北师大版初一数学上册探索与表达规律
北师大版七年级数学上册探索与表达规律课件
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规律: “M”形中 七数之和=7×中间数
北师大版七年级《数学》上册 3.5.1 探索与表达规律
北师大版七年级《数学》上册
第三章 整式及其加减
3.5.1 探索与表达规律
北师大版七年级《数学》上册 3.5.1 探索与表达规律
学情分析
本节内容是在学生学习了“用字母表示数”、“ 列代数式”、“去括号”、“合并同类项”等知识的基 础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用， 也是对这些知识的拓展与延伸，对学生体会数学建 模具有重要的作用。
拓展训练
1. 用火柴棒按下图中的方式搭图形。
①
②
（1） 按图示规律填空：
图形符号 ①
②
③
火柴棒根数 4
6
8
③
④
⑤
10
12
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴？
2n+2或2（n+1)
北师大版七年级《数学》上册 3.5.1 探索与表达规律
考考你 视察图1至图5中小黑点的摆放规律,并按照这样的规 律继续摆放.记第n个图中小黑点的个数为y.解答下列 问题：
作业：
习题3.8第1、2题
随堂练习
1.照这样的规律摆下去，摆第7、8个正方形
需要多少颗棋子？ 2.探究：摆第n个正方形
需要多少颗棋子？
北师大版七年级《数学》上册 3.5.1 探索与表达规律
北师大版初一上册3.5《探索与表达规律》
北师大版初一上册3教材分析:探究规律是北师大版七年级数学上册第三章第五节，探究规律本身是数学课中比较抽象的一部分内容，学生需要积存一定的体会和差不多的探究方法才能够找到题目的规律，本章学习的整式及其加减正好用来表示这种规律，因此表达规律是整式应用专门好的范例，教材在本章安排了几种简单的规律探究问题，其目的要紧是让学生把握解决这类问题的差不多方法即：探究分析——归纳表示——验证结论，体会解决问题的差不多思想即：从专门到一样的思想。
教学目标：1.知识目标：会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探究的规律。
2.能力目标：培养学生的观看能力、动手能力、创新能力以及交往协作能力，并提高其分析问题和解决问题的能力。
3.情感目标：让学生体会数学就在周围，激发学生的探究热情，体验数学活动的探干脆及制造性，培养学生实事求是的科学态度。
教学重难点：【教学重点】探究实际问题中蕴涵的关系和规律。
【教学难点】用字母、运算符号表示一样规律。
课前预备：见PPT教学过程：一、问题引入这是2021年3 月的日历，你能填空吗？【设计意图】通过简单的问题，学生快速回答从而获得对数字规律的直观体验，为用字母表示规律埋下伏笔。
二、合作探究1.学生探究活动项目单：（1）说一说日历中的数字排列有什么规律？（同一排或同一列）（2）若用一个方框任意框出九个数，这九个数字之间有什么数量关系？（3）用字母表示这种数量关系。
（4）这九个数的和与中间数有什么关系？（5）尝试使用较为简练的语言和同桌说一说你发觉的规律。
学生摸索、猜想、交流，个别学生展现。
应鼓舞学生大胆探究，积极发言。
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = __9a____可得到：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数。
进一步挑战：给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“W”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，并分小组展现。
北师大版数学七年级上册(2024)探索与表达规律课件
尝试练习
将连续的奇数1,3,5, 1 3 5 7 9 11
7…，排成如图数表,十 13 15 17 19 21 23
字框内有五个数。
4132、、十十若字字将设形框 十 中框内 字 间中五 形 的五个 框 数个数上为数的下a，之左如和 25 27 29 31 33 35
北师大版七年级上册
学习目标
1.能用代数式表示数与图形的变化规律.(重点） 2.进一步培养学生视察、分析、抽象、概括等思维 能力和应用意识.（难点）
导入新课
情境引入
请同学们伸出左手，一起 做下面的游戏：从大拇指开始， 像图中显示的这只手那样依次 数数字1，2，3，4，5，……， 请问数字20落在哪个手指上？
探知规律
如图，是用火柴棒拼成的图形。
（2）拼成第n个图形需要_(2_n__+_1_)根火柴棒。
(1) (2) (3)
(4)
图案编号
水平的火柴根数 倾斜的火柴根数 总的火柴根数
(1)
(2) (3) (4)
… 第n个
1 234
n
2 3 45
n+1
3 5 7 9 … 2n+1
探知规律
如图，是用火柴棒拼成的图形。
（2）拼成第n个图形需要_(2_n__+_1_)根火柴棒。
(图1)形的变(2化) 规律(问3)题要多视(察4)图形，从中 找图出案编排号 列(1)的规(2律) ，或(转3) 化为一(4)组数…字再第探n索个其
火柴根数 3 3+2×1 3+2×2 3+2×3 … 3+2×(n-1)
规律，要与图形的序号相联系。
北师大版(2024)数学七年级上册+第三章 +3 探索与表达规律 +第1课时 探索数字与图形规律
