概率论中三个重要分布共19页
概率论与数理统计教程第三章
M p
i
M
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
3.2.3 边际密度函数
第32页
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则
X 的密度函数为 ：
p(x) p(x,y)dy
Y 的密度函数为 ： p(y) p(x,y)dx
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第3页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布， 记为 (X, Y) U (D) .
4/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第20页
四、二维正态分布
若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：
1 p(x,y)
212 12
exp2(112)(x121)2 (y222)2 2(x11)(y22)
记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为： P (X 1 n 1 ,X 2 n 2 ,......,X r n r )= n 1 ! n 2 n ! L !n r !p 1 n 1 p 2 n 2 L L p r n r
解: 由题意得
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。
其在实际中的应用。
关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。
它是一种“定性”类型的概念。
为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。
称这种变数为随机变数。
本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。
定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。
它是一个普通的函数。
成这个函数为随机函数X 的分布函数。
有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。
更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。
称它的分布为离散型分布。
【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。
（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。
称这种随机变数的分布为退化分布。
一个退化分布可以用一个常数a 来确定。
（2）X 可能取的值只有两个。
确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。
如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。
因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。
特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率分布的重要性质
概率分布的重要性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率之间的关系。
概率分布具有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用概率论具有重要意义。
本文将介绍概率分布的几个重要性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、概率分布的归一性概率分布的归一性是指所有可能事件的概率之和等于1。
对于离散型随机变量，概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述，其满足以下性质：∑P(X=x)=1其中，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述，其满足以下性质：∫f(x)dx=1其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
概率分布的归一性是概率论的基本原理之一，它保证了所有可能事件的概率之和为1，使得概率分布具有可解释性和可比较性。
在实际应用中，概率分布的归一性可以用来验证概率模型的合理性，以及计算事件的概率和期望值等。
二、概率分布的期望值概率分布的期望值是描述随机变量平均取值的指标，它是随机变量所有可能取值的加权平均。
对于离散型随机变量，期望值可以用以下公式计算：E(X)=∑xP(X=x)其中，E(X)表示随机变量X的期望值。
对于连续型随机变量，期望值可以用以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
概率分布的期望值是概率论中的重要概念，它可以用来描述随机变量的平均取值，反映了随机变量的集中趋势。
在实际应用中，期望值可以用来计算风险、收益、成本等指标，对于决策和评估具有重要意义。
三、概率分布的方差和标准差概率分布的方差和标准差是描述随机变量取值的离散程度的指标。
方差是随机变量与其期望值之差的平方的期望值，标准差是方差的平方根。
对于离散型随机变量，方差可以用以下公式计算：Var(X)=∑(x-E(X))^2P(X=x)其中，Var(X)表示随机变量X的方差。
概率论与数理统计常用的统计分布
Y X ~ N ( 0 ,1) , 2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
/ n
2
且 Y 与 2 独立，由 t 分布的定义有
X
X
S/ n
/ n (n 1)S 2 / 2
Y S2/n
~ t(n 1)n 1概率论与数理统计 例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X 2,, X 25 为X的一个样本,求: (1) 样本均值的数学期望与方差; (2) P{| X 21| 0.24}.
试估计未知参数 .
解 E(X )
认为可以用 X 代替 E( X )
ˆ X 是的估计量
ˆ x 172.7是的估计值
概率论与数理统计
点估计没有给出估计值接近总体参数程度 的信息；同时，也可以看到, 对于同一个 参数, 用不同的估计方法求出的估计量可 能不相同。
那么那一个估计量好坏的标准是什么?
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
(1) 样本均值的数学期望与方差;
(2) P{| X 21| 0.24}.
