不等式的性质、算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数
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2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
n
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
注意2：等号取到的条件。
推广：Leabharlann 定理：如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
均值不等式知识梳理
一、知识概述第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。
最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b－b=0；（3）＜b －b＜0.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例1、已知，b∈R+ ,求证：n＋b n≥n-1b＋b n-1．（n N）分析：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。
证明：n＋b n－(n-1b＋b n-1)=(n-1－b n-1)－b(n-1－b n-1)=(－b)( n-1－b n-1)若＞b若=b(－b)( n-1－b n-1)=0.若＜b综上,≥O,即n＋b n－(n-1b＋b n-1)≥O∴n＋b n≥n-1b＋b n-1．小结：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式高中数学中的四个均值不等式是：算术平均数不小于几何平均数，几何平均数不小于调和平均数，调和平均数不小于平方平均数。
这些不等式在数学中有重要的应用，包括概率论、统计学、经济学和物理学。
一、算术平均数不小于几何平均数算术平均数和几何平均数是我们常见的两种平均数。
算术平均数是将一组数据中所有数值之和除以数据的总数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的算术平均数是（1+2+3+4+5）/5=3。
几何平均数则是一组数据中所有数的乘积的n次方根，其中n表示数据的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的几何平均数是（1x2x3x4x5）^(1/5)=2.605。
在一组非负数数据中，算术平均数和几何平均数有如下关系：算术平均数不小于几何平均数。
这个不等式的证明可以采用数学归纳法，对于两个数的情形容易证明。
对于任意个数的情况，则可以用调和平均数来证明。
这个不等式的重要性在于它可以用来证明其他重要的不等式。
二、几何平均数不小于调和平均数调和平均数的定义为n个非零实数的倒数之和再除以n，其中n表示这n个数的个数。
例如，1,2,3,4,5这五个数的调和平均数为5/(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5)=3.55。
在一组非负数数据中，几何平均数和调和平均数有如下关系：几何平均数不小于调和平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的几何平均数为2.605，调和平均数为3.55，显然2.605不小于3.55。
三、调和平均数不小于平方平均数平方平均数是一组数据中所有数的平方和的平均数的平方根。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的平方和为1+4+9+16+25=55，平方平均数为(1+4+9+16+25)/5=5.48。
在一组非负数数据中，调和平均数和平方平均数有如下关系：调和平均数不小于平方平均数。
例如，对于1,2,3,4,5这五个数，它们的调和平均数为3.55，平方平均数为5.48，显然3.55不小于5.48。
算术平均数与几何平均数
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
2(a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
例1.若a, b
0,
注意2：等号取到的条件。
推广： 定理：如果
不等式-专题复习
＋1＝3
1 当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
例题
4、若实数 m,n,x,y 满足 m 2 n 2 a ,x 2 y 2 b (a b )，
则 mxny的最大值是（ B ）
( A) a b 2
(B)
ab
a2 b2 (C )
这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值
时c，o 一s 定 (要)认真1研时究，等m号x能n否y有成最立大。值 ab
例题
x 5、解不等式 x2 8x 15 ≥2
解：不等式等价于
x2
17x30
≥0
即
x2 8x15
x2 17x 30
x2 8x 15 ≤0
即 (x15)(x2)
(x3)(x5) ≤0
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正； b、令分子，分母等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重 复的根要重复标；
d、画曲线（从右上角开始）； e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3 2、公式法： 若 a x a ，则 |x|＜a （ 其中 a＞0） |x|＞a（a＞0）那么_x_ _a _或 __x__ _a___ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
重点内容
不等式性质的应用
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
1、两个正数，和为定值，积有最大值；
2、两个正数，积为定值，和有最小值。
n个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的证明
n个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数的证明【主题】n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明1. 介绍在数学中，算术平均数和几何平均数是两个重要的概念。
它们分别用于描述一组数字的平均值和中间值。
本文将对n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数进行证明和解释，以帮助读者深入理解这一概念。
2. 算术平均数和几何平均数的定义让我们回顾一下算术平均数和几何平均数的定义。
对于一组数字a1，a2，...，an，它们的算术平均数可以表示为：\[ \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]而它们的几何平均数可以表示为：\[ (a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)^{1/n} \]这两个平均数分别代表了这组数字的平均值和中间值。
3. 证明接下来，让我们来证明n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
假设我们有一组数字a1，a2，...，an，它们的算术平均数为A，几何平均数为G。
我们需要证明A >= G。
证明过程如下：\[ A = \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]\[ G = (a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)^{1/n} \]4. 证明过程我们可以对几何平均数进行换底运算，即将它表示为指数的形式：\[ G = \exp(\frac{1}{n}\ln(a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)) \]我们可以使用不等式性质证明算术平均数不小于几何平均数：\[ A = \frac{a1 + a2 + ... + an}{n} \]\[ \geq \exp(\frac{1}{n}\ln(a1 \cdot a2 \cdot ... \cdot an)) \]这是因为，根据均值不等式的性质，当且仅当a1=a2=...=an时两者相等，而在其他情况下，算术平均数均大于等于几何平均数。
