山东省德州市2021届新高考数学二模考试卷含解析

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山东省德州市2021年中考数学二模试卷附答案

中考数学二模试卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列计算结果正确的是（）A. （﹣a3）2＝a9B. a2•a3＝a6C. ﹣22＝﹣2D. ＝12.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.截止到2019 年9 月3 日，电影《哪吒之魔童降世》的累计票房达到47.24 亿，47.24 亿用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A. 10°B. 20°C. 25°D. 30°5.我市某中学九年级（1）班为开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学捐款情况如下表：问该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）A. 13，11B. 25，30C. 20，25D. 25，206.小亮领来n盒粉笔，整齐地摆在讲桌上，其三视图如图，则n的值是（）A. 7B. 8C. 9D. 107.下列说法错误的是（）A. 平分弦的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧B. 已知⊙O的半径为6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O有两个交点C. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形D. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等8.若，则x的取值范围是（）A. x<5B. x≤5C. x≥5D. x>59.九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )A. B. C. D.10.如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.11.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. k＞﹣1B. k＜1且k≠0C. k≥﹣1且k≠0D. k＞﹣1且k≠012.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有（）①a＜0；②当x＜0时，y＜3；③当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；④方程ax2+bx+c＝5有两个不相等的实数根．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（共6题；共9分）13.分解因式：x3﹣25x＝________.14.从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是________15.在⊙O中，半径为2，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为________；16.如图所示，在一笔直的海岸线l上有A．B两个观测站，已知AB=2km，从A测得船C在北偏东60°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为________km；17.如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG 交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED 的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是________．（填入正确的序号）18.如图，直线l：y＝x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画弧交y一轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A4的坐标为________；点A n的坐标为________．三、解答题（共7题；共42分）19.先化简，再求值：，其中．20.（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．①小厉参加实验D考试的概率是▲；②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．21.某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有辆货车未出租，日租金总收入为元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨元，每天租出去的货车就会减少辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC 相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF.（1）求证：①AO＝AG.②BF是⊙O的切线.（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积.23.小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为.已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME.（结果精确到0.1m，参考数据：）24.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（1）猜测探究在中，，是平面内任意一点，将线段绕点A按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．如图1，若M是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是________，与的数量关系是________；（2）如图2，点E是延长线上点，若M是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（3）拓展应用如图3，在中，，，，P是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．25.如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B二、填空题13.【答案】x（x+5）（x﹣5）14.【答案】15.【答案】30°或150°16.【答案】17.【答案】①②③18.【答案】（0，8）；（0，2n-1）三、解答题19.【答案】解：把代入得：原式20.【答案】（1）解：分分分因为乙的平均成绩最高，所以应该录取乙；（2）解：①②解：列表如下：所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，所以小王、小张抽到同一个实验的概率为= ．21.【答案】（1）解：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，根据题意得，，解得：，经检验：是分式方程的根，（元），答：该出租公司这批对外出租的货车共有辆，淡季每辆货车的日租金元；（2）解：设每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入为元，根据题意得，，，，当时，有最大值，答：每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入最高22.【答案】（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵＝，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∵AO＝OG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线（2）解：如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）× .23.【答案】解：作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，则，，，设，∵，∴，由勾股定理得，，即，解得，，则，，∴，，设，则，在中，，则，在中，，则，∵，∴，解得，，∴.答：古塔的高度ME约为39.8m。

2020-2021学年山东省德州市高考数学二模试卷(文科)及答案解析

山东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．23．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=04．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.56．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=19．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是______．12．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为______．13．已知变量x，y满足，则的最大值为______．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为______．15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R表示实数集，集合M={x|0＜x＜2}，N={x|x2+x﹣6≤0}，则下列结论正确的是（）A．M∈N B．∁R M⊆N C．M∈∁R N D．∁R N⊆∁R M【考点】元素与集合关系的判断．【分析】化简N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，从而确定M⊊N；从而求得．【解答】解：∵N={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，而M={x|0＜x＜2}，∴M⊊N；∴∁R N⊆∁R M，故选D．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，则z2的虚部是（）A．﹣2 B．﹣2i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的虚部．【解答】解：复数z满足z•（1﹣i）=2，可得z===1+i．z2=（1+i）2=2i．则z2的虚部是：2．故选：D．3．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是（）A．∀x∈R，x2+2x+3≠0 B．∀x∈R，x2+2x+3=0C．∃x∈R，x2+2x+3≠0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈R，x2+2x+3=0，则￢p是：∀x∈R，x2+2x+3≠0．故选：A．4．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，利用x=0时的函数值判断选项即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，并且x=0时，f（0）=1，故选：C．5．两个相关变量满足如下关系：x 2 3 4 5 6y 25 ●50 56 64根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.5【考点】线性回归方程．【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．6．把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．7．设集合M={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，则任取（m，n）∈M，关于x的方程+nx+m=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】这是一个几何概型问题，关于x的方程+nx+m=0有实根根据判别式大于等于零，可以得到m和n之间的关系，写出对应的集合，做出面积，得到概率．【解答】解：方程+nx+m=0有实根⇔△≥0⇔n2﹣m2≥0，集合A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R}，面积SΩ=2×3=6；设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为A={（m，n）|0＜m＜2，0＜n＜3，m，n∈R，n2﹣m2≥0}，其面积S A=4，所以P（A）=．故选：C．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，双曲线的渐近线方程为y=±x，将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，可得x2±x+=0，由直线和抛物线相切的条件，可得△=﹣4××=0，即有a2=4b2，解得a=2，b=1，可得双曲线的方程为﹣y2=1．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，∴几何体的最长棱为PC==．故选B．10．已知函数f（x）=且方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0恰有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，3）C．（2，3）D．（2，4）【考点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）=的图象，从而化方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，方程[f（x）]2﹣af（x）+2=0，恰有四个不同的实根，转化为t2﹣at+2=0在（1，2]上有两个不同的根，故，解得，＜a＜3，故选：B．二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600 ．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出合格人数．【解答】解：由频率分布直方图得合格的频率=（0.035+0.015+0.01）×10=0.6合格的人数=0.6×1000=600故答案为：60012．执行如图所示的程序框图，若输入x=6，则输出y的值为﹣．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣1，y=﹣时，满足条件|y ﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得x=6y=2不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=2，y=0不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=﹣1不满足条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=﹣1，y=﹣满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故答案为：﹣．13．已知变量x，y满足，则的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：的几何意义为区域内的点到P（﹣2，2）的斜率，由图象知，PA的斜率最大，由，得，即A（2，3），故PA的斜率k==．故答案为：．14．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为 e ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．【解答】解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，又∵lnx，，lny成等比数列，∴=lnxlny由基本不等式可得lnx+lny≥2=1，当且仅当lnx=lny，即x=y=时取等号，故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，故xy的最小值为：e故答案为：e15．已知函数f（x）=，g（x）=acos+5﹣2a（a＞0）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）∈[0，]；∵g（x）=acos+5﹣2a（a＞0），当x2∈[0，1]时，∴acos∈[0，a]∴g（x）∈[5﹣2a，5﹣a]∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a＞，或5﹣a＜0，得a＜或a＞5∴a的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．为了解甲、乙两个班级（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，学生勤奋程度和自觉性都一样）的数学成绩，现随机抽取甲、乙两个班级各8名同学的数学考试成绩，并做出茎叶图，但是不慎污损．已知两个班级所抽取的同学平均成绩相同，回答下面的问题并写出计算过程：（I）求出甲班中被污损的一名学生的成绩；（Ⅱ）样本中考试分数在70～90分之问的同学里，两班各任选一名同学座谈，甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率为多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由两班样本总数都为8人，平均数相等，列出方程能求出x．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，利用列举法能求出甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵两班样本总数都为8人，平均数相等，∴=，解得x=85．（Ⅱ）根据题意，甲班在70～90分之间共有6人，分别为88，85，84，81，79，72，乙班在70～90分之间共有6人，分别为87，82，81，79，77，76，设事件A为“两班各任选一名同学座谈，两名同学分数在80～90”之间，则基本事件空间为：Ω={（88，87），（88，82），（88，81），（88，79），（88，77），（88，76），（85，87），（85，82），（85，81），（85，79），（85，77），（85，76），（84，87），（84，82），（84，81），（84，79），（84，77），（84，76），（81，87），（81，82），（81，81），（81，79），（81，77），（81，76），（79，87），（79，82），（79，81），（79，79），（79，77），（79，76），（72，87），（72，82），（72，81），（72，79），（72，77），（72，76）}，共有36个基本事件，事件A包含的基本事件有：（88，87），（88，82），（88，81），（85，87），（85，82），（85，81），（84，87），（84，82），（84，81），（81，87），（81，82），（81，81），共12个基本事件，∴甲乙两班被选出的两名同学分数均在80～90分的概率P（A）=．17．已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及x∈[，]时f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，且角C为锐角，S△ABC=，c=2，f（C+）=﹣．求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得f（x）═sin2x﹣，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和f（x）的值域；（2）f（C+）=﹣，求得C=，由三角形的面积公式求得ab=4，余弦定理求得a2+b2=16，联立求得a、b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos2x=sin2x+cos2x﹣（2cos2x﹣1）﹣，=sin2x﹣，f（x）的最小正周期π，x∈[，]，2x∈[，]，f（x）的值域[﹣，﹣]；（2）f（x）=sin2x﹣，f（C+）=sin2（C+）﹣=﹣，∴sin（2C+）=，cos2C=，角C为锐角，C=，S=，S△ABC=，ab=4，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，a2+b2=16，解得b=2，a=2或b=2，a=2，18．已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1与a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1作差，进而计算可知=（n∈N），利用累乘法计算可知数列{a n}的通项公式；（2）通过（1），利用等差数列的求和公式裂项可知b n=2（﹣），进而利用并项相消法可知T n=，从而问题转化为数列{T n}的最大值，计算即得结论．【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1（n∈N），∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1，两式相减得：a n=a n+1﹣a n，即=，又∵==满足上式，∴=（n∈N），∴当n≥2时，a n=••…••a1=••…•2•1=n，又∵a1=1满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n===2（﹣），∴T n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，∵随着n的增大而增大，∴不等式T n＜对所有n∈N都成立⇔求数列{T n}的最大值，又∵=2，∴≥2，即m≥20，故满足题意的最小正整数m=20．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（Ⅲ）解：……20．已知函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．（e=2.71828…）（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）﹣x在上有两个零点，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】先求函数f（x）的定义域，利用函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e）．求出a的值．（Ⅰ）计算并判断f′（x）＞0或f′（x）＜0，可得f（x）的单调区间，即可求函数f（x）在[，e]上的最值；（Ⅱ）原命题等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点，由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，可得最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h（e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，从而可求实数t的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f′（x）=，∴f′（e）=ae，∴f（x）在x=e处的切线方程为y﹣ae2=ae（x﹣e），即y=eax，∵函数f（x）=在x=e处的切线经过点（1，e），∴a=1．（Ⅰ）由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（，+∞），由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（0，1）（1，），∴f（x）在[，]上单调递减，在[，e]上单调递增，∵f（）=2e，f（）=4，f（e）=e2，e2，∴函数f（x）在[，e]上的最大值为e2，最小值为2e；（Ⅱ）函数g（x）=tf（x）﹣x在[，1）∪（1，e2]上有两个零点，等价于h（x）=与y=t在[，1）∪（1，e2]上有两个不同的交点．由h′（x）=＞0得0＜x＜e，h′（x）=＜0得x＞e，所以当x=e时y=h（x）有极大值，即最大值h（e）=，又h（）=﹣e，h（e2）=，h（1）=0且＞0＞﹣e，所以实数t的取值范围为[，）．21．如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），设椭圆E的方程为+=1，求出C（1，2），D（1，﹣2），由抛物线、椭圆都关于x轴对称，能求出椭圆方程．（Ⅱ）设AB：y=k（x﹣2），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，∴由抛物线方程y2=4x得焦点F2（1，0），∴设椭圆E的方程为+=1，解方程组，得C（1，2），D（1，﹣2），∵抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴==2，|F2S|=，∴S（1，），∴+=1，解得b2=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜，，，∵|AB|＜，∴（1+k2）[]＜，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，∴k2＞，∴，∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），∴，y=[k（x1+x2）﹣4k]=，∵点P在椭圆上，∴+2=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，∴，∴﹣2＜t＜﹣或，∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．。

