专题19 作图问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

中考数学专题19 统计-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题19 统计一、单选题1．（2021·山东聊城市·中考真题）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（）A．样本为40名学生B．众数是11节C．中位数是6节D．平均数是5.6节2．（2021·湖北随州市·中考真题）如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）A．测得的最高体温为37.1℃B．前3次测得的体温在下降C．这组数据的众数是36.8 D．这组数据的中位数是36.63．（2021·湖南常德市·中考真题）舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①4．（2021·四川广安市·中考真题）下列说法正确的是（）A．为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查B ．在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6C ．“若a 是实数，则0a >”是必然事件D ．若甲组数据的方差20.02S =甲，乙组数据的方差20.12S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定5．（2021·云南中考真题）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援，某公司在疫情期间为疫区生产A 、B 、C 、D 四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是（）A ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产C 型帐篷天数的3倍 B ．单独生产B 型帐篷的天数是单独生产A 型帐篷天数的1.5倍 C ．单独生产A 型帐篷与单独生产D 型帐篷的天数相等 D ．每天单独生产C 型帐篷的数量最多6．（2021·山东泰安市·中考真题）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）A ．7 h ；7 hB ．8 h ；7.5 hC ．7 h ；7.5 hD ．8 h ；8 h7．（2021·广西玉林市·中考真题）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（）A．6环B．7环C．8环D．9环8．（2021·四川广元市·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差9．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（）A．3B．3.5C．4D．4.510．（2021·山西中考真题）每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．27点，21点B．21点，27点C．21点，21点D．24点，21点11．（2021·山东菏泽市·中考真题）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：关于这组数据的结论不正确的是（）A．中位数是10.5B．平均数是10.3C．众数是10D．方差是0.8112．（2021·湖南长沙市·中考真题）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24，25B．23，23C．23，24D．24，2413．（2021·湖北十堰市·中考真题）某校男子足球队的年龄分布如下表则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A ．8，15B ．8，14C ．15，14D ．15，1514．（2021·四川眉山市·中考真题）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（） A ．80，90B ．90，90C ．86，90D ．90，9415．（2021·江苏苏州市·中考真题）为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；则每个班级回收废纸的平均重量为（） A ．5kgB ．4.8kgC ．4.6kgD ．4.5kg16．（2021·浙江台州市·中考真题）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g ）平均数和方差分别为x ，s 2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差x 1，21s ，则下列结论一定成立的是（） A ． x x <1B ． x x >1C ．s 2＞21s D ．s 221<s17．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（）A．中位数是33C︒B．众数是33C︒C．平均数是197C7︒D．4日至5日最高气温下降幅度较大18．（2021·四川成都市·中考真题）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（）A．34B．35C．36D．4019．（2021·浙江宁波市·中考真题）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差2S（单位：环2）如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁20．（2021·四川资阳市·中考真题）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数21．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）在市运动会射击比赛选拔赛中，某校射击队甲、乙、丙、丁四名队员的10次射击成绩如图所示．他们的平均成绩均是9.0环，若选一名射击成绩稳定的队员参加比赛，最合适的人选是（）A．甲B．乙C．丙D．丁22．（2020·山东烟台市·中考真题）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（）A．众数改变，方差改变B．众数不变，平均数改变C．中位数改变，方差不变D．中位数不变，平均数不变23．（2020·四川成都市·中考真题）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（）A．5人，7人B．5人，11人C．5人，12人D．7人，11人二、填空题目A B C D E F六省60岁及以上人口24．（2021·浙江丽水市·中考真题）根据第七次全国人口普查，华东,,,,,占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是__________．25．（2021·四川乐山市·中考真题）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳？________（填“甲”或“乙”）26．（2020·辽宁大连市·中考真题）某公司有10名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示．这个公司平均每人所创年利润是_____万元．27．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为226.67, 2.50==甲乙s s ，则这6次比赛成绩比较稳定的是__________．（填“甲”或“乙”）28．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试.下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：某校60名学生体育测试成绩频数分布表如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为__________人．29．（2020·湖北中考真题）某校即将举行30周年校庆，拟定了,,,A B C D 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B 的人数为______．30．（2020·湖北孝感市·中考真题）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A 类：总时长5≤分钟；B 类：5分钟<总时长10≤分钟；C 类：10分钟<总时长15≤分钟；D 类：总时长>15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有______人．31．（2020·湖南株洲市·中考真题）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有________个．32．（2020·江苏泰州市·中考真题）今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围是______．43．（2020·四川达州市·中考真题）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：①绘制扇形统计图②收集三个部分本班学生喜欢的人数③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比其中正确的统计顺序是____________．34．（2020·四川攀枝花市·中考真题）如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加STEAM课程兴趣小组的人数为120人，则该校参加各兴趣小组的学生共有________人．35．（2020·湖南中考真题）4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____．36．（2020·四川自贡市·中考真题）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）_________________．①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．37．（2019·湖南永州市·中考真题）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是_____．38．（2019·内蒙古巴彦淖尔市·中考真题）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：某同学分析上表后得到如下结论：≥分为优秀）；①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85③甲班成绩的波动性比乙班小．上述结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）39．（2019·内蒙古包头市·）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；≥分为优秀）；③甲班成绩的波动性比乙班小．②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85上述结论中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）40．（2019·四川遂宁市·中考真题）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为_______分．三、解答题41．（2021·北京中考真题）为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：≤<≤<≤<≤<≤≤）：x x x x x68,810,1012,1214,1416b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在1012x≤<这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8c．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为1p．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收,p p的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙入的邮政企业的个数为2p．比较12城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．42．（2021·江苏南京市·中考真题）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？43．（2021·山东临沂市·中考真题）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.69；0.73；0.74；0.80；0.81；0.98；0.93；0.81；0.89；0.69；0.74；0.99；0.98；0.78；0.80；0.89；0.83；0.89；0.94；0.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：（1）表格中：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．44．（2021·安徽中考真题）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，按月用电量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如下：（1）求频数分布直方图中x的值；（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；（3）设各组居民用户月平均用电量如表：根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．45．（2021·重庆中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．八年级教师竞赛成绩扇形统计图七、八年级教师竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=__________，b=_________；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．46．（2021·云南中考真题）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分），该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．（1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本，其中抽取的样最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是_______（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为__________；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有________人．47．（2021·浙江温州市·中考真题）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：小红：“我想随机柚取七年级男、女生各60人的成绩．”小明：“我想随机柚取七、八、九年级男生各40人的成绩．”根据右侧学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．某校部分学生体质健康测试成绩统计图48．（2021·重庆中考真题）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg ），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A ．1x <，B ． 1 1.5x ≤<，C ． 1.52x ≤<，D ． 2x ≥），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a ，b ，m 的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．49．（2021·四川泸州市·中考真题）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16，14，13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；（2）上述样本数据的众数是_____，中位数是_____；（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．50．（2020·河南中考真题）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：[收集数据]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g)如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 512 499 499 501[整理数据]整理以上数据，得到每袋质量()x g的频数分布表．[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题：()1表格中的a=b=()2综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．51．（2020·广西中考真题）阅读下列材料，完成解答：材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中的如图发布的是全国“2015﹣2019年快递业务量及其增长速度”统计图（如图1）．材料2：6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受新冠疫情影响，快递业务量快速增长，5月份快递业务量同比增长41%（如图2）．某快递业务部门负责人据此估计，2020年全国快递业务量将比2019年增长50%．（1）2018年，全国快递业务量是亿件，比2017年增长了%；（2）2015﹣2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是%；（3）统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016﹣2019年增长速度的折线逐年下降，说明2016﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年减少．你赞同这种说法吗？为什么？（4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量．52．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了m名学生，根据平均每A B C D四个组别，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．天课外阅读时间的长短，将他们分为,,,频数分布表请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求m与n的值，并补全扇形统计图；（2）直接写出所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．53．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，扇形统计图中的m= ________，条形统计图中的n=_____；（2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是_______，方差是______；（3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．54．（2020·四川绵阳市·中考真题）为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？55．（2020·云南昆明市·中考真题）某鞋店在一周内销售某款女鞋，尺码（单位：cm）数据收集如下：24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23 22.5 23.5 23.5 22.5 24 24 22.5 25 23 23 23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5绘制如图不完整的频数分布表及频数分布直方图：（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；（2）若店主要进货，她最应该关注的是尺码的众数，上面数据的众数为；（3）若店主下周对该款女鞋进货120双，尺码在23.5≤x＜25.5范围的鞋应购进约多少双？56．（2020·四川眉山市·中考真题）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．57．（2020·湖北荆州市·中考真题）6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知。

专题19 解决立体几何中的计算问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(原卷版)

1.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM ＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为________．(1) 若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2) 求三棱锥P-ABC体积的最大值；(3) 若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．4.如图，在棱长为4的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，D 1 C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．【考向分析】有关立体几何体的计算，是历年高考中命题的重点和难点，几乎每年都考，考查题目巧妙、灵活、新颖．近几年高考立体几何体计算除了通常的题型外，还有几何体的组合问题、翻折问题、以生活实际为背景的问题、融入数学文化的问题等渐成为亮点，集中考查距离、表面积、体积等计算问题．这类问题题目新颖，能够考查空间想象能力与思维能力（一）立体几何中关于面积计算的问题变式1 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．变式2 正三棱锥S －ABC 中，BC ＝2，SB ＝3，D ，E 分别是棱SA ，SB 上的点，Q 为边AB 的中点，SQ ⊥平面CDE ，则△CDE 的面积为________．（二）立体几何中关于体积计算的问题例2. 已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1 D 1中，P ，M 分别为线段BD 1，B 1C 1上的点，若BP PD 1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．变式1如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D 不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1) 求证：BD⊥平面POA；(2) 当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．变式2如图，在圆柱O1，O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切，记圆柱O1，O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．（三）以实际生活为背景的立体几何问题例3.将一个半径为5 cm的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架是由三根细金属杆P A，PB，PC组成，它们两两成60°角，则水晶球的球心到支架顶点P的距离是________cm.变式1如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥，当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．变式2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．(保留两位有效数字)3．在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA＝SB＝2, 则该三棱锥的体积为________．4．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC，E，F分别为棱AC，AD的中点．(1) 求证：DC⊥平面ABC；(2) 设CD＝a，求三棱锥A-BFE的体积．1．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A -B 1D 1D 的体积为______ cm 3.3．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为________．4．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到点A 1点的最短路线的长为________cm.5. 若正四面体的棱长为a ，则其外接球的表面积为多少？6. 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________. 7. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥ABCDE .(1) 求证：EF //平面ABC ；(2)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．8. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB, AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.9. 一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为________．10．一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.11.(1) 给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明．(2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小．(3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．12.如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝x，B1F＝y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x＋y的取值范围________．。

专题06 数据的分析-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题06 数据的分析一、基础知识1.平均数有算术平均数和加权平均数平均数的求法：x=1n(x1+x2+…+x n)；加权平均数计算公式为：x=1n(x1f1+x2f2+…+x k f k)，其中f1，f2，…，f k代表各数据的权.2.中位数的求法数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来除以2，即两个数的平均数;若为奇数个数，就是中间个数.3.众数：指一组数据中出现次数最多的数.4.极差:用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

