方,矩,三角,锯齿波频谱分析实验

abVIEW 软件的计算机 1 台
四、实验原理：
1．非正弦周期函数的傅立叶分解 (1)．定义 如果给定的周期函数 f (t ) 满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极 值点与不连续点） ，则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数，如下式：
∞
f (t ) = a 0 + = A0 +
2 T 2 T
∫
T 2 T − 2
f (t ) cos(kωt )dt =
1 2π 1 π f (t ) cos(kωt )d (ωt ) = ∫− π f (t ) cos(kωt )d (ωt ) ∫ 0 π π
bk =
T
f (t ) sin( kωt )dt =
∫−2T
T
f (t ) sin( kωt )dt =
Re 2 (k ) + Im 2 (k ) ，相位谱为 ϕ (k ) = arctan
Im(k ) 。计算出的频谱为峰值 Re(k )
频谱，对周期信号而言，谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。当用有效值
X (k ) 。 （RMS）表示幅值频谱时， X (k ) = RMS 2
f ∆f = s N 。
1 T f (t )e − jkωt dt ， c 0 = a 0 T 0 2)．幅度频谱与相位频谱
∫
体现| c k |与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。 由于指数级数中的 k 可以分别取相应的正负值，因此幅度频谱关于 Y 轴对称；而其谱 线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。例如方波
Akm
f(t) A t
f(t) A t T 图 3 锯齿波 2T 3T
f (t ) =
A A 1 1 1 2π + (sin ωt + sin 2ωt + sin 3ωt + sin 4ωt + ) ，其中 ω = 2 π 2 3 4 T
2．频谱 (1).非正弦周期函数的频谱 对某函数以频率为横轴， 各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为该 函数的频谱。 对于周期函数而言，其频谱为一系列谱线。如 方波
3．使用上面设计的程序，分别选择波形为正弦、方波、三角波、锯齿波，改变信号 频率和幅度，选择适当的采样率和采样点，分析正弦、方波、三角波、锯齿波信号的频谱， 并与理论计算值比较。 4．被测信号叠加噪声后，再进行测量和分析误差。
4．在 LabVIEW 中的频谱分析 VI
在 LabVIEW 中实现频谱分析计算的 3 个层次的 VI 分别为 Express Ⅵ中的 Spectral Measurements.vi ，波形 VI 中的 FFT Spectrum (Mag-Phase).vi 和 FFT Spectrum
(Real-Im).vi ，基本函数 VI 的 Amplitude and Phase Spectrum.vi。 （1）Express Ⅵ中的 Spectral Measurements.vi 到达途径为 Functions → Signal Analysis，主要参数有：①选择不同的谱分析种类(Spectral Measurement)：峰值频谱，均 方值(RMS)频谱，功率谱和功率谱密度。②幅度单位：线性还是分贝 dB。③窗函数 Window 的类型。 ④平均 Averaging 参数： 有平均模式 Mode、 平均权重 Weighting、 平均次数 Numbers of averages 和平均输出类型 Produce spectrum。⑤相位谱输出的变换：反卷及将弧度转换 为度。 （ 2 ） 波 形 VI 中 的 FFT Spectrum(Mag-Phase).vi 的 参 数 设 置 及 定 义 与 Spectral Measurements．vi 的相似，其输入输出端口如下所示。
2) 3) 4)
各节点之间的频率间隔由时间长度 N 和采样频率 fs 决定： 第 k 个节点对应的频率值为 有一半数据有意义。
f (k ) = k ⋅ fs N 。
FFT形成的频谱相对于折叠频率f S /2 对称，FFT的输出频率范围为 0～f S /2。实际只
用 DFT 进行测试信号频域特性分析存在主要误差有量化误差、混叠误差、频谱泄漏和 栅栏效应等，减少计算误差的办法有，增加 A/D 的有效位数，提高采样频率，增加采样时 间和采样点数，整周期采样或加窗处理等。
2π N −1 −j nk N X ( k ) = ∑ x ( n )e k = 0,1,2..., N − 1 n =0 DFT 和 IDFT： 2π N −1 n = 0,1,2..., N − 1 j nk x ( n) = 1 N x k e ( ) ∑ N n =0 为了方便显示，做归一化处理，用 X ( k ) N 来表示频谱。此外，由上式计算出的频谱
