第2课时比例线段
人教版小学六年级数学下册《比例的应用》第2课时 比例尺(2)【教案】
教学笔记第2课时比例尺（2）教学内容教科书P52例2，完成教科书P57“练习十”中第5、6题。
教学目标1.进一步理解比例尺的意义，能根据比例尺求出相应的实际距离。
2.在用比例尺知识解决问题的过程中，掌握解决实际问题的方法。
3.了解不同形式的比例尺在生活中的实际应用，在具体情境中进一步体会比例尺的应用价值。
教学重点根据比例尺的意义解决简单的实际问题。
教学难点运用图上距离、实际距离、比例尺的关系解决问题。
教学准备课件、刻度尺。
教学过程一、回忆比例尺的概念，导入新课师：上节课我们学习了比例尺，你能说说比例尺的意义吗？【学情预设】学生会说出，图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离=比例尺。
(教师根据学生发言板书)实际距离师：生活中比例尺知识的应用十分广泛，今天我们就来学习比例尺的应用。
［板书课题：比例尺（2）］【设计意图】引导学生回忆比例尺的意义，直接点明今天要学习的内容，开课简单明了。
二、自主探究，解决有关比例尺的实际问题1.阅读与理解师：同学们阅读教科书P52例2，并观察示意图。
根据题目中的信息，你能求出北京地铁2号线的实际长度大约是多少千米吗？ 【学情预设】知道北京地铁2号线的图上距离和比例尺，要求实际长度。
2.探究解题方法。
师：现在你会解决这个问题吗？自己试一试吧！【学情预设】预设1：77×30000=2310000(cm)=23.1 (km)。
预设2：77÷300001=2310000(cm)=23.1 (km)。
预设3：30000cm=300m ，77×300=23.1 (km)。
预设4：解：设北京地铁2号线的实际长度是x cm 。
130000773000023100002310000cm 23.1km==⨯=77x x x =师：这些方法都是正确的吗？请大家说说自己的想法。
【学情预设】预设1：由比例尺1∶30000，可知实际距离是图上距离的30000倍，所以用77×30000就可以求出实际长度。
2022年湘教版九上《成比例线段》立体课件(公开课版) (2)
的值应当是多少？
问题解决
如图，将一张矩形纸片沿它 的长边对折（EF为折痕），得到 两个全等的小矩形。如果小矩形 长边与短边的比等于原来矩形长 边与短边的比，那么原来矩形的 长边与短边的比是多少?
随堂练习
1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，
则这两条线段之比是
3
2、一条线段的长度是另一条线段长度的
在直角坐标系内,点P(-2，2 )到原点的距离
为=
5.计算： (1) (1 2)2 ( 2 1)2( 6)2
(2) (2 23)3(2 2)
(3) ( 32)2006 ( 32)2007
(4) ( 27 1)( 12 1 4)5
3
5
人生就是慢慢成长, 每天取得进步
又 6 140 7 130
614 713
探究三
第一章 二次根式复习
1 已 知 x3 ， 求 代 数 式 x 2 2 x 2 x 2
23 的 值
(2)已知 a 3 2， b 3 2， 求a2abb2的值 .