11．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为 ( C)
A．135 B．153 C．170 D．189
12．如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个 图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图 案，第四个图形有10个十字星图案……则第101个图形有 _____1_0_0_0_1__个十字星图 案．
13．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所 填整数之和都相等，则第2023个格子中的整数是_____－__4_．
14.观察下列一组图形(如图所示)，它反映了图中点的个数与第n个图形之间的某 种变化规律．
(1)填写下表：
(2)设第n个图形中点的个数为S，写出S与n的关系式； (3)求出第10个图形中S的值．
解：(1)∵22＋40＋58＋42＋26＋44＋62＝294＝7×42，∴图中“H”字形框中七个 数的和是中间数的7倍
(2)成立，理由：设中间数为x，则其余六个数分别为x－2，x＋2，x－20，x＋20， x－16，x＋16，∴x－2＋x＋2＋x－20＋x＋20＋x－16＋x＋16＋x＝7x，所以图中 “H”字形框中七个数的和是中间数的7倍
数学 七年级上册 北师版
3 探索与表达规律 第1课时 探索数字与图形规律
知识点 1：探索整式的数字规律
1．一列数 1，5，11，19……按此规律排列，第 7 个数是( C )
A．37 B．41
C．55 D．71
2．(2024·云南)按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第 n 个代
(3)不能，理由：2023÷7＝289，∵此数阵是非负偶数数阵，而289是奇数，∴不 能框出和为2023的七个数
北师大版数学七年级上册第三章第五节探索与表达规律
第三章第五节探索与表达规律一、基本知识点1.探究规律；2.计算二、基本方法数字探究；图形探究三、知识讲练【例1】图形题用棋子摆出下列一组图形：（1）（2）（3）图形编号 1 2 3 4 5 6图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？〖针对练习1〗1.用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.…第1个图第2个图第3个图2. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数______________________；3. 下列每个图是由若干盆花组成的形如正方形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数__________4. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；5. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；6. 下图中所有正方体的边长都是1. 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。
依此规律。
则第（6）个图形的表面积个平方单位。
【例2】数字题1. 有若干个数，第1个数记为1a，第二个数记为2a，第三个数记为3a……，第n个记为na，若211-=a，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数。
”（1）试计算__________,__________________,432===aaa（2）根据以上结果，请你写出___________1999=a，_______2001=a。
北师大版七年级数学上册探索与表达规律
2．用棋子摆出下列一组图形：
（1）填写下表：
图形编号
12 3 456
图形中棋子的枚数
（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图 形棋子的枚数； （3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它 是第几个图形吗？
1、探索规律的主要过程： 特殊——一般——特殊
2、探索规律的一般方法： (1)寻找数量关系； (2)用代数式表示规律； (3)验证规律。
桌子张数 3
4
5
6 …… n
可坐人数 14 18 22 26
4n+2
（3）你能用不同的方法解释你所表示的规律吗？ （4）一家餐厅有这样的长方形桌子30张，按照上图方 式每5张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若按照上图 方式每6张拼成一张大桌子，共可坐多少人？若现在有 131个客人去吃饭，那该如何拼摆桌子？
以得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕 与上次的折痕保持平行，连续折6次后，可以得 到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
大家来归纳
对折1次,折痕为1. 对折2次，折痕为3，即3=22-1 对折3次，折痕为7，即7=23-1
对折4次，折痕为15,即15=24-1 对折5次，折痕为31,即31=25-1。
妙的大门,按照这种规律写出的第七个数据( ).