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析

2021年高考数学试卷新高考2卷含参考答案解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（新高考2卷）注意事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号。

用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

不要在试卷上作答。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

单选题：1.复数2-i在复平面内对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.设集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,6}，B={2,3,4}，则A∪B的结果为（）。

A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（）。

A．1 B．2 C．22 D．44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，其中地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km。

将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1-cosα)（单位：km2）。

则S占地球表面积的百分比约为（）。

A．26% B．34% C．42% D．50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2和4，侧棱长为2，则其体积为（）。

A．20+123 B．282 C．56√3/2 D．282√3/36.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ)，下列结论中不正确的是（）。

2024届山东省德州市高考二模数学试题(解析版)

2024年高考适应性练习数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()1i 3i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意求出z ，进而解出z ，判断z 在复平面内对应的点所在象限即可.【详解】由题意知：()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===+--+，所以12i z =-，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若随机变量()23,N ξσ~，且()40.2P ξ>=，则()23P ξ<<=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B 【解析】【分析】由正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，()()()3434P P P ξξξ<≤=>->，由正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，即可得到答案.【详解】由随机变量()23,N ξσ~，根据正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，因为()40.2P ξ>=，可得()()()34340.50.20.3P P P ξξξ<≤=>->=-=，再根据正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，所以()()()2334340.3P P P ξξξ<<=<<=<≤=，故选：B.3.若抛物线()220y px p =>的焦点到直线2x =-的距离为4，则p 的值为（）A.1 B.2 C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则有242p+=，解得4p =.故选：C .4.已知:124x p <<，2:10q x ax --<，若p 是q 的充分不必要条件，则（）A.32a ≥B.302<≤a C.2a > D.02a <≤【答案】A 【解析】【分析】首先化简命题p ，依题意可得当02x <<时210x ax --<恒成立，参变分离可得1a x x>-在02x <<上恒成立，结合函数的单调性计算可得.【详解】命题:124x p <<，即:02p x <<，因为p 是q 的充分不必要条件，显然当0x =时满足2:10q x ax --<，所以当02x <<时210x ax --<恒成立，则1a x x>-在02x <<上恒成立，又函数()1f x x x=-在()0,2上单调递增，且()322f =，所以32a ≥.故选：A5.811x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中22x y -的系数为（）A .840- B.420- C.420 D.840【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.【详解】现有8个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭相乘，从每个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的三项11,,x y -各取一项相乘时，若结果为22x y -的常数倍，则所取的8项中有4个1，2个x ，2个1y-.所以，总的选取方法数目就是422842C C C 7061420⋅⋅=⨯⨯=.每个这样选取后相乘的结果都是2422211··x x y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即给系数的贡献总是1，所以22x y -的系数就是全部的选取数420.故选：C.6.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，若11π6x =-为()g x 图象的一条对称轴，则ϕ的最小值为（）A.π12B.5π12 C.7π12D.2π3【答案】B 【解析】【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出()g x ，再根据正弦函数的对称轴求出ϕ和整数k 的关系式，再对k 取值即可求解.【详解】由题意得：ππ()sin 2()sin(22)63g x x x ϕϕ=++=++，又因为11π6x =-是()g x 的一条对称轴，所以π11ππ2π2,Z 263k k ϕ⎛⎫+=⋅-++∈ ⎪⎝⎭，即π23π,k Z 212k ϕ=+∈，下面结合选项对整数k 取值（显然k 取负整数）：1k =-时，17π12ϕ=；2k =-时，11π12ϕ=；3k =-时，5π12ϕ=；4k =-时，-π12ϕ=.故选：B.7.在ABC 中，32603AB AC BAC AB AF BE EC AE CF ∠=====,,，，,,交于点D ，则= CD （）A.33B.32C.334D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可由坐标法求解，以A 为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：由图可得：(0,0),(3,0),A B C ，又3(1,0),3(2,)2AB AF BE EC F E =⇒= ，，故直线AE 的方程：34y x =，可得31,4D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以334CD ==，故选：C.8.欧拉函数()()*n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如()42ϕ=.已知()123n n nb ϕ+=，*n ∈N ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若n T M <恒成立，则M 的最小值为（）A.34 B.1C.76D.2【答案】A【分析】由欧拉函数的定义可求出3n nn b =，由错位相减法求出n T ，可得34nT <，即34M ≥，即可求出M 的最小值.【详解】因为3为质数，在不超过3n 的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为13n -，()()1133323n n n n n ϕ--*=-=⨯∈N ，所以()()+1+133323n n nn n ϕ*=-=⨯∈N ，则()122=2333n n n n nn nb ϕ+==⨯，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ，2311231=+++33333n n n n n T --++ ，234111231=+++333333n n n n n T +-++ ，两式相减可得：23111113321111+1333333313nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++⋯⋯-=--11111112332323n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以313343424nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为03n n nb =>，所以n T 在N*n ∈在单调递增，所以n T M <恒成立，所以34M ≥，所以M 的最小值为34.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos f x x x =⋅，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的最小值为12-D.()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】【分析】对于A ，直接用奇函数的定义验证；对于B ，直接说明π不是周期；对于C ，利用正弦二倍角公式证明()12f x ≥-，再由π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得最小值；对于D ，直接计算得到()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可否定结论.【详解】对于A ，函数()f x 定义域为R ，有()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，所以()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，有πππ1sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3π3π1sin cos 4442f ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.所以πππ44f f ⎛⎫⎛⎫-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这表明π不是()f x 的周期，B 错误；对于C ，我们有()11sin cos sin cos sin 222f x x x x x x =⋅≥-=-≥-，而之前已计算得到π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小值为12-，C 正确；对于D ，由于πππsin cos 0222f ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，()0sin 0cos00f =⋅=，故()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC.10.已知双曲线()2222100x y a b a bΓ-=>>：,的离心率为e ，过其右焦点F 的直线l 与Γ交于点,A B ，下列结论正确的是（）A.若a b =，则e =B.AB 的最小值为2aC.若满足2AB a =的直线l 恰有一条，则e >D.若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则1e <<【答案】ACD 【解析】【分析】由双曲线的性质和离心率可得A 正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径22b a 可得B 错误；若满足2AB a =的直线l 恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得22222b a b a a<Þ>，可判断C 正确；若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，可得22222b a b a a>Þ<，可推导出D 正确.【详解】A ：当a b =时，因为222c a b =+，所以c e a ==，故A 正确；B ：当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于左右两支时，AB 的最小值为2a ，（此时,A B 为双曲线的两顶点）当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为c ，代入双曲线方程为22221c y a b-=，解得2b y a =±，此时弦长为22b a ，由于a 不一定等于b ，故B 错误；C ：若满足2AB a =的直线l 恰有一条，由选项B 可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以22222b a b a a <Þ>，此时ce a===>，故C 正确；D ：若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，所以22222b a b a a >Þ<，所以ce a===又1e >，所以1e <<D 正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AB BC =⊥,，,P Q 分别为棱11,BC A C 上的动点，且BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，则（）A.存在λ使得1PQ A B ⊥B.存在λ使得//PQ 平面11ABB AC.若111,BB B C 长度为定值，则12λ=时三棱锥1B A PQ -体积最大D.当12λ=时，直线PQ 与1A B 所成角的余弦值的最小值为223【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系1B xyz -，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz -，设1,BC a BB b ==，则由题：()()()()()1110,0,0,0,2,0,,0,0,0,2,,0,0,B A C a A b B b ，所以()10,2,A B b =- ，()1,2,0C A a =- ，()11,0,0BC B C a == ，()10,0,B B b =，又BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，所以()111,0,B P B B BP B B BC a b λλ=+=+=，即(),0,P a b λ，()11111,2,0OQ OC C Q OC C A a a λλλ=+=+=-，即(),2,0Q a a λλ-，所以()2,2,PQ a a b λλ=--，对A ，由上()()21·2,2,·0,2,4<0PQ A B a a b b b λλλ=---=--，故A 错误；对B ，由题意()11,0,0B C a =是平面11ABB A 的一个法向量，()()2211·2,2,·,0,02PQ B C a a b a a a λλλ=--=-，故当12λ=时121220P B Q C a a =-λ=，此时//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对C ，由上()1,2,A P a b λ=- ，()2,2,PQ a a b λλ=-- ，()10,2,A B b =-设平面1A BP 的一个法向量为(),,m x y z = ，则11m A Bm A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以11·20·20m A B y bz m A P ax y bz λ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()0,,2m b = ，设点Q 到平面1A BP 的距离为d ，则由()0,1λ∈得·PQ m d m λ-===，又由题意可知111·422A BPS A B BP λ== ，故()11211·43323B A PQA BP ab a V S d λλλλ---==⨯=- 212312ab ab λ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，因为111,BB B C 长度为定值，所以ab 为定值，故当12λ=时，三棱锥1B A PQ -体积最大，故C 正确；对D ，设直线PQ 与1A B 所成角为θ，由上当12λ=时11·cos PQ A B PQ A Bθ=2==322≥=，当且仅当224b b=即b =时等号成立，故D 对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，则实数a 的值为______．【答案】1或2【解析】【分析】由题意可得B A ⊆，由此可求出a 的值，代入检验即可得出答案.【详解】因为集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以0a =或1或2或3，或210a -=或1或2或3，解得：0a =或1或2或3或1-或2-，当0a =时，{}0,1B =-，不满足B A ⊆；当1a =时，{}1,0B =，满足B A ⊆；当2a =时，{}2,3B =，满足B A ⊆；当3a =时，{}3,8B =，不满足B A ⊆；当1a =-时，{}1,0B =-，不满足B A ⊆；当a =}2B =，不满足B A ⊆；当a ={}2B =，不满足B A ⊆；当2a =-时，{}2,3B =-，不满足B A ⊆；综上：实数a 的值为1或2.故答案为：1或2.13.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )222sin a b c ab C +-=，且1c =，则ABC 面积的最大值为______．【答案】24【解析】【分析】先由已知条件结合余弦定理和()22sin cos 1,0,πC C C +=∈求出sin ,cos C C ，再由余弦定理结合基本不等式求出ab 最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.)222sin a b cab C +-=，所以由余弦定理2222cos ab C a b c =+-，得cos sin C ab C =，所以sin C C =，又()22sin cos 1,0,πC C C +=∈，则221sin ,cos 33C C ==，所以由余弦定理以及基本不等式得：222222412cos 2333ab ab aba b ab C a b ab =+=+≥---=，即34ab ≤，当且仅当32a b ==时等号成立，所以41sin 32ABC S C a ab b =≤=，即ABC 面积的最大值为4，故答案为：24.14.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，e sin cos 10ax a x x x +--≥，则实数a 的取值范围为______．