第一章 二次根式复习
1.下列各式是二次根式的是（ ）
A、 8 B、3 5 C、 x 2 D、 x2 1
2.若 x1 xy0，则 x2006y2007 的
值为： （ ） A 、0 B、1 C、 －1 D、 2
3、求下列二次根式中字母x的取值范围：
⑴ 2x 1 ⑵ x2 3 ⑶ 2x 2x
⑷2
x5
⑸ x1 x 1
第一章 二次根式复习
4.若2<x<5化简 (x1)2 (x5)2
4 9
18 6
4
3
2、若 yx22x6 ,则 xy
3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
北师版数学九年级上册4 成比例线段(2课时)教案与反思牛老师
1 成比例线段投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》 翰辰学校 李道友组长第1课时 线段的比一、基本目标1．认识形状相同的图形，结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形．2．知道线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法． 二、重难点目标 【教学重点】 会求两条线段的比． 【教学难点】会求两条线段的比，注意线段的长度单位要统一．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P76～P79的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n .其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.3．比例的基本性质：(1)如果ab＝cd，那么ad＝bc.(2)如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么ab＝cd.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列线段中，能成比例的是( )A．3 cm、6 cm、8 cm、9 cmB．3 cm、5 cm、6 cm、9 cmC．3 cm、6 cm、7 cm、9 cmD．3 cm、6 cm、9 cm、18 cm【互动探索】(引发学生思考)根据成比例线段的定义判断．【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有D符合，3×18＝6×9.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例线段．【例2】在比例尺是1∶40 000的地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为( )A．0.2 km B．2 kmC．20 km D．200 km【互动探索】(引发学生思考)根据比例尺的定义，如何列比例式求解？【分析】设这条道路的实际长度为x cm，则140 000＝5x，解得x＝200 000,200000 cm＝2 km.∴这条道路的实际长度约为2 km.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．活动2 巩固练习(学生独学)1．等边三角形的一边与这边上的高的比是2∶ 3.2．若四条线段a、b、c、d成比例，且a＝3，b＝4，c＝6，则d＝8.3．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm，这两地的实际距离是36千米．4．如图，已知f(AD,DB)＝AEEC，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，求A的长．解：∵ADDB＝AEEC，∴6.44.8＝AE4.2.解得AE＝5.6.∴AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(c)．活动3 拓展延(学生对学)【例3】已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm.(1)求线段a与线段b的比；(2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．【互动探索】(1)根据a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm，即可求得a∶b的值；(2)根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得ab＝cd，再根据c＝2 dm＝120 cm，即可得出线段d的长．【解答】(1)∵a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm，∴a∶b＝30∶60＝1∶2.(2)∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴ab＝cd.∵c＝12 dm＝120 cm，∴12＝120d，∴d＝240 cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)线段的比⎩⎨⎧形状相同的图形线段的比的定义比例线段请完成本课时对应训练！第2课时 比例线段一、基本目标1．理解并掌握比例的等比性质，能通过比例式变形解决一些实际问题． 2．通过探索比例的等比性质的学习过程，培养学生灵活解题及合作探究的能力．二、重难点目标 【教学重点】比例的等比性质及直接运用． 【教学难点】比例的等比性质的灵活运用，探索比例的其他性质．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P79～P80的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ab .注意：在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.2．已知5a＝4b，则a＋bb＝95.3．如果ab＝cd＝52(b＋d≠0)，那么a＋cb＋d＝52.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a＋43＝b＋32＝c＋84，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状．【互动探索】(引发学生思考)已知与三角形三边有关的信息，要判断三角形的形状需结合三边关系进行判断．【解答】设a＋43＝b＋32＝c＋84＝k，可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3.则a＝5，b＝3，c＝4，∴b2＋c2＝a2，即△ABC为直角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)当出现等比的条件时，可以用“设k 值法”设等比为一个常数k，从而使问题变得简单．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知ab＝cd＝ef＝4，且a＋c＋e＝8，则b＋d＋f＝2.2．