A、
B、
C、
D、
请完成下面的作业：
1．有若干个数，第一个数记为 ，第二个数
记为 ，…，第n个数记为 。若 = ， 从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个 数的差的倒数”。试计算： =______，
=____， =_____， =______。你发现 这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计 算 是多少？
13 14 15 16 17 18 19
3.3探索与表达规律 课件(共23张PPT) 北师大版初中数学七年级上册
情境导入
观察下图日历，请你回答以下问题：
日 一二三四五六 1234
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
(1)横向相邻的数之间的 关系是什么？
后一个数比前一个数多1.
达
规
律
探索数字与图形之间的规律的过程：
发现规律→表示规律→揭示规律.
家庭作业
教科书第100页(习题3.9) 第2、3题
(3)斜下方三个相邻的数 之间的关系是什么？
右下比左上的数多8
用字母表示： a-8，a，a+8 a-8+a+a+8＝3a
斜下方三个相邻数的和是中间的数的3倍.
情境导入
观察下图日历，请你回答以下问题：
日 一二三四五六 1234
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
(2)纵向相邻的数之间的 关系是什么？
下边一个数比上边一个数多7.
用字母表示： a-7，a，a+7 a-7+a+a+7＝3a
纵向相邻三个数的和是中间的数的3倍.
情境导入
观察下图日历，请你回答以下问题：
日 一二三四五六 1234
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
我的结果是93
那你心里 想的是78.
我的结果是27
那你心里 想的是12
2024年北师大七年级数学上册3.3 探索与表达规律(课件)
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探究1：观察日历图，日历图中的数有什么规律?
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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+(a+8) = __9_a___
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
尝试·思考
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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20 21 22 23 24 25 26Leabharlann 27 28 29 30 31
(1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为
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探究2：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？ 为什么？ 成立
猜想： 绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
用代数式表示： a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8 (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
北师大版七年级数学上册探索与表达规律课件29张
星期
五
星期
六
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其他月份的日历仍然可以用以上方法表示
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出：方框中九个数之和=9×正中间的数。
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(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示.
答案不唯一，
例如：方框中第一行和第三行的六个数之和=中间一行三个数之和×2.
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=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)
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=5a
规律: 十字形中五数之和=5×中间数
星期
五
星期
六
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二、新知探究
做一做
(2)如果改为H形框呢，你能发现哪些
规律？
图中十字形框中7个数之和=63=9×7.
设正中间数为a:
星期
日
星期
一
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《探索与表达规律》精品课件 北师大版
解：“数字对称等式”一般规律的等式为： (10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)．
课堂小结
探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手, 认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律, 数 并取特殊值代入验证 字 中 的 规 律 在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,这样 才能收到事半功倍的效果
…… 则 10×14 的 值 为 ___1_4_0___ ， 写 出 与 题 目 相 符 合 的 形 式 ： ____1_4_0_=_1_2_2_-_2_2___．
课堂检测
拓广探索题
观察下列等式：12×231=132×21；13×341=143×31； 23×352=253×32；34×473=374×43；…… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成 两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等 式为“数字对称等式”．
探究新知
提问：在桌数相同时，哪一种摆法容纳的人数更多？
答：第二种摆法容纳的人数更多． 探索：若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽敞明 亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你会选择上面 哪种餐桌的摆法？
答：选择第二种摆法．
方法点拨：规律探究问题的特点是问题的结论不是直接给出， 而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等 一系列的探究活动，方能得到问题的结论，这类问题，具有 独特的规律性和探究性.