−j 2π n N −
。再用
（其实部为零） 。
(3)采用双循环，计算 X(k)，见图。 。 。的左上部分。内外循环的循环次数都为 N。内 循环改变 n，累加求和，计算 ∑ x(n)e
n =0 N −1 −j 2π nk N
，累加求和需要使用移位寄存器。先使用 Index
Array 函数从数组中得到第 n 个元素，再相乘。外循环中再改变 k。 （ 4 ） 将 X(k) 转 换 为 幅 度 谱 和 相 位 谱 。 计 算 公 式 为 ： 有 效 值 幅 度 谱 为
先固定 k，内循环累加求和，计算 ∑ x(n)e
n =0
N −1
−j
2π nk N
，再改变 k，外循环。最后将 X(k)转换为幅
度谱和相位谱。设计中要用到数值运算子模板中的 Complex Functions 复数处理函数。 （1）产生仿真信号。打开 3.5 节第 2 个实验内容的程序，它能够产生频率、幅值和 直流偏值可调的正弦、方波、三角波、锯齿波信号，还可叠加高斯噪声信号，并且采样率和 采样点可选。 （2）计算 = n 0,1, 2..., N − 1 ，结果为 1 个数组，见图
图 DFT 计算频谱的程序
2．使用 LabVIEW 提供的频谱分析函数：波形 VI 中的 FFT Spectrum(Mag-Phase).vi， 分析仿真信号的频谱。 提示：仍然使用 3.5 节第 2 个实验内容的程序产生仿真信号。频谱计算采用 FFT Spectrum(Mag-Phase).vi 。 把 鼠 标 放 在 FFT 函 数 的 输 入 端 口 右 击 ， 在 弹 出 窗 口 中 选 择 “Create->Control”即产生窗函数类型选择和平均参数选择控件，在用控件选择幅度显示单 位和相位的显示。参考程序入图所示。前面板如下图所示：
0.5T
4A/π
|ck | 2A/π 2A/π
4A/5π 4A/7π 7ω ω
4A/3π ω
-A T
2A/7 π 2A/5π 2A/3π ω ω ω ω ω
2A/3π 3ω
2A/5π 2A/7π 5ω 7ω ω
3 ω 5ω
图 7(a) 方波的傅立叶频谱
图 7 方波及其傅立叶频谱、幅度谱
3．信号的离散傅立叶变换（DFT） 模拟信号x(t)经采样后变为离散时间序列x(n)，T S 为采样周期，采样频率fs=1/T S 。计算 机中的处理的信号是有限长度的离散信号x(n)，对应的离散频谱为X(k)。时域与频域转换使 用的算法是离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT） ，计算公式如下：
∑ (a
k =1 ∞
k
cos kωt + bk sin kωt ) cos(kωt + ψ k )
∑A
k =1
km
其中，上式中的各个系数的计算公式为：
a0 =
1 T 2 T 2 T
∫0
T
f (t )dt =
1 T
∫
T 2 T − 2
f (t )dt
T 为信号的周期。
ak =
∫0 ∫0
T
f (t ) cos(kωt )dt =
O ω
A/2π A/3π A/4π 2ω 3ω 4ω ω
图 6 锯齿波的傅立叶频谱
(3). 傅立叶变换与频谱函数 1)．周期函数的傅立叶级数的指数形式
= k 1= k 1
f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kωt + bk sin kωt ) = a0 + ∑ [ak (
∞ (a − jbk )e jkωt −∞ (ak − jbk )e jkωt = a0 + ∑ k +∑ 2 2 k =1 k = −1
−j 2π n N
的右下部分。采样点数
2π N
N 从仿真波形产生函数的采样信息簇得到，使用簇 cluster 子模板中的 Unbundle 函数实现。 采用一个循环次数为 N 的 For 循环产生元素为 0，1，…，N-1 的 1 维数组，乘以 复数处理函数中的 Re/Im To Complex，组合为复数
f(t) A t
0.5T
-A T 图 1 方波
f (t ) =
2）三角波
4A 1 1 1 2π (sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + sin 7ωt + ) ，其中的 ω = π 3 5 7 T
f(t) A t T -A 图 2 三角波
f (t ) =
3）锯齿波
8A 1 1 1 2π (sin ωt − sin 3ωt + sin 5ωt − cos 7ωt + ) ，其中的 ω = 2 π 9 25 49 T
五、实验步骤：
1．设计 DFT 变换程序，求取仿真信号的幅值频谱和相位谱。 （要求仅采用基本数学 函数实现） 。 分析：DFT 计算公式为： X (k ) = ∑ x(n)e