已知ab＝cd＝ef＝23，则a＋eb＋f＝23.3．如果ab＝cd＝ef＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝3.4．已知ab＝cd＝ef＝23，b＋2d－3f≠0，求a＋2c－3eb＋2d－3f的值．解：∵ab＝cd＝ef＝23，b＋2d－3f≠0，∴ab＝2c2d＝－3e－3f＝23，∴a＋2c－3eb＋2d－3f＝23.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB∶CD＝m∶n，如果把mn表示成比值k，那么ABCD＝k，或AB＝kCD.请完成以下问题：(1)四条线段a ，b ，c ，d 中，如果________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段；(2)已知a b ＝c d ＝2，那么a ＋b b ＝________，c ＋dd＝________； (3)如果a b ＝c d，那么a －b b ＝c －d d成立吗？请用两种方法说明其中的理由； (4)如果x ＋y z ＝y ＋z x ＝z ＋xy＝m ，求m 的值．【互动探索】(1)根据成比例线段的定义作答；(2)由a b ＝cd ＝2，得a ＝2b ，c＝2d ，代入计算即可求解；(3)利用等式的性质两边减去1即可证明，也可以设ab ＝cd＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，代入即可证明；(4)可分x ＋y ＋z ＝0和x ＋y ＋z ≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解．【解答】(1)a ∶b ＝c ∶d (2)3 3(3)如果a b ＝c d ，那么a －b b ＝c －dd 成立． 理由如下：(方法一)∵a b ＝c d， ∴a b －1＝c d －1，即a b －b b ＝c d －d d， ∴a －b b ＝c －dd. (方法二)设a b ＝cd ＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，∵a －b b ＝kb －b b ＝k －1，c －d d ＝kd －d d ＝k －1，∴a －b b ＝c －d d.(4)①当x ＋y ＋z ＝0时，y ＋z ＝－x ，z ＋x ＝－y ，x ＋y ＝－z ，∴m 为其中任何一个比值，即m ＝－xx＝－1.②当x ＋y ＋z ≠0时，m ＝y ＋z ＋z ＋x ＋x ＋y x ＋y ＋z ＝2x ＋y ＋zx ＋y ＋z＝2.∴m ＝2或－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)在运用比例的等比性质：如果a b ＝cd ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b 时，若题中没有明确或隐含指出“b ＋d ＋…n ≠0”，解题时应分两种情况进行讨论：①b ＋d ＋…n ≠0；②b ＋d ＋…n ＝0，比如本题的第(4)小问就分了两种情况讨论．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.请完成本课时对应训练！【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
23.1.2比例线段及性质(2课时)
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
a c 比例的内项乘积等于外项乘积 . 因为 a：b=c：d， 即 b = d ， 两边同乘以 bd，得 ad=bc；
a+c+…+m bk+dk+…nk ∴ = b+d+…+n b+d+…n (b+d+…n)k a = b+d+…n =k = . b
练习3—5： BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
A
F C
x+y 5 x 例1、已知 3y = 4 ，求 y .
x+y 5 解： ∵ 3y = 4 ，
x+y 15 ∴ y = 4 ， x+y–y 15–4 ∴ y = 4 ， x 11 ∴ y=4 .
例2、已知 a：b：c=2：5：6，
求 2a+5b–c 的值. 3a–2b+c a b c 解： 设 2 = 5 = 6 = k, 则 a=2k, b=5k, c=6k,
练习1—2： AD PB 2； 如果 = ， 那么 AD· BC= PB PB BC
沪科九年级数学上册第22章1 第2课时 比例线段
a
记作 或a∶b．
b
归纳
a
设 k
b
1 由于线段a，b的长度都是正数，所以k是正数；
2 两条线段的比与所选线段的长度单位无关，但求比时两条
线段的长度单位要一致，k没有单位；
a
b
3 除了a=b外， ∶ ≠ ∶ ， 与 互为倒数．
b
a
已知四条线段a，b， c，d， a=2.0 cm，b=3.0 cm，c=4.0 cm，
与
A1 B1 B1C1
有什么关系？
D1
C1DLeabharlann CA 2 BA1
4
BC
1
AB AB
1
BC
1
B1C
2
A1 B1 A B
2
1
B
C
2
1 1
1 1
B1
a
已知两条线段a，b，a=2.0 cm，b=1.5 cm，你能求出 吗？
b
a 2.0 4
b 1.5 3
用同一单位长度去度量两条线段a，b，得到它们的长度，
a c
d=6.0 cm，你能说出 与 的关系吗？
b d
a 2.0 2
b 3.0 3
c 4.0 2
d 6.0 3
a c 2
b d 3
归纳
在四条线段a，b， c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等
a c
于另外两条线段c，d的比，即 （ ∶ = ∶ ），那么这四
b d
22.1 比例线段
第2课时 比例线段
22.1 比例线段第2课时比例性质和黄金分割 沪科版数学九年级上册教学课件
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= 3 ，c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2）7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A，B的距离, AC 与 BC 相等吗？ AB AC
第2课时 平行线分线段成比例的推论课件冀教版数学九年级上册
第2课时 平行线分线段成比例的推论
基础通关 能力突破 素养达标
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第2课时 平行线分线段成比例的推论
基础通关 能力突破 素养达标
7. 【教材第68页习题B组第1题改编】如图，已知在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是边 AB ， AC ， BC 上的点， DE ∥ BC ， EF ∥ AB ，且 AD ∶ DB ＝3∶5，那么 CF ∶ CB 等于( A )
基础通关 能力突破 素养达标
11.
