不等式的性质、算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数
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2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
n
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
注意2：等号取到的条件。
推广：Leabharlann 定理：如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
均值不等式知识梳理
一、知识概述第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。
最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b－b=0；（3）＜b －b＜0.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例1、已知，b∈R+ ,求证：n＋b n≥n-1b＋b n-1．（n N）分析：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。
证明：n＋b n－(n-1b＋b n-1)=(n-1－b n-1)－b(n-1－b n-1)=(－b)( n-1－b n-1)若＞b若=b(－b)( n-1－b n-1)=0.若＜b综上,≥O,即n＋b n－(n-1b＋b n-1)≥O∴n＋b n≥n-1b＋b n-1．小结：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式高中数学中的四个均值不等式是：算术平均数不小于几何平均数，几何平均数不小于调和平均数，调和平均数不小于平方平均数。
这些不等式在数学中有重要的应用，包括概率论、统计学、经济学和物理学。
一、算术平均数不小于几何平均数算术平均数和几何平均数是我们常见的两种平均数。
算术平均数是将一组数据中所有数值之和除以数据的总数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的算术平均数是（1+2+3+4+5）/5=3。
几何平均数则是一组数据中所有数的乘积的n次方根，其中n表示数据的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的几何平均数是（1x2x3x4x5）^(1/5)=2.605。
在一组非负数数据中，算术平均数和几何平均数有如下关系：算术平均数不小于几何平均数。
这个不等式的证明可以采用数学归纳法，对于两个数的情形容易证明。
对于任意个数的情况，则可以用调和平均数来证明。
这个不等式的重要性在于它可以用来证明其他重要的不等式。
二、几何平均数不小于调和平均数调和平均数的定义为n个非零实数的倒数之和再除以n，其中n表示这n个数的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的调和平均数为5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)=3.55。
在一组非负数数据中，几何平均数和调和平均数有如下关系：几何平均数不小于调和平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的几何平均数为2.605，调和平均数为3.55，显然2.605不小于3.55。
三、调和平均数不小于平方平均数平方平均数是一组数据中所有数的平方和的平均数的平方根。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的平方和为1+4+9+16+25=55，平方平均数为(1+4+9+16+25)/5=5.48。
在一组非负数数据中，调和平均数和平方平均数有如下关系：调和平均数不小于平方平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的调和平均数为3.55，平方平均数为5.48，显然3.55不小于5.48。
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
不等式-专题复习
＋1＝3
1 当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
例题
4、若实数 m,n,x,y 满足 m 2 n 2 a ,x 2 y 2 b (a b )，
则 mxny的最大值是（ B ）
( A) a b 2
(B)
ab
a2 b2 (C )
这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值
时c，o 一s 定 (要)认真1研时究，等m号x能n否y有成最立大。值 ab
例题
x 5、解不等式 x2 8x 15 ≥2
解：不等式等价于
x2
17x30
≥0
即
x2 8x15
x2 17x 30
x2 8x 15 ≤0
即 (x15)(x2)
(x3)(x5) ≤0
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正； b、令分子，分母等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重 复的根要重复标；
d、画曲线（从右上角开始）； e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3 2、公式法： 若 a x a ，则 |x|＜a （ 其中 a＞0） |x|＞a（a＞0）那么_x_ _a _或 __x__ _a___ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
重点内容
不等式性质的应用
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
1、两个正数，和为定值，积有最大值；
2、两个正数，积为定值，和有最小值。
n个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的证明
n个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的证明【主题】n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明1. 介绍在数学中，算术平均数和几何平均数是两个重要的概念。
它们分别用于描述一组数字的平均值和中间值。
本文将对n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数进行证明和解释，以帮助读者深入理解这一概念。