【答案】12a ≥【解析】【分析】由令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，由()00f =，故有()00f '≥，可得12a ≥，即得其必要条件，再在12a ≥的条件下，借助e 1x x ≥+，sin x x ≥，可得e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，借助导数可得2sin cos 0a x x x -≥，即可得12a ≥是其充分条件，即可得解.【详解】令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，则()e cos cos sin axf x a a x x x x =+-+'，由()00e 0010f =+--=，故()00e 10210f a a a =-='++-≥，即12a ≥，即“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的必要条件，当12a ≥时，令()πe 1,0,2xg x x x ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦，则()e 10xg x ='-≥，故()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，则有e 1ax ax ≥+，令()πsin ,0,2h x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()1cos 0h x x ='-≥，故()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00h x h ≥=，即sin x x ≥，则有sin ax a x ≥，即有e sin cos 11sin cos 12sin cos ax a x x x ax a x x x a x x x +--≥++--≥-，令()π2sin cos ,0,2x a x x x x μ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 21cos sin x a x x x x a x x x μ=-+=-+'，由12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，故()()21cos sin 0x a x x x μ=-+≥'，即()x μ在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有()()00x μμ≥=，即e sin cos 12sin cos 0ax a x x x a x x x +--≥-≥，故“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的充分条件，故实数a 的取值范围为12a ≥.故答案为：12a ≥.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法（端点效应），得到其必要条件12a ≥，二是借助常见不等式e 1x x ≥+，在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，sin x x ≥，在12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 的情况下，得到e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，从而可通过导数得到2sin cos 0a x x x -≥.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-（2）41221115201612n n T n +=--+【解析】【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.【小问1详解】设{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意知1234221516a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩，即()()1211146164a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，即有112382a d d a +=⎧⎨=⎩，因为0d ≠，可得11a =，2d =，所以21n a n =-；【小问2详解】设数列{}n b 的前2n 项中的奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，则()321115432116222222116n n a a a n A ---=+++=+++=- 4141222211615n n ++--==-，2446222111n n B a a a a a a +=+++ 244622211111112n n d a a a a a a +⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 2221112n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭111114343121612n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，所以4141222112111512161215201612n nnT A Bn n++-=+=+-=--++．16.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：（2）将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P kχ≥0.1000.0500.010k2.7063.841 6.635【答案】（1）45（2）（i ）列联表见解析；有；（ii ）1114【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；（2）（i ）完善22⨯列联表后，计算卡方即可得；（ii ）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为()100.010.0250.030.65⨯++=，年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65100.020.85+⨯=，所以75%分位数位于4050［，）内，由0.750.654010450.850.65-+⨯=-，所以，样本数据的75%分位数为45；【小问2详解】（i ）由题知，22⨯列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：()2220090306020 6.061 3.841.1505011090χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii ）按照分层抽样，青年居民应抽取3864⨯=人，非青年居民应抽取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X ，()316248C C 43C 7P X ===，()4648C 34C 14P X ===，所以()()()1133414P X P X P X ≥==+==，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为1114．17.如图，在三棱锥-P ABC 中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC 内部一点且PM ⊥平面ABC．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ，先证明出平面//DMN 平面PAB ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可．【小问1详解】连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ．因为N 为PC 的中点，所以//DN PB ，因为PB ⊂平面PAB ，DN ⊄平面PAB ，所以//DN 平面PAB ．又因为PM ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以PM BM ⊥．所以，在Rt PMB 中，222BM PB PM =-，同理222CM PC PM =-，因为PB PC =，所以BM CM =．因为D 为BC 中点，所以DM BC ⊥，因为AB BC ⊥，且,DM AB 在同一平面内，所以AB DM ∥，又因为AB ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，所以//DM 平面PAB ．又因为DM DN D = ，DM DN ⊂,平面DMN ，所以平面//DMN 平面PAB ．因为MN ⊂平面DMN ，所以//MN 平面PAB ．【小问2详解】以B 为坐标原点，分别以,BA BC 以及与,BA BC垂直向上的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -．在直角Rt PMB 中，因为21PB PM ==,，所以BM =，在Rt BDM中，DM ==，所以)M，又())()31000,,0,2,0,,,222B P C N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，所以)()11,0,0,1,,,222BM MP MN ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭．设面BMN 的一个法向量()1111,,n x y z = ，则1100n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102110222y x y z +=⎨-++=⎪⎩，取1x =，则1124y z =-=,，所以)12,4n =-．设面PMN 的一个法向量()2222,,n x y z = ，则2200n MP n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2x =22y =，所以)22,0n =．设二面角B MN P --为θ，由图可知θ为锐角，则1212cos 33n n n n θ⋅===⋅ ，所以二面角B MN P --．18.已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()112em x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）211e m ≥+【解析】【分析】（1）先求导函数()f x '，再对m 进行分类讨论得()f x '的正负情况，进而得函数单调性.（2）先由题意得出隐性条件()0f x >得m 的限制范围，再对不等式()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，进而将原问题等价简化成研究ln 1mx x x -≥-恒成立即可求解.【小问1详解】由题可知()1f x m x'=-，()1,x ∞∈+，且()f x '在定义域上单调递增，当0m ≤时，()10f x m x=-<'恒成立，此时()f x 在()1,∞+上单调递减，当01m <<时，令()0f x '=，则1x m=，所以11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，当m 1≥，即101m<≤时，此时()0f x '>在()1,∞+恒成立，()f x 单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()1,∞+上单调递减；当01m <<时，()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；当m 1≥时，()f x 在()1,∞+上单调递增.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，所以20x x ->，又()()112em x f x x x -+⋅≥-，所以()0f x >，即ln 0mx x ->，故()1,x ∞∈+时，ln xm x>恒成立，令()ln x x x ϕ=，()1,x ∞∈+，则()21ln x x xϕ-'=，当()1,e x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数，当()e,x ∞∈+时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数，所以()()max 1e e x ϕϕ==，从而1em >．将()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数可得()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，整理可得()()()()ln ln ln 1ln 1mx x mx x x x -+-≥-+-．令()ln g t t t =+，则()()ln 1g mx x g x -≥-，且()g t 在()0,∞+上单调递增，因为ln 0mx x ->且10x ->，所以ln 1mx x x -≥-在()1,∞+上恒成立，所以ln 1ln 11x x x m x x +--≥=+恒成立，令()ln 1x h x x -=，则()22ln xh x x -'=，当()21,ex ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()2e ,x ∞∈+时，()()0h x h x '<，单调递减，所以()()22max 1e e h x h ==，所以211e m ≥+，又因为2111e e <+，所以211em ≥+．【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题()()112eln m x mx x x x -+-≥-，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究.19.已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．（1）求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．【答案】（1）证明见解析，4x =（2）12【解析】【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x yx y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【小问1详解】由题意可知，231a -=，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=，所以221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，因为过点A 的切线为11143x x y y +=，过点B 的切线为22143x x y y+=，由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q Q Q Q x x y y x x y y +=+=，，所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143Q Q x y ⨯+⨯=，解得4Q x =．【小问2详解】将4x =代入11143x x y y +=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k=-，设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P k x k =+，又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+，所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k k APM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭，k=±时，等号成立，当且仅当1故AM的最小值为12．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)-含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅱ）一、单选题（本大题共18小题，共80.0分）1.对于任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，则实数m取值范围是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−52) C. (−2,2) D. (−2,2]2.已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A. (−2,1)B. [−1,2]C. (−1,2)D. (0,2]3.已知实数a、b、c满足b+c=6−4a+3a2，c−b=4−4a+a2，则a、b、c的大小关系是()A. c≥b>aB. a>c≥bC. c>b>aD. a>c>b4.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC=a，BC=b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD.作CE⊥OD交OD于E.由CD≥DE可以证明的不等式为()A. √ab≥2aba+b (a>0,b>0) B. a+b2≥√ab(a>0,b>0)C. √a2+b22≥a+b2(a>0,b>0) D. a2+b2≥2ab(a>0,b>0)5.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a >0，b >0，c <0B. a <0，b >0，c >0C. a <0，b >0，c <0D. a <0，b <0，c <06. 若f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，则f(2)的值为( )A. 1B. −1C. −32D. 327. 在函数y =|x|(x ∈[−1,1])的图象上有一点P(t,|t|)，此函数与x 轴、直线x =−1及x =t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )A.B.C.D.8. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A.B.C. [0,4]D. [1,3]9. 已知f(x)={(a −3)x +a +2,x <1,−ax 2+x,x ≥1在(−∞,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]10. 已知λ∈R ，函数f(x)={x −2,x ≥λ,x 2+x −2,x <λ,若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是( )A. (−2,1]B. (−2,1]∪(2，+∞)C. (−2,1]∪[2,+∞)D. (−2,1)∪[2，+∞)11. 复数2−i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,6},B ={2,3,4}，则A⋂(∁U B )=( )A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}13. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为√2，则p =( )A. 1B. 2C. 2√2D. 414. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2πr 2(1−cosα)(单位：km 2)，则S 占地球表面积的百分比约为( )A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%15. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A. 20+12√3B. 28√2C. 563D. 28√2316. 某物理量的测量结果服从正态分布N (10,σ2)，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等17. 已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是( )A. c <b <aB. b <a <cC. a <c <bD. a <b <c18. 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=0二、多选题（本大题共10小题，共48.0分） 19. 下列说法正确的是( )A. 函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,0)B. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)C. 若函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称D. 函数y=2√x2+2的最小值为220.下列式子，可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<021.下列选项中的两个集合相等的有()A. P={x|x=2n,n∈Z}，Q={x|x=2(n+1),n∈Z}B. P={x|x=2n−1,n∈N∗}，Q={x|x=2n+1,n∈N+}C. P={x|x2−x=0}，Q={x|x=1+(−1)n2,n∈Z}D. P={x|y=x+1}，Q={(x,y)|y=x+1}22.已知a，b∈R∗且a+b=1，那么下列不等式中，恒成立的有()A. ab≤14B. ab+1ab≥174C. √a+√b≤√2D. 1a+12b≥2√223.若x∈R，f(x)是y=2−x2，y=x这两个函数中的较小者，则f(x)()A. 最大值为2B. 最大值为1C. 最小值为−1D. 无最小值24.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)，分析该函数图象的特征，若方程f(x)=0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是()A. 2<−b2a<3 B. 4ac−b2<0 C. f(2)<0 D. f(3)<025.下列统计量中，能度量样本x1,x2,⋯,x n的离散程度的是()A. 样本x1,x2,⋯,x n的标准差B. 样本x1,x2,⋯,x n的中位数C. 样本x1,x2,⋯,x n的极差D. 样本x1,x2,⋯,x n的平均数26.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是()A. B.C. D.27.已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是()A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切28.设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，其中a i∈{0,1}，记ω(n)=a0+a1+⋯+a k，则()A. ω(2n)=ω(n)B. ω(2n+3)=ω(n)+1C. ω(8n+5)=ω(4n+3)D. ω(2n−1)=n三、单空题（本大题共11小题，共49.0分）29.已知幂函数的图象经过点(3,19)，则这个幂函数的解析式为______ ．30.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(x−1)<f(2)的x的取值范围是______ ．31.若不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，则不等式x2−bx−a<0的解集为______ ．32.已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+f2(4)+f(8)f(7)+f2(5)+f(10)f(9)的值为______．33.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x−x2，则函数f(x)的解析式为______．34.若f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1在区间[2,4]上都是减函数，则a的取值范围是______．35.已知函数f(x)={x+4x,0<x<4,−x2+10x−20,x≥4,若存在0≤x1<x2<x3< x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是______．36.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．37.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．38.已知向量a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，|a⃗|=1，|b⃗ |=|c⃗|=2，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=_______．39.已知函数f(x)=|e x−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|取值范围是_______．四、解答题（本大题共12小题，共140.0分）40.已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}(a≥0)，B={x|(x−1)(x−4)≥0}．(1)当a=2时，求A∪(∁R B)；(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．41.已知函数f(x)=ax+bx 的图象经过点A(1,0)，B(2,−32)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；(3)求f(x)在区间[12,1]上的值域．42. 已知a >0，b >0，a +b =1，求证：(1)a 2+b 2≥12； (2)1a+1b +1ab≥8．43. 已知函数f(x)=2x 2x 2+1． (1)求f(2)+f(12)，f(3)+f(13)的值； (2)求证：f(x)+f(1x )是定值；(3)求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．44. 国庆放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位：千辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小(0<v≤120,c为常数)，当汽车平均速度为时)之间满足的函数关系y=1840vv2+20v+c100千米/小时时，车流量为10千辆/小时．(1)在该时间段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？(2)为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？45.已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0．(1)当a∈R时，解关于x的不等式；(2)当x∈[2,3]时，不等式ax2−x+1−a≤0恒成立，求a的取值范围．46.记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求使S n>a n成立的n的最小值．47.在▵ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．(1)若2sinC=3sinA，求▵ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得▵ABC为钝角三角形⋅若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．48.在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=√5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．49.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为F(√2,0)，且离心率为√63．(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=√3．50.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p i(i=0,1,2,3)．(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．51.已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2+b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①12<a≤e22,b>2a；②0<a<12,b≤2a．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由二次函数的图象和性质可得1+m+1<0且4+2m+1<0，解不等式可得所求范围．【解答】解：任意x∈[1,2]，不等式x2+mx+1<0恒成立，由y=x2+mx+1为开口向上的抛物线，可得1+m+1<0且4+2m+1<0，即为m<−2且m<−5，2，解得m<−52故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想的应用问题和不等式恒成立的问题，是基础题．根据命题p是假命题，得￢p是真命题，转化为不等式恒成立的问题，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2ax+a+2≤0是假命题，则￢p是真命题，即∀x∈R，x2+2ax+a+2>0恒成立，∴4a2−4(a+2)<0，即a2−a−2<0，解得−1<a<2，∴a的取值范围是(−1,2)．故选C．3.【答案】A【解析】解：由c−b=4−4a+a2=(2−a)2≥0，∴c≥b．再由b+c=6−4a+3a2①c−b=4−4a+a2②①−②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．∵1+a2−a=(a−12)2+34>0，∴b=1+a2>a．∴c≥b>a．故选A．把给出的已知条件c−b=4−4a+a2右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由射影定理可知CD2=DE⋅OD，即DE=DC2ODaba+b2=2aba+b，由DC≥DE得√ab≥2aba+b，故选：A．根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f(0)的符号是解决本题的关键．分别根据函数的定义域，函数零点以及f(0)的取值范围进行判断即可．【解答】解：函数在x =x 0处无意义，由图象x 0>0，所以−c >0，得c <0，f(0)=bc 2>0，∴b >0，由f(x)=0得ax +b =0，即x =−b a ，即函数的零点x =−b a >0，∴a <0，综上a <0，b >0，c <0，故选：C ． 6.【答案】B【解析】解：∵f(x)满足关系式f(x)+2f(1x )=3x ，∴{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②， ①−②×2得−3f(2)=3，∴f(2)=−1，故选：B ．由已知条件得{f(2)+2f(12)=6,①f(12)+2f(2)=32,②，由此能求出f(2)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：由题意知，当t >0时，S 的增长会越来越快，故函数S 图象在y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，故选：B ．利用在y 轴的右侧，S 的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项．本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的数学思想．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x −2)≤1，∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)，∴−1≤x −2≤1，解得：1≤x ≤3，所以x 的取值范围是[1,3]．故选D ．9.【答案】C【解析】解：x <1时，f(x)=(a −3)x +a +2在(−∞,1)递减，则a −3<0，解得：a <3①，x ≥1时，f(x)=−ax 2+x 在[1,+∞)递减，则{a >012a≤1，解得：a ≥12②，当x =1时，2a −1≥−a +1，解得：a ≥23③，综合①②③，a 的取值范围是[23,3)，故选：C ．根据函数在各个区间的性质，结合函数的单调性，求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道常规题．10.【答案】B【解析】解：由x−2=0，得x=2，由x2+x−2=0，得x=−2或x=1．则当λ≤−2时，方程f(x)=0仅有一个实数解x=2；当−2<λ≤1时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=2；当1<λ≤2时，方程f(x)=0恰有三个实数解x=−2，x=1，x=2；当λ>2时，方程f(x)=0恰有两个实数解x=−2，x=1．∴若方程f(x)=0恰有2个实数解，则λ的取值范围是(−2,1]∪(2，+∞)．故选：B．分别求出两段函数的零点，把λ分段，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案．本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的数学思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义，属于基础题．利用复数的除法可化简2−i1−3i，从而可求对应的点的位置．【解答】解：，所以该复数对应的点为(12,12 )，该点在第一象限，故选A．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题．先根据补集的定义求出∁U B={1,5,6}，再由交集的定义可求A∩(∁U B)．【解答】解：由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}．故选B．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易．首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值．【解答】解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x−y+1=0的距离为d=|p2−0+1|√1+1=√2，解得p=2(p=−6舍去)．故选B．14.【答案】C【解析】【分析】本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力，属于中档题．由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果．【解答】解：如图所示，由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：2πr2(1−cosα)4πr2=1−cosα2=1−64006400+360002≈0.42=42％．故选C．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想．由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解．【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高ℎ=√22−(2√2−√2)2=√2，下底面面积S1=16，上底面面积S2=4，所以该棱台的体积V=13ℎ(S1+S2+√S1S2)=13×√2×(16+4+√64)=283√2．故选D．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题．由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解．【解答】解：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．17.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键．利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论．【解答】=log82√2<log83=b，即a<c<b．解：a=log52<log5√5=12故选C．18.【答案】B【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题．推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论．【解答】解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知．故选B．19.【答案】BC【解析】解：对于A：函数f(x)=log a(2x+1)−1的图象过顶点(0,−1)，即当x=0时，f(0)=−1，故A错误；对于B：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，则当x>0时，−x<0，所以f(−x)=(−x)(−x+1)，整理得f(x)=x−x2(x>0)，所以f(x)的解析式为f(x)=x−x2(x>0)，故B正确；对于C：函数y=f(x−2020)是奇函数，则y=f(x)的图象关于点(−2020,0)对称，故C正确；对于D：函数y=2√x2+2=√x2+2√x2+2，设√x2+2=t(t≥√2)，所以y=t+1t，y′=1−1t2>0，函数在[√2,+∞)上单调递增，所以y min=√22=3√22，故D错误．故选：BC．直接利用对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，函数的导数与函数的最值的关系判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：对数函数的性质，函数的奇偶性和关系式的确定，函数的导数与单调性的关系，利用函数的导数求函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】BD【解析】解：对于A，x<1时，x2有可能大于1，比如−3<1，(−3)2>1，故A错误；对于B，0<x<1⇒x2<1，故B正确；对于C，−1<x<1⇔x2<1，故C错误．对于D，−1<x<0⇒x2<1，故D正确；故选：BD．对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<1是x2<1的充要条件；对于D，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件．本题考查命题的充分非必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】AC【解析】【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于中档题．