5.方差:用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差。

方差公式为：s2=1n［(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xｎ-x)2］，方差越小，数据越稳定.二、本专题典型题考法及解析【例题1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（）A．145，136 B．140，136C．136，148 D．136，145【例题2】近十天每天平均气温（℃）统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29．关于这10个数据下列说法不正确的是（）A．众数是24 B．中位数是26C．平均数是26.4 D．极差是9三、数据的分析问题训练题及其答案和解析1.某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（）A． 10，12 B． 12，11C． 11，12 D． 12，122.如图是成都市某周内最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃C．中位数是24℃ D．平均数是26℃3.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）4．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）A．平均数和众数 B．众数和极差C．众数和方差 D．中位数和极差5.射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=0.41、S丙2=0.62、S丁2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．37．今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：年龄（岁）12 13 14 15 16人数 1 4 3 5 7则这20名同学年龄的众数和中位数分别是（）A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，158．一次招聘活动中，共有8人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：70，100，90，80，70，90，90，80．对于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是80 B．众数是90 C．中位数是80 D．极差是709．若四个互不相等的正整数中，最大的数是8，中位数是4，则这四个数的和为．10.如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④11．某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是小时，众数是小时；（2）请你补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是；（4）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？。

2019年全国中考数学真题分类汇编：尺规作图(含答案)

2019 年全国中考数学真题分类汇编：尺规作图、选择题1. （2019 年北京市）已知锐角∠ AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C，以点O 为圆心，OC长为半径作弧PQ，交射线OB 于点D，连接CD；2）分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交弧PQ 于点M，N；3）连接OM，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A.∠COM= ∠CODB.若 OM=MN ，则∠ AOB=20°C.MN ∥CDD.MN=3CD【考点】尺规作图【解答】连接 ON ，由作图可知 △COM ≌△ DON.A. 由△COM ≌△DON.，可得∠ COM= ∠COD ，故 A正确.B. 若 OM=MN ，则 △OMN 为等边三角形，由全等可知∠ COM= ∠COD= ∠DON=2°0 ，故 B 正确180 CODC.由题意， OC=OD ，∴∠ OCD= .设 OC2 180 与 OD 与MN 分别交于 R ，S ，易证△ MOR ≌△ NOS ，则OR=OS ，∴∠ ORS= 2∴∠ OCD= ∠ORS.∴MN ∥CD ，故 C 正确.D.由题意，易证 MC=CD=DN ，∴ MC+CD+DN=3CD. ∵两点之间线段最短 .∴MN < MC+CD+DN=3CD ，故选 D2. （2019 年河南省）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠D ＝90°，AD ＝4，BC ＝3．分别以点 A ， C 为圆心，大于 C 长为半径作弧，两弧交于点交 AC 于点 O ．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（）A ．2B ．4C ． 3D ．【考点】尺规作图、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解答】解：如图，连接 FC ，则 AF ＝FC ．∵AD ∥ BC ，∴∠ FAO ＝∠ BCO ．在 △FOA 与 △BOC 中，COD ，E ，作射线 BE 交 AD 于点F ，A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形考点】尺规作图、菱形的判定解答】解：由作图可知： AC ＝ AD ＝BC ＝ BD ，∴四边形ACBD 是菱形，故选： D．通过如下尺规作图，能确定点 D是BC 边中点的是（，∴△ FOA ≌△ BOC （ ASA ），∴AF ＝BC ＝3，∴FC ＝ AF ＝3，FD ＝AD ﹣AF ＝4﹣3＝1．在△FDC 中，∵∠ D ＝90°， ∴CD 2+DF 2＝FC 2，∴CD 2+12＝32，∴CD ＝2 ．故选： A ．3. （ 2019年湖北省襄阳市）如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于 C ，D 两点，连接 AC ，BC ，AD ，BD ，则四边形 ADBC 一定是（）4. （2019 年湖北省宜昌市） C ． D ．考点】尺规作图解答】解：作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．由此可知：选项 A 符合条件，故选： A ．5. （2019年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC 中，∠ B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC 于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF 交边BC 于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG 的面积是（）A ．BP 是∠ ABC 的平分线B．AD ＝BDC ．S△CBD：S△ ABD＝1： 3 D．CD＝BD考点】尺规作图-角的平分线A ．1 B．C． 2考点】尺规作图-角的平分线解答】解：由作法得AG 平分∠ BAC，∴G点到AC的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以△ACG 的面积＝×4×1＝2．故选： C ．D．6. （2019 年新疆）如图，在△ ABC 中，∠ C＝90°，∠ A＝30°，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP 交AC 于点D．则下列说法中不正确的是（）解答】解：由作法得BD 平分∠ ABC，所以 A 选项的结论正确；∵∠ C＝90°，∠ A＝30∴∠ ABC＝60°，∴∠ ABD＝30°＝∠ A，∴AD＝BD，所以 B 选项的结论正确；∵∠ CBD＝∠ ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以 D 选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴ S△ABD＝2S△CBD，所以 C 选项的结论错误．故选： C ．二、填空题1. （2019 年辽宁省本溪市）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ ABD 内交于点G，作射线BG 交AD 于点P，若AP＝3，则点P到BD 的距离为．考点】尺规作图解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ ABD，∵∠ A＝90°，AP＝3，∴点P到BD 的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．1. （2019 年山东省菏泽市）如图，四边形ABCD 是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC ＝4，∠ BAC＝30°，求BE 的长．考点】尺规作图、垂直平分线解答】解：（1）如图所示：（2）∵四边形ABCD 是矩形，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴ AE＝EC ，∠ CAB ＝∠ ACE＝30°，∴∠ ECB＝60°，∴∠ ECB＝30°，∵BC＝4，∴ BE＝．2. （2019年山东省济宁市）如图，点M 和点N在∠ AOB 内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠ AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．考点】作角平分线、作线段垂直平分线解答】解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠ AOB两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的3. （2019 年山东省青岛市）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l 及l 上两点A，B．考点】尺规作图解答】解：如图，△ ABC 为所作．4. （2019 年山东省枣庄市）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠ CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF ，垂足为E，交AD 于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠ DBF 的度数．考点】尺规作图-线段的垂直平分线、菱形的性质解答】解：（1）如图所示，直线EF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ ABD＝∠ DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠ A＝∠C．∴∠ ABC＝150°，∠ ABC+∠C＝180°，∴∠ C＝∠ A＝30°，∵ EF 垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠ A＝∠ FBA ＝30°，∴∠ DBF ＝∠ ABD﹣∠ FBE＝455. （2019 年四川省达州市）如图，在Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．① 作∠ ACB 的平分线，交斜边AB 于点 D ；② 过点 D 作BC 的垂线，垂足为点 E ．（2）在（1）作出的图形中，求DE 的长．考点】尺规作图-角的平分线、相似三角形解答】解：（1）如图，DE 为所作；（2）∵CD 平分∠ ACB，∴∠ BCD＝∠ ACB＝45°，∵DE⊥ BC，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥ AC，∴△ BDE ∽△ BAC ，＝，即＝．6. （2019 年广西贵港市）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF ，使△DEF≌△ABC．△ABC 中，∠ C=900，AC=4, BC=8,（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线;（保留作图痕迹,不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D,求BD 的长.解答】解：（1）略；2）由作图可知AD ＝BD，设BD= x，∵∠ C=900，AC=4, BC=8，则CD＝（8- x），∴由勾股定理可得：AC 2+CD 2=AD 2;∴42+x2=（8-x）2;考点】尺规作图-线段的垂直平分线、勾股定理∴DE＝7. （2019 年江苏省泰州市）如图，、全等三角形的判定解得：x＝ 5.∴ BD ＝ 5.8. （2019年陕西省）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，求作△ ABC 的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B和点P 的距离相等．（不写作法，保留考点】尺规作图-角平分线解答】解：如图，点M 即为所求，10. （2019 年甘肃省武威市）已知：在△ ABC 中，AB＝AC．（1）求作：△ ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝考点】尺规作图-线段的垂直平分线解答】9. 2019 年甘肃省）如图，在△ ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP，求作一点M ，使作图痕迹）考点】尺规作图-角平分线、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心解答】解：（1）如图⊙O 即为所求．（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E．由题意OE＝4，BE＝EC＝3，在Rt△ OBE 中，OB ＝＝5，2∴S 圆O＝π?5 ＝25π．故答案为25π．11. （2019 年内蒙古赤峰市）已知：AC 是? ABCD 的对角线．（1）用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△ DCE的周长．考点】尺规作图-垂直平分线、平行四边形的性质解答】解：（1）如图，CE 为所作；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵点E在线段AC 的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴△ DCE 的周长＝CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD ＝5+3＝8．。

2024年中考化学真题分项汇编(全国通用)专题19 物质的转化及推断(第02期)(原卷版+解析)

专题19 物质的转化及推断1．（2023·山东济宁·中考真题）通过物质间相互反应可以实现物质间的相互转化。

下列物质间的转化，通过一步化学反应不能实现的是（）A．Ca(OH)2→CaCO3→Ca(HCO3)2B．CuO→Cu(OH)2→CuSO4C．H2→H2O→O2D．NaOH→Na2SO4→NaC12．（2023·广西·中考真题）下列物质间转化均能通过一步反应实现的是（）A．Cu→Cu（NO3）2→KNO3B．Fe→Fe2O3→FeCl2C．Na2SO4→NaNO3→NaCl D．KOH→Ba（OH）2→NaOH3．（2023·广东深圳·中考真题）“一”表示物质可以发生反应，“→”表示物质可以转换，下列说法不正确的是（）A．①的现象是有气泡产生B．①可用于碳的不完全燃烧C．①可用于工业炼铁D．隔绝氧气或者水可以防止①的发生4．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图所示，“—”表示相连的两种物质能发生反应，“→”表示一种物质能转化成另一种物质，部分反应物、生成物及反应条件未标出。

下列说法与图示关系不符．．的是（）A．甲不能是碱B．丙不能是单质C．甲乙可以都是氧化物D．甲乙丙可以是不同类别的物质5．（2023·湖南岳阳·中考真题）甲、乙、丙是初中化学常见的三种物质，他们之间的转化关系如图所示（“→”表示反应可一步实现，部分物质和反应条件略去）。

下列推断正确的是（）A．若甲是H2O，则乙可能是CaCl2B．若甲是CO2，则丙可能是H2C．若甲转化为乙是置换反应，则乙转化为丙不可能也是置换反应D．若甲转化为乙是复分解反应，则乙转化为丙不可能也是复分解反应6．（2023·河南·中考真题）弘扬红旗渠精神，走强国富民之路。