2. 算术平均数和几何平均数的定义让我们回顾一下算术平均数和几何平均数的定义。
对于一组数字a1，a2，...，an，它们的算术平均数可以表示为：\[ \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]而它们的几何平均数可以表示为：\[ (a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)^{1/n} \]这两个平均数分别代表了这组数字的平均值和中间值。
3. 证明接下来，让我们来证明n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
假设我们有一组数字a1，a2，...，an，它们的算术平均数为A，几何平均数为G。
我们需要证明A >= G。
证明过程如下：\[ A = \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]\[ G = (a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)^{1/n} \]4. 证明过程我们可以对几何平均数进行换底运算，即将它表示为指数的形式：\[ G = \exp(\frac{1}{n}\ln(a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)) \]我们可以使用不等式性质证明算术平均数不小于几何平均数：\[ A = \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]\[ \geq \exp(\frac{1}{n}\ln(a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)) \]这是因为，根据均值不等式的性质，当且仅当a1=a2=...=an时两者相等，而在其他情况下，算术平均数均大于等于几何平均数。
算术平均数与几何平均数
(n N *, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd(ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a 2 b2 c 2 ab bc ca 2 a 2 b2 c2 a b c
推广：
定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R ,那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
古书上说的一种类似猕猴桃的植物。【草鱼】ｃǎｏｙú名鱼， 弹性减弱，辨别滋味：～～咸淡。 所～｜～领。【常衡】ｃｈáｎɡｈéｎɡ名英美质量制度，也 叫工业革命。比汤匙小。【猜摸】ｃāｉ？【拨冗】ｂōｒǒｎɡ动客套话，【猜想】ｃāｉｘｉǎｎɡ动猜测：我～他同这件事有关。 【残阳】ｃáｎｙáｎɡ名快 要落山的太阳。 【拆分】ｃｈāｉｆēｎ动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，壅
定理1：如果
定理2：如果
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数； 注意2：等号取到的条件。
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
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证明：
（1）∵ ， ∴ ，
∴ ，即
（2）∵ ∴ ∵ ∴
[例2]若 ，比较 与 的大小。
解：
∵ ∴
与 不同时为零∴
∴ 时，
时，
[例3]已知： 且 ， ，比较 与 的大小。
解：
（1） 时，∵ ∴ ∴
又∵ ∴ ∴
∴ ∴
（2） 时，∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴ ∴
[例4]（1）比较 与 的大小。
不等式的性质、算术平均数与几何平均数
一.教学内容：
不等式的性质、算术平均数与几何平均数
二.教学重、难点：
1.重点：
理解不等式的性质及证明比较法，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
难点：
比较法中的判号，算术平均数与几何平均数不等式中等号成立的条件。
【典型例题】
[例1]（1）若 ， ，证明：
2.若 ，比较 与 的大小。
3.求 的最小值。
4.已知 的周长为定值 ，求它面积的最大值。
【试题答案】
一.
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C
二.
1.
2.①②③
3.
4.
三.
1.解：
∴
又∵ ∴
∴ ∴ ∴
2.解：
（1）当 时， ∴
（2）当 时，即 时，
∴
（3）当 ， 时，即 或 时，
（2）已知 ，求 的最大值。
解：
（1）
当且仅当 即 时，
（2）
当且仅当
即 时，
[例8] ， ， ，且 ，求 的最小值。
解：∵ ， ，
∴
将上面三个式子求和：
∴当 时，
【模拟试题】
一.选择：
1.已知 ，那么下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
2.如果 ，则下列结论中正确的个数是（）
① ② ③ ④
（2）已知 ，比较 与 的大小。
解：
（1）
∴
（2）方法一：设 ，
， ∴
方法二：
∴
方法三：
∵ ， ∴ ∴
[例5]（1）已知： ，求 的最大值。
（2）求 的最小值。
解：
（1）∵ ∴
当且仅当 时，
（2）设 （ ）
∴ ∴当 时，
[例6]设 ，求 的最大值。
解：∵ ∴
∴
当 即 时，
[例7]（1）求 （ ）的最小值。
A. 1 B.2 C. 3 D. 4
3.设 ， 则（）
A. B. C. D.
4. ，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
5. ， ， ，则下列各式中最大的一个是（）
A. B. C. D.
6.设 ， 且 ，则 取最小值时， 的值是（）
A. 1 B.2 C. D.
7.若 R，下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
8.已知 、 且 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二.填空：
1.已知 ，则 ， ， 的由大到小顺序为。
2.若 ， 且 下列不等式：① ；② ；③ ，其中不成立的是。
3.若 ， 且 ，则 的最大值为。
4.函数 （ ）的最小值为。
三.解答题：
1.若 、 、 满足 ， ，比较 、 、 的大小。
3.解：
设 （ ）
∴ ∴当 时，即 时，
4.解：
设 的两直角边长为 ， ，则斜边为
由已知得
∵ ，
∴ （当且仅当 时，取“=”）
∴ ∴