专题09 解析几何椭圆典型题专项训练(解析版)

专题09 解析几何

第二十二讲 椭圆答案部分

2019年

1.【解析】

2x =，则22AF x =，所以

23BF AB x ==.

由椭圆定义122BF BF a +=，即42x a =.

又1224AF AF a x +==，22AF x =，所以12AF x =. 因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为()0,b .

由222AF BF =可得点

B 的坐标为3,22b ⎛⎫- ⎪⎝⎭

. 因为点B 在椭圆()22

2210x y a b a b +=>>上，所以291144a +=.

解得2

3a =.又1c =，所以2

2b =.所以椭圆方程为22

132

x y +=.故选B.

2.【解析】由题意可得：2

32p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

，解得8p =．故选D ．

3.【解析】（I ）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=．

（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为11

1

1y y x x -=

+．

令y =0，得点M 的横坐标1

11

M x x y =-

-． 又11y kx t =+，从而1

1|||

|1

M x OM x kx t ==+-．

同理，2

2|||

|1

x ON kx t =+-．

由22

,12

y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222

(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，2122

22

12t x x k

-=+． 所以12

12|||||

|||11

x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-

()12

22

1212|

|(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-

22

2

22

22

22

12|

|224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k -+=-⋅+-⋅-+-++

12|

|1t

t

+=-． 又||||2OM ON ⋅=，

所以12|

|21t

t

+=-． 解得t=0，所以直线l 为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）． 4.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=

52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2

3

2

==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.

因此，椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.

（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=，a =2，

因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.

由22

()22

116

y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115

x =-. 将115x =-

代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3

(1)4

y x =-.

由22

1

4

33(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得2

76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =

-，得32y =-.因此3

(1,)2

E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=.如图所示，联结EF 1.

因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .

因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.

因为F 1(-1，0)，由2214

31

x x y ⎧⎪

⎨+

==-⎪⎩，得32y =±.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32

y =-. 因此3(1,)2

E --.

5.【解析】设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，

线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得24PF AO '==，

设P 的坐标为（m,n ），可得2343m -

=，可得3

2

m =-，152n =， 由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为15

215322

=-+．

6.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，

2PF c =，13PF c =，于是122(31)a PF PF c =+=，故C 的离心率是31c

e a

=

=. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当

1||2162y c ⋅=，1y y x c x c

⋅=-+-，22

22

1x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②

22

22

1x y a b +=，③