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三角形中线专题

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三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok

三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok

三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。

1) 证明角BCD等于角ECD。

2) 找出所有与角B相等的角。

2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。

1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。

2) 在三角形BED中，作BD边上的高。

3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。

3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。

4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。

5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。

1) 求角EAD的度数。

2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。

6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。

7.在三角形ABC中。

1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。

2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。

3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。

8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。

专题 直角三角形斜边上的中线的运用(解析版)

专题 直角三角形斜边上的中线的运用(解析版)

八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 直角三角形斜边上的中线的运用【例题1】（2022春•镇江期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD ＝5，则EF 的长为 ．【分析】已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，那么AB ＝2CD ；EF 是△ABC 的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=12 AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF=12×10＝5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　．【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AB＝6．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE=12AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又∵DE＝3，AB＝AC，∴AB＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（ ）A．2.5B．3C．3.5D．4【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．∴∠ABD＝∠BDE．∴DE＝BE．∵AB＝6，∴DE＝BE＝AE=12AB＝3，故选：B．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（ ）A．2B．3C．4D．【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=4，故选：C．【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．【变式1-4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．【解答】解：如图，连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4．故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF ⊥BD 是解题的关键．【变式1-5】（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB ＝∠ACB ＝90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AB ＝26，CD ＝24，则△DEF 的周长为（ ）A ．12B ．30C ．27D ．32【分析】先根据直角三角形的性质求出DF 与CF 的长，再由等腰三角形的性质求出DE 的长，根据勾股定理求出EF 的长，进而可得出结论．【解答】解：∵ADB ＝∠ACB ＝90°，F 是AB 的中点，AB ＝26，∴DF ＝CF =12AB =12×26＝13，∴△CDF 是等腰三角形．∵点E 是CD 的中点，CD ＝24，∴EF ⊥CD ，DE =12CD ＝12．在Rt △DEF 中，DE =5，∴△DEF 的周长为：DF +DE +EF ＝13+12+5＝30．故选：B ．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式1-6】（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作AB 的垂线，交BC 于E ，连接CD ，AE ，CD ＝4，AE ＝5，则AC ＝（ ）A ．3B ．245C ．5D ．247【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB ＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE ＝AE ＝5，再利用勾股定理求得CE 的长，进而可求解AC 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4，∴AB ＝2CD ＝8，∵ED ⊥AB ，∴DE 垂直平分AB ，∴BE ＝AE ＝5，∵AC 2＝AE 2﹣CE 2＝AB 2﹣BC 2，∴52﹣CE 2＝82﹣（5+CE ）2，解得CE ＝1.4，∴AC =245．故选：B ．【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-7】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，三角形DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于F ，BE ⊥AC 于E ，且点D 是AB 的中点，则AF ＝（ ）A B C D．7【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF=12AB，EF=12BC，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF=12 AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF=12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【变式1-8】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10，则△EFM的周长是（ ）A．17B．21C．24D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=12BC=12×10＝5，同理可得，ME=12BC=12×10＝5，又∵EF＝7，∴△EFM的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．故选：A．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长．【例题2】（2022秋•莲湖区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，点E是BC的中点，连接ED，则∠EDB的度数是 ．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得ED＝EB，从而利用等腰三角形的性质即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵点E是BC的中点，∴ED＝EB=12 BC，∴∠EDB＝∠B＝28°，故答案为：28°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BDA的度数是．【分析】根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，∴∠B＝55°∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝55°，∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•仓山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝ °．【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝104°，在等腰三角形BED中，已知顶角，即可求出底角∠EBD的度数．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×52°＝104°，在等腰三角形BED中，∠EBD=12×(180°−104°)=38°；故答案是：38．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．【变式2-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE=ACD＝（ ）A．15°B．30°C．22.5°D．