北师大版 数学 七年级 上册
3.5 探索与表达规律 （第1课时）
导入新知
请同学们伸出左手，一起做下面的游 戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手 那样依次数数字1，2，3，4，5，……， 请问数字20落在哪个手指上？
3.3探索与表达规律第1课时探索并表达规律课件北师大版(2024)数学七年级上册
之间的其他关系吗？用代数式表示。 期 期 期 期 期 期 期 日一二三四五六
用代数式表示
12345 6 7 8 9 10 11 12
a-8 a-7 a-6
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a-1 a a+1
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a+6 a+7 a+8
(1)日历图中的数有什么规律？
左右相邻的数字相差1， 上下相邻的数字相差7。 （答案不唯一）
新课导入
观察下图所示的日历图，回答下列问题：
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
a－8＋a－7＋a－6－a－1＋a＋a＋1＋a＋6＋a＋7＋a＋8＝9a
新课导入
(4)你还能发现这样的方框中9个数 星 星 星 星 星 星 星
所以这个月的第一个星期日是2号。
合作探究
(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为“H”
形框呢？它们有什么共同规律？
十字形框中五个数之和是该框中 正中间数的5倍；
“H”形框中七个数之和是该框中 正中间数的7倍。
星星星星星星星 期期期期期期期 日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
北师大版七年级上册《探索与表达规律》
北师大版七年级上册《探索与表达规律》教材剖析:探求规律是北师大版七年级数学上册第三章第五节，探求规律自身是数学课中比拟笼统的一局部外容，先生需求积聚一定的阅历和基本的探求方法才可以找到标题的规律，本章学习的整式及其加减正好用来表示这种规律，所以表达规律是整式运用很好的范例，教材在本章布置了几种复杂的规律探求效果，其目的主要是让先生掌握处置这类效果的基本方法即：探求剖析——归结表示——验证结论，体会处置效果的基本思想即：从特殊到普通的思想。
教学目的：1.知识目的：会用代数式表示复杂效果中的数量关系，能用兼并同类项、去括号等法那么验证所探求的规律。
2.才干目的：培育先生的观察才干、入手才干、创新才干以及交往协作才干，并提高其剖析效果和处置效果的才干。
3.情感目的：让先生体会数学就在身边，激起先生的探求热情，体验数学活动的探求性及发明性，培育先生实事求是的迷信态度。
教学重难点：【教学重点】探务实践效果中蕴涵的关系和规律。
【教学难点】用字母、运算符号表示普通规律。
课前预备：见PPT教学进程：一、效果引入这是2021年3 月的日历，你能填空吗？【设计意图】经过复杂的效果，先生快速回答从而取得对数字规律的直观体验，为用字母表示规律埋下伏笔。
二、协作探求1.先生探求活动项目单：〔1〕说一说日历中的数字陈列有什么规律？〔同一排或同一列〕〔2〕假定用一个方框恣意框出九个数，这九个数字之间有什么数量关系？〔3〕用字母表示这种数量关系。
〔4〕这九个数的和与中间数有什么关系？〔5〕尝试运用较为精练的言语和同桌说一说你发现的规律。
先生思索、猜想、交流，一般先生展现。
应鼓舞先生大胆探求，积极发言。
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = __9a____可失掉：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数。
进一步应战：给出几个图形，如〝十〞字形、〝H〞形，〝W〞形，让先生以小组为单位对相应图形中数的规律停止探求，并用代数式表示验证规律，并分小组展现。
北师大版(2024新版)七年级数学上册教案：3.3 探索与表达规律
《探索与表达规律》教学设计学习目标1．能分析日历和图形问题中的简单数量关系，并会用代数式表示.2．通过观察日历和图形、交流分析数量关系的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点分析实际问题中的数量关系．难点用代数式表示实际问题中的数量关系．第一环节情境引入课题请同学们随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，老师一定知道你的结果的个位数字是几？你知道为什么吗？（设计意图：使学生体会到数学中的规律性以及用代数式表示规律的可行性与应用性，预计3分钟）教师：这节课我们将一起探究日历和图形中的规律．第二环节合作探究日历中的规律探究活动1 请同学们认真观察日历表，回答下列问题：(1)请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；(2)请找一找竖列三个相邻数的关系；(3)请找一找左上、右下对角线上三个相邻数的关系；(4)请找一找左下、右上对角线上三个相邻数的关系.你能用字母表示这些关系吗？（设计意图：用问题引导学生的思考，从特殊入手，发现规律。