算术平均数与几何平均数
(n N *, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd(ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a 2 b2 c 2 ab bc ca 2 a 2 b2 c2 a b c
推广：
定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R ,那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
古书上说的一种类似猕猴桃的植物。【草鱼】ｃǎｏｙú名鱼， 弹性减弱，辨别滋味：～～咸淡。 所～｜～领。【常衡】ｃｈáｎɡｈéｎɡ名英美质量制度，也 叫工业革命。比汤匙小。【猜摸】ｃāｉ？【拨冗】ｂōｒǒｎɡ动客套话，【猜想】ｃāｉｘｉǎｎɡ动猜测：我～他同这件事有关。 【残阳】ｃáｎｙáｎɡ名快 要落山的太阳。 【拆分】ｃｈāｉｆēｎ动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，壅
定理1：如果
定理2：如果
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数； 注意2：等号取到的条件。
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
高中不等式经典教案(含详解)
高中不等式经典教案第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
不等式的性质--算术平均数与几何平均数(2)
b aab D'D ABC 课 题：2.1不等式的性质--算术平均数与几何平均数（2） 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值并解决一些简单的实际问题教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2ba +，显然，它不小于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭2． baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第14页指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥nn a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a,b,c,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而准确使用，同时增强对均值不等式定理的条件的理解证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥>0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在使用时，常需先凑形后使用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++=240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯=当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx == 所以，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相对应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)准确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x ＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281x x ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ,即x ＝±3时取“＝”号.故x=±3时,x 2+281x的值最小,其最小值是182一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定准确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x 即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第16页3设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值 解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 即x ＝34时取“＝”号,故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业：(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值 分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3·329当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212x x =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ·x ·（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1,当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0 ∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立，∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93(5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1 ∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ， 当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法八、课后记：。
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式公式四个
三元均值不等式是指对于三个非负实数a、b、c，有以下四种均值不等式：
1.算术平均数大于等于几何平均数：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
解释：算术平均数是三个数的和除以3，几何平均数是三个数的乘积的1/3次方根。
这个不等式表明，算术平均数大于等于几何平均数。
2.几何平均数大于等于调和平均数：
(abc)^(1/3)≥3/(1/a+1/b+1/c)
解释：调和平均数是三个数的倒数的平均数，这个不等式表明，几何平均数大于等于调和平均数。
3.平方平均数大于等于算数平均数：
[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)≥(a+b+c)/3
解释：平方平均数是三个数的平方和的平均数的1/2次方根，这个不等式表明，平方平均数大于等于算数平均数。
4.立方平均数大于等于平方平均数：
[(a^3+b^3+c^3)/3]^(1/3)≥[(a^2+b^2+c^2)/3]^(1/2)
解释：立方平均数是三个数的立方和的平均数的1/3次方根，这个不等式表明，立方平均数大于等于平方平均数。
这些不等式在数学证明和应用中都有广泛的应用，比如在概率论、统计学和自然科学中都有应用。
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式在高中数学中，均值不等式是一组重要的不等式，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。