45°【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC＝2DE＝理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根据同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE=∴BC＝2DE＝∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．【变式2-4】（2021秋•潍坊期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，连结BE，DE，BD，则∠BDE＝ 度．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BE＝DE=12AC，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得∠BEC＝80°，∠CED＝60°，那么∠BED＝140°，然后在等腰△BDE中即可求出底角∠BDE的度数．【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为对角线AC的中点，∴AE＝BE＝DE=12 AC，∴∠ABE＝∠CAB＝40°，∠ADE＝∠DAC＝30°，∴∠BEC＝∠ABE+∠CAB＝80°，∠CED＝∠ADE+∠DAC＝60°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝140°．∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠DBE=180°−∠BED2=20°．故答案为：20．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是　度．【分析】先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，根据等边对等角可得∠BCE＝∠B，再求出∠ECD＝45°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝90°×113=22.5°，∠ACD＝90°×313=67.5°，∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠B＝67.5°，∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式2-6】（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝ °．【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到EC＝EA＝EB=12AB，根据三角形的外角的性质求出∠CEB＝60°，根据直角三角形的性质得到ED＝EC，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴EC＝EA＝EB=12 AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，∴DE=12 AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案为：75．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．【变式2-7】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（ ）A．5°B．10°C．20°D．30°【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点可知AH＝CH=12BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH＝90°，再由对顶角相等可知∠GEH＝∠BEC＝80°，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CH=12 BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•市中区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E 在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴CO ＝BO ＝AO =12AB ，∴△AOC 是等边三角形，∠OCB ＝∠B ＝30°，∴AC ＝OC ＝CE ，∴∠COE ＝∠CEO =12×（180°﹣30°）＝75°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【例题3】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：（1）MD ＝MB ；（2）MN ⊥BD ．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；（2）根据等腰三角形的三线合一证明．【解答】证明：（1）∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 是AC 的中点，∴BM =12AC ，DM =12AC ，∴DM ＝BM ；（2）由（1）可知DM ＝BM ，∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD．【点评】此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大．【变式3-1】（2022春•零陵区校级期中）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由．【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD＝DF，∠DFB＝∠DBF，根据角的平分线的定义知∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，再根据内错角相等两直线平行得DF∥BC．【解答】解：∵在直角△AFB中，点D是斜边上的中点，∴DF＝BD=12 AB，∴∠DFB＝∠DBF，∵BE平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，∴DF∥BC．【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行．注意等边对等角的运用．【变式3-2】（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．【分析】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC ＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM ＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证．【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，∵M、N是BC、AO的中点，∴EN=12AO，DN=12AO，EM=12BC，DM=12BC，∴EN＝DN，EM＝DM，∴M、N在线段DE的垂直平分线上，∴MN垂直平分DE．【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键．【变式3-3】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=12AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠FDB＝2∠DFC，根据等腰三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF=12AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式3-4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD=12BC，即可证得：AD＝AF；（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形．由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDB AE=DE∠AEF=∠DEB，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC=12 BC，∴AD＝AF；（2）当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中．【变式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解；（2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．【点评】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．【变式3-6】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥BC．求证：∠CBA＝3∠CBE．【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根据等腰三角形的性质求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠D，即可得出答案．【解答】证明：取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴AF＝DF＝EF=12 DE，∵AB=12 DE，∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．【变式3-7】如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）过点D作DH⊥AC于H点，如果BD平分∠HDE，求证：BA＝BC．【分析】（1）根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设AC，BD交于点O，根据垂直的定义得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠EDO＝∠EBO，由角平分线的定义得到∠HDF＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC中点，∴DE=12AC，BE=12AC，∴DE＝BE，∵点F是BD中点，∴EF⊥BD；（2）证明：设AC，BD交于点O，∵DH⊥AC，EF⊥BD，∴∠DHO＝∠EFO＝90°，∵∠DOH＝∠BOE，∴∠HDF＝∠OEF，∵DE＝BE，∴∠EDO＝∠EBO，∵BD平分∠HDE，∴∠HDF＝∠BDE，∴∠OEF＝∠OBE，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式3-8】（2021•安顺模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF=12 AC；（2）若EF⊥AC，求证：AM+DM＝CB．