(2023·石家庄模拟预测)阅读与计算：请阅读以下材料，并
完成相应的问题.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第2课时 平行线分线段成比例的推论
基础通关 能力突破 素养达标
证明：如图2，过点 C 作 CE ∥ DA ，交 BA 的延长线于点 E …… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
【解析】(1)由尺规作图痕迹可知，∠ BPD ＝∠ B ， ∴ PQ ∥ BC .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第2课时 平行线分线段成比例的推论
(2)△ APQ 的周长为
.
基础通关 能力突破 素养达标
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第2课时 平行线分线段成比例的推论
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第2课时 平行线分线段成比例的推论
基础通关 能力突破 素养达标
③连接 BH ，连接 EH 交 AB 于点 C ，在线段 CB 上截取线段 CD ＝ AC . 点 C ， D 就是所求作的点.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
24.1比例线段(第二课时)
内项
内项
外项
a ：b = c ：d.
外项
a、b、c 的第四比 例项
a b 如果作为比例内项的是两条相等的线段即 b c 2
或a ：b = b ：c，或b =ac 那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
说出下列比例式中的比例内项、比例外项
和第四比例项： (1 ) (2) 1
p = f s
比例的 合比性 质
ab cd ∴ b ． d
a c a b c d 证明：（2）如果 ； ，那么 b d b d
a c 证明（2）∵ b d
在等式两边同减去1， a c ∴ 1 1 b d
比例的 分比性 质
a b c d ∴ b ． d
an a1 a2 c3, 例3：证明如果 b1 b2 c3 bn
a 2 2 5 c 2 15 2 5 （2） ∵ b 5 d 5 3 5 5
a c ∴ b d
，
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
试一试
结论2：合比性质：
a c ab cd 如果 ，那么 b d b d
结论3: 等比性质： a c m 如果 (b d n 0) b d n a c m a ，那么 b d n b
8 x y 17 x 1.若 , 则 ______ 9
7 a 1 3a b 8 2.若 , 则 ______
y
9
y
b
4
2b
3.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,
22.1 第二课时 比例线段与比例的性质 课件2024-2025学年 沪科版数学九年级上册
答：雕像的下面部分应设计为 1.24 m ．
起航加油
随堂演练
课后达标
19
当堂检测
1.若长度分别为 6 cm ， 3 cm ， 8 cm ， a cm 的四条线段是比例线段，
则 a 的值为( B ) .
A.2
B.4
C.16
D.3
2.（山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知
识．如图1，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈
据这些等式，再结合题干信息，可构造关于所求线段的方程.
起航加油
随堂演练
课后达标
10
例1 已知线段 a = 0.3 m ， b = 60 cm ， c = 12 dm . 思路点拨
（1）求线段 a 与线段 b 的比. 解：因为 a = 0.3 m = 30 cm ， b = 60 cm ， 所以 a: b = 30: 60 = 1: 2 .
解：设甲、乙两地的实际距离为
x
.根据题意，得
5 x
=
8
1 000
000
.
解得 x = 40 000 000 cm = 400 km . 答：实际上甲、乙两地相距 400 km .
起航加油
随堂演练
课后达标
25
能力提升
6.如图2，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点， AP > BP .
记以 AP 为一边的正方形面积为 S1 ，以 BP ， AB 为邻边
起航加油
随堂演练
课后达标
11
（2）当线段 a ， b ， c ， d 成比例时，求线段 d 的长.
