三角形中线专题

中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积；

1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线

2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形

有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）

3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．

4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．

第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线

D

A

B

C

N D

C

B

A

M

F E

D

C

B

A

方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE

方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN

方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

D

C B

A

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC

于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形

例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

提示：

方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH

例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE 至F ，连结DF

证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）

例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD

【融会贯通】

第 1 题图 A

B F

D E

C

1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF

所以AB=AF+FC

2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

第 14 题图

D

F C

B

E

A

3、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE

提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD

4．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，动点E 在AB 边上，DF ⊥DE 交AC 于F ，连接EF ，猜想：BE+CF 与EF 的大小关系为 ，并请加以证明．

5．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．

（1）探究PG 与PC 的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；

（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG 与PC 的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，将图2中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．

6．如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 、△DCE 都为等边三角形，M 为BD 的中点，N 为AE 的中点，求证：△CMN 为等边三角形．

E A B C D A

B

C M T

E

第6题图第7题图

7．如图，在△ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC 分别交于D、E，求证：BD+CE＞DE．

第三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为（）A．5 B．10 C．15 D．20

第1题图第2题图第3题图

2．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．

8．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．

第四、两边中点连线，为三角形的中位线——平行于第三边且等于第三边的一般；（一）、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少

变形题：已知三角形的三边为a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少

（二）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形

变形题1：已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形