工程力学作业解答(重大版)

2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。已知：P = 140kN ，b = 200mm ，b 0 = 100mm ，t = 4mm 。

题图2.9

解：(1) 计算杆的轴力 kN 14021===P N N (2) 计算横截面的面积

21m m 8004200=⨯=⨯=t b A

202mm 4004)100200()(=⨯-=⨯-=t b b A (3) 计算正应力

MPa 1758001000140111=⨯==

A N σ MPa 350400

1000

140222=⨯==

A N σ (注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段

的危险截面)

2.10 横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸，力P=10kN ，求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力ασ及ατ，并问m ax τ发生在哪一个截面？ 解：(1) 计算杆的轴力

kN 10==P N

(2) 计算横截面上的正应力

MPa 50100

2100010=⨯⨯==A N σ

(3) 计算斜截面上的应力

MPa 5.37235030cos 2

230

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯==ο

ο

σσ

MPa 6.212

3250)302

sin(2

30=⨯=

⨯=

ο

ο

σ

τ MPa 25225045cos 2

245

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯==οο

σσ

MPa 2512

50

)452

sin(2

45=⨯=

⨯=

οο

σ

τ (4) m ax τ发生的截面 ∵

0)2cos(==ασα

τα

d d 取得极值 ∴ 0)2cos(=α 因此：2

2π

α=

， ο454

==

π

α

故：m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。

（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）

2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC ，P =10kN ，l 1=l 2=400mm ，A 1=2A 2=100mm 2，E =200GPa 。试计算杆AC 的轴向变形Δl 。

题图2.17

解：(1) 计算直杆各段的轴力及画轴力图

kN 101==P N （拉） kN 102-=-=P N （压）

(2) 计算直杆各段的轴向变形

mm 2.0100

1000200400

1000101111=⨯⨯⨯⨯==

∆EA l N l （伸长） mm 4.050

1000200400

1000102222-=⨯⨯⨯⨯-==

∆EA l N l （缩短） (3) 直杆AC 的轴向变形

m m 2.021-=∆+∆=∆l l l （缩短）

(注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和)

2.20 题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA 相同，试求节点A 的水平和垂直位移。

( a) (b)

题图2.20

(a) 解：

(1) 计算各杆的轴力

以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得

0=∑X ，P N =2

( 拉 ) 0=∑Y ，01

=N

(2) 计算各杆的变形

01=∆l

EA

Pl EA Pl EA l N l 245cos /222===∆ο

(3) 计算A 点位移

以切线代弧线，A 点的位移为：

EA Pl

l x A 245

cos 2=∆=

∆ο

0=∆A y

(b) 解：

(1) 计算各杆的轴力

以A 点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得

0=∑X ，P N 21

= ( 拉 )

0=∑Y ，P N

-=2

( 压 )

(2) 计算各杆的变形

EA

Pa

EA a P EA

l N l 2221

11=⨯==

∆ ( 伸长 )

EA

Pa EA a P EA l N l =⨯==

∆222 ( 缩短 ) (3) 计算A 点位移

以切线代弧线，A 点的位移为：

EA Pa

EA Pa EA Pa l l A C AB x A )122(2245cos 2

1+=+=∆+∆=

'+=∆ο

EA

Pa

l y A -

=∆-=∆2 [注：①本题计算是基于小变形假设(材料力学的理论和方法都是基于这个假设)，在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。②计算位移的关键是以切线代弧线。)

2.15 如题图2.15所示桁架，α =30°，在A 点受载荷P = 350kN ，杆AB 由两根

槽钢构成，杆AC 由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力MPa 160][=t σ，许用压应力MPa 100][=c σ。试为两根杆选择型钢号码。

题图2.15