P{| X 21| 0.24} P{21 0.24 X 21 0.24}
P{19.76 21 X 21 21.24 21}
0.4
0.4
0.4
( 21.24 21) (19.76 21) 2(0.6) 1
概率论三大分布
概率论三大分布1. 介绍概率论是一门非常基础和重要的数学分支，它对于社会科学、自然科学、工程学等领域都有着重要的应用。
而概率论的三大分布，则是这门学科中最为基础和经典的概率分布。
本文将会介绍概率论的三大分布，并解释它们在不同领域的应用及实例。
2. 正态分布正态分布又称为高斯分布，是最为常见和典型的概率分布。
在自然界中，千变万化的现象几乎都有很强的正态分布倾向。
例如人的身高、智力分数、温度变化等等，都能够用正态分布来描述。
正态分布的密度函数图呈钟形曲线，其两侧的概率密度逐渐递减，呈现出对称性。
在统计学中，正态分布对于数据的描述和归一化处理非常有效。
许多统计学模型都是基于正态分布推导出来的，如t检验、回归分析等都是基于正态分布的同时，正态分布还有着重要的应用：它是中心极限定理的一个重要实例，即当随机变量很多时，其总和会呈现正态分布。
3. 泊松分布泊松分布是描述在一定时间内随机事件发生的频次的概率分布。
例如在一定时间内交通事故的发生次数、某网站被访问的次数等等，这些都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率密度函数表现出事件发生的非常不稳定性。
在实际中，泊松分布可以用于一些常见的领域应用，如：生物学中的光学场效应、传媒中的新闻报道发生次数、地震学中的地震发生次数、医学中的所研究病人数、管理学中的随机事件数量等等，都可以用泊松分布来刻画。
4. 二项分布二项分布是对于某一二项试验中成功次数的概率分布，其中每次试验独立且成功率相同。
例如在n次抛硬币中，正面朝上的次数服从二项分布。
二项分布概率密度函数图呈现出一条拐角分界的直线，而且随着次数变多，这条拐角分界的密集区域会逐渐向成功概率p的方向移动。
二项分布在现实中的应用体现得比较直观，如：生物学中对于不同品系的性状比较、医学中对于新药的试验、市场研究中对于不同产品的销量预测等等。
在商业领域中，二项分布的应用十分广泛，它可以帮助商家对于市场走向和产品竞争力预测提供重要依据。
概率论与数理统计第四章_几种重要的分布
ξ
0
1
2
3
4
p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
４.２超几何分布（了解）
主要内容： （一）了解超几何分布的概念 （二）了解超几何分布的期望和方差
４.２超几何分布
例１ 某班有学生２０名，其中有５名女同学，今从 班上任选４名学生去参观展览，被选到的女同学数ξ
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 11)n! pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
n
(k 1)n!
n
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
k1 (k 1)!(n k)!
n
n!
n
pk (1 p)nk
n!
pk (1 p)nk
k2 (k 2)!(n k)!
解 可以取０,１,２,３这４个值。
P(
=k)=
C3k
C4k 17
C420
(k=0,1,2,3,)
列成概率分布如下
ξ
0
1
2
3
p 0.4912 0.4211 0.0842 0.0035
定义４２ 设Ｎ个元素分为两类，有Ｎ１个属于第一类， Ｎ２个属于第二类（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。从中按不重复抽 样取n个，令ξ表示这n个中第一（或二）类元素的个数，
k1 (k 1)!(n k)!
n2
n1
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l nCnj1 p j1(1 p)n1 j
l0
j0
n2
n(n 1)Cnl 2 pl2 (1 p)n2l l0
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
概率论与数理统计几种重要的分布
二、二项分布
例1、一批产品的合格率为0.9,重复抽取三次, 每次一件, 连续3次,求3次中取到的合格品件数 X的分布.
如果在一次试验中,事件A成功的概率为 p(0 p 1), 则在n重贝努里试验中事件 A成功的次数 X的分布为 :
P(X
k)
C
k n
pkqnk .
1、定义 X ~ B(n, p)
P(X
k)
C
k 3
C 4 17
k
C
4 20
(k 0,1,2,3)
1、定义 X ~ H (n, M , N )
设N个元素分为两类,
其中N
1个属于第一类,
N
个属于
2
第二类, 从中不放回抽取n个, 令X表示这n个中第一类
元素的个数,则称X的分布为超几何分布 :
P(X
m)
C C m nm N1 N N1
若X的分布为P( X
k)
C
k n
pkqnk , k
0,1,, n
其中0 p 1, q 1 p,则称X ~ B(n, p)。
2、数字特征
EX
n
kC
k n
k 0
pkqnk
n
k
k0
n! k!(n k)!
pk q nk
n
n (n 1)!