20世纪60年代，河南林县(今林州市)人民在太行山上修成了“人工天河”红旗渠。

浙江省2019年中考数学复习(含近9年中考真题) 第一部分考点研究第七单元图形的变化第28课时尺规作图

第一部分考点研究第七单元图形的变化第28课时尺规作图浙江近9年中考真题精选(2009～2017)),)命题点1五种基本尺规作图类型一五种基本尺规作图的作法(杭州2013.17、台州2016.7、绍兴2016.8)1. (2017衢州7题3分)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线、则对应选项中作法错误．．的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④2. (2015嘉兴9题4分)数学活动课上、四位同学围绕作图问题：“如图、已知直线l 和l外一点P、第2题图用直尺和圆规作直线PQ、使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形、其中作法错误的是( )3. (2016丽水9题3分)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD、以下四个作图中、作法错误的是( )4. (2016绍兴8题4分)如图、在Rt △ABC 中、∠B ＝90°、∠A ＝30°.以点A 为圆心、BC 长为半径画弧交AB 于点D 、分别以点A 、D 为圆心、AB 长为半径画弧、两弧交于点E 、连接AE 、DE 、则∠EAD 的余弦值是( )第4题图A.312 B. 36 C. 33 D. 325. (2013杭州17题6分)如图、四边形ABCD 是矩形、用直尺和圆规作出∠A 的平分线与BC 边的垂直平分线的交点Q (不写作法、保留作图痕迹)．连接QD 、在新图形中、你发现了什么？请写出一条．第5题图6. (2010杭州18题6分)如图、在平面直角坐标系xOy 中、点A (0、8)、点B (6、8)． (1)只用直尺(没有刻度)和圆规、求作一点P 、使点P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹、不必写出作法)：①点P 到A 、B 两点的距离相等； ②点P 到∠xOy 的两边的距离相等． (2)在(1)作出点P 后、写出点P 的坐标．第6题图类型二五种基本尺规作图的相关计算(绍兴2考)7. (2017绍兴15题5分)以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心、适当长为半径作弧、与边AB 、AC 各相交于一点、再分别以这两个交点为圆心、适当长为半径作弧、过两弧的交点与点A 作直线、与边BC 交于点D .若∠ADB ＝60°、点D 到AC 的距离为2、则AB 的长为________．8. (2016湖州13题4分)如图、在Rt △ABC 中、∠ACB ＝90°、BC ＝6、AC ＝8.分别以点A 、B 为圆心、大于线段AB 长度一半的长为半径作弧、相交于点E 、F.过点E 、F 作直线EF 、交AB 于点D 、连接CD 、则CD 的长是________．第8题图9. (2015丽水19题6分)如图、已知△ABC 、∠C ＝90°、AC ＜BC 、D 为BC 上一点、且到A 、B 两点的距离相等．(1)用直尺和圆规、作出点D 的位置(不写作法、保留作图痕迹)； (2)连接AD 、若∠B ＝37°、求∠CAD 的度数．第9题图10. (2012绍兴18题8分)如图、AB ∥CD 、以点A 为圆心、小于AC 长为半径作圆弧、分别交AB 、AC 于E 、F 两点、再分别以E 、F 为圆心、大于12EF 长为半径作圆弧、两条圆弧交于点P、作射线AP、交CD于点M.(1)若∠ACD＝114°、求∠MAB的度数；(2)若CN⊥AM、垂足为N、求证：△ACN≌△MCN.第10题图命题点2三角形的作法及计算(杭州3考、绍兴2考)11. (2015衢州7题3分)数学课上、老师让学生尺规作图画Rt△ABC、使其斜边AB＝c、一条直角边BC＝a、小明的作法如图所示、你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )A. 勾股定理B. 直径所对的圆周角是直角C. 勾股定理的逆定理D. 90°的圆周角所对的弦是直径第11题图12. (2012绍兴7题4分)如图、AD为⊙O的直径、作⊙O的内接正三角形ABC、甲、乙两人的作法分别如下：第12题图甲：1.作OD 的中垂线、交⊙O 于B 、C 两点； 2．连接AB 、AC .△ABC 即为所求作的三角形．乙：1.以D 为圆心、OD 长为半径作圆弧、交⊙O 于B 、C 两点； 2．连接AB 、BC 、CA 、△ABC 即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法、可判断( ) A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C. 甲正确、乙错误 D. 甲错误、乙正确13. (2014绍兴14题5分)用直尺和圆规作△ABC 、使BC ＝a 、AC ＝b 、∠B ＝35°、若这样的三角形只能作一个、则a 、b 间满足的关系式是________．14. (2009杭州20题8分)如图、已知线段a .(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规、求作一个直角三角形ABC 、以AB 和BC 分别为两条直角边、使AB ＝a 、BC ＝12a (要求保留作图痕迹、不必写出作法)；(2)若在(1)作出的Rt △ABC 中、AB ＝4 cm 、求AC 边上的高．第14题图15. (2012杭州19题8分)如图是数轴的一部分、其单位长度为a 、已知△ABC 中、AB ＝3a 、BC ＝4a 、AC ＝5a .(1)用直尺和圆规作出△ABC (要求：使点A 、C 在数轴上、保留作图痕迹、不必写出作法)；(2)记△ABC 的外接圆的面积为S 圆、△ABC 的面积为S △、试说明S 圆S △＞π.第15题图16. (2015杭州21题10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形、记这些三角形的三边分别为a、b、c、并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．(1)用记号(a、b、c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形、如(2、3、3)表示边长分别为2、3、3个单位长度的一个三角形、请列举出所有满足条件的三角形；(2)用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形(用给定的单位长度、不写作法、保留作图痕迹)．第16题图17. (2014杭州20题10分)把一条12个单位长度的线段分成三条线段、其中一条线段长为4个单位长度、另两条线段长都是单位长度的整数倍．(1)不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作出这些三角形(用给定的单位长度、不写作法、保留作图痕迹)；(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长．第17题图命题点3其他尺规作图的作法及相关计算(绍兴2013.9)18. (2013绍兴9题4分)小敏在作⊙O的内接正五边形时、先做了如下几个步骤：(1)作⊙O的两条互相垂直的直径、再作OA的垂直平分线交OA于点M、如图①；(2)以点M为圆心、BM长为半径作圆弧、交CA于点D、连接BD、如图②.若⊙O的半径为1、则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式正确的是( )第18题图A. BD 2＝5－12OD B. BD 2＝5＋12OD C. BD 2＝5OD D. BD 2＝52OD 19. (2017嘉兴19题6分)如图、已知△ABC 、∠B ＝40°.(1)在图中、用尺规作出△ABC 的内切圆O 、并标出⊙O 与边AB 、BC 、AC 的切点D 、E 、F (保留痕迹、不必写作法)；(2)连接EF、DF 、求∠EFD 的度数．第19题图答案1. C 【解析】③根据其作法确定的点只有一个、而必须是两点才能确定一条直线、因此③是错误的．2. A3. D4. B 【解析】如解图所示：设BC ＝x 、∵在Rt △ABC 中、∠B ＝90°、∠A ＝30°、∴AC ＝2BC ＝2x 、AB ＝3BC ＝3x 、根据题意得：AD ＝BC ＝x 、AE ＝DE ＝AB ＝3x 、作EM ⊥AD于M 、则AM ＝12AD ＝12x 、在Rt △AEM 中、cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x ＝36.第4题解图5. 解：如解图：第5题解图(4分)【作法提示】1.以点A 为圆心、任意长为半径作弧、分别交AD 、AB 于点E 、F ；2.分别以点E 、F 为圆心、以大于12EF 长为半径作弧、两弧交于点G ；3.作射线AG 、则射线AG为∠A 的平分线.4.分别以点B 、C 为圆心、以大于12BC 长为半径作弧、两弧交于N 、M 两点；2.作直线MN 交AG 于点Q 、则Q 点为∠A 的平分线与BC 边的垂直平分线的交点．图中发现以下结论：(1)∵MN 是BC 的中垂线、矩形ABCD 中、AD ∥BC 、且AD ＝BC 、 ∴MN 是AD 的中垂线、 ∴QA ＝QD ；(2)∵AQ 是∠A 的角平分线、 ∴∠QAD ＝45°、∴△AQD 是等腰直角三角形． (答案不唯一、写出一条即可．)(6分) 6. 解：(1)如解图、点P 即为所求作的点；第6题解图(4分)(2)设AB 的中垂线交AB 于E 、交x 轴于F 、由作图可得、EF ⊥AB 、EF ⊥x 轴、且OF ＝3、 ∵OP 是∠xOy 的角平分线、 ∴P (3、3)．(6分)7. 2 3 【解析】根据题意作图、可得一个一角为30°的特殊直角三角形、较短直角边长度为2、AB 为较长直角边、所以AB ＝2 3.8. 5 【解析】由作图可得EF 垂直平分AB 、∴点D 是AB 的中点、∵∠ACB ＝90°、∴CD 为斜边AB 的中线、∴CD ＝12AB .∵BC ＝6、AC ＝8、∴AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10、∴CD ＝5.9. 解：(1)点D 的位置如解图所示、D 为线段AB 的垂直平分线与BC 的交点；(2分)第9题解图(2)∵在Rt △ABC 中、∠B ＝37°、 ∴∠CAB ＝53°.(3分) 由(1)知AD ＝BD 、∴∠BAD ＝∠B ＝37°、(4分)∴∠CAD ＝∠CAB －∠BAD ＝53°－37°＝16°.(6分) 10. (1)解：∵AB ∥CD 、 ∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°、 ∵∠ACD ＝114°、 ∴∠CAB ＝66°.由作法知、AM 是∠CAB 的平分线、 ∴∠MAB ＝12∠CAB ＝33°.(4分)(2)证明：由作法知、AM 平分∠CAB 、 ∴∠CAM ＝∠MAB . ∵AB ∥CD 、 ∴∠MAB ＝∠CMA 、 ∴∠CAM ＝∠CMA 、又∵CN ⊥AM 、CN ＝CN 、 ∴△ACN ≌△MCN .(8分)11. B 【解析】从图中可以看出∠ACB 是直径AB 所对的圆周角、是直角． 12. A 【解析】根据甲的思路、作图如解图①、连接OB 、∵BC 垂直平分OD 、∴E 为OD 的中点、且OD ⊥BC 、∴OE ＝DE ＝12DO 、又∵OB ＝OD 、在Rt △OBE 中、OE ＝12OB 、∴∠OBE＝30°、又∵∠OEB ＝90°、∴∠B O E ＝60°、∵OA ＝OB 、∴∠OAB ＝∠OBA 、又∵∠BOE 为△AOB 的外角、∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°、∴∠ABC ＝∠ABO ＋∠OBE ＝60°、同理∠C ＝60°、∴∠BAC ＝60°、∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠C 、∴△ABC 为等边三角形、故甲作法正确；根据乙的思路作图如解图②、连接OB 、DB 、∵OD ＝BD 、OD ＝OB 、∴OD ＝BD ＝OB 、∴△BOD 为等边三角形、∴∠OBD ＝∠BOD ＝60°、又BC 垂直平分OD 、∴OM ＝DM 、∴BM 为∠OBD 的平分线、∴∠OBM ＝∠DBM ＝30°、又∵OA ＝OB 、且∠BOD 为△AOB 的外角、∴∠BAO ＝∠A B O ＝30°、∴∠ABC ＝∠A B O ＋∠OBM ＝60°、同理∠A C B ＝60°、∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC 、∴△ABC 为等边三角形、故乙作法正确、故选A.第12题解图13. sin35°＝ba或b ≥a 【解析】如解图所示、先画BC ＝a 、再以B 为顶点、作∠ABC＝35°、然后再以C 为圆心、b 为半径画弧交AB 于点A 、然后连接AC 即可．若这样的三角形只能作一个、则a 、b 间满足的关系式是：①当AC ⊥AB 时、即sin35°＝ba；②满足b ≥a .第13题解图14. 解：(1)作图如解图、△ABC 即为所求的直角三角形；(4分)第14题解图(2)由勾股定理得、AC ＝2 5 cm 、设斜边AC 上的高为h 、△ABC 面积等于12×4×2＝12×25×h 、(6分)所以h ＝455.(8分)15. 解：(1)如解图①所示；第15题解图①(4分)(2)如解图②所示、∵△ABC 的外接圆的面积为S 圆、第15题解图②∴S 圆＝π×(5a 2)2＝25a24π、(6分)△ABC 的面积S △＝12×3a ×4a ＝6a 2、(7分)∴S 圆S △＝254a 2π6a 2＝2524π＞π.(8分) 16. (1)解：∵三边的长度都是大于1且小于5的整数个单位长度、且任意三角形都满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、∴满足条件的三角形有(2、2、2)、(2、2、3)、(2、3、3)、(2、3、4)、(2、4、4)、(3、3、3)、(3、3、4)、(3、4、4)、(4、4、4)．(6分)(2)解：∵a ＜b ＜c 、∴(2、3、4)符合题意、(8分) 作图如解图、△ABC 即为所求三角形．第16题解图(10分)17. 解：(1)作图如解图①、(6分)【解法提示】①分12个单位长度的线段、已知一条线段的长度为4个单位长度、则另两条线段和为8个单位长度、又由于所分线段的长度为已知单位长度的整数倍、故采用一般列举法：(1、7)、(2、6)、(3、5)、(4、4)、(5、3)、(6、2)、(7、1)、由于所分线段要构成三角形、则需要满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、故可选的只能为(3、5)、(4、4)、(5、3)、由于不全等、即可构成的三角形可能选择(3、5)、(4、4)两种情况；②利用已知三边作三角形、可先作一条已知线段为边、再分别用另两条线段为半径、已知线段两端点为圆心画弧、两弧交点为第三个顶点、分别连线即可．(2)当三角形三边长为3、4、5时、由勾股定理逆定理可知、三角形为直角三角形、则外接圆的直径为5、则周长为：C ＝2πr ＝2π×52＝5π；(8分)当三角形三边长为4、4、4、则三角形为等边三角形、如解图②、令AB 为一边、O 为外接圆圆心、作OH ⊥AB 于点H 、连接OA 、OB 、则OA 、OB 为三角形外接圆半径、且∠AOB ＝360°3＝120°、∠AOH ＝60°、AH ＝2、sin ∠AOH ＝AH OA 、即32＝2OA 、∴OA ＝433、∴C ＝2πr ＝2π×433＝833π.(10分)第17题解图②18. C 【解析】如解图、连接BM 、根据题意得：OB ＝OA ＝1、AD ⊥OB 、BM ＝DM 、∵OA 的垂直平分线交OA 于点M 、∴OM ＝AM ＝12OA ＝12、∴BM ＝OM 2＋OB 2＝52、∴DM ＝52、∴OD ＝DM －OM ＝52－12＝5－12、∴BD 2＝OD 2＋OB 2＝5－52＝5（5－1）2＝5OD .19. 解：(1)如解图、⊙O 即为所求；第19题解图(3分)(2)连接OD 、则OD ⊥AB 、OE ⊥BC 、 ∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°、又∵∠B ＝40°、 ∴∠DOE ＝140°、 ∴∠EFD ＝70°.(6分)。