让学生体会用字母表示规律的思维过程，5分钟）探究活动2(1)日历红色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？(4)你还能发现这样的方框中的9个数之间的其他关系吗？用代数式表示.（设计意图：教师示范验证过程，规范学生的数学推理的书写过程.预计8分钟）探究活动3(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？(2)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？(3)如果有一个如第1问的十字形框中的5个数的和为110，则其中最小的数是多少？这5个数的和能为121吗？为什么？(4)你能根据这个十字形数框提出问题解答吗?（设计意图：教师讲解后让学生及时练习，有助于对知识的掌握与巩固，第2问给学生表达的机会，锻炼其提出问题解决问题的能力，预计7分钟）小结：从日历中的数这个具体问题入手，通过观察、分析、比较、猜想得出规律，表示出规律，并利用规律解决了简单问题.第三环节探究图形中的规律探究活动4创新1 班要上一节主题班会，需要重新摆放桌椅，按照班委会要求准备了充足的桌子（一张桌子坐6人），根据以下问题探究规律.1.按图（1）的方式摆放餐桌和椅子，完成下表桌子张数12345…n可坐人数（设计意图：由贴近生活的情景问题开始，由学生自主探索，经历观察、比较、归纳、猜想、验证，了解探索规律的过程）2.若按图2 的方式摆放餐桌和椅子，完成下表：（设计意图：巩固加深学生对探索规律的过程和方法的理解）：3.能力提升：问题1：班委提出利用8张这样的桌子想要坐更多的人，应选择哪种方法摆放？问题2：现在有40张这样的桌子，若按照第一种摆放方式，每8张拼成1张大桌子，一共可以坐______人.问题3：如果有8n张桌子，仍然按第一种规律8张拼成一张大桌子，此时桌子周围可以坐多少人？你是怎么想的？你能根据这个图形提出问题并解答吗？（设计意图：通过这几个问题，加大了题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的创造能力，也使学生在对数学的生活化和生活的数学化都有较好的体验，预计15分钟）第四环节学生总结收获探索规律的方法和步骤是什么呢？（教师分析）通过本节课的学习，你有什么收获？（设计意图：给学生表达的机会，培养学生及时归纳总结知识的方法的好习惯，3分钟）第五环节学以致用mm的黑白两种颜色的大理石地砖，按如图的方1.某展览馆选用规格为600600式铺设通向展厅的走廊地面，依据上图规律，第4个图形需要黑色大理石地砖________块，第n个图形中需要黑色大理石地砖________块.2.下面是用棋子摆成的“小房子” ，摆第10个这样的“小房子” 需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？3.将连续的奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表.（1）十字形框中的五个数之和与中间数17有什么关系？（2）设十字框中间的奇数为a，用含a的代数式表示框中五个奇数之和为______．（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数的和还有上述规律吗？（4）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是______.（5）被十字框框中的五个奇数之和能等于2019吗？能等于2015吗？说说你的理由．结语：同学们，把你的年龄的两位数的十位与个位对调，然后相减，得到一个数，记下这个数，我知道你得到的数一定能被9整除. 同学们试一试，想知道为什么吗？下节课我们将探索其中的规律.。
北师大数学七年级上册第三章探索与表达规律经典总结
第03讲_探索与表达规律知识图谱定义新运算知识精讲近几年出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．注意：解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．新运算 符号现定义两种运算和*，对于任意两个整数a 、b,都有：1,1b a b a b a b a =+-*=-，试求：2[34)21)]((** 的值.原式162[(341)(21)]2[61]2(611)262131=*+--=*=*+-=*=-= 程序计算类按如图所示的程序计算，若开始输入的x 值为3，求最后输出的结果当输入3时，3(31)61002⨯+=<，再将6重新输入，6(61)211002⨯+=<， 再将21重新输入，21(211)2311002⨯+=>，故输出结果为231解答此类问题的方法是用数值替换程序中的x ，如果计算结果符合条件，那么输出；如果计算结果不符合条件，那么再将计算结果重新输入进行计算，如此循环，直到符合条件为止周期循环已知a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．如：2的差倒数是112-，﹣1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1=﹣13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2017=______．分析：根据定义计算：a 1=﹣13，a 2=11131141()3a ==---，a 3=2113114a =--=4，a 4=311114a =--=﹣13，…，依此类推，每3个数为一个循环组依次循环， ∵2017÷3=672余1，∴a 2017为第673循环组的第一个数，∴a 2017=a 1=﹣13．三点剖析一．考点：新定义运算二．重难点：新定义运算三．易错点：新定义运算定义新运算例题1、 根据所给流程图，计算所有输出数据之和等于__________．【答案】 35【解析】 模拟执行程序框图，可得1,2A N ==；输出1，2N =，满足条件6N <，4A =，输出4，3N =；满足条件6N <，7A =，输出7，4N =；满足条件6N <，10A =，输出10，5N =；满足条件6N <，13A =，输出13，6N =，不满足条件6N <，退出循环，结束．例题2、 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为：()21021011202124015=⨯+⨯+⨯=++= ()3210210111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=按此方式，将二进制()21001换算成十进制数的结果是__________．