p p q k 1 (n1)(k 1)
k1 (k 1)! (n 1) (k 1) !
kkekxpk01只有两个互逆结果的n次独立重复试验n1pmin10nmllkccckxpnnknnmkm10211kppkxpk无穷次伯努利试验中a首次发生的试验次数对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数一均匀分布1定义
三大分布及正态总体统计量的分布
泊松分布在统计学中的应用
01
在计数数据分析和可靠性工程中，泊松分布在预测和解释随机 事件发生的频率方面非常有用。
02
在生物统计学中，泊松分布用于描述遗传变异和基因突变的频
率。
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变和粒子碰撞的次数。
03
泊松分布的参数
λ
事件的平均发生率，决定了泊 松分布的形状和规模。
p
每次试验成功的概率，是一 个0到1之间的实数。
k
成功的次数，是一个0到n之 间的非负整数。
04
正态总体统计量的分布
样本均值的分布
1
样本均值是总体均值的无偏估计，其分布近似于 正态分布，当样本量足够大时，样本均值的分布具有对称性，即均值点是其对称 轴，标准差越小，分布越集中，对称性越好。
3
样本均值的标准误是衡量样本均值与总体均值差 异的指标，其计算公式为标准差除以样本量的平 方根。
样本方差的分布
01
样本方差是总体方差的估计量，其分布并不服从正 态分布，而是卡方分布。
02
样本方差的大小与样本量有关，样本量越大，方差 越小；样本量越小，方差越大。
03
样本方差的自由度等于样本量减去1。
二项分布在统计学中的应用
01
可靠性分析
在可靠性工程中，二项分布用于 描述产品在多次试验中失败的次 数。
遗传学
02
03
统计学
在遗传学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的遗传试验中某 基因出现的次数。
在统计学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数。
二项分布的参数
n
试验次数，是一个非负整数 。
正态分布的性质
四大分布简述-心理统计
四大分布简述一、正态分布1. 概述正态分布又名常态分布。
高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差，故很多文献中亦称之为高斯分布。
正态分布是概率论中最重要的分布，并有极其广泛的实际背景，很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
统计学中的三大分布（2χ分布、t分布和F分布）均是由它导出的。
2. 定义如果随机变量X的概率密度为()222(),xμσφx x--=-∞<<+∞则称X服从正态分布，记作2~(,)X Nμσ，其中，μ为随机变量X的数学期望，σ为随机变量X的标准差。
特别地，当0μ=，1σ=时，有22(),xφx x-=-∞<<+∞相应的正态分布(0,1)N称为标准正态分布。
标准正态分布的重要性在于，任何一个普通的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
标准化过程为若2~(,)X Nμσ，则(0,1)XμZ~Nσ-=。
3. 性质和特点1)正态分布的概率密度函数的图像为钟形，关于xμ=对称。
2)标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越高狭；σ越大，曲线越低阔。
3)普遍性：一个变量如果收到大量的独立因素的影响（无主导因素），则它一般服从正态分布。
4. 应用1) 估计频数分布。
2) 制定参考值范围。
3) 质量控制：3σ准则。
4) 二项分布、t 分布等的正态近似计算。
5) 正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
二、2χ分布1. 概述2χ分布是由海尔默特（Hermert ）和皮尔逊（Pearson ）分别于1875年和1900年推导出来的。
2. 定义设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且()1,2,,=i X i n 服从标准正态分布(0,1)N ，则它们的平方和21=∑n i i X 服从自由度为n 的2χ分布，记作2()χn 。
3. 性质和特点1) 2χ分布的密度函数在第一象限内呈正偏态（右偏态）。
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
概率论中三个重要分布
χ2统计量
• χ2统计量也可表示成
n
2
(xi X )2
i 1
2
(n
1) s 2
2
χ2分布的概率密度函数
• χ2(n)分布的概率密度为
f
( y)
2n
1 2 Γ(n
2)
n 1 y
y2 e 2,
• 其中Γ( ·)为伽玛函0,数
y0 其他
Γ (s) x e s1 xdx 0
χ2分布的统计特性
例题分析
1. n=12, α=0.05, 求 2. n=12, α=0.95, 求 3. n=18, α=0.95, 求
2 0.05
(12
)
02和.95 (12)
2 0.95
(18
)
使得
2 0.05
(18
)
4.
