力矩-转动定律-转动惯量知识

物理学
第五版
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
第四章 刚体的转动
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
第四章 刚体的转动
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（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第四章 刚体的转动
Mij M ji
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,
水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所
示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
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（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV ：体积元
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状(及体密度 的分
布)有关．
（3）与转轴的位置有关．
过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O
Q
x
O
L
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解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
y
1 2
p0 Lh2
1 6
gLh3
h dF O
dy 代入数据，得：
y
M 2.14 1012 N m
Q
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圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
JP
1 2
mR2
mR2
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc
1 12
mL2
O1
O1’
J
Jc
m( L)2 2
1 3
mL2
d=L/2
O2
O2’
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竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
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Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
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三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2
➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
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➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
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四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
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J Jc md2
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同．
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
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一
力矩
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
用来描述力对刚体
的转动作用．
M Frsin Fd
d: 力臂
F 对 转轴 z的力矩
M rF
F
F
Fi 0, M i 0
z
M
r
Od
F
P*
F
Fi 0,
F
Mi 0
i
i
i
i
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
二 转动定律 （1）单个质点 m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin θ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量
转动定律 M J 讨论 （1） M
J （2） M J J d
dt
（3）M 0， ω=常量
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