专题21 最值问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题21 最值问题一、基础知识在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数且0a ≠）其性质中有 ①若0a >当2b x a =-时，y 有最小值。

2min 44ac b y a -=； ②若0a <当2b x a =-时，y 有最大值。

2max 44ac b y a -=。

利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。

2.一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得0∆≥，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有22a b k k ++≥，当且仅当0a b ==时，等号成立，即22a b k ++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

二、专题典型例题考法及其解析【例题1】二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为．【例题2】要使代数式x 32 有意义，则x 的（）A.最大值为32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为23 【例题3】如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为．三、最值问题提训练题及其答案和解析1．如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．2.某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80－3x 120－x 储存和损耗费用(元) 40＋3x 3x 2－64x ＋400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？3. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为50030R x =+，1702P x =-。

专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练原卷版)

专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一 A 型典例1 （2021•徐州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且AD DB =CE EB =32，△DBE 与四边形ADEC 的面积的比．针对训练1．（2022•凉山州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ，AD DB =23，DE ＝6cm ，则BC 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm类型2 X 型典例2（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果AC OC =BD OD=3，且量得CD ＝4cm ，则零件的厚度x 为（）A ．2cmB ．1.5cmC ．0.5cmD ．1cm 针对训练1．（2022秋•保定期末）如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB．（1）求证：△ADE∽△CDB．（2）若AB＝4，DCAD =12，求BC的长．类型3 “斜交线”型（斜A型）典例3如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：△DEB∽△ACB；（2）求线段DE的长．针对训练1．（2022秋•射洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度．当P、Q运动时，△ABC 与△QBP相似．类型4 “一线三等角”型（K型相似）典例4 （2022•兴化市模拟）在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，则△ABC的边长为．典例5（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD=4 5．（1）当BC∥AD时（如图2），求AB的长；（2）联结BD，交边AC于点E，①设CE＝x，AB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②当△BDC是等腰三角形时，求AB的长．针对训练1．如图，在等边△ABC中，点P是BC上一点，点D是AC上一点，∠APD＝60°．（1）若BP＝1，CD=23，求△ABC的边长；（2）若AB＝3，BP＝x，CD＝y，求y与x之间的函数关系，并求y的最大值．类型5 “母子”型典例6（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是．针对训练1．（2017•泰安模拟）如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD＝AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（）A．1个B．4个C．3个D．2个类型6 “手拉手”型典例7（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE 的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．针对训练1．（2022秋•靖江市期末）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 在边AB 上，CE 2＝BE •DE ．（1）求证：∠DCE ＝45°；（2）当AC ＝3，AD ＝2BD 时，求DE 的长．第二部分专题提优训练1．（2022秋•海港区期末）如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC =AG GD ；②EF FC =BF DF ；③FC GF =BF DF ；④EA EB =AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．22．（2022•环翠区一模）如图，把两个含30°角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N 是AB 边的中点，连接DN 交BC 于点M ，则CM CB的值为（）A ．925B ．25C ．1125D ．12253．（2021秋•藤县期末）如图，点A ，B ，C 在同一直线上，∠A ＝∠DBE ＝∠C ，则下列结论：①∠D ＝∠CBE ，②△ABD ∽△CEB ，③AD BC =BD BE ，其中正确的结论有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022•两江新区模拟）如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线上一点，连接AE 并延长交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥AE 交BC 于点G ，若AB ＝8，AD ＝6，BG ＝2，则AE ＝（）A ．4175B ．6175C ．7175D ．81755．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（）A ．4B ．133C ．143D ．56．（2019•阜新）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ．若AC ＝8，BC ＝6，则线段DE 的长度为．7．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD 如图5所示，其中∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝7厘米，BC ＝9厘米，CD ＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是平方厘米．8．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝313，BC ＝6，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为　．9．（2022秋•静安区期末）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．10．（2022秋•松原期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是　（不需要证明）；探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝度．。

2019中考数学命题组归纳的28个考点

2019中考数学命题组归纳的28个考点相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小。

考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算锐角三角比(2个考点)考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

二次函数(4个考点)考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。

考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

考点12：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像。

中考专题1 【原创】2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)

中考专题1 图形变换压轴题汇总（28道题）后附答案详解1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．2．（2017•连云港四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．（1）求证BM=DN；（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．24．（2017•长春模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．25．（2017•大冶市模拟）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．26．（2017•大东区二模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC 上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．27．（2017•阳谷县一模）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．（1）如果=，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．28．（2017•杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．答案解析1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°，所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．2．（2017•连云港四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【解答】解：操作与证明：（1）BE=AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE=∠ACD=30度，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．（2）BE=AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE=∠ACD=α，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．猜想与发现：当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【解答】解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，∵，即AP′2+PP′2=AP2；∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；（7分）∴∠BPC=135°，正方形边长为．4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为相等和位置关系为垂直；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【解答】（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．（1）求证BM=DN；（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCB=90°，CD=CB，∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，∴∠BCM=∠DCN，∵∠CBM=∠ABC=45°，∴∠CBM=∠CDN，在△BCM和△DCN中，∴△BCM≌△DCN，∴BM=DN；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形；由（1）得△CDF为等腰三角形；∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，∴CE=CG，∠ECG=90°，∴△ECG为等腰直角三角形；∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形；∴△BDF为等腰直角三角形．7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．【解答】解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠CBA=∠CAB=30°，∵∠ADC=45°，∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，∴∠CC'B=∠C'CB=75°；②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，在△C'BD'和△CAE中，，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，∴AH=BH=HC=2，在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，AH=2，∠AEH=30°，∴EH==2，∴EB=EH﹣BH=2﹣2．（2）证明：如图2中，连接AD．∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，∴△BHD∽△CHA，∴=，∴=，∵∠AHD=∠CHB，∴△AHD∽△CHB，∴∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，∴∠ADB=90°+45°=135°，∴∠ADE=360°﹣90°﹣135°=135°，∴∠ADE=∠ADB，在△ADE和△ADB中，，∴△ADE≌△ADB，∴∠DAE=∠DAB，∵∠DAB=∠BCH，∴∠EAH=2∠HCB．9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．【解答】解：（1）如图1，∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=，∠EDC=∠DEC=45°，∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=90°，∴AE==12，∴DE=7，∴等腰Rt△CDE中，CD=DE=；（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD+∠ACE=180°，∴∠CAE=∠BCD，∵CF⊥BD，∠ACB=90°，∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，∴∠CBF=∠ACG，在△BCD和△CAH中，，∴△BCD≌△CAH（ASA），∴AH=CD=CE，BD=CH，又∵AH∥CE，∴四边形ACEH是平行四边形，∴CH=2CG，∴BD=2CG．10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EAC+∠BDC=90°，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∵∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN，∴△PMN为等腰直角三角形；（2）①中的结论成立，理由：设AE与BC交于点O，如图②所示：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°，∴AE⊥BD，∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD，PN=AE，PN∥AE，∴PM=PN．∵AE⊥BD，∴PM⊥PN，∴△PMN为等腰直角三角形．11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．【解答】解：四边形ACDM是菱形．证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【解答】解：（1）CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC与△CEB中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中点G，连接GM，GN，∵M，N分别是BE，CD的中点，∴GM，GN是中位线，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点F为线段AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG；（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=1，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴=，=，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．【解答】解：（1）∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠BFD=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABF+∠DBF=90°，∴∠BAF=∠DBF，∴△ABF∽△BDF，∴=，即AB•DF=BF•BD，由AB=BC，AB⊥BC，∴AB=AC，∴AC•DF=BF•BD；（2）∵=，AB=BC、BD=DE，∴=，∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，∴∠FBC=∠EDF，∴△FBC∽△FDE，∴∠BFC=∠DFE，又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°．（3）当C为BD中点时，CE∥BF，理由如下：∵C为BD中点，∴AB=BC=CD=BD=DE，在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴∠ADB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ADB+∠ECD=90°，∴CE⊥AD，∵BF⊥AD，∴CE∥BF．。

专题06 数据的分析-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(解析版)

专题06 数据的分析一、基础知识1.平均数有算术平均数和加权平均数平均数的求法：x=1n(x1+x2+…+x n)；加权平均数计算公式为：x=1n(x1f1+x2f2+…+x k f k)，其中f1，f2，…，f k代表各数据的权.2.中位数的求法数据从大到小或从小到大排好顺序以后，若为偶数个数，就是最中间的两个数加起来除以2，即两个数的平均数;若为奇数个数，就是中间个数.3.众数：指一组数据中出现次数最多的数.4.极差:用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。