n=50,
α=P0(.0502.,95求(18)
2
2 0.05
(18
))
0.9
2 0.05
n3
t分布的统计特性（续）
• t(n-1)分布的形状类似标准正态分布，但由 于t(n-1)的方差大于1（当n>3时，(n-1)/(n3)>1），所以t(n-1)分布比标准正态分布更 分散。即t(n-1)的概率密度函数是中央部分 较标准正态分布低，而两尾部分则较标准 正态分布高
t分布的统计特性（续）
P(t0.975(18)≤t≤ t0.025(18))=0.95 4. n=50, α=0.05，求t0.05(50)
F分布
• χ2分布的变量值始终为正 • χ2(n)分布的形状取决于其自由度n的大小
，通常为不对称的右偏分布，但随着自由 度的增大逐渐趋于对称 • χ2分布的期望为：E(χ2(n))=n，方差为： D(χ2(n))=2n • χ2分布具有可加性。若U~χ2(n1)， V~χ2(n2) ，则U+V～χ2(n1+n2)
《概率论与数理统计》学习笔记
《概率论与数理统计》（19）电子科技大学应用数学学院，徐全智吕恕主编。
2004版第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用.数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据. 这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域! 如：农业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“教育统计”，管理领域的“计量经济”，金融领域的“保险统计”等等，这些统计方法的共同基础都是数理统计.数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确和可靠的结论，即统计推断.本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法. 在这一章中先给出数理统计中一些必要的基本概念，然后给出正态总体抽样分布的一些重要结论.6.1总体、样本与统计量一、总体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.二、样本样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体" 这里的“按一定的规定”，是指为保证总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会而采取的一些措施" 取得样本的过程，称为抽样.三、统计量6.2抽样分布统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础. 由于统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的分布. 统计量的分布称为抽样分布.一、三个重要分布二、抽样分布定理6.3应用一、顺序统计量及其应用二、极值的分布及其应用。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量取不同值的概率。
通过分布函数，我们可以了解随机变量的分布情况，从而进行概率计算和数据分析。
本文将介绍概率论分布函数的定义、性质以及常见的分布函数类型。
一、定义概率论分布函数，也称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），是描述一个随机变量取不同值的概率的函数，通常用F(x)表示。
对于任意实数x，F(x)定义为：F(x) = P(X≤x)其中，X表示随机变量。
概率论分布函数的定义可以从两个角度理解：1.几何角度：概率论分布函数描述了随机变量取值小于等于某个x 的概率，即在数轴上，小于等于x的区间的长度与整个概率空间的比例。
2.概率角度：概率论分布函数定义了对于任意取值小于等于x的情况下，随机变量取该值的概率。
二、性质概率论分布函数具有以下性质：1.非减性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
这是因为随机变量在小于等于x1的区间上取值的概率一定小于等于小于等于x2的区间上取值的概率。
2.有界性：对于任意的x，有0≤F(x)≤1。
概率的范围是从0到1，因此概率论分布函数的取值也在这个范围内。
3.右连续性：对于任意的x0，有lim(x→x0+)F(x)=F(x0)。
这表示当x无限接近x0时，概率论分布函数的值会无限接近于F(x0)。
4.左极限性：对于任意的x0，有lim(x→x0-)F(x)=F(x0-1)。
这表示当x无限接近x0时，概率论分布函数的值会无限接近于F(x0-1)。
以上性质是概率论分布函数的基本特征，它们保证了分布函数的合理性和准确性。
三、常见的分布函数类型在概率论中，常见的分布函数类型有很多，下面介绍其中几个常见的分布函数：1.均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：均匀分布函数是最简单的分布函数之一，它表示随机变量的取值在一个区间上均匀分布。
概率论知识点总结归纳
欢迎共阅概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件样本点样本空间包含关系相等关系事件的和记为A ∪事件的积事件的差互斥事件对立事件=⋂B A （1（2（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB ∪AC（4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃B A B A ⋃=⋂第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性：P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)（3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A的概率为2落在区域把μ. ，，则称A 、总结：1.3.第二章一维随机变量及其分布第二节分布函数分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。
如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间],(x -∞内的概率 分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2,…)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。