解：因为线段
a
，
b
，
c
，
d
是成比例线段，所以
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
浙教版九年级数学上册《比例线段》评课稿
浙教版九年级数学上册《比例线段》评课稿一、课程背景《比例线段》是浙教版九年级数学上册的一节重要课程，该节课主要介绍了比例线段的概念、性质和应用。
通过学习这一知识点，学生能够进一步理解比例的概念，并能够在实际生活中灵活运用比例线段的知识。
二、教学目标1.了解比例线段的定义，认识比例线段的性质；2.掌握比例线段的求解方法；3.能够应用比例线段的知识解决实际问题；4.培养学生的分析和解决问题的能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点•比例线段的概念和性质；•比例线段的求解方法。
2. 教学难点•如何灵活运用比例线段求解实际问题。
四、教学内容及学情分析1. 教学内容•比例线段的定义和性质；•比例线段的求解方法；•比例线段的应用。
2. 学情分析该班学生的数学基础较好，平时乐于思考，善于运用所学知识解决实际问题。
然而，对于比例线段这一知识点，学生仍存在一定的困惑和不足。
因此，本节课的教学重点是帮助学生理解比例线段的概念，掌握求解比例线段的方法，并培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入引入通过提出一个小问题引入比例线段的定义，激发学生的兴趣和思考能力。
例如：“小明根据地图上的比例尺，测量了自己家到学校的实际距离为800米，而地图上的距离是4厘米。
请问这个比例尺是多少？”2. 概念解释与示例分析介绍比例线段的定义和基本性质，并通过一些具体的示例进行分析和讲解。
3. 求解方法的讲解与练习详细介绍比例线段的求解方法，包括直接取比、交叉相乘法等，并通过一些练习题进行演练和讲解。
4. 实际问题的应用引导学生将比例线段的知识应用于实际问题的解决中，提供一些生活中常见的问题供学生思考和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。
例如：“小明和小刚同时从A地出发，前往B地，小明的速度是每小时60公里，而小刚的速度是每小时50公里。
已知小明到达B地用时4小时，请问小刚到达B地需要多少小时？”5. 总结与反思通过课堂小结，对本节课所学的内容进行总结，并向学生提出思考问题，引导他们反思本节课的学习收获。
平行线分线段成比例第2课时
A
求：DE的长.
D
E
解：
Q AD = 2 . DB 3
\ AD = 2 . AB 5
Q DE // BC. \ AD = DE = 2 .
B
C
AB BC 5
即 DE = 2 . \ DE=8. 20 5
L3
数学符号语言
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4 A
L5 L4
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
推论：
A
平行于三角形一边的直线与 其他两边相交，截其他两边
G C
AE＝（ ） GC＝（ ）
例2 如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且DE//BC，
若AB=3，AD=2，EC=1.8。求AC的长.
解: ∵DE//BC
A
AC AB ,
CE DB
D
E 即 AC 3 , 1.8 3 2
B
C解得AC 5.4
2 :如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC。
平行线分线段成比例
第2课时
思考： 平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系：
AD
B
E
A
D
B
E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
l5
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
比例线段是初中数学中的重要概念，它在解决实际问题和进一步学习几何中起着重要作用。
本节内容通过讲解和实例分析，使学生掌握比例线段的性质和应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在理解和运用比例线段方面还存在一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。
此外，学生对几何图形的直观认识和空间想象能力还有待提高，需要在教学过程中给予引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析、合作交流和动手操作，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导和讨论，激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力。
2.实例分析：通过具体的例子，使学生理解比例线段的定义和性质。
3.合作交流：鼓励学生之间相互讨论、合作，共同解决问题。
4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，展示比例线段的定义、性质和应用。
2.实例材料：准备一些实际的例子，用于讲解和分析比例线段。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解比例线段的定义、性质和应用，结合实例进行分析，让学生直观地理解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，合作解决一些关于比例线段的练习题，巩固所学内容。
新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第2课时等比性质备课素材版
第四章图形的相似1成比例线段第2课时比例的性质素材一新课导入设计情景导入类比导入悬念激趣如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图4－1－15[说明与建议] 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫．你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．图4－1－16(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？[说明与建议] 说明：利用前面学习过的知识——“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫．素材二 教材母题挖掘80页例2在△ABC 与△DEF 中，已知AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长．【模型建立】根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式．