【答案】 9． 【解析】 略．例题3、 若规定新符号“☆”具有性质a ☆b=a b +b a ，则2☆1的值是（ ） A.3 B.2 C.1D.12【解析】 ∵a ☆b=a b +b a ， ∴2☆1 =21+12 =2+1 =3．例题4、 定义新运算“*”为：a*b=(a b)3b(a b)a b -≥⎧⎨<⎩，则当x=3时，计算2*x ﹣4*x 的结果为______．【答案】 8【解析】 当x=3时，2*x ﹣4*x=2*3﹣4*3=9﹣（4﹣3）=8例题5、 在密码学中，你直接可以看到的内容为明文（真实文），对明文进行某种处理后得到的内容为密文，现有一种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母（不论大小写）按顺序依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：现给出一个公式：当126x ≤≤时，若x 不能被2整除，则12'x x +=；若x 能被2整除，则132'xx =+．将明文字母对应的数字x 按以上公式计算得到密文字母对应的数字'x ，比如明文字母为g ，则有71742g d +→→=→，所以明文字母g 对应的密文字母为d ．（1）按照上述规定，将明文good 译成的密文是什么？写出你的计算过程； （2）按照上述规定，请你写出由密文字母'x 得到明文字母x 的公式；（3）按照（2）中得到的公式，密文gawqj 所代表的明文单词是什么？（直接写出结果） 【答案】 （1）dhho ；（2）若'13x ≤，则2'1x x =-；若'13x >，则()2'13x x =-；（3）maths【解析】 当126≤≤x 时，若x 为奇数，则对应的'x 必然不超过13；若x 为偶数，则对应的'x 必然大于13，因此在将密文翻译成明文时，需要看蜜文所对应的数字与13的大小关系，即“明文看奇偶，密文比十三”．随练1、 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为__________． 【答案】 110 【解析】 略随练2、 定义一种新运算：观察下列式：1⊙3=1×4+3=7 3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11 5⊙4=5×4+4=24 4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13 （1）请你想一想：a ⊙b= ；（2）若a ≠b ，那么a ⊙b b ⊙a （填入“=”或“≠”） （3）若a⊙（﹣2b ）=4，请计算 （a ﹣b ）⊙（2a+b ）的值． 【答案】 （1）4a+b ，（2）≠，（3）6．【解析】 （1）⊙1⊙3=1×4+3=7，3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11，5⊙4=5×4+4=24，4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13， ⊙a ⊙b=4a+b ；（2）a ⊙b=4a+b ，b ⊙a=4b+a ，（4a+b ）﹣（4b+a ）=3a ﹣3b=3（a ﹣b ）， ⊙a ≠b ，⊙3（a ﹣b ）≠0，即（4a+b ）﹣（4b+a ）≠0， ⊙a ⊙b ≠b ⊙a ； a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26（3）⊙a ⊙（﹣2b ）=4a ﹣2b=4， ⊙2a ﹣b=2，（a ﹣b ）⊙（2a+b ） =4（a ﹣b ）+（2a+b ） =4a ﹣4b+2a+b ， =6a ﹣3b ， =3（2a ﹣b ） =3×2 =6．随练3、 符号f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1）()10f =，()21f =，()32f =，()43f =， （2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用以上规律计算()120122013f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________【答案】 2【解析】 该题考查的是规律题． 根据（1）可知()1f n n =-，根据（2）可知1f n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()120122013201122013f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭随练4、 执行如图所示的流程图，输出结果为__________．【答案】23【解析】 由分析知，该程序图共执行了200次替换，虽然赋值1i =，3a =，但2i =时执行了一次替换，用12-替换了a ，3i =时执行了一次替换，用23替换了a ；到4i =时，a 的值又等于3，所以在200次替换过程中a 的值成周期出现，周期为3，所以200次替换得到的23a =．与整式相关的找规律⋅⋅⋅⋅⋅⋅知识精讲规律探究类的问题考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．解决“规律探索”的题目通常需要以下三个步骤：寻找数量之间的关系——用代数式表示规律——验证规律。
3.3探索与表达规律第2课时(北师大版2024)
课堂小结
本节课你学习了什么？本节课你有哪些收获？
探索与表达规律：
具
体
问
题
观
察
、
比
较
猜
想
规
律
表
示
规
律
验
证
规
律
得
出
结
论
成立
不成立
回头重新探索
作业布置
习题3.3：3，4，5题.
感谢聆听
第三步：算出y2的各位数字之和得x3，再计算x32＋1得y3.