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12 AC；（2）根据“SAS”证明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，进而可得结论．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵F为AC的中点，∴EF=12 AC；（2）证明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F为AC的中点，∴AF＝CF，∵MF＝MF，∴△AFM≌△CFM（SAS），∴AM＝CM，∵CD＝DM+MC，∴CD＝DM+AM，∵BC＝DC，∴AM+DM＝CB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活应用定理是解决本题的关键．【变式3-9】（2022秋•宿城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=12BC，ME=12BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；（3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论．【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=12BC，ME=12BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC ）＝360°﹣2∠BAC ，∴∠DME ＝180°﹣（360°﹣2∠BAC ）＝2∠BAC ﹣180°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．且AF ⊥CF ，若AC ＝3，BC ＝6，则DF 的长为（ ）A ．1.5B ．1C ．0.5D ．2【分析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出FE ，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BC ＝6，∴DE =12BC ＝3，∵AF ⊥CF ，∴∠AFC ＝90°，∵E 为AC 的中点，AC ＝3，∴FE =12AC ＝1.5，∴DF ＝DE ﹣FE ＝1.5，故选：A ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-1】（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接ED ，F 是ED 延长线上一点，连接AF 、CF ，若∠AFC ＝90°，DF ＝1，AC ＝6，则BC 的长度为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF ，进而求出DE ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，E 是AC 的中点，AC ＝6，则EF =12AC ＝3，∵DF ＝1，∴DE ＝3﹣1＝2，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ＝4，故选：C ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式4-2】（2022•金乡县三模）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB ＝8，AC ＝6，则△DEF 的周长为 ．【分析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==10，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB＝8，AC＝6，BC＝10，∴DE=12AB＝4，DF=12AC＝3，EF=12BC＝5，∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．【变式4-3】如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt △ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）A．6B．7C．8D．9【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=12AB，EH=12AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=12BC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半．【解答】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，∴DG=12AB，EH=12AC，∴GH为△ABC的中位线，∴GH=12 BC，∴DG+GH+EH=12（AB+AC+BC）=12×16＝8．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键．【变式4-4】（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC，若EF＝2，则DE的长为（ ）A．2B．1C D+1【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE．【解答】解：连接CD，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12 BC，∵CF=12 BC，∴DE∥CF，∴四边形DEFC为平行四边形，∴CD＝EF＝2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，则AB ＝2CD ＝4，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC =12AB ＝2，∴DE =12BC ＝1，故选：B ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键．【变式4-5】（2021春•赣榆区期中）如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，延长EF 交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点G ．AG 与CG 有怎样的位置关系？证明你的结论．【分析】利用三角形中位线定理推知EF ∥BC ．所以利用平行线的性质、三角形角平分线的性质以及等腰三角形的判定证得FG ＝FC ．又由AF ＝CF ，则FG 是△ACG 中AC 边上的中线，且FG =12AC ，则△AGC 是直角三角形．【解答】解：AG ⊥CG ，理由：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，AF ＝CF ，∴EF ∥BC ，∴∠FGC ＝∠GCD ．∵CG平分∠ACD，∴∠FCG＝∠GCD，∴∠FCG＝∠FGC，∴FG＝FC．又∵AF＝CF，∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG=12 AC，∴△AGC是直角三角形，∴AG⊥CG．【点评】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线定理．一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【变式4-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．【分析】由三角形中位线定理求出DE，由勾股定理逆定理证得△ABF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理求出EF，即可求出DF的长度．【解答】解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=12×19=192，在△ABF中，∵AF2+BF2＝52+122＝169＝132，AB2＝132，∴AF2+BF2＝AB2，∴∠AFB＝90°，∴EF=12AB=12×13=132，∴DF＝DE﹣EF=192−132=3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，勾股定理逆定理，灵活运用这三个定理是解决问题的关键．【变式4-7】（2022春•徐州期中）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．（1）求证：DH＝EF；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF=12AB，根据直角三角形的性质得到DH=12AB，证明结论；（2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论．【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点，∴EF=12 AB，∵AH⊥BC，D是AB的中点，∴DH=12 AB，∴DH＝EF；（2）连接DF，由（1）得，DH＝EF，同理DE＝HF，在△DHF和△DEF中，DH=FEHF=EDDF=FD，∴△DHF≌△DEF，∴∠DHF＝∠DEF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【变式4-8】（2021春•罗湖区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BM=12AC，根据三角形中位线定理得到MN=12AD，根据题意证明；（2）证明△NMB是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC中点，∴BM=12 AC，∵M为AC中点，N为DC中点，∴MN=12 AD，∵AD＝AC，∴BM＝MN；（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∴BM＝AM=12AC＝1，∴∠MAB＝∠MBA＝30°，∴∠CMB＝60°根据三角形中位线定理得，MN∥AD，MN=12AD＝1，∴∠DAC＝∠NMC＝30°，∴△NMB是等腰直角三角形，由勾股定理得，BN=【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．。

