高考数学压轴题精编精解100题

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高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答{完整版}

1．设函数()1,12

1,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩

，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，

其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。 （I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2

n n a a +<

（Ⅲ）若12

,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：

（1）2

1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；

（2）(0)()14f f π==；（3）当0,

4x π

∈［］

时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．

4．设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(

2211=⋅a

y b x a y b x ，椭圆的离心率,23

=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、 (111)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅14243222n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅14243 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

6、设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？

若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.

8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数),(2)(2

R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程

0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b 的取

值范围；

（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求实数C 的取值范

围

10、已知函数,1)2

1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有

).1()()(xy y x f y f x f ++=+ （1）若数列).(),(12,21}{*

2

11n n

n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1

31()111()51

(12+++++++n f n n f f f Λ的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同

时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0） ，已知PF u u u r ∥FQ uuu

r ,

RF u u u r ∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r

= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

12．已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4

2sin(2tan )(2

π

αα+

⋅+=x x x f ，

数列{a n }的首项)(,2

1

11n n a f a a ==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1； ⑶ 求证：),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<Λ

13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()

111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111

321+=----Λ，证明：{}n a 是等差数列；

（Ⅲ）证明：

()23111123

n n N a a a *++++<∈L 14．已知函数()(),02

32

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g

在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；

（II ）当2

1≥a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是43≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α

且1≤β的充

要条件是.4

1

2a a c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)

2n n n T -=。

①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得

()

()()2

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，

求出a ，若不存在，说明理由。 16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的

[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m =g ，且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'

()0

f x >恒成立。