依此类推，y30的值为( D )
A．5
B．26
C．65
D．122
学以致用
3．破译密码“L dp d vwxghqw”，现在给你一把破译它的“钥匙”x－3，
即：把26个英文字母顺序排成圈，x－3代表“把一个字母换成字母表
中 从 它 向 前 移 动 3 位 的 字 母 ” ， 那 么 “L dp d vwxghqw” 的 意 思 是
我便可以说出那个三位数．”乙同学试了几次，果真如此．请你指出甲同学
是如何猜出这个三位数的，并用数学知识说明理由．
解：只要将说出的三位数减去100就知道了．
理由：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，
则乙按步骤所得的三位数为10[2(5a＋5)＋b]＋c，
化简后为100a＋10b＋c＋100，减去100就是原三位数．
a+b+c+d+999a+99b+9c,
显然999a+99b+9c可以被3整除,
所以只考虑a+b+c+d,若a+b+c+d可以被3整除,则四位数可以被3整除.
3.3.1探索与表达规律+课件+2024-2025学年北师大版数学七年级上册
形 与“H”
星星星
期期期 日一二
星星星
期期期 四五六
1
345
67 8
10 11 12
13 14 15
17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
04 课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 如图，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共 有5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形..... 则第⑩个图形中小平行四边形的个数是( D )
03 新知讲解
尝试 ·思考
(1)图所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么?
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
因为9个数的和可以表示为9a,即可以被9整除，所以框中的9个数的和 不能为144,9个数的和可以是180
03 新知讲解
(2)在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的 和为80,这个月的第一个星期日是几号?
设这五个星期日的日期数由上至下分别为a-14,a-7 ,a ,a+7,
a+14, 根据题意，得(a-14)+(a-7)+a+(a+7)+(a+14)=80,
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
03 新知讲解
(1)日历图中的数有什么规律? (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什 么关系? (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?请用代数 式表示。
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探索与表达规律
教学目标:
1.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律，培养学生通过观察已知数据或图形，探索数量之间的关系得到规律的能力．
2. 通过动手操作、观察、思考，经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程．
3. 体验在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
二、教学重难点
重点：探索发现规律，并会用代数式表示规律．
难点：用代数式表示规律．
（一）儿歌规律
这节课我们将一起探究数学中的规律，从而引出课题：探索规律
（二）合作探究
探究：数的变化规律
1.请同学们快速记住日历中的数字并能准确的说出它们的位置.
2.请同学填空，并说说是以什么方法记忆日历的？
学生通过观察，找到每一行、每一列、每一条对角线上相邻两数之间的关系.
3.探究方框中九个数的和与正中间数的关系.（所给的是今年十月份的日历）
（1）请思考方框中九个数的和与正中间的数有什么关系？
（2）请同学们拿出日历，任意用方框框住这份日历中其它的九个数，这个关系是否成立？
（3）这个关系对十月份的日历成立，那对其他月份的日历成立吗？
从而得到猜想：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
（4）我们应该如何进行验证？
学生根据方框中数的不确定性，引导他们想到用字母表示数，学生可能设任意一个方格的数为字母（任意），表示出其余的八个数，通过代数和运算发现，设正中间的数为字母的计算较为简单，得到“问什么设什么”，根据代数和的运算验证了猜想的正确性.
从而得到规律：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数
挑战：给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“M”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，分小组展示.
探究：图形的变化规律
按下图方式用火柴棒搭三角形：
…
1.照这样的规律搭下去，搭8个三角形需要多少根火柴棒？
2.探究：搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
学生可以通过摆放的多种方式得到规律，同时经过去括号、合并同类项等化简运算得到结果相同，也可以引导学生将图形的规律转化为数来研究.
挑战：将一张长方形纸按如图方式连续对折，每一次的
折痕都与第一次的折痕平行，对折1次后，纸为几层?
对折2次后，纸为几层? 对折n次呢？
先研究层数，再研究折痕的条数，并让学生认识到有时
仅从图形是不容易发现规律的，需要借助于数来猜想得
到规律，并用具体图形来验证.
（三）归纳提炼
让学生对本节课所学的基本方法和数学思想进行归纳.
（四）拓展延伸
设置游戏，拓展有关整除的规律.
（五）布置作业
请学生自己设置包含数字规律的数阵，并写出探究的过程.。