直角三角形斜边上的中线应用题目

直角三角形斜边上的中线应用题目

直角三角形斜边上的中线应用题目
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度角）。

在直角三角形中，斜边是指与直角的两条边不重合的另外那条边。

斜边上的中线是指从斜边中点垂直于斜边的线段。

直角三角形斜边上的中线有很多应用，下面是一些题目：
1. 题目一：
已知一个直角三角形的斜边长为10cm，求斜边上的中线的长度。

解答：
由于直角三角形中，斜边的一半就是中线的长度。

所以，中线的长度为10cm的一半，即5cm。

2. 题目二：
已知一个直角三角形的斜边长为12cm，中线的长度为6cm，求与中线相交的直角三角形两个直角边的长度。

解答：
由于中线是斜边的一半，所以斜边的长度是中线的两倍，即12cm。

因此，直角边的长度可以使用勾股定理求解。

设一个直角边为x，则另一个直角边为12-x。

根据勾股定理，我们可以得到以下方程：
x^2 + (12-x)^2 = 12^2
化简方程后，求解x的值，即可得到另一个直角边的长度。

这些题目是直角三角形斜边上的中线应用题目的一些例子。

通过解答这些题目，我们可以更深入地理解直角三角形的性质和中线的应用。

在解题过程中，可以运用勾股定理和直角三角形的基本性质，加深对数学知识的理解和应用能力。

希望以上内容对您有所帮助，如有其他问题，请随时提问。

三角形中位线定理专练

三角形中位线定理专练

三角形中位线定理专练1．如图，在△ ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥ CD，垂足是E，F 是CB的中点．求证：BD=2EF．2．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△ EFG是等腰三角形．3．在△ ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．4．如图，BE，CF是△ ABC的角平分线，AN⊥ BE于N，AM⊥ CF于M，求证：MN∥ BC．5．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ ABD、∠ ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠ DHF=∠ DEF．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD 的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．8．如图，M是△ ABC的边BC的中点，AN平分∠ BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ ABC的周长．三角形中位线定理专练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（2014?山东模拟）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD 的中点，再求证EF为△BCD的中位线．【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且AE⊥CD，所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：E为CD的中点，又因为F是CB的中点，所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，因此EF=BD，即BD=2EF．【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．2．（2015春?天津校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】由于E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，利用中位线定理，GF=AD，GE=BC，又因为AD=BC，所以GF=GE．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．∴GF=AD，GE=BC．又∵AD=BC，∴GF=GE，即△EFG是等腰三角形．【点评】本题通过给出的中点，利用中位线定理，证得边相等，从而证明等腰三角形，是一道基础题．3．（2015秋?青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定．菁优网版权所有【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，MN∥BC且MN=BC，从而得到EF∥MN且EF=MN，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．【解答】解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．4．（2015春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE 于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN．同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论．【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．5．（2015春?富顺县校级月考）如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【解答】证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB=∠DMB=90°，∵BM平分∠ABD，∴∠ABM=∠DBM，在△ABM与△DBM中，，∴△ABM≌△DBM（asa），∴AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，∴MN=DE=（DB+BC+CE）=（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BA C，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．（2014?丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．【考点】三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．【解答】证明：取AD的中点G，连接EG，FG，∵G、F分别为AD、CD的中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF=AC，同理可得，GE=BD，∵AC=BD，∴GF=GE=AC=BD．∴∠GFN=∠GEM，又∵EG∥OM，FG∥ON，∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，∴OM=ON．【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．8．（2013?永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。

专题03 三角形的中线与面积

专题03 三角形的中线与面积

专题03 三角形的中线与面积【专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．思维索引例1．(1)如图，△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为DF 的中点．①作出△AED 中的高AH ；②连接BF ，当AH ＝4，DF ＝5时，求△BDF 面积．DABECF(2)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB ＝15，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t 秒． ①当t ＝ 时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分；②当t ＝5时，CP 把△ABC 分成的两部分面积之比是S △APC ︰S △BPC ＝ ； ③当t ＝ 时，△BPC 的面积为18．ACBB CA备用图例2．如图1，在△ABC 中，中线AM 可以将△ABC 分成两个面积相等的三角形，即S △ABM ＝S △ACM ．(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD 分成4个面积相等的小三角形； (2)如图4，在四边形ABCD 的边上找到一点E ，使得线段AE 将四边形ABCD 分为面积相等的两部分．DABCC BADM AB CDABC图1图2图3图4例3．(1)已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，P 是AD 上的一点，若△ABC 的面积为s ，①当点P 是AD 的中点(即PD ＝21AD )时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)； ②当PD ＝31AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 的代数式表示)；③当PD ＝n1AD 时，△PBC 的面积＝ (用含s 、n 的代数式表示)． A PC(2)如图，△ABC 的面积为12cm 2．D 是AB 边的中点，E 为AC 边上一点，且AE ＝2EC ．O 为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为acm 2，△CEO 的面积为bcm 2，求a －b ．OE BDCA例4．(1)如图1，在△ABD 中，BE 是△ABD 的中线，则有S △ABE ＝ S △ABD ．(2)在四边形ABCD 中，E 是AD 边上的动点，分别连接AC 、BD 、EB 和EC ，设△EBC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，△DBC 的面积为S 3． ①如图2，当AE ＝21AD 时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系，并写出求解过程； ②如图3，当AE ＝n1AD (n 表示正整数)时，试探究S 1，S 2，S 3之间的关系． (直接给出答案，不必求解过程)DABEC CBADEBAD E 图3图2图1素养提升1．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AD 、CE 边的中点，且24BEF S cm ∆=，则ABC S ∆为（ ）A .21cmB . 22cmC . 28cmD . 216cm2．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△BEF 的面积分别为,ABC BEF S S ∆∆，且12ABC S ∆=，则BEF S ∆=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点F ，已知FB=FD ，FC=2FE .若△BFC 的面积为2，则四边形AEFD 的面积等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7CABDBB第1题图 第2题图 第3题图4．如图，△ABC 三边的中线AF ，BD ，CE 的公共点为G ，若12ABC S ∆=，则图中△BEG 与△CDG 的面积和是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5BCBFB第4题图 第5题图 第6题图5．如图，G 为△ABC 内一点，连接AG 、BG 、CG 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点F 、D 、E ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC 的面积为（ ） A ．300 B ．315 C ．279 D ．3426．如图，AE 、BD 是△ABC 的两条中线，AE 、BD 交于F ，则△BEF 和△AFD 面积的大小关系是_______________.7．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点G ，GF ⊥BC ，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE 的面积是_________.8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任意一点，点F 是线段AD 的中点，点E 、点G 分别为BF 与CF 的中点，则:ABC EFGD S S ∆四边形=_____________.9．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为122cm ，则△ABF 的面积为___________2cm .EDFGCABFEB第7题图 第8题图 第9题图10．如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC=6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE=2cm ，动点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E .当△APE 的面积等于202cm 时，则点P 运动的时间________________s .CDFEBC第10题图 第11题图11．如图，已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2：3的三个三角形。