5.方差:用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差。

方差公式为：s2=1n［(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xｎ-x)2］，方差越小，数据越稳定.二、本专题典型题考法及解析【例题1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组7名同学的成绩分别为：129，136，145，136，148，136，150．则这次考试的平均数和众数分别为（）A．145，136 B．140，136C．136，148 D．136，145【答案】B【解析】考点是众数和加权平均数．.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．在这一组数据中136是出现次数最多的，故众数是136；他们的成绩的平均数为：（129+136+145+136+148+136+150）÷7=140．【例题2】近十天每天平均气温（℃）统计如下：24，23，22，24，24，27，30，31，30，29．关于这10个数据下列说法不正确的是（）A．众数是24 B．中位数是26C．平均数是26.4 D．极差是9【解析】考点包括极差；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．∵数据24出现了三次最多，∴众数为24，故A选项正确；∵数据按从小到大的顺序排列为：22，23，24，24，24，27，29，30，30，31，∴中位数为（24+27）÷2=25.5，故B选项错误；平均数=（22+23+24×3+27+29+30×2+31）÷10=26.4，故C选项正确；极差=31﹣22=9，故D选项正确．三、数据的分析问题训练题及其答案和解析1.某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（）A． 10，12 B． 12，11C． 11，12 D． 12，12【答案】C【解析】考点有众数和中位数．菁优网版权所有先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解．原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，所以这组数据的中位数==11，众数为12．2.如图是成都市某周内最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．极差是8℃ B．众数是28℃C．中位数是24℃ D．平均数是26℃【解析】根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．由图可得，极差是：30﹣20=10℃，故选项A错误，众数是28℃，故选项B正确，这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，平均数是：=℃，故选项D错误。

专题28 圆的问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(解析版)

专题28 圆的问题一、基础知识1.基本概念规律(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.3.与圆有关的公式设圆的周长为r ，则：（1）求圆的直径公式d=2r（2）求圆的周长公式 C=2πr（3）求圆的面积公式S=πr 24.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式5．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S 表=S 底×2+S 侧=2πr 2+2πr h 1802360r n r n l ππ=⋅=2360r n s π⋅=lr s 21=或6.圆锥侧面积体积公式（1）圆锥侧面积计算公式从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S圆锥侧=S扇形== πrl（2）圆锥全面积计算公式:S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr2=πr（l ＋r）二、解题要领1.判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

专题04 一元二次方程及其应用-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题04 一元二次方程及其应用一、基础知识1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