【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P=Q；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q；选项C：集合P={0,1}，集合Q中：当n为奇数时，x=0，当n为偶数时，x=1，所以Q={0,1}，则P=Q；选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC．22.【答案】ABC【解析】解：∵a ，b ∈R ∗且a +b =1，∴a +b =1≥2√ab ，即ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，即选项A 正确；令t =ab ，则t ∈(0,14]，∴y =ab +1ab =t +1t 在t ∈(0,14]上单调递减， ∴当t =14时，y 取得最小值，为174，即ab +1ab ≥174，故选项B 正确；∵(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2×√14=2， ∴√a +√b ≤√2，即选项C 正确； ∵1a +12b=(1a+12b)⋅(a +b)=1+12+b a+a 2b≥32+2√b a⋅a 2b=32+√2，当且仅当b a =a2b 时，等号成立，即选项D 错误．故选：ABC ．选项A ，由a +b ≥2√ab ，得解；选项B ，令t =ab ，则y =ab +1ab =t +1t ，再结合对勾函数的图象与性质，可得解；选项C ，由(√a +√b)2=a +b +2√ab ，再根据选项A 的推导，得解；选项D ，由“乘1法”，可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．23.【答案】BD【解析】解：作出函数y =2−x 2，y =x 的图象如图，则f(x)的图象为图中实线部分，由图可知，当x =1时，f(x)取最大值为1，无最小值．故选：BD．由题意作出函数f(x)的图象，数形结合得答案．本题考查函数的最值及其求法，考查数形结合的解题思想，是基础题．24.【答案】BCD【解析】解：由题意做出f(x)=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象如：该抛物线开口向上，与x轴在(−∞,2)，(3,+∞)上各有一个交点．故：△=b2−4ac>0；f(2)<0；f(3)<0．又该二次函数的对称轴除了不能落在[2,3]之间外，可以取任意值，故A选项错误．故选：BCD．结合题意做出函数f(x)的图象，据图分析即可．本题考查二次函数的图象与性质，即函数的零点、函数图象与x轴的交点、函数对应方程的根之间的关系．属于中档题．25.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题．判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项．【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC．26.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力．根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误．【解答】解：设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，易知MN//AC，且MN、AC、OP在同一平面内，由图可知直线OP与AC相交且不垂直，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图(2)所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM−NADT可得SN⊥平面NADT，而OQ⊂平面NADT，故SN⊥OQ，而SN∩NT=N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ⋂PQ=Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图(3)，连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图(4)，取AM′的中点G，连接PG，OG，M′N′，则MN//M′N′，PG=√2，OG=√3，PO=√5，则PO2=PG2+OG2，PG⊥OG，根据三角形的性质可知PO与PG不垂直，故PO,MN不垂直，故D错误．故选BC．27.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解．【解答】解：圆心C(0,0)到直线l的距离d=r 2√a2+b2，若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=2√a2+b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=2√a2+b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2，所以d=2√a2+b2=|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD．28.【答案】ACD【解析】【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题．利用ω(n)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误．【解答】解：对于A选项，n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a k−1⋅2k−1+a k⋅2k，ω(n)=a0+a1+⋯+ a k，则2n=a0⋅21+a1⋅22+⋯+a k−1⋅2k+a k⋅2k+1，ω(2n)=a0+a1+⋯+a k=ω(n)，A选项正确；对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅21+1⋅22，∴ω(7)=3，而2=0⋅20+1⋅21，则ω(2)=1，即ω(7)≠ω(2)+1，B选项错误；对于C选项，8n+5=a0⋅23+a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3+5=1⋅20+1⋅22+a0⋅23+ a1⋅24+⋯+a k⋅2k+3，所以，ω(8n+5)=2+a0+a1+⋯+a k，4n+3=a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2+3=1⋅20+1⋅21+a0⋅22+a1⋅23+⋯+a k⋅2k+2，所以，ω(4n+3)=2+a0+a1+⋯+a k，因此，ω(8n+5)=ω(4n+3)，C选项正确；对于D选项，2n−1=20+21+⋯+2n−1，故ω(2n−1)=n，D选项正确．故选ACD．29.【答案】y=x−2【解析】解：设幂函数的解析式为y=xα，α∈R，∵图象经过点(3,19)，∴3α=19，∴α=−2，∴这个幂函数的解析式为y=x−2；故答案为：y=x−2．设出幂函数的解析式，由图象过点(3,19)，求出这个幂函数的解析式．本题考查了用待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．30.【答案】(−1,3)【解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(x−1)<f(2)可化为f(|x−1|)<f(2)，又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|x−1|<2，解得−1<x<3，所以x的取值范围是(−1,3)．故答案为：(−1,3)．利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属于基础题．31.【答案】(2,3)【解析】【分析】不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，可得−12，−13是一元二次方程ax2−bx−1=0的两个实数根，且a<0.利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．【解答】∵不等式ax2−bx−1≥0的解集为[−12,−13]，∴−12，−13是一元二次方程ax2−bx −1=0的两个实数根，且a <0． ∴{−12−13=b a−12×(−13)=−1aa <0，解得a =−6，b =5．则不等式x 2−bx −a <0化为x 2−5x +6<0，即(x −2)(x −3)<0，解得2<x <3． ∴不等式x 2−bx −a <0的解集为(2,3)．故答案为：(2,3)．32.【答案】30【解析】解：由f(p +q)=f(p)f(q)，令p =q =n ，得f 2(n)=f(2n)．原式=2f 2(1)f(1)+2f(4)f(3)+2f(6)f(5)+2f(8)f(7)2f(10)f(9)++=2f(1)+2f(1)f(3)f(3)+2f(1)f(5)f(5)+2f(1)f(7)f(7)+2f(1)f(9)f(9)=10f(1)=30，故答案为：30题中条件：f(p +q)=f(p)f(q)，利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f 2(n)，后化简所求式子即得．本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．33.【答案】f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0【解析】解：根据题意，当x <0时，−x >0，则f(−x)=(−x)−(−x)2=−x −x 2，又由f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=x +x 2，故f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0，故答案为：f(x)={x −x 2,x ≥0x +x 2,x <0．根据题意，当x <0时，−x >0，求出f(−x)的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．34.【答案】(1,2]【解析】解：∵f(x)=−x2+2ax与g(x)=2x−3+ax−1=2+a−1x−1在区间[2,4]上都是减函数，∴{a≤2a−1>0，解得，1<a≤2．故答案为：(1,2]．由已知结合二次函数与反比例函数的单调性的性质可求．本题主要考查了二次函数与反比例函数的单调性的应用，属于基础试题．35.【答案】(96,100)【解析】解：令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，(4<t<5)，则方程x+4x=t的两根为x1，x2，由x+4x=t得x2−tx+4=0，故由韦达定理可知：x1x2=4，根据抛物线f(x)=−x2+10x−20的对称性可知x3+x4=10(4<x3<5)，所以x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10−x3)=−4(x3−5)2+100，由于4<x3<5，故96<−4(x3−5)2+100<100，故答案为：(96,100)．令f(x)=t，再分段解方程，利用根与系数的关系即可求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了根与系数的关系，属于基础题．36.【答案】y=±√3x【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．由双曲线离心率公式可得b2a2=3，再由渐近线方程即可得解．【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，所以e=√c2a2=√a2+b2a2=2，所以b2a2=3，所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√3x．故答案为：y=±√3x．37.【答案】f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题．根据幂函数的性质可得所求的f(x)．【解答】解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③．故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)38.【答案】−92【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题．由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=0，展开化简后可得结果．【解答】解：由已知可得(a⃗+b⃗ +c⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=9+2(a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗ )=0，因此，a⃗⋅b⃗ +b⃗ ⋅c⃗+c⃗⋅a⃗=−92．故答案为：−92．39.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题．结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线斜率及两点间距离公式可得|AM|=√1+e2x1⋅|x1|，|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，化简即可得解．【解答】解：由题意，f(x)=|e x−1|={1−e x,x<0e x−1,x≥0，则f′(x)={−e x,x<0e x,x⩾0,所以点A(x1,1−e x1)和点B(x2,e x2−1)，k AM=−e x1,k BN=e x2，所以−e x1⋅e x2=−1,x1+x2=0，所以AM:y−1+e x1=−e x1(x−x1),M(0,e x1x1−e x1+1)，所以|AM|=√x12+(e x1x1)2=√1+e2x1⋅|x1|，同理|BN|=√1+e2x2⋅|x2|，所以|AM||BN|=√1+e2x1⋅|x1|√1+e2x2⋅|x|=√1+e2x11+e2x2=√1+e2x11+e−2x1=e x1∈(0,1)故答案为：(0,1)．40.【答案】解：(1)当a =2时，A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|x ≤1或x ≥4}∴∁R B ={x|1<x <4}， ∴A ∪(∁R B)={x|0≤x ≤4}；(2)A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a ≥0)，B ={x|x ≤1或x ≥4} 若A ∩B =⌀则{2−a >12+a <4，解得a <1 ∴a 的取值范围为[0,1)．【解析】(1)求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行计算即可． (2)根据A ∩B =⌀，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．41.【答案】解：(1)∵f(x)的图象过A(1,0)，B(2,−32)，∴{a +b =02a +b 2=−32，解得{a =−1b =1， ∴f(x)=−x +1(2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，证明如下：设任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−x 1+1x 1)−(−x 2+1x 2)=(x 2−x 1)+x 2−x 1x 1x 2=(x 2−x 1)(x 1x 2+1)x 1x 2由x 1，x 2∈(0,+∞)得，x 1x 2>0，x 1x 2+1>0．由x 1<x 2得，x 2−x 1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， ∴函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数．(3)由(2)知，函数f(x)=−x +1x 在[12,1]上为减函数， ∴f(x)min =f(1)=0，f(x)max =f(12)=32， ∴f(x)的值域是[0,32]．【解析】(1)将A ，B 两点坐标代入解析式可得关于a ，b 的方程组，解之即可； (2)函数f(x)=−x +1x 在(0,+∞)上为减函数，利用单调性的定义证明即可； (3)由函数的单调性求得函数的最值，即可求得值域．本题主要考查函数解析式的求法，函数单调性的判断与证明，函数值域的求法，属于中档题．42.【答案】证明：(1)a >0，b >0，a +b =1，可得a +b ≥2√ab ，即有0<ab ≤14，当且仅当a =b =12时，取得等号，所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =1−2ab ≥1−2×14=12． (2)由(1)可知1ab ≥4，即有1a +1b +1ab =2ab ≥8，当且仅当a =b =12时，取得等号．【解析】(1)a >0，b >0，a +b =1，由基本不等式可得0<ab ≤14，由a 2+b 2=(a +b)2−2ab 即可得证；(2)由(1)得1ab ≥4，即可得证．本题主要考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，属于中档题．43.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x 2x 2+1． ∴f(2)+f(12)=2×44+1+2×1414+1=85+25=2，f(3)+f(13)=2×99+1+2×1919+1=2．(2)证明：∵f(x)=2x 2x 2+1，∴f(x)+f(1x )=f(x)=2x2x 2+1+2×1x 21x 2+1=2x 2x 2+1+21+x 2=2． ∴f(x)+f(1x )是定值2． (3)∵f(x)+f(1x )是定值2．∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)=21+1+2019×2 =4039．【解析】(1)分别把f(x)=2x 2x 2+1中所有的x 都换成2，12，3，13，能求出f(2)+f(12)和f(3)+f(13)的值． (2)把f(x)=2x 2x 2+1中的x 分别换成x ，1x ，能证明f(x)+f(1x )是定值2．(3)由f(x)+f(1x )是定值2，能求出f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2020)+f(12020)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44.【答案】解：(1)由题意可知：10=1840×100 1002+2000+c ，解得c =6400，所以y =1840v v 2+20v+6400=1840v+6400v+20≤2√v⋅v+20=1840180=929，当且仅当v =6400v，即v =80时取等号，所以当汽车的平均速度为80时车流量最大； (2)由题意可知：1840v v 2+20v+6400≥10，即v 2−164v +6400≤0，解得64≤v ≤100，所以当64≤v ≤100时，在该时间段内车流量至少为10千辆/小时．【解析】(1)首先根据题意求出c 的值，再利用基本不等式即可求解；(2)根据题意建立不等式关系，解不等式即可求解．本题考查了函数的实际应用问题，涉及到基本不等式求最值以及一元二次不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．45.【答案】解：(1)不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1，当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a)≥0，解得x ≤1−a a，或x ≥1；。

