n 的特殊值，一会儿是4，一会儿是－4，不存在常数A .对于第(4)题a n =2n ，也是不存在常数A .［师］“3〞是常数列{a n =3}的极限吗？为什么？［生18］(停顿片刻，原来认为数列a n =3不趋向于某一个常数的代表生8)3是常数列{a n =3}的极限.［师］对，数列{3}的极限就是3，这符合数列极限的定义吗？［生18］符合数列极限的定义.因为|a n －3|=|3－小于任何一个小正数ε，即对任意给定的小正数ε，都可以找到一项a N (N =1)，使得从这一项开始以后的所有项a n ，都满足|a n －0|＜ε恒成立.对于这个数列，第一项开始就满足.［师］回答很好.常数列的极限就是这个常数本身，你们赞成不赞成？ 生齐声回答：赞成！ Ⅲ.例题分析例(课本P 65例1)考查下面的数列，写出它们的极限：(1),1,,271,81,13n ;，，，…，7－n105，…; (3) ,)2(1,,81,41,21n---.［师］求数列的极限，可以归为前面我们常见的几道题型中去.然后再利用定义直观判断. 此题的知识点：极限的定义.［生19］(1)数列{31n }的项随n 的增大而减小，但大于0，且当n 无限增大时，31n 无限地趋近于0.因此，数列{31n }的极限是0.事实上，|a n －0|=|31n －0|=31n ，对于给定任意小的正数ε，都能找到N ，使得当n ＞N 时，|a n －0|＜ε恒成立，此题N =［31ε］.［生20］(2)数列{7－n 105}的项随n 的增大而增大，但小于7，且当n 无限增大时，7－n105无限地趋近于7.因此，数列{7－n105}的极限是7.［生21］(3)数列{n)2(1-}的项正负交替，随n 增大其绝对值减小，但不等于0，并且当n 无限增大时，n )2(1-无限地趋近于0.因此，数列{n)2(1-}的极限是0.Ⅳ.课堂练习 1.选择题(1)命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的选项是( )A.0B.1(2)数列{a n }的极限为a 的意义为( )A.当n 无限增大时，|a n －a |能任意小，并保持任意小.B.当n 无限增大时，a n －a 单调递减C.当n 无限增大时，|a n －a |能取到零D.当n 无限增大时，|a n －a |必能取到零 (3)以下数列，不存在极限的是…( )A. ,)1(,,271,81,131n n --- B. ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n nC.－1，1，－1，1，…，(－1)n ，…D.,1,,34,23,2n n +答案：(1)B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n 1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n 21可以任意小.应选B.(2)A.由极限的定义知应选A.对于B 、C 、D 可以举反例：a n =n n 2)1(1--它的极限是0，但a n －a =n n 2)1(1--是一个摇摆的数列，故排除B.当n 无限增大时，|a n －a |=n 21永远不能为0，故排除C 、D.(3)C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1.2.将以下数列的前n 项分别在数轴上表示出来，并根据图形，“估计〞它们的极限值.(1){n 1}；(2){1－n21};(3)a n =(－1)n ·n 1;(4)a n =(－1)n －1·2.解：(1)lim =∞→n n a(2)估计：a n 的极限为1(3)估计：a n 的极限为0 (4)a n 的极限不存在.3.数列的通项公式是a n =1+n n，那么该数列{a n }在第项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.解：|a n －1|=|1+n n －1|=1000111<+n∴n ＞999. 故N =999.第999项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.4.举一个无穷递增数列、无穷递减数列、无穷摇摆数列，使它们的极限均为2.解：单调递增数列：a n =2－n 1，a n =2－n21，…单调递减数列：a n =2+n 1，a n =2+n 21，…摇摆数列：a n =2+(－1)n n 1，a n =2+(－1)n ·n 21，…师：(解题回顾)本套课堂练习题着重是考查学生对数列极限定义的直观地认识和领悟，并能会用ε—N 的定义求数列的极限.同时定义法解题是解题策略中最常见的方法，美籍·匈牙利数学家G ·波利亚说过：让我们回到定义去吧！Ⅴ．课时小结本节学习了数列的极限的定义，经历两个阶段的演变，第一阶段是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力，例如第二X 幻灯片中的8个小题，数列是否趋近某一个常数，而这个定义不是很科学的，我们如何进行量化呢？于是进入了第二个阶段，数列的极限的ε—N 的定义，这个定义的产生过程是由直观概括，通过图象演示，引入距离|a n —A |来刻划它们项与该数A 的相距问题，经过我们大家的共同努力，终于得出了数列的极限的科学的定义.Ⅵ.课后作业1.选择题(1)数列{a n }的极限为a 可理解为：①随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于常数a ;②数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，随n 的增大a n 越来越接近于a ；③a n 无限地趋近于a ，|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0.以上命题正确的个数为( )A.0B.1答案：D (2)数列a n =n n )1(-中，如果预先给定的正数ε=3101存在正常数N ，使得只要正整数n ＞N时，就有|a n －0|＜ε，那么正常数N 的最小值为( )4 B.103 4－3－1答案：B2.填空题(1)数列41,0,31,0,21,0,1，…的极限为. 答案：0(2)数列412,,37,25,3+n ，…，那么|a n －2|=，第项以后的所有项都满足|a n －2|＜1001.答案：n 11003.考察数列，，，…，2+n 101，…它的极限是什么？说明理由.答案：设第n 项为a n =2+n 101，|a n －2|=n 101，对于任意给定的小正数ε，|a n －2|＜ε，即n 101＜ε.∴10n ＞ε1，∴n ＞lg ε1=－lg ε.取N =［－lg ε］.∴当n ＞N 时，|a n －2|＜ε恒成立，∴a n 的极限为2，即2)1012(lim =+∞→n n .板书设计。
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函数极限的运算法则
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o
==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.
二 、新课讲授
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o x x x x →→= n x x n x x x f x f o
o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求)3(lim 2
2x x x +→
例2 求1
12lim 231++-→x x x x
例3 求4
16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.
例4 求1
33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2
x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k
x x ∈==∞→∞→ 例5 求1
342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 21
-→x x ； （2）)132(lim 22
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4
+-→x x x ； （4）14312lim 221-++→x x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
2 函数的运算法则成立的前提条件是函数Λ)(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x
（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x
x x x x x -++→
（7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x
（10）x m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x
x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3
526113lim 221--+-→x x x x x
（16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）32323526lim x x x x x x x ----∞→。