本篇文章将详细介绍这四个均值不等式的定义、特点、证明以及应用。
一、算术平均数不等式算术平均数不等式也称为平均值不等式，是指对于任意非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数不等式的特点是，它是一组相对简单但应用广泛的不等式。
证明方法有多种，如引入柯西-施瓦茨不等式、引用对数函数的性质等。
同时，算术平均数不等式与几何平均数不等式、调和平均数不等式和平方平均数不等式共同构成均值不等式的四大基石。
应用方面，算术平均数不等式可以用于证明其他不等式，如根据其性质证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼定理等；还可以用于优化问题的求解，如求解简单平均数、加权平均数等。
二、几何平均数不等式几何平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
几何平均数不等式的特点是，它是一组与比例有关的不等式，反映了乘法的稳定性。
它可以通过对数函数的性质、证明柯西-施瓦茨不等式等方法进行证明。
应用方面，几何平均数不等式可以用于处理带有乘方项的优化问题，如优化几何平均数、加权几何平均数等；还可以用于证明其他不等式，如证明柯西-施瓦茨不等式的基本形式。
三、调和平均数不等式调和平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a _n}}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数和几何平均数大小关系证明
算术平均数和几何平均数大小关系证明1. 引言1.1 介绍算术平均数和几何平均数的概念算术平均数和几何平均数是两种常用的平均数概念，在数学和统计学中经常被使用。
算术平均数是一组数值的总和除以数量得到的平均值，它代表了一组数据的平均水平。
而几何平均数是一组数值的乘积开n次方根得到的平均值，它代表了一组数据的平均波动程度。
虽然这两种平均数有着不同的计算方法和概念，但它们之间存在着紧密的数学关系。
算术平均数和几何平均数的关系是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据的分布和趋势。
在实际应用中，我们经常需要比较算术平均数和几何平均数的大小，以便进行更有针对性的分析和决策。
下面我们将详细介绍算术平均数和几何平均数的定义，并探讨它们之间的关系，最终证明算术平均数大于等于几何平均数的结论。
通过这篇文章，希望读者能更加深入地理解算术平均数和几何平均数的意义和作用。
2. 正文2.1 算术平均数和几何平均数的定义算术平均数和几何平均数是数学中常见的两个概念，在统计学和金融学等领域有着广泛的应用。
算术平均数和几何平均数在统计学中起着重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况和趋势。
接下来我们将分别介绍算术平均数和几何平均数的定义。
算术平均数，也称为平均值，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
假设我们有n个数值，分别为a1、a2、a3、...、an，则这n个数值的算术平均数可以表示为：平均数= (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数通常用来表示一组数据中所有数值的中间值，即数据的集中趋势。
当我们需要了解一组数据的整体水平或趋势时，可以使用算术平均数来进行分析。
几何平均数是一组数据中所有数值的乘积开n次方根。
同样假设我们有n个数值，分别为b1、b2、b3、...、bn，则这n个数值的几何平均数可以表示为：几何平均数= (b1 * b2 * b3 * ... * bn) ^ (1/n)几何平均数主要用于表示一组数据中各个数值的平均比率，适用于涉及增长率、比率和百分比等问题的分析。
算术平均数与几何平均数
推广： 定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R , 那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 a b c
bca
3 1 1 1 1 1பைடு நூலகம் 1
2a 2b 2c a b b c c a (4) a2 b2 b2 c2 c2 a2
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2......an n
n
a1a2......an
(n N*, ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
ab cd (ac bd) 4abcd
定理1：如果a, b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
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证明：
（1）∵ ， ∴ ，
∴ ，即
（2）∵ ∴ ∵ ∴
[例2]若 ，比较 与 的大小。
解：
∵ ∴
与 不同时为零∴
∴ 时，
时，
[例3]已知： 且 ， ，比较 与 的大小。
解：
（1） 时，∵ ∴ ∴
又∵ ∴ ∴
∴ ∴
（2） 时，∵ ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴ ∴
[例4]（1）比较 与 的大小。
不等式的性质、算术平均数与几何平均数
一.教学内容：
不等式的性质、算术平均数与几何平均数
二.教学重、难点：
1.重点：
理解不等式的性质及证明比较法，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
难点：
比较法中的判号，算术平均数与几何平均数不等式中等号成立的条件。
【典型例题】
[例1]（1）若 ， ，证明：
2.若 ，比较 与 的大小。
3.求 的最小值。
4.已知 的周长为定值 ，求它面积的最大值。
【试题答案】
一.
1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C
二.
1.
2.①②③
3.
4.
三.
1.解：
∴
又∵ ∴
∴ ∴ ∴
2.解：
（1）当 时， ∴
（2）当 时，即 时，
∴
（3）当 ， 时，即 或 时，
（2）已知 ，求 的最大值。
解：
（1）
当且仅当 即 时，
（2）
当且仅当
即 时，
[例8] ， ， ，且 ，求 的最小值。
解：∵ ， ，
∴
将上面三个式子求和：
∴当 时，
【模拟试题】
一.选择：
1.已知 ，那么下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
2.如果 ，则下列结论中正确的个数是（）
① ② ③ ④
（2）已知 ，比较 与 的大小。
解：
（1）
∴
（2）方法一：设 ，
， ∴
方法二：
∴
方法三：
∵ ， ∴ ∴
[例5]（1）已知： ，求 的最大值。
（2）求 的最小值。
解：
（1）∵ ∴
当且仅当 时，
（2）设 （ ）
∴ ∴当 时，
[例6]设 ，求 的最大值。
解：∵ ∴
∴
当 即 时，
[例7]（1）求 （ ）的最小值。
A. 1 B.2 C. 3 D. 4
3.设 ， 则（）
A. B. C. D.
4. ，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
5. ， ， ，则下列各式中最大的一个是（）
A. B. C. D.
6.设 ， 且 ，则 取最小值时， 的值是（）
A. 1 B.2 C. D.
7.若 R，下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
8.已知 、 且 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二.填空：
1.已知 ，则 ， ， 的由大到小顺序为。
2.若 ， 且 下列不等式：① ；② ；③ ，其中不成立的是。
3.若 ， 且 ，则 的最大值为。
4.函数 （ ）的最小值为。
三.解答题：
1.若 、 、 满足 ， ，比较 、 、 的大小。
3.解：
设 （ ）
∴ ∴当 时，即 时，
4.解：
设 的两直角边长为 ， ，则斜边为
由已知得
∵ ，
∴ （当且仅当 时，取“=”）
∴ ∴