山东省德州市2021届新高考数学二模考试卷含解析

山东省德州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B 【解析】【分析】由题意可得()4k πωϕπ-+=，且42k ππωϕπ+='+，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππω-，求得12ω②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【详解】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴， ()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①． ()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为1．当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4πx =-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，故11ω=为ω的最大值，故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题． 2．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（） A ．3 B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.3．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 4．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =【答案】C 【解析】【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 5．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.6．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 是增函数【答案】C 【解析】【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误；选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误；对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误；对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A．623++B．622+C．442+D．443【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：11112222222222442⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+2222故选C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 11．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（）A ．256B ．-256C ．32D ．-32【答案】A利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 12．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ，又06ω<<，∴3ω=.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)

2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈．（1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ；（2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+，得211222i z i i i -===--．故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件，在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=，曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆，圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ，故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增，因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-，即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ，正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确；对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==，因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=，由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误；对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ，故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确．故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==，所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5，故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立，故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立，若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-，由()(0)f x kx k e e x ->恒成立，若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立，若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =，故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值，所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-，故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49．【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)，所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===．故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ，由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=，则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为．【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=，故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-，则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=．若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=．若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈．（1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ；（2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =．（2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =，由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--；（3）当4000b =时，14000(2)2n na =-，设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--，欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分）则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分）又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分）所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分）又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ，所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分）所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分）则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分）又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分）所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+，（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=，且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．（3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=，该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-，因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<，故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-，所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增，所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下：由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②，由①②1=，由B ，Q ，M=，由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=，将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=，所以MFN ∠为定值2π．。

2021届山东省实验中学高三第二次模拟数学试题(解析版)

2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．[2，3）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）2．已知复数z＝（a﹣3i）（3+2i）（a∈R）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A．1B．0C．2D．﹣23．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．已知等差数列{a n}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A．28B．29C．30D．315．已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），两圆圆心都在直线x+2y+c＝0上，则t+c 的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．16．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具．经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为．现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．7．两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A．48B．50C．98D．688．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时的解析式为f（x）＝，则函数y＝f（x）在x∈[0，4]时的图象与直线y＝﹣1围成封闭图形的面积是（）A．2B．2log23C．4D．4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年山东省新高考高考数学二模试卷(三) (解析版)

2021年山东省新高考高考数学二模试卷（三）一、单项选择题（每小题5分）.1．设f（z）＝z，z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则f（z1﹣z2）等于（）A．1﹣3i B．﹣2+11i C．﹣2+i D．5+5i2．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）3．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）＝1且对于定义域内任意x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，那么f（2）+f（4）的值为（）A．1B．2C．3D．44．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．635．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（）A．B．C．D．6．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是（）A．a∈（1，3）B．a∈（2﹣，2+）C．a∈（2﹣，1）∪（1，2+）D．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣）B．f（x）＝cos（x+）C．f（x）＝cos（﹣）D．f（x）＝cos（+）8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A．8B．10C．12D．14二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法中正确的有（）A．y＝g（f（x）+1）为偶函数B．y＝g（f（x））为奇函数C．y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（g（x+1））为偶函数10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线B1D⊥平面A1C1DB．二面角B1﹣CD﹣B的大小为C．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]11．已知实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），下列结论中正确的是（）A．b≥4B．2a+b≥8C．D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M 且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N．则（）A．|PM|＝|NQ|B．若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2C．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|＞|OQ|D．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|＞|OQ|三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是．14．如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．15．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，也是曲线y＝lnx+m的切线，则实数k＝，实数m＝．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为．（1）若{a n}为等差数列，S11＝165，a3+a8＝28，求{a n}的通项公式；（2）若数列{S n}满足，求S n．18．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．19．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，∠ASD ＝90°，且SC＝2．（1）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（2）当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．21．已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，g（x）＝kx2．（1）当a＞0时，求f（x）的值域；（2）令a＝1，当x∈（0，+∞）时，恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设f（z）＝z，z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则f（z1﹣z2）等于（）A．1﹣3i B．﹣2+11i C．﹣2+i D．5+5i解：z1＝3+4i，z2＝﹣2﹣i，则z1﹣z2＝5+5i，∵f（z）＝z，则f（z1﹣z2）＝z1﹣z2＝5+5i．故选：D．2．集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∪B等于（）A．[0，]B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，+∞）解：∵＝{x|0＜1﹣x≤1}＝{x|0≤x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，1）．故选：C．3．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），满足f（2）＝1且对于定义域内任意x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）成立，那么f（2）+f（4）的值为（）A．1B．2C．3D．4解：∵f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝2f（2），∴f（4）＝2．∴f（2）+f（4）＝1+2＝3，故选：C．4．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83B．108C．75D．63解：等比数列的第一个n项的和为：48，第二个n项的和为60﹣48＝12∴第三个n项的和为：12×＝3∴前3n项的和为60+3＝63故选：D．5．若向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，则＜﹣，＞＝（）A．B．C．D．解：因为向量，满足||＝2，||＝1，且＜，＞＝，∴|﹣|＝＝＝，∴cos＜﹣，＞＝＝＝0，又因为向量的夹角θ∈[0，π]．∴＜﹣，＞＝，故选：B．6．已知直线l：ax+y﹣2＝0与⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B两点，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是（）A．a∈（1，3）B．a∈（2﹣，2+）C．a∈（2﹣，1）∪（1，2+）D．解：⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4的圆心为C（1，a），半径r＝2，故点C到直线l：ax+y﹣2＝0的距离为，故AB＝，又CA＝CB＝2，因为△ABC为钝角三角形，故AC2+BC2＜AB2，即4+4，化简可得a2﹣4a+1＜0，解得，当三点A，B，C共线时，有a+a﹣2＝0，即a＝1，此时△ABC不存在，所以△ABC为钝角三角形的充要条件是a∈（2﹣，1）∪（1，2+）．故选：C．7．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）＝cos（x﹣）B．f（x）＝cos（x+）C．f（x）＝cos（﹣）D．f（x）＝cos（+）解：由图知，A＝，把点（0，）代入f（x）得，cosφ＝，∴cosφ＝，∵φ∈（0，π），∴φ＝，∴f（x）＝cos（ωx+），把点（，﹣）代入得，cos（ω+）＝﹣1，∴ω+＝π+2kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝cos（x+），故选：D．8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉样物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A．8B．10C．12D．14解：根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个吉祥物，则剩下3人安装另外1个，有2种安装方案，②小明和小李和另外一人安装同一个吉祥物，则剩下2人安装另外1个，有C31×2＝6种安装方案，则有2+6＝8种不同的安装方案，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列说法中正确的有（）A．y＝g（f（x）+1）为偶函数B．y＝g（f（x））为奇函数C．y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（g（x+1））为偶函数解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（x）图象关于直线x＝1对称，则g（1﹣x）＝g（1+x），据此分析选项：对于A，对于y＝g（f（x）+1），g（f（﹣x）+1）＝g（1﹣f（x））＝g（f（x）+1），则函数y＝g（f（x）+1）为偶函数，A正确；对于B，对于y＝g（f（x）），有g（f（﹣x））＝g（﹣f（x））≠﹣g（f（x）），不是奇函数，B错误；对于C，g（x）图象关于直线x＝1对称，则函数y＝f（g（x））图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，g（x）图象关于直线x＝1对称，则g（1﹣x）＝g（1+x），对于y＝f（g（x+1）），有f（g（﹣x+1））＝f（g（x+1）），则f（g（x+1））为偶函数，D正确；故选：ACD．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线B1D⊥平面A1C1DB．二面角B1﹣CD﹣B的大小为C．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值D．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]解：如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]，故D错误，故选：AC．11．已知实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），下列结论中正确的是（）A．b≥4B．2a+b≥8C．D．解：实数a，b满足a2﹣ab+b＝0（a＞1），A．b＝＝＝a+1+＝a﹣1++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝2时取等号，因此正确；B.2a+b＝2a+a+1+＝3（a﹣1）++4≥2+4＝2+4，当且仅当a＝1+取等号，因此不正确；C．∵a＞1，∴∈（0，1），+＝+＝﹣+＝﹣+1＜1，因此不正确；D．ab＝a•＝，令f（x）＝，（x＞1）．f′（x）＝，可得x＝时，函数f（x）取得极小值，即最小值．f（）＝＝，∴f（x）≥，即ab≥，因此正确．故选：AD．12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M 且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N．则（）A．|PM|＝|NQ|B．若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2C．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|PQ|＞|OQ|D．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有|NQ|＞|OQ|解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则x1+x2＝2+，x1x2＝1，∴x M＝＝1+，y M＝k（x M﹣1）＝，直线MN的方程为y＝，∵O，P，A共线，∴＝，x P＝＝＝＝，同理x Q＝，x P+x Q＝＝＝，x M+x N＝1+﹣1＝＝x P+x Q，∴x M﹣x P＝x Q﹣x N，即|MP|＝|NQ|，A正确；若P，Q是线段MN的三等分点，则|PQ|＝|MN|，＝（1++1）＝（2+），y1﹣y2＝，又y1+y2＝2y M＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）＝﹣4，∴y1﹣y2＝＝，∴＝，解得k＝2，（∵k＞0），B正确；由k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，得x＝，x2＝，∴y2＝k（x2﹣1）＝，x Q＝＝，又y Q＝y M＝，∴|OQ|＝＝，|PQ|＝＝，∴|OQ|2﹣|PQ|2＝＝，当k＞2时，|OQ|＞|PQ|，C错误；由图可知|NQ|≤1，而|OQ|≥y Q＝，只要0＜k＜2，就有|OQ|＞1＞|NQ|，D错误，故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是1215．解：∵二项式（3﹣）n的展开式中，所有项的系数之和为2n＝64，∴n＝6．∴它的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，令3﹣＝0，可得r＝2，故二项式（3﹣）n的展开式的常数项为•34＝1215，故答案为：1215．14．如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．解：由题意可知将“直接监测覆盖区域”面积转化为三角形△ABC和三角形△AOB的面积之和，×OA×OB×sinθ＝10000sinθ；在三角形△AOB中，AB2＝OB2+OA2﹣2OB×OA×cosθ＝50000﹣40000cosθ，三角形△ABC为等腰直角三角形，∴＝25000﹣20000cosθ，所以“直接监管覆盖区域”面积为s△AOB+s△ABC＝25000+10000sinθ﹣20000cosθ＝25000+10000sin（θ﹣α），其中tanα＝2，当sin（θ﹣α）＝1时，面积取得最大值为25000+10000，故答案为：25000+10000．15．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，也是曲线y＝lnx+m的切线，则实数k＝e，实数m＝2．解：对于y＝e x，设切点为（n，e n），因为y′＝e x，故切线斜率k＝e n，故切线方程为y﹣e n＝e n（x﹣n），由已知得切线过（0，0），所以﹣e n＝e n（﹣n），故n＝1，所以k＝e．对于y＝lnx+m，设切点为（c，lnc+m），所以，因为切线为y＝ex，得，所以，所以切点为（），代入y＝lnx+m得，所以m＝2．故答案为：e；2．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为m＞2．解：令g（x）＝，则g（﹣x）＝，而g（x）+g（﹣x）＝＝0，所以g（x）是奇函数，而在R上单调递增，在R上单调递增，所以g（x）是在R上的单调递增函数且为奇函数，而f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2可变形成f（2sinθ⋅cosθ）﹣1＜1﹣f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m），即g（2sinθ⋅cosθ）＜﹣g（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＝g（2sinθ+2cosθ+m﹣4），由g（x）是在R上的单调递增函数，则使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ＜2sinθ+2cosθ+m﹣4成立，即﹣m＜2（sinθ+cosθ）﹣2sinθ⋅cosθ﹣4，设t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），，则t∈，2sinθ⋅cosθ＝t2﹣1，令h（t）＝2t﹣（t2﹣1）﹣4＝﹣t2+2t﹣3＝﹣（t﹣1）2﹣2，t∈，则h（t）的最大值为﹣2，所以﹣m＜﹣2即m＞2．综上所述：实数m的范围为m＞2．故答案为：m＞2．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为．（1）若{a n}为等差数列，S11＝165，a3+a8＝28，求{a n}的通项公式；（2）若数列{S n}满足，求S n．【解答】（1）由题意可设等差数列的公差为d，则，解得，∴a n＝2n+3；（2）当n＝1时，，∴a1＝S1＝16，当①﹣②得，，∴，当n＝1时，S1＝16不适合上式，∴．18．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．（1）若∠ABD＝，求BC的长；（2）若AC＝3，求cos∠BAD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cos，化简得BD2﹣4BD+8＝0，解得BD＝2，∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，∴AE＝，∵＝2，∴AC＝AE＝，由余弦定理知，cos∠BAC＝＝＝，在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝16+﹣2×4××＝，∴BC＝．（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，∵∠AEB+∠AED＝π，∴cos∠AEB＝﹣∠AED，设BE＝DE＝x，则＝﹣，即＝﹣，解得x＝2，∴BD＝2BE＝4，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BAD＝＝＝﹣．19．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．参考公式：独立性检验统计量K2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意可知关于服务与评价的2×2列联表对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意602080合计14060200K2＝＝1.587＜2.706,所以不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0,1,2,3,4，P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝．故X的分布列为：X01234P由于X~B(4,),∴E(X)＝4×＝．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，∠ASD ＝90°，且SC＝2．（1）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（2）当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．解：（1）证明：如图，取AD的中点O，连接SO、CO、AC，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，且AD＝DC，又AD＝CD＝2，则△ACD为正三角形，∴CO⊥AD，CO＝，又∵∠ASD＝90°，∴△ASD为直角三角形，∴SO＝＝1，在△ACS中，CO2+SO2＝SC2，则CO⊥SO，又AD∩SO＝O，AD、SO⊂平面ADS，∴CO⊥平面ADS，又∵CO⊂平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD．（2）∵∠ASD＝90°，则点S在以AD为直径的圆上，且SO＝1，设点S到平面ABCD的距离为d，∴V S﹣ABCD＝，而S矩形ABCD＝2××2×2×sin60°＝2，∴当d取最大值时四棱锥S﹣ABCD的体积最大，此时SO⊥平面ABCD，又由（1）可知CO⊥AD，如图建系，则B（），S（0，0，1），C（，0，0），D（0，1，0），则＝（﹣，2，1），＝（，0，﹣1），＝（0，1，﹣1），设平面SBC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则＝（1，0，），设平面SCD的法向量为＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，），则cos＜＞＝＝＝，设二面角B﹣SC﹣D的平面角为θ，经观察θ为钝角，则cosθ＝﹣＝﹣，故二面角B﹣SC﹣D的余弦值为﹣．21．已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q，求证：△BPQ为等腰三角形．解：（1）根据题意可得，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）证明：设直线A2M的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0且k≠±），直线A1B的方程为y＝x+1，联立，解得P（，），联立，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0，所以2x M＝，则x M＝，y M＝，即M（，），所以k＝＝，于是直线A1M的方程为y＝﹣（x+2），直线A2B的方程为y＝﹣x+1，联立，解得Q（，），于是x P＝x Q，所以PQ⊥x轴，设PQ的中点为N，则点N的纵坐标为＝1，所以PQ的中点在定直线y＝1上，所以点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|．所以△BPQ为等腰三角形．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，g（x）＝kx2．（1）当a＞0时，求f（x）的值域；（2）令a＝1，当x∈（0，+∞）时，恒成立，求k的取值范围．解：（1）函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，所以f'（x）＝e x﹣a，令f'（x）＝0，解得x＝lna，所以f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在区间[lna，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（lna）＝e lna﹣alna﹣1＝a﹣alna﹣1，故函数f（x）的值域为[a﹣alna﹣1，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝e x﹣x﹣1，不等式可变形为[f（x）+x]ln（x+1）≥kx2（x＞0），即（e x﹣1）ln （x+1）≥kx2，所以，因为对x∈（0，+∞）恒成立，所以对x∈（0，+∞）恒成立，令，则，令n（x）＝（x﹣1）e x+1，则n'（x）＝xe x，因为x＞0，所以n'（x）＞0，故n（x）在（0，+∞）上单调递增，所以n（x）＞n（0）＝0，故m'（x）＞0，所以m（x）在（0，+∞）上单调递增，则m（x）＞0（x＞0），又由（1）可知，当a＝1，且x＞0时，f（x）＝e x﹣x﹣1的值域为（0，+∞），即f（x）＝e x﹣x﹣1＞0，所以e x＞x+1恒成立，即x＞ln（x+1），所以m（x）＞m（ln（x+1）），即，又对x∈（0，+∞）恒成立，所以k≤1，故实数k的取值范围为（﹣∞，1]．。