（1）直接开方法。

适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。

（2）配方法。

套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

（3）公式法。

当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

a b x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。

（4）因式分解法。

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

江西省2019届中考数学最后专题练之创新画图题附全解全析

江西省2019届中考数学最后专题练之创新画图题类型一以圆、半圆为辅助画图1.请仅用无刻度的直尺，用连线的方法在图①、图②中分别过圆外一点A画出直径BC 所在直线的垂线．第1题图第2题图2. 如图，A、B在圆上，图①中，点P在圆内，图②中，点P在圆外，请仅用无刻度的直尺按要求画图．求作△CDP，使△CDP与△ABP相似，且C、D在圆上，相似比不为1.3.在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请仅用无刻度的直尺画图．(1)在图①中，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；(2)在图②中，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作直线将△ACB的面积平分．第3题图第4题图4.在图①、图②中，四边形ABCD为矩形，某圆经过A，B两点，请仅用无刻度的直尺画出符合要求的图形．(保留痕迹，不写画法)(1)在图①中画出该圆的圆心O；(2)在图②中画出线段CD的垂直平分线．5. 如图，已知AB是⊙O的直径，在四边形ABCD中，BC＝CD＝DA，且CD∥AB，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)作∠BCD的平分线；(2)在圆上任选两点M、N(不与A、B、C、D重合)，使＝.第5题图第6题图6. 如图，在△ABC中，AB＝BC，O为AB的中点，以OA为半径画弧，与AC相交于D，连接BD；请仅用无刻度的直尺画图，保留必要的画图痕迹．(1)在图①中找到BC的中点M；(2)在图②中过点D，作直线l∥AB.7. 如图①，⊙O1是△A1B1C1的内切圆；如图②，⊙O2是△A2B2C2的外接圆．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，保留必要的画图痕迹．(1)在图①中，画出△A1B1C1的三条角平分线；(2)在图②中，画出以A2B2为一边的矩形A2B2D2E2，其中点D2、E2均在⊙O2上．第7题图第8题图8. 如图，请仅用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线．(不要求写出作法，保留作图痕迹)(1)如图①，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC；(2)如图②，已知四边形ABCD为矩形，AB、CD与⊙O分别交于点E、F.9. 等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD.(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图①，∠A<90°；(2)如图②，∠A>90°.第9题图第10题图10. 如图，图①、图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．(1)如图①，已知A、C两点在⊙O内，B、D两点在⊙O上，在图中找出圆心O的准确位置；(2)如图②，已知A、C、D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°，在图中找出圆心O 的准确位置．11.如图，▱ABCD的顶点A、B、D均在⊙O上，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)AB边经过圆心O，在图①中作一条与AD边平行的直径；(2)AB边不经过圆心O，DC与⊙O相切于点D，在图②中作一条与AD边平行的弦．第11题图类型二以网格为辅助画图1. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°)，仅用无刻度直尺画一个面积最大的直角三角形和一个四条边均不在网格线上的矩形，要求所画图形的顶点均落在格点上．第1题图2. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图①、图②中画出△ABC的AB边上的高．第2题图3. 如果一个六边形各个内角相等，且既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么我们就把这个六边形叫做等六边形，如图①中的正六边形ABCDEF就是一个等六边形．请仅用无刻度的直尺分别在图②、图③的正三角形网格中各画一个等六边形．要求：(1)等六边形的顶点都是正三角形网格的顶点；(2)图①、图②、图③中的等六边形互不全等．第3题图4.如图，在边长为1的正方形网格中画一个圆心为O的半圆，请按要求准确画图．(1)请在图①中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份；(2)请在图②网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆的半径不同，但面积相等的扇形．第4题图5. 图①和图②均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)如图①，在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小；(2)如图②，在四边形ACBD的对角线CD上确定一点P，使∠APC＝∠BPC.第5题图6. 如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，请仅用无刻度直尺在矩形中完成下列画图．(1)在图①中画出一个顶点均在格点上的非特殊的平行四边形；(2)在图②中画出一个顶点均在格点上的菱形．第6题图7. 如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在小正方形的顶点上，请仅用无刻度的直尺画图．(1)在图①中找一点D(点D在小正方形的顶点上)，连接AD、BD、CD，使△ABD与△BCD 相似；(2)在图②中找一点E(点E在小正方形的顶点上)，使△ABE与△BCE均为以BE为直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍．第7题图8. 在10×10的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．(1)在图①中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；(2)在图②中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大．第8题图类型三以正多边形为辅助画图1. (2019原创)如图，在正六边形ABCDEF中，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形，并用字母表示所画图形．(1)在图①中画出一个矩形；(2)在图②中画出一个菱形(要求菱形在正六边形的内部)．第1题图2. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝DE，CD＝CB，∠ABC＝120°.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形．(1)在图①中，作出图形的对称轴l；(2)在图②中，作出一个正六边形．第2题图3. 如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，请仅用无刻度的直尺，完成下列作图．(1)在图①中，作出一个边长等于DF的等边三角形；(2)在图②中，作出一个周长等于DF的等边三角形．第3题图4. 如图，已知正五边形ABCDE，AE∥CF交AB的延长线于点F.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形．(1)在图①中，作出一条长度等于BF的线段；(2)在图②中，作出一条长度等于AF的线段．第4题图类型四以三角形为辅助画图1.根据下列条件和要求，仅使用无刻度的直尺画图，并保留画图痕迹．(1)如图①，△ABC中，∠C＝90°，在三角形的一边上取一点D，画一个钝角△DAB；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，ED是△ABC的中位线，画出△ABC的边BC上的高．第1题图2. (2019原创)如图，是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画出一个直角三角形，使得AB为三角形的一条边；(2)在图②中画出AD的垂直平分线．第2题图3. 请仅用无刻度的直尺按要求作图．(不写作法，保留作图痕迹)(1)如图①，AD、BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，作出∠C的平分线；(2)如图②，AC与BD相交于点O，且∠DAO＝∠BAO＝∠CBO＝∠ABO，作出∠AOB 的平分线．第3题图4. 请仅用无刻度直尺，根据下列条件分别在图①和图②中画出BC的垂直平分线．(1)如图①，AB＝AC，BD＝CD；(2)如图②，AB＝AC，EB＝FC.第4题图5. 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)如图①，点P为AB上任意一点，在AC上找出一点P′，使AP＝AP′；(2)如图②，点P为BD上任意一点，在CD上找出一点P′，使BP＝CP′.第5题图6. 如图，D、E为线段BC上的点，MN为△ABC的中位线，点A在线段BC外，且AB ＝AC，AD＝BD，AE＝CE，请仅用无刻度直尺按要求画图．(1)如图①，确定△ABC的外心P的准确位置；(2)如图②，在AC上取一点K，连接NK，使四边形AMNK为菱形．第6题图类型五以特殊四边形为辅助画图1.如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，过点B作BE∥AC，过点C作CE⊥BE，垂足为E，请用两种不同的方法，仅用无刻度．．．．．的直尺在图中画出一条与CD相等的线段．第1题图2.如图①、图②，四边形ABCD是正方形，DE＝CE.请仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图．(1)在图①中，画出CD边的中点；(2)在图②中，画出AD边的中点．第2题图3.在图①、②中，点E是矩形ABCD边AD上的中点，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画(作)图痕迹，不写画(作)法](1)在图①中，以BC为一边画△PBC，使△PBC面积等于矩形ABCD面积；(2)在图②中，以BE、ED为邻边画▱BEDK.第3题图4. 在正方形ABCD中，点P是BC的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画出AD的中点M；(2)在图②中画出对角线AC的三等分点E，点F.第4题图5. (2019原创)如图是由三个等边三角形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画出图形．(1)在图①中画出△ABC的AB边上的高；(2)在图②中画出一个矩形．第5题图6. (2019原创)如图，是正方形和菱形组成的图形，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画出一个平行四边形；(2)在图②中画出∠CDF的平分线．第6题图7. (2019原创)如图，菱形ABCD，点P是AB的中点，连接CP.请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画出BC边的中点E；(2)在图②中画出∠DCF，使得∠DCF＝∠BCP.第7题图8. 如图，四边形ABCD，图①中AB＝AD，BC＝DC；图②中AB＝BC＝CD＝AD，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)图①中，已知P为AD上任意一点，作线段DQ，使DQ＝BP；(2)图②中，已知CE⊥AB，垂足为E，过点C作AD的垂线，垂足为F.第8题图江西中考最后专题练之创新画图题答案全解全析类型一以圆、半圆为辅助画图1.①作图如解图①，直线AD即为所求；第1题解图①②作图如解图②，直线AE即为所求．第1题解图②【作法提示】①连接AB，AC，分别与圆交于点E，F，连接EC，BF，交于点Q，连接AQ，并延长交BC于点D，AD即为所求；②连接AB，与圆交于点D，连接AC并延长交圆于点F，连接DC、BF并延长交于点Q，连接AQ，延长BC交AQ于点E，AQ即为所求．2.①作图如解图①，△CDP即为所求；②作图如解图②，△CDP即为所求；图①图②第2题解图【作法提示】①延长AP，BP交圆于D，C两点，连接CD，△CDP即为所求；②AP 与圆交于点D，延长PB交圆于C点，连接CD，△CDP即为所求．3. (1)作图如解图①、②，∠CBP、∠BCP即为所求；(答案不唯一)图①图②第3题解图(2)作图如解图③，直线AE将△ACB的面积平分．第3题解图③【作法提示】(1)①连接BO与圆交于点P，∠CBP即为所求；②连接OC与圆交于点P，∠BCP即为所求；(2)连接DC与AB交于点F，作直线OF交BC于点E，连接AE，AE即为所求．4. (1)作图如解图①，点O即为所求；(2)作图如解图②，直线QE即为所求．图①图②第4题解图【作法提示】(1)延长AD，BC分别交圆于点E，F，连接EB，AF交于点O，O点即为所求；(2)由(1)得到点O，E，F，连接BD，AC交于点G，连接OG交圆于点Q，QG即为所求．5. (1)作图如解图①，CO即为所求；(2)作图如解图②，点M、N即为所求．图①图②第5题解图【作法提示】(1)连接DO ，由题意知四边形OBCD 为菱形，连接CO ，CO 即为∠BCD 的角平分线；(2)连接DO 并延长交⊙O 于点M ，连接CO 并延长交⊙O 于N ，由题易知，∠DOC ＝∠BOC ，∠DOC ＝∠NOM ，∴∠NOM ＝∠BOC ，∴MN ︵＝BC ︵.6. (1)作图如解图①，点M 即为所求；第6题解图①(2)作图如解图②，直线l 即为所求．第6题解图②【作法提示】(1)由题意知，D 为AC 中点，O 为AB 中点，连接CO 与BD 交于点E ，连接AE 并延长与BC 交于点M ，M 即为BC 的中点；(2)在(1)的基础上，连接MD 并延长与圆交于点N ，由于M 、D 分别为BC 、AC 的中点，所以MD ∥BA ，直线l ∥AB .7. (1)作图如解图①所示；(2)作图如解图②所示．图①图②第7题解图【作法提示】(1)连接A 1O 1，B 1O 1，C 1O 1，连线即为所求；(2)连接A 2O 2交⊙O 2于点D 2，连接B 2O 2交⊙O 2于点E 2，连接A 2E 2，E 2D 2，D 2B 2，四边形A 2B 2D 2E 2即为所求．8. (1)作图如解图①，直线l 即为所求；(2)作图如解图②，直线l 即为所求．第8题解图【作法提示】(1)如解图①，连接AO 并延长，则AO 所在直线l 即为线段BC 的垂直平分线；(2)如解图②，连接AF ，DE 交于点O ，连接CE 、BF 交于点H ，连接OH ，则OH 所在的直线l即为线段BC的垂直平分线．9. (1)作图如解图①，DE即为所求；第9题解图①(2)作图如解图②，DE即为所求．第9题解图②【作法提示】(1)如解图①，设AC交圆于点E，连接AD，AE，由于AB为直径，则∠ADB ＝90°，由于AB＝AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠EAD，于是得到BD＝DE；(2)如解图②，延长CA交圆于E，连接BE，DE，与(1)一样得到∠BAD＝∠DAC，而∠DAC＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BAD＝∠BED，∴DE＝BD.10. (1)作图如解图①，点O即为所求；(2)作图如解图②，点O即为所求．第10题解图【作法提示】(1)如解图①，由于题中图形为轴对称图形，∴直线BD经过圆心，又由菱形的性质可得圆心O为菱形对角线的交点，故连接AC、BD，交点即为圆心O；(2)如解图②，直线BD经过圆心，由∠A＝90°可得四边形ABCD为正方形，故∠B＝90°，∴∠B所对的弦为直径，故作出∠B所对的弦，该弦与BD的交点即为圆心O.11. (1)作图如解图①，EF即为所求；(2)作图如解图②，GH即为所求．图①图②第11题解图【作法提示】(1)连接AC、BD交于点K，过点O、K作直径EF；(2)连接OD, DO的延长线交AB 于点T ，连接AC 、BD 交于点K ，过T 、K 作弦GH ，GH 即为所求．类型二以网格为辅助画图1. 作图如解图①、②所示．第1题解图2. ①作图如解图①，CD 即为所求：②作图如解图②，CD 即为所求．第2题解图3. 作图如解图①、②.第3题解图4. (1)作图如解图①；(2)作图如解图②.第4题解图【作法提示】(1)将半圆三等分，可以考虑过圆心O 的半径，所以将平角三等分；(2)画一个半径不同但等面积的扇形，所以圆心角也一定不同，则π·222＝n πr 2360°即nr 2＝720°，当n ＝90°，r 2＝8，∴r ＝2 2.5. (1)如解图①，点Q 即为所求；(2)如解图②，∠APC ＝∠BPC ，点P 即为所求．第5题解图6. (1)作图如解图①，平行四边形ABCD 即为所求；(2)作图如解图②，菱形ABCD即为所求．图①图②第6题解图7. (1)作图如解图①；第7题解图①(2)作图如解图②.第7题解图②【作法提示】(1)如解图①，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等三角形，由此即可画出；(2)如解图②，根据直角三角形的定义以及面积关系作出△BCE即可．8. (1)作图如解图①；第8题解图①(2)作图如解图②.第8题解图②【作法提示】(1)如解图①，由菱形的判定易知四边形ABCD即为所求的菱形；(2)如解图②，四边形ADBC为菱形，此时菱形的对角线CD最长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，可知此时菱形面积最大，菱形ADBC即为所求．类型三以正多边形为辅助画图1. (1)作图如解图①，四边形ACDF为所求矩形；(2)作图如解图②，四边形MNPQ为所求菱形．图①图②第1题解图【作法提示】(1)因为ABCDEF为正六边形，可得AF∥CD且AF＝CD，所以连接AC，FD，矩形CDF A即为所求；(2)连接BE，AC，FD，AC交BE于点N，FD交BE于点Q，连接AQ，NF，相交于点M，连接ND，CQ相交于点P，四边形MNPQ即为所求．2. (1)作图如解图①，l即为所求；(2)作图如解图②，正六边形ABPJDE即为所求．第2题解图【作法提示】(1)连接AD，BE，相交于点F，连接FC，FC即为所求的对称轴l；(2)同(1)作对称轴l，连接BD，交l于点G，连接AG并延长交CD于点J，连接EG并延长交BC 于点P，连接PJ，正六边形ABPJDE即为所求．3. (1)作图如解图①，△BDF即为所求；第3题解图①(2)作图如解图②，△MEN即为所求．第3题解图②【作法提示】(1)根据正六边形的性质，连接BF，BD，△BDF即为所求；(2)连接AE 交FD于点M，连接EC交FD于点N，△MEN即为所求．4. (1)作图如解图①，DM即为所求；第4题解图①(2)作图如解图②，CN即为所求．第4题解图②类型四以三角形为辅助画图1. (1)当点D在AC或BC上时，△DAB是钝角三角形，作图如解图①、②；图①图②第1题解图(2)作图如解图③，AF即为所求．第1题解图③2. (1)作图如解图①，△ABE即为所求的直角三角形；(2)作图如解图②，CF即为AD的垂直平分线．图①图②第2题解图3. (1)作图如解图①，CF即为所求；(2)作图如解图②，OF即为所求．图①图②第3题解图【作法提示】(1)连接CO并延长交AB于点F，则利用三角形的三条角平分线相交于一点可判断CF平分∠ACB；(2)延长AD和BC相交于点E，连接EO并延长交AB于点F，利用在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形，可证明△OAB和△EAB为等腰三角形，则根据等腰三角形的性质可判断OF平分∠AOB.4. (1)作图如解图①，AE即为所求；(2)作图如解图②，AG即为所求．图①图②第4题解图【作法提示】(1)连接AD并延长交BC于点E，即可得到BC的垂直平分线AE；(2)连接BF，CE交于点D，连接AD并且延长交BC于点G，即可得到BC的垂直平分线AG.5. (1)作图如解图①，点P′即为所求；(2)作图如解图②，点P′即为所求．第5题解图【作法提示】(1)如解图①，由AB＝AC，AD⊥BC可知，直线AD为△ABC的对称轴．连接CP交AD于点E，连接BE并延长交AC于点P′，则点P′即为所求；(2)如解图②，在AB 上任选一点E，再同(1)中的作法作点E关于直线AD的对称点F，连接PF交AD于点O，连接EO并延长交BC于点P′，则点P′即为所求．6. (1)作图如解图①，点P即为所求；第6题解图①(2)作图如解图②，点K即为所求．第6题解图②【作法提示】(1)连接AN，MD并延长交于点P，P点即为所求；(2)同(1)作出点P，连接PE并延长交AC于点K，连接NK，四边形AMNK即为所求．类型五以特殊四边形为辅助画图1.作图如解图①、②，EF、GH即为所求．图①图②第1题解图【作法提示】作法一，连接BD交AC于点F，连接EF，则EF＝CD；方法二，连接BD，交AC于O，过点O作GH∥CD，交AD于H，交BC于G，则GH＝CD.2. (1)作图如解图①，点F即为所求；(2)作图如解图②，点M即为所求．图①图②第2题解图【作法提示】(1)连接AC、BD交于点O，利用正方形的对角线互相平分这一性质，可知交点O到C、D两点的距离相等，连接OE与CD交于点F，点F即为所求；(2)延长EO 交AB于点G，连接DG、HF交于点H，利用正方形、矩形对角线的性质，可知点O、H都在线段AD的垂直平分线上，连接OH与AD相交于点M，点M即为所求．3. (1)作图如解图①，△PBC即为所求；(2)作图如解图②，▱BEDK即为所求．图①图②第3题解图【作法提示】(1)以BC为边作一个面积与矩形面积相等的三角形，可以利用割补法，将矩形割掉一个三角形，再补上一个全等的三角形，而此题中有中点这个条件可以构造全等的三角形；(2)连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交BC于点K，∵DE∥BK且ED＝BK，∴四边形BEDK是平行四边形.4. (1)作图如解图①，点M即为所求；第4题解图①(2)作图如解图②，点E、点F即为所求．第4题解图②【作法提示】(1)先连接正方形的对角线交于点O，再连接PO并延长，交AD于M，则点M即为AD的中点；(2)运用(1)中的方法，画出AD的中点M，再连接BM和DP，分别交AC于点E和点F，则点E，点F即为对角线AC的三等分点．5. (1)作图如解图①，CG即为△ABC中AB边上的高；(2)作图如解图②，矩形AGCH即为所求．图①图②第5题解图【作法提示】(1)图中是由三个等边三角形组成的图形，所以可得AB∥EF，连接AF，BE相交于点Q，连接CQ并延长交AB于点G，CG即为所求；(2)同(1)做出CG，连接BD，于AC相交于点Q，连接GQ并延长交DC于点H，连接AH，四边形AGCH即为所求．6. (1)作图如解图①，四边形BCFE即为所求；(2)作图如解图②，DG即为∠CDF的平分线．图①图②第6题解图【作法提示】(1)根据正方形和菱形的性质可得，BC＝EF，BC∥EF，连接BE，FC，四边形BCEF即为所求；(2)连接BE并延长交DF于点Q，连接AF交BQ于点G，连接DG，DG即为所求．7. (1)作图如解图①，点E即为所求；(2)作图如解图②，∠DCF即为所求．图①图②第7题解图【作法提示】(1)连接BD与PC交于点Q，连接AQ并延长交BC于点E，点E即为所求；(2)同(1)作出AE，连接AC，与BD交于点G，连接EG并延长交AD于点F，连接CF，∠DCF即为所求．8. (1)作图如解图①所示，DQ即为所求；第8题解图①(2)作图如解图②所示，CF即为所求．第8题解图②【作法提示】(1)由AB＝AD，BC＝DC可得四边形ABCD为轴对称图形，直线AC为四边形ABCD的对称轴，所以只要找到点P关于直线AC的对称点Q即可；所以，连接AC，AC与BP相交于点O，连接DO并延长与AB相交于点Q，则DQ为所求；(2)四边形AB＝BC＝CD＝AD，所以四边形ABCD为轴对称图形，直线AC为四边形ABCD的对称轴，所以只要找到点E关于直线AC的对称点F即可；所以，分别连接AC，DE，AC与DE相交于点O，连接BO并延长与射线AD相交于F点，CF即为所求．中考数学第21页共21页。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-尺规作图