一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于0.【变式变形】1．已知x a ＝y b ＝z c ＝2(2a －3b ＋c≠0)，求2x －3y ＋z2a －3b ＋c的值．[答案：2]2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比．图4－1－17[答案：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，△ABC 与△EDC 的周长比为2∶1]素材三 考情考向分析[命题角度1] 利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法． 例 [凉山中考] 已知b a ＝513，则a －ba ＋b的值是(D )A .23B .32C .94D .49[命题角度2] 比例中的双解问题比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于0的前提条件．例 若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b ＝k ，求k 的值．[答案：12或－1]素材四 教材习题答案 P80随堂练习已知a b ＝c d ＝23(b ＋d ≠0)，求a ＋c b ＋d的值．解：a ＋cb ＋d ＝23. P81习题4.21．已知a b ＝c d ＝e f ＝23(b ＋d ＋f ≠0)，求a ＋c ＋eb ＋d ＋f的值．解：a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝23.2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比．解：AB ＝25，DE ＝5，BC ＝210，DC ＝10，AC ＝213，EC ＝13，l △ABC ∶l △EDC ＝2∶1.3．如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.你认为这个结论正确吗？为什么？解：正确．理由：∵a b ＝c d ，∴a b ＋1＝c d ＋1，a b －1＝c d －1，即a ＋b b ＝c ＋d d ，a －b b ＝c －dd.素材五 图书增值练习专题 综合运用比例性质 1. 若32a +＝4b ＝65c +，且2a －b ＋3c ＝21，求4a －3b ＋c 的值．2．如图，已知BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，求证：BCCA BC AB ++＝ME AE ．【知识要点】1．成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ， (2)如果a b ＝b c ，那么b 2＝ac ， (3)如果a b ＝c d，那么a ±b b ＝c ±dd.【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错． 【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形． 2．遇到比例式时，可设辅助未知数k ，即设这些比的比值为k ，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法． 3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解． 参考答案： 1．解：设32a +＝4b ＝65c +＝k ，则a ＋2＝3k ，b ＝4k ，c ＋5＝6k ，即a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5．∵2a －b ＋3c ＝21，∴2（3k －2）－4k ＋3（6k －5）＝21， ∴k ＝2．∴a ＝4，b ＝8，c ＝7． ∴4a－3b ＋c ＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵BE AB ＝ME AM ＝CE AC ，∴ CEBE AC AB ++＝EM AM ， 即BC AC AB +＝ME AM ，∴BC CA BC AB ++＝MEME AM +， 即BCCA BC AB ++＝ME AE ．素材六 数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明. 一、对比的概念认识模糊 例1 因为a b ＝43，所以a ＝4，b ＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？ 错解 正确.因为a ＝4，b ＝3，所以a b ＝43，反过来则有a b ＝43，即a ＝4，b ＝3.剖析 a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，并不表示a ＝4，b ＝3.正解 这种说法是错误的.因为a b ＝43仅表示a 、b 在同一长度单位下的比值，它表示a ＝4k ，b ＝3k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位认识不足例2 有两条线段，它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，则a ＝5cm ，b ＝3cm ，你认为这种说法正确吗？为什么？错解 正确.因为a ＝5cm ，b ＝3cm ，所以它们的长度之比为a ∶b ＝5∶3，即这种说法是正确的. 剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.正解 这种说法是错误的.因为a ∶b ＝5∶3仅表示a 、b 的比值，它表示a ＝5k ，b ＝4k (k ＞0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例3 A 、B 两地的实际距离AB ＝250m ，画在纸上的距离A ′B ′＝5cm ，求纸上距离与实际距离的比. 错解 纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶250＝1∶50.剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.正解 因为AB ＝250m ＝25000 cm ，所以纸上距离与实际距离的比是A ′B ′∶AB ＝5∶25000＝1∶5000. 四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例4 若y y x -＝mn ，求x y的值. 错解 因为y y x -＝mn ，所以,.y m y x n =⎧⎨-=⎩解得,.x m n y m =-⎧⎨=⎩所以x y ＝m n m -. 剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如24＝12，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解 设y y x -＝mn ＝k (k ≠0)，所以y ＝(y －x )k ，即xk ＝yk －y ＝y (k －1)，所以x y ＝1k k -＝1m n m n-＝m n m -.