山东省德州市2021届高三数学第二次练习试题文(含解析)

山东省德州市2021届高三数学第二次练习试题文（含解析）一、选择题。

1.设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（）A. []0,1B. (]0,1C. [)0,1D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】{}20121{|}|{|}{|}0xM x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜， {}|0UN x x =≥，则{}011|]0[UMN x x =≤≤=，，故选：A ．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．2.已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（） A. 2- B. 2C. 12-D.12【答案】C 【解析】【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a aiz i i i++-+-===+++-，∵12zz为纯虚数，∴12020aa+=⎧⎨-≠⎩，解得12a=-．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为（）A. 125B. 150C. 175D. 200 【答案】A【解析】【分析】由题意求出阴影部分的面积为12，利用1210004n=，可得结果．【详解】由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3，又正方形面积为4，则阴影部分面积为11(43)0.522-==.设落到阴影部分的豆子数为n，则12,12510004nn==．故选：A．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，属于基础题．4.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A. 3y x =±B. y =C. 2y x =±D. y =【答案】A 【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b ，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b，∴b a =3=,双曲线的渐近线方程为：3x y x=±=,故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.港珠澳大桥于2021年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（）A. 300，0.25B. 300，0.35C. 60，0.25D. 60，0.35【答案】B 【解析】【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=，行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a 的取值范围是（）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,44⎛⎫⎪⎝⎭D.()4,+∞【答案】C 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，可将已知不等式转为()()222||||2f log a f log a ⇒＜＜，可得a 的取值范围．【详解】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ⇒⇒＜＜＜，即222log a -<＜，解得：144a <<，即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭；故选：C ．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法，属于基础题.7.设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（）A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】B 【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．8.已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，成等差数列，则3S =（） A. 5 B. 6C. 7D. 9【答案】C 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q=，且1471692a a a ，，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，解得121q a ==，，则3312S 712-==-．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：C ．【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. 12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【详解】当01x ≤＜时，[]0x =，当12x ≤＜时，[]1x =，当23x ≤＜时，[]2x =，当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则等价为()=f x ax 有且仅有3个根，即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点，当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点，要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a ≤＜，故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.11.已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

山东省德州市2021届高三数学第二次(6月)模拟考试试题

山东省德州市2021届高三数学第二次（6月）模拟考试试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-6页，共150分，测试时间120分钟。

注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。

第Ⅰ卷(共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C MN C 等于.{5,6}A {1,5,6}B .{2,5,6}C {1256} .D ，，，2．已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =A ． 5 B. 2 C ．34．设()()1,3,1,1,k =-==+a b c a b 若,⊥b c 则a 与c 的夹角余弦值为...5533A B C D 5．已知α终边与单位圆的交点3,-),sin cos 05P x αα⋅>（且则的值等于A.95B.75C.65D ．3 6．某中学共有1000人，其中男生700人，女生300人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关(经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时)，现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位：小时)，其频率分布直方图如图．已知在样本数据中，有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理A ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++.257().x x a --的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含x 9项的系数是A ．-15B ．-5C ．5D ．158．已知函数f(x)的定义域为R ，且()()()01,02,f x f x f '+<=则不等式()13x f x e +>解集为.1,)( A +∞ .(,1)B -∞ ).,(0 C +∞ .(,0)D -∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分. 9．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是 A ．ab 有最大值14 a b 有最大值 2C.1a +1b 有最小值2 22.D a b +有最大值1210．直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点，则AB 长度为A ．6B ．8C ．12D ．1611．CPI 是居民消费价格指数(com s um m er pr i cei ndex)的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2021年4月——2021年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图(注：2021年6月与2021年6月相比较，叫同比；2021年6月与2021年5月相比较，叫环比)，根据该折线图，则下列结论正确的是A ．2021年4月至2021年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B ．2021年4月居民消费价格同比涨幅最小，2021年1月同比涨幅最大C ．2021年1月至2021年4月CPI 只跌不涨D ．2021年4月至2021年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳12．抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是 A ． | P M | + | PF | 的最小值为3B ．抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3 C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D ．若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2第Ⅱ卷(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C 过点()23,1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为 ▲14．已知f(x)为奇函数，当0x <时3,()2, xf x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是 ▲15．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-的图像向右平移π3个单位后，与纯音的数学模型函数n 22si y x =图像重合，则φ= ▲ ,若函数()[],f x a a -在是减函数，则a 的最大值是 ▲ .(本题第一空2分，第二空3分)16．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，123,2,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -,现将鳖臑1C ABC-沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是 ▲ .四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍，22.ABD CBD θ∠=∠=(1) 若∠ABC=π2 ，求sin A sin C的值；(2) 若BC=2，AB=3，求边AC 的长。