2019年全国中考试题解析版分类汇编-尺规作图注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！【一】选择题1.〔2017•台湾33，4分〕如图，AB为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接BC、AC、假设想在AB上取一点P，使得P与直线BC的距离等于AP长，判断以下四个作法何者正确？〔〕A、作的中垂线，交于P点B、作∠ACB的角平分线，交于P点C、作∠ABC的角平分线，交于D点，过D作直线BC平行线，交于P点D、过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交于P点考点：切线的性质；角平分线的性质。

分析：A圆内弦中垂线过原点；角平分线上点到到两边距离相等；角平分线上点到两边距离相等；D角平分线上点到两边距离相等，与切线与过切点的直径垂直、从而判断出来、解答：解：A、圆内弦的中垂线过原点，有圆内弦性质可知，所以交AB于圆点O，故本选项错误；B、作∠ACB的角平分线，那么点P到BC的距离等于点P到AC的距离，而不等于AP，故本选项错误；C、假设过点D作直线BC的平行线交AB于点P，那么点P的距离，等于DP也不等于AP，故本选项错误；D、角平分线DP交直径AB与点P，根据角平分线定理，由PA⊥AD，得到点P到BC的距离等于AP，故正确、点评：此题考查了切线的性质，A考查了圆内弦中垂线过原点；B考查了角平分线上点到到两边距离相等；C考查了角平分线上点到两边距离相等；D考查了角平分线上点到两边距离相等，与切线与过切点的直径垂直、2.〔2017湖北荆州，15，3分〕请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形、答案不唯一、考点：作图—应用与设计作图、专题：作图题、分析：整个图形含有36个小菱形，分为面积相等的六部分，那么每一个部分含6个小菱形，由此设计分割方案、解答：解：分割后的图形如下图、此题答案不唯一、点评：此题考查了应用与设计作图、关键是理解题意，根据图形设计分割方案、3.〔2017•西宁〕用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是〔〕A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形考点：菱形的判定；作图—复杂作图。

中考专题1 【原创】2019年中考数学图形变换压轴题汇总(28道题)后附答案详解(word)

中考专题1 图形变换压轴题汇总（28道题）后附答案详解1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．2．（2017•连云港四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．（1）求证BM=DN；（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．24．（2017•长春模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．25．（2017•大冶市模拟）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．26．（2017•大东区二模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC 上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．27．（2017•阳谷县一模）如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF．（1）如果=，DE=6，求边BC的长；（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．28．（2017•杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．答案解析1．（2017•黑龙江）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因为∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°，所以OH⊥AD（2）解：①结论：OH=AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．2．（2017•连云港四模）阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？【解答】解：操作与证明：（1）BE=AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，∴∠BCE=∠ACD=30度，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．（2）BE=AD．∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，∴∠BCE=∠ACD=α，∵△ABC与△C′DE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD．猜想与发现：当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．3．（2017•金乡县模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【解答】解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=；连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°；（2分）在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，∵，即AP′2+PP′2=AP2；∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，∴∠AP′B=135°，∴∠BPC=∠AP′B=135°．（4分）（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B=45°，∴EP′=BE=1，∴AE=2；∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；（7分）∴∠BPC=135°，正方形边长为．4．（2017•滦县模拟）两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为相等和位置关系为垂直；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【解答】（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同（1）可证∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG5．（2017•路北区三模）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．6．（2017•平房区二模）如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．（1）求证BM=DN；（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCB=90°，CD=CB，∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，∴∠BCM=∠DCN，∵∠CBM=∠ABC=45°，∴∠CBM=∠CDN，在△BCM和△DCN中，∴△BCM≌△DCN，∴BM=DN；（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形；由（1）得△CDF为等腰三角形；∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，∴CE=CG，∠ECG=90°，∴△ECG为等腰直角三角形；∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形；∴△BDF为等腰直角三角形．7．（2017•路南区一模）如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD'≌△CAE．【解答】解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠CBA=∠CAB=30°，∵∠ADC=45°，∴∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，∴∠CC'B=∠C'CB=75°；②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，在△C'BD'和△CAE中，，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．8．（2017•沙坪坝区一模）已知△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDB=90°．（1）如图1，若点E，B，C在同一直线上，连接AE，当∠AEC=30°，BC=4时，求EB的长；（2）如图2，将图1中的△DEB绕点B顺时针旋转，当点C在ED的延长线上时，EC交AB 于点H，求证：∠EAH=2∠HCB．【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，∴AH=BH=HC=2，在Rt△AEH中，∵∠AHE=90°，AH=2，∠AEH=30°，∴EH==2，∴EB=EH﹣BH=2﹣2．（2）证明：如图2中，连接AD．∵∠BDH=∠HAC，∠BHD=∠CHA，∴△BHD∽△CHA，∴=，∴=，∵∠AHD=∠CHB，∴△AHD∽△CHB，∴∠ADH=∠CBH=45°，∠DAH=∠BCH，∴∠ADB=90°+45°=135°，∴∠ADE=360°﹣90°﹣135°=135°，∴∠ADE=∠ADB，在△ADE和△ADB中，，∴△ADE≌△ADB，∴∠DAE=∠DAB，∵∠DAB=∠BCH，∴∠EAH=2∠HCB．9．（2017•重庆模拟）已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°，把Rt△ABC 绕点C旋转．（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若BC=，BE=5，求CD的长；（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．【解答】解：（1）如图1，∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=，∠EDC=∠DEC=45°，∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，∴∠AEB=90°，∴AE==12，∴DE=7，∴等腰Rt△CDE中，CD=DE=；（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD+∠ACE=180°，∴∠CAE=∠BCD，∵CF⊥BD，∠ACB=90°，∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，∴∠CBF=∠ACG，在△BCD和△CAH中，，∴△BCD≌△CAH（ASA），∴AH=CD=CE，BD=CH，又∵AH∥CE，∴四边形ACEH是平行四边形，∴CH=2CG，∴BD=2CG．10．（2017•河北区模拟）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．（1）求证：△PMN为等腰直角三角形；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP，BD 分别交于点G、H，请判断①中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EAC+∠BDC=90°，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∵∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN，∴△PMN为等腰直角三角形；（2）①中的结论成立，理由：设AE与BC交于点O，如图②所示：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°，∴AE⊥BD，∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD，PN=AE，PN∥AE，∴PM=PN．∵AE⊥BD，∴PM⊥PN，∴△PMN为等腰直角三角形．11．（2017•吉安模拟）两块全等的三角板ABC和EDC如图（1）放置，AC=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，且AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H，△ABC不动，将△EDC 绕点C旋转到如图（2），当∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．【解答】解：四边形ACDM是菱形．证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．12．（2017•江津区校级三模）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．（1）如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？为什么？（2）如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【解答】解：（1）CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．13．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．14．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．15．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=16．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．17．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．18．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．19．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC与△CEB中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中点G，连接GM，GN，∵M，N分别是BE，CD的中点，∴GM，GN是中位线，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．20．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点F为线段AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴21．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG；（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．22．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=1，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴=，=，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．23．（2017•岱岳区二模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．【解答】解：（1）∵BF⊥AD，∴∠AFB=∠BFD=90°，∴∠ABF+∠BAF=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABF+∠DBF=90°，∴∠BAF=∠DBF，∴△ABF∽△BDF，∴=，即AB•DF=BF•BD，由AB=BC，AB⊥BC，∴AB=AC，∴AC•DF=BF•BD；（2）∵=，AB=BC、BD=DE，∴=，∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，∴∠FBC=∠EDF，∴△FBC∽△FDE，∴∠BFC=∠DFE，又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°．（3）当C为BD中点时，CE∥BF，理由如下：∵C为BD中点，∴AB=BC=CD=BD=DE，在△ABD和△CDE中，∵，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴∠ADB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ADB+∠ECD=90°，∴CE⊥AD，∵BF⊥AD，∴CE∥BF．。

专题19 应用题(不等式、方程)-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)(原卷版)

专题19 应用题（函数、不等式、方程）一．解答题1．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成1kg的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．2．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？3．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？4．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．5．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？6．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成1kg的龙眼干．(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．7．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？8．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？9．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．10．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？11．（2022·广西河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．(1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？(2)若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？12．（2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？13．（2022·内蒙古呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？14．（2022·广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．(1)求y 与x 的函数解析式，并写出．．自变量x 的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．15．（2022·辽宁）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系，且当15x =时，50y =；当17x =时，30y =．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？16．（2022·黑龙江大庆）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg ．在确保每棵果树平均产量不低于40kg 的前提下，设增种果树x （0x >且x 为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为kg y ，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．(1)图中点P 所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________kg ；(2)求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量(kg)w 最大？最大产量是多少？17．（2022·湖北武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始2减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．18．（2022·山东青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？19．（2022·贵州铜仁）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？20．（2022·浙江金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量1y （吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为21y ax c =+，部分对应值如表：②该蔬菜供给量2y （吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为21y x =-，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价1x （元/千克），成本2x （元/千克）关于月份t 的函数表达式分别为11=22x t +，2213342x t t =-+，函数图象见图2．请解答下列问题：(1)求a ，c 的值．(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．21．（2022·辽宁营口）某文具店最近有A ，B 两款纪念册比较畅销，该店购进A 款纪念册5本和B 款纪念册4本共需156元，购进A 款纪念册3本和B 款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A 款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B 款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B 款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：该店准备降低每本A 款纪念册的利润，同时提高每本B 款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A 款纪念册每本降价m 元．①直接写出B 款纪念册每天的销售量（用含m 的代数式表示）；②当A 款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？22．（2022·内蒙古包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天（x 取整数）时，日销售量y （单位：千克）与x 之间的函数关系式为12010,203201016,x x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩（）（）草莓价格m （单位：元/千克）与x 之间的函数关系如图所示．(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；(2)求当412x ≤≤时，草莓价格m 与x 之间的函数关系式；(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？23．（2022·湖北武汉）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）有如下表所示的关系：(1)根据表中的数据在下图中描点(),x y ，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y 关于x 的函数关系式；(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w （元）（不计其它成本）， ①求出w 关于x 的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少； ②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求240=w （元）时的销售单价．24．（2022·广东深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?25．（2022·广西贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？26．（2022·江苏无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？27．（2022·湖南湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅰ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1mAE 的水池且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？28．（2022·山东威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．。

2019全国中考数学真题分类汇编之28：图形变换(对称、平移、旋转、位似)(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：图形变换（对称、平移、旋转、位似）一、选择题1.（2019年安徽省）已知点A（1，-3）关于轴的对称点A'在反比例函数ky=x的图像上，则实数的值为（）A.3B.13C.-3D.1-3【考点】轴对称、反比例函数【解答】∵点A（1，-3）关于轴的对称点A'的坐标为（1，3）∴把（1，3）代入ky=x得：=3∴选A2.(2019年天津市)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（）【考点】轴对称图形【解答】美、丽、校、园四个汉子中，“美”可以看做轴对称图形。