五、忽视使用性质的条件 例5 若a b c +＝b c a +＝c a b+＝k .求k 的值. 错解 因为a b c +＝b c a +＝c a b +＝k ，所以由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12.剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a +b +c ≠0，所以应分情况讨论. 正解 当a +b +c ≠0时，由等比性质，得()2a b c a b c ++++＝k ，即k ＝12；当a +b +c ＝0时，则有a +b ＝－c ，或a +c＝－b ，或b +c ＝－a ，无论哪一种情况都有k ＝－1，所以k 的值为12或－1. 六、错误地运用设k 法解题例6 已知x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，且2x －y +3z ＝38，求3x +y －2z 的值.错解 设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.剖析 本题不能用“设x ∶y ∶z ＝3∶5∶6＝k ”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k ”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.正解 因为x ∶y ∶z ＝3∶5∶6，所以可设3x ＝5y ＝6z＝k ，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝6k ，又2x －y +3z ＝38，所以6k －5k +18k ＝38，即k ＝2，所以3x +y －2z ＝9k +5k －12k ＝2k ＝4.七、忽视成线段成比例的顺序性例7 已知线段a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm.试求a 、b 、c 的第四比例项x .错解 因为a 、b 、c 的第四比例项是x ，所以有x ∶a ＝b ∶c ，即x ＝abc，又a ＝3 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ，所以x ＝357⨯＝157.剖析要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.正解因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝bca，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝573＝353.。
华师版九年级上册数学精品教学课件 第23章 图形的相似 成比例线段 第2课时 平行线分线段成比例
∴CD∥AB. ∴ CD DF . AE AF
B
D
设菱形的边长为 x cm，则 CD
= AD = x cm，DF = (4－x) cm，E
CF
∴ x 4 x ，解得 x = 20 . ∴菱形的边长为 20 cm.
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课堂小结
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2.平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线， 所得的对应线段成比例.
A3
B3
m
n
直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说
图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得
到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A1 B1 A2(B2)
A3
B3
A3
B3
推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两
边的延长线），所得的对应线段成比例.
练一练 如图，在△ABC 中， EF∥BC.
b
A3
B3 c
m
n
成立，直线 b 平移到其他位置依然成立.
(3) 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线， 截得的线段成比例吗？ 成比例
归纳：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被
一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言： 若 a ∥b∥ c ，则
A1 A2 B1B2 A2 A3 B2B3
B1
A2
B2
A3 m
(1) 计算 A1A2 ，B1B2 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
a b
B3 c n
(2) 将 b 向下平移到如图2的位置，直线 m，n 与直线
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例的基本概念和线段的性质的基础上进行学习的。
比例线段是指在三角形中，如果一条线段是另外两条线段的比例中项，那么这条线段被称为比例线段。
本节内容主要让学生了解比例线段的定义，学会如何判断一条线段是否为比例线段，并能够运用比例线段解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于比例线段这一概念可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和实际问题来引导学生理解和掌握比例线段的概念，并能够运用到解决问题中。
三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，并能够判断一条线段是否为比例线段。
2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.比例线段的定义。
2.如何判断一条线段是否为比例线段。
3.运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生理解和掌握比例线段的概念。
2.合作交流法：学生在小组内合作探讨，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问是否存在一条线段DE，使得DE是三角形ABC的比例线段？”让学生思考并讨论，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现比例线段的定义和判断方法，并用动画或者图形展示比例线段的特点。
让学生直观地理解和掌握比例线段的概念。