山东省德州市2021年中考数学二模试卷(II)卷

山东省德州市2021年中考数学二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·长沙) 的值是（）A .B . 6C . 8D .2. （2分） (2016七上·莒县期中) 下列各组中，不是同类项的是（）A . 52与25B . ﹣ab与baC . 0.2a2b与﹣ a2bD . a2b3与﹣a3b23. （2分）函数y= + 的自变量x的取值范围是（）A . x≥1B . x≥1且x≠3C . x≠3D . 1≤x≤34. （2分）(2011·温州) 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（）A . 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.45. （2分） (2019九上·长春月考) 一元二次方程根的情况是（）A . 有两个相等实数根B . 有两个不相等的实数根C . 没有实数根D . 不确定6. （2分） (2019八下·鹿角镇期中) 如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC ，则a的值为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019八上·福田期中) 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A . BC＝1，AC＝2，AB＝B . BC＝1，AC＝2，AB＝C . BC：AC：AB＝3：4：5D . ∠A：∠B：∠C＝3：4：58. （2分） (2018九上·渝中开学考) 已知x﹣3y=0，且y≠0，则（1+ ）• 的值等于（）A . 2B .C .D . 39. （2分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）A . 10cmB . 15cmC . 20cmD . 25cm10. （2分）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）下列四个命题中，真命题是（）A . 长度相等的两条弧是等弧B . 相等的弧所对的圆心角相等C . 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D . 圆是轴对称图形，圆的每一条直径都是对称轴12. （2分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（1，－1）和（3，0），则下列关于这个二次函数的描述，正确的是（）A . y的最小值大于－1B . 当x＝0时，y的值大于0C . 当x＝2时，y的值等于－1D . 当x＞3时，y的值大于0二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分）(2017·恩施) 分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2=________．14. （1分） (2018七下·浏阳期中) 把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠2-∠1=________．15. （1分）(2020·盐城) 一组数据的平均数为________.16. （1分） (2018九上·金华月考) 已知二次函数有最大值，则，的大小关系为________．17. （1分） (2020八上·常熟月考) 如图，在RtΔABC中，∠C=90º， BC=6cm， AC=8cm，如果按图中所示方法将ΔBCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处，那么ΔADC'的周长是________cm.18. （1分）(2017·广东模拟) 将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是________ cm2 ．19. （1分）(2018·成都模拟) 如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为________20. （1分）(2020·郑州模拟) 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为________．三、解答题 (共6题；共72分)21. （12分） (2017九下·东台开学考) 某校组织了“英语手抄报”征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A、B、C、D四个等级进行评价，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）求抽取了多少份作品；（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有________份，并补全条形统计图________；（3）若该校共征集到600份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？22. （10分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC 方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75 海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）23. （10分） (2019八下·大同期末) “雁门清高”苦荞茶，是大同左云的特产，享誉全国，某经销商计划购进甲、乙两种包装的苦荞茶500盒进行销售，这两种茶的进价、售价如下表所示：进价(元/盒)售价(元/盒)甲种4048乙种106128设该经销离购进甲种包装的苦荞茶x盒，总进价为y元。

2021届山东省德州市高三二模考试数学试题(解析版)

山东省德州市2021届高三数学二模试卷一、单选题（共8题；共40分）1.已知命题p:∀x>0，ln(x+1)>0，则¬p为（）．A. ∀x>0，ln(x+1)≤0B. ∃x0>0，ln(x0+1)≤0C. ∀x<0，ln(x+1)≤0D. ∃x0≤0，ln(x0+1)≤0A)∩B=（）．2.已知集合A={x|−2<1−x<3}，B={x∈N|x2≤6x}，则(∁RA. (3,6]B. (2,6]C. {3,4,5,6}D. {4,5,6}3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（）．A. 120种B. 90种C. 80种D. 60种4.2021年我国推进新冠疫苗全人群免费接种，某小区年龄分布如下图所示，现用分层抽样的方法从该小区所有人中抽取60人进行抗体检测，则从40岁至50岁之间的人群中抽取人数为（）．A. 18B. 24C. 5D. 95.函数f(x)=2x+1⋅ln|x|的部分图像大致为（）．4x+1A. B.C. D.6.在平行四边形 ABCD 中，已知 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2 ， |AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6 ，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （）A. -9B. −92 C. -7 D. −727.运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆x 24+y 29=1 绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）．A. 8πB. 16πC. 24πD. 32π8.已知定义在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上的奇函数 f(x) 在 (−∞,0) 上单调递增，且满足 f(−1)=−2 ，则关于 x 的不等式 f(x)<2x +sinπx 的解集为（）． A. (−∞,−1)∪(1,+∞) B. (−1,0)∪(1,+∞) C. (−∞,−1)∪(0,1) D. (−1,0)∪(0,1)二、多选题（共4题；共20分）9.已知复数 z 1=2−1+i （ i 为虚数单位），下列说法正确的是（）． A. z 1 对应的点在第三象限 B. z 1 的虚部为 −1C. z 14=4D. 满足 |z|=|z 1| 的复数 z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上10.已知函数 f(x)=Acos(x +φ)+1(A >0,|φ|<π2) ，若函数 y =|f(x)| 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）．A. 函数f(x)的图像关于直线x=π6对称B. 函数f(x)的图像关于点(−56π,1)对称C. 将函数y=2sinx+1的图像向左平移56π个单位可得函数f(x)的图像D. 函数f(x)在区间[−π2,0]上的值域为[√3+1,3]11.已知椭圆C:x25+y2b2=1(0<b<√5)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，点Q是圆x2+(y−4)2=1关于直线x−y=0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|−|PF2|的最小值为5−2√5，则下列说法正确的是（）．A. 椭圆C的焦距为2B. 曲线E过点F2的切线斜率为±√33C. 若A、B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为−15D. |PQ|+|PF2|的最小值为212.已知函数f(x)=lnxx，则（）．A. f(2)>f(5)B. 若f(x)=m有两个不相等的实根x1、x2，则x1x2<e2C. ln2>√2eD. 若2x=3y，x，y均为正数，则2x>3y三、填空题（共4题；共20分）13.若随机变量X∼N(μ,σ2)，且P(X>5)=P(X<−1)=0.2，则P(−1<X<2)=________．14.若n∈Z，且3≤n≤6，则(x+1x3)n的展开式中的常数项为________．15.已知F1，F2是双曲线y2−x24=1的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F2作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为N，则点N到直线x+y−2√2=0的距离的取值范围是________．16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球M的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则三棱锥P−ABC的体积为________，球M的表面积为________．四、解答题（共6题；共70分）17.在① 2S n +1=3n ；② a 1a 2⋯a n =3n 2−n2；③ 2S n −3a n +1=0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1=1 ，且满足______，设数列 {1a n+1(n+1)⋅log3a n+1} 的前 n 项和为 T n ，求 T n ，并证明 T n <52 .（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18.在锐角三角形 ABC 中，角A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 6cos 2(π2+A)+cosA =5 ．（1）求A ；（2）若 a =2 ，求 b 2+c 2 的取值范围．19.如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为矩形且 AB =4 ， BC =3 ，点 P 在底面上的射影为线段 DC 上一点 E ， PE =EC ，且 DE =1 ， M 为 AP 上的一点且 AM:MP =1:3 ，过 E 、 M 做平面交 PB 于点 N ， PC 于点 F 且 F 为 PC 的中点．（1）证明： ME // 平面 PBC ；（2）求平面 PAD 与平面 EMNF 所成角的余弦值．20.已知抛物线 E:x 2=−2y ，过抛物线上第四象限的点 A 作抛物线的切线，与 x 轴交于点 M ．过 M 做 OA 的垂线，交抛物线于 B 、 C 两点，交 OA 于点 D ．（1）求证：直线 BC 过定点；（2）若 MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥2 ，求 |AD|⋅|AO| 的最小值． 21.2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．参考公式：①线性相关系数 r =i i n i=1√(∑x i−nx̅2i=1)(∑y i −ny ̅2i=1)，一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以上（含 0.95 ）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．②对于一组数据 (x 1,y 1) ， (x 2,y 2) ，… (x n ,y n ) ，其回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b ̂=∑x i y i −nx̅y̅ni=1∑x i 2−nx̅2n i=1 ， a ̂=y ̅−b ̂x̅ ．（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得到下表数据请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 y 关于 x 的线性回归方程 y ̂=a ̂+b̂x ．（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为 25 ，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为 m ，14 ， 23，其中 0<m <1 ，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时 m 的取值范围． 22.已知函数 f(x)=xlnx +mx ，且曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线斜率为1．（1）求实数 m 的值；（2）设 g(x)=af(x)x+x 2−8x(a ∈R) 在定义域内有两个不同的极值点 x 1 、 x 2 ，求实数 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，令 x 1<x 2 且 x 1≠1 ，总有 (t −2)(4+3x 1−x 12)<alnx 11−x 1成立，求实数 t 的取值范围．答案解析一、单选题 1.【答案】 B 【考点】命题的否定【解析】【解答】对命题否定时，全称量词改成存在量词，即 ∃x 0>0 ， ln(x 0+1)≤0 ；故答案为：B.【分析】根据含有量词的命题的否定的变换原则即可求解。

山东省德州市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

山东省德州市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（）A ．4510 B ．4510- C ．32- D ．3210-【答案】D【解析】【分析】由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值.【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+， ∴lg 1210LI =-，当160L =时，1160lg 121261010LI =-=-=-，∴6110I -=，当275L =时，2275lg 1212 4.51010LI =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴361.5124.5210101010I I ----===，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.2．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2x N x =≤ ，则 M N ⋃=（） A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}2x x ≤- D ．R【答案】D【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D 考点：集合的运算3．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+，又B P N ，，三点共线， 2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈)4．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（） A ．6 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】画出函数21,0 ()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x=看作()(),3t f x f t==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t=∴=有两解()()120,1,1,+t t∈∈∞，则()()12,t f x f x t==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x=的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．5．若实数,x y满足不等式组2,36,0,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最小值等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.7．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（）A ．2B ．5C ．1D ．3【答案】B【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得. 【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B .【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项，则（） A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D【解析】【分析】由题意可得955a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围．【详解】解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项， 29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项，又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<⋯<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项，同理可以得到93a a ，94a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<⋯<<， ∴955a a a =，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>，根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =， 94912914133613S a a a -∴=++⋯+=<-，故选：D ．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．9．已知复数12i z i -=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案.【详解】解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．10．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（） A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．2【答案】D【解析】【分析】推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果.【详解】()()()221cos 138f x x m x m m =+-+++-，则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-， ()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-， ()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()24cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象如下图所示：此时，函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意； ②当2m =时，()cos 11x +≤，()()()212cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点.综上所述，2m =.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】A【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.12．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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