故选A3. (2019年天津市)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A.AC=ADB.AB⊥EBC. BC=DED.∠A=∠EBC【考点】旋转的性质、等腰三角形的性质【解答】由旋转性质可知，AC=CD，AC≠AD，∴A错由旋转性质可知，BC=EC，BC≠DE，∴C错由旋转性质可知，∠ACB=∠DCE，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB ，∠DCE=∠ECB+∠DCB ，∴∠ACD=∠ECB ，∵AC=CD ，BC=CE ，∴∠A=∠CDA=21（180°-∠ECB ），∠EBC=∠CEB=21（180°-∠ECB ），∴D 正确，由于由题意无法得到∠ABE=90°，∴B 选项错误. 故选D 。

4. （2019年北京市）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【考点】轴对称图形【解答】本题考察轴对称图形的概念，故选C5. （2019年乐山市）下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是( )()A ()B ()C ()D 【考点】平移的性质【解答】平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.6. （2019年山东省德州市）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A. B. C. D.【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．7. （2019年山东省菏泽市）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．8. （2019年山东省济宁市）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．9. （2019年山东省青岛市）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．10. （2019年山东省青岛市）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【考点】图形的平移与旋转【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．11. （2019年山东省枣庄市）下列图形，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．12. （2019年山东省枣庄市）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4 B．2C．6 D．2【考点】正方形的性质、旋转的性质【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，∴AD＝DC＝2，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝2故选：D．13. （2019年四川省达州市）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．14. （2019年云南省）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】根据轴对称和中心对称定义可知，A选项是轴对称，B选项既是轴对称又是中心对称，C 选项是轴对称，D 选项是轴对称图形，故选D15. （2019年广西贵港市）若点P （m -1，5）与点Q （3，2-n ）关于原点成中心对称，则m +n 的值是（）A. 1B. 3C. 5D. 7【考点】中心对称【解答】解：∵点P （m-1，5）与点Q （3，2-n ）关于原点对称，∴m-1=-3，2-n=-5，解得：m=-2，n=7，则m+n=-2+7=5．故选：C ．16. （2019年广西贺州市）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．圆【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A ．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；B ．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；C ．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；D ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；故选：D ．17. （2019年江苏省苏州市）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO V 沿点A 到点C 的方向平移，得到A B C '''V ，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【考点】菱形的性质、勾股定理、平移【解答】由菱形的性质得28AO OC CO BO OD B O '''======，90AOB AO B ''∠=∠=oAO B ''∴V 为直角三角形B10AB '∴=故选C18. （2019年江苏省无锡市）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】A 、B 、D 都既是中心对称也是轴对称图形；故选C. 19. （2019年江苏省扬州市）下列图案中，是中心对称图形的是( )A. B. C . D.【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】D.20.（2019年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点()3,b n 关于y 轴对称，则（）A .3m =，2n =B .3m =-，2n =C .2m =，3n =D .2m =-，3n =【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解答】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同故选B21. （2019年湖北省荆州市）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A '，则点A '的坐标为（）A ．（，1）B ．（，﹣1）C ．（2，1）D ．（0，2）【考点】旋转的性质【解答】解：如图，作AE ⊥轴于E ，A ′F ⊥轴于F ．∵∠AEO ＝∠OF A ′＝90°，∠AOE ＝∠AOA ′＝∠A ′OF ＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF＝AE＝，A′F＝OE＝1，∴A′（，1）．故选：A．22. （2019年湖北省宜昌市）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+） D．（﹣3，）【考点】旋转的性质、解直角三角形【解答】解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．23. （2019年甘肃省武威市）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【考点】相似形【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．24. （2019年辽宁省本溪市）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形、中心对称图形【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．25. （2019年辽宁省大连市）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8．则D′F的长为（）A．2B．4 C．3 D．2【考点】折叠变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质【解答】解：连接AC交EF于点O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°，AC＝＝＝4，∵折叠矩形使C与A重合时，EF⊥AC，AO＝CO＝AC＝2，∴∠AOF＝∠D＝90°，∠OAF＝∠DAC，∴则Rt△FOA∽Rt△ADC，∴＝，即：＝，解得：AF＝5，∴D′F＝DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：C．26. （2019年西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．【考点】轴对称﹣最短路线问题、勾股定理【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故选：A．二、填空题1. （2019年山东省滨州市）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是．【考点】位似变换【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．2.(2019年天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为.【考点】轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理【解答】因为四边形ABCD 是正方形，易得△AFB ≌△DEA ，∴AF=DE=5，则BF=13. 又易知△AFH ∽△BFA ，所以BF AF BA AH ，即AH=1360，∴AH=2AH=13120，∴由勾股定理得AE=13，∴GE=AE-AG=1349 3. （2019年山东省青岛市）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD ＝4cm ，则CF 的长为 cm ．【考点】轴对称、勾股定理、正方形的性质、方程建模【解答】解：设BF ＝，则FG ＝，CF ＝4﹣．在Rt △ADE 中，利用勾股定理可得AE ＝．根据折叠的性质可知AG ＝AB ＝4，所以GE ＝﹣4．在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2＝（﹣4）2+2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2＝（4﹣）2+22，所以（﹣4）2+2＝（4﹣）2+22，解得＝﹣2．则FC ＝4﹣＝6﹣．故答案为6﹣． 4. （2019年四川省资阳市）如图，在△ABC 中，已知AC ＝3，BC ＝4，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，将△ACE 沿直线AC 翻折到△ACE ′的位置．若CE ′∥AB ，则CE ′＝．【考点】翻折变换、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′，∵CE′∥AB，∴∠ACE′＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝DA，∵AD＝DB，∴DC＝DA＝DB，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，∵•AB•CH＝•AC•BC，∴CH＝，∴AH＝＝，∵CE∥AB，∴∠E′CH+∠AHC＝180°，∵∠AHC＝90°，∴∠E′CH＝90°，∴四边形AHCE′是矩形，∴CE′＝AH＝，故答案为．5. （2019年广西贺州市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．【考点】旋转的性质、也考查了正方形的性质【解答】解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM ＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即F A平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．6. （2019年湖北省十堰市）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．【考点】正方形的性质，旋转的性质、勾股定理【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．7. （2019年浙江省杭州市）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD 边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于________.【考点】矩形性质、折叠【解答】∵A'E ∥PF∴∠A'EP=∠D'PH又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°∴∠A'=∠D'∴△A'EP ～△D'PH又∵AB=CD ，AB=A'P ，CD=D'P∴A'P=D'P设A'P=D'P=∵S △A'EP ：S △D'PH =4：1∴A'E=2D'P=2∴S △A'EP =2112422A E A P x x x ''⨯⨯=⨯⨯== ∵0x >∴2x =∴A'P=D'P=2∴A'E=2D'P=4∴EP ===∴1=2PH EP =∴112DH D H A P ''===∴415AD AE EP PH DH =+++=+=+∴2AB A P '==∴25)10ABCD S AB AD =⨯=⨯=矩形8. （2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为．D 1A 1G P F E CDBA【考点】矩形的性质、折叠的性质、勾股定理【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝，则DE＝EF＝3﹣在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴2+12＝（3﹣）2，解得＝，∴EF＝3﹣＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．9. （2019年湖北省随州市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在轴正半轴上，且AC=2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为______．【考点】旋转变换的性质、平移的性质【解答】解：∵点C的坐标为（1，0），AC=2，∴点A的坐标为（3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A′的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（-2，2），故答案为：（-2，2）．10. （2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1 的坐标为．【考点】位似变换的性质【解答】解：以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．11. （2019年内蒙古包头市）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．【考点】三角函数的应用、旋转变换【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：112. （2019年新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为．【考点】直角三角形的性质、旋转变换【解答】解：根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H点，在Rt△ACH中，CH＝AC＝2，AH＝2．∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝2．∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．故答案为2﹣2．13. （2019年海南省）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC ＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．【考点】勾股定理、旋转变换【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝故答案为：14. （2019年西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为．【考点】矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、【解答】解：设BF 长为，则FD ＝4﹣，∵∠ACB ＝∠BCE ＝∠CBD ，∴△BCF 为等腰三角形，BF ＝CF ＝，在Rt △CDF 中，（4﹣）2+22＝2，解得：＝2.5，∴BF ＝2.5，∴S △BFC ＝BF ×CD ＝×2.5×2＝2.5．即重叠部分面积为2.5．故答案为：2.5．三、解答题1. （2019年北京市）已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．【考点】旋转、轴对称、全等三角形、特殊直角三角形【解答】（1）如图所示（2）在△OPM 中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM∴∠OMP=∠OPN（3）过点P 作P ⊥OA ，过点N 作NF ⊥OB.∵∠OMP=∠OPN ，∴∠PM=∠NPF在△NPF 和△PM 中备用图图1BAO B⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠PM PN PMK NFO PMK NPF 90，∴△NPF ≌△PM （AAS ）∴PF=M ，∠PNF=∠MP ，NF=P.又∵ON=PQ ，在Rt △NOF 和Rt △PQ 中⎩⎨⎧==PK NF PQ ON ，∴Rt △NOF ≌Rt △PQ （HL ），∴Q=OF.设M=y ，P=∵∠POA=30°，P ⊥OQ∴OP=2，∴O=x 3，y x OM -=3∴y x PF OP OF +=+=2，)3(13y x OM OH MH --+=-==-=OM OH KH x 313-+∵M 与Q 关于H 对称，∴MH=HQ∴Q=H+HQ=y x y x x +-+=+-++-+32232313313∵Q=OF ，∴y x y x +=+-+232232，整理得)322(232+=+x所以1=x ，即P=1∵∠POA=30°，∴OP=22. （2019年四川省广安市）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【考点】旋转、轴对称【解答】解：如图所示3. （2019年江苏省苏州市）如图，ABC=，将线段AC绕△中，点E在BC边上，AE AB点A旋转到AF的位置，使得CAF BAE∠=∠，连接EF，EF与AC交于点G（1）求证：EF BC=；（2）若65∠的度数.∠=︒，求FGCABCACB∠=︒，28∴∠=∠BAC EAF又，QAE AB AC AF==()∴△≌△BAC EAF SASEF BC∴=（2）65Q，AB AE ABC=∠=︒∴∠=︒-︒⨯=︒18065250BAE∴∠=︒FAG50又△≌△BAC EAFQ∴∠=∠=︒F C28∴∠=︒+︒=︒FGC5028784. （2019年湖北省荆州市）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE（如图②）．（1）在图②中，∠AOF＝；（用含α的式子表示）（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．【考点】正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质【解答】解：（1）如图2，∵△OEF绕点O逆时针旋转α角，∴∠DOF＝∠COE＝α，∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AOF＝90°﹣α；故答案为90°﹣α；（2）AF＝DE．理由如下：如图②，∵四边形ABCD为正方形，∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD，∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE，∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE（SAS），∴AF＝DE．5. （2019年黑龙江省伊春市）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【考点】轴对称的性质、旋转的性质、扇形的面积【解答】解：（1）如右图所示，点A1的坐标是（﹣4，1）；（2）如右图所示，点A2的坐标是（1，﹣4）；（3）∵点A（4，1），∴OA＝，∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．。

专题18 图形的变换问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题18 图形的变换问题一、基础知识1.图形的平移可以转化为点的平移。

坐标平移规律：①左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变；②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。

2.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

）3.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

二、对理解本节课知识点的例题及其解析【例题1】将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4B．C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6'''由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）【例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A B CA.（0，1）B.（1，-1）C.（0，-1）D.（1，0）【例题3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．三、图形变换问题训练题及其答案和解析1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN 分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（）A．105°B．115°C．120°D．135°2．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′点的坐标为．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：．4．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（4，0）或（﹣4，0）D．（5，0）或（﹣5，0）6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，）D．（，）7．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．8．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．C．3 D．9．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（）A．65°B．50°C．60°D．57.5°。

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