解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习

解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
【例 2】已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.

三角形中线问题的三种解法

三角形中线问题的三种解法

三角形中线问题的三种解法有关三角形中点、中线、中位线等问题，经常要添加适当的辅助线，本文列举数例加以剖析，共读者参考.一、条件中有三角形的中线时，一般作中线的延长线，使延长部分等于中线长,得到以中线（中线的延长线）和三角形的半边长为边的两个全等三角形.例1.在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是 ( )(A)1＜AB＜29; (B) 4＜AB＜24;(C) 5<AB<19; (D) 9<AB<19;解：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连结 CE，则AB= CE，且 2×7－5＜CE＜2×7+5，即 9 ＜CE＜ 19，所以选D .例2.已知：如图2，在△ABC中,AD为BC边上的中线，BE交AC于E，交AD于F，若 AC = BF.求证：AE = EF证明：延长AD 到 M，使 DM = AD，连结 BM .则△ADC≌△MDB，∴ AC = BM ，又 AC = BF.∴ BM = BF，∴∠M = ∠BFM ，又∠CAD=∠M ，∠AFE =∠BFM ，∴∠ CAD = ∠AFE，即∠ EAF=∠AFE.∴ A E = EF .二、条件中仅有三角形一边的中点或一条线段的中点，但不构成三角形的中线时，可构造以中点为对称中心的中心对称三角形例3 已知：如图,△ABC中, AD平分∠BAC,EF∥AB交BC于E、交AD于F,若 DE = DC.求证：EF = AC.证明延长FD到点M，使DM=DF，连结CM，又由 DE = DC. 得△EDF≌△CDM，∴CM = EF ，∴∠M=∠3∵EF∥AB ，∴∠3=∠1，∴∠M =∠1，又∠1=∠2 ，∴∠M=∠2， AC = CM，又 CM = EF ∴ EF= AC.例4. 如图，已知M为△ABC 的边BC的中点，AF为过A的任意射线，作BF⊥AF于F，作CE⊥AF于E，连接ME、MF，求证：∠MEF =∠MFE.证明：延长FM、CE交于以点G，由BF∥CE得 :∠1=∠2，又∠BMF =∠CMG， MB = M C ，∴△BMF≌△CMG，∴ MF = MG，即ME 是Rt△GEF斜边GF是的中线，∴ ME = MF，∴∠MEF =∠MFE.评析：本题中，M是△ABC的中点，而没有中线，所以联想到作以M为对称中心的三角形，问题迎刃而解.三、构造三角形的中位线例5 .已知 :如图5，四边形ABCD中，AD = BC，E、F分别是 DC、AB的中点，直线EF分别与 BC、AD交于 G、H. 求证：∠AHF=∠BGF分析：因∠AHF 和∠BGF 不在同一个三角形中，也不存在相应的全等三角形 . 联想到为此，E、F分别是 DC、AB的中点，可连结AC，再取AC的中点，即可得两条中位线ME、MF.那么，易得∠1=∠H，∠2=∠BGF.(以下略)例6. 如图，已知AD是△ABC的中线， AE是△ABD的中线，BA=BD，找出AE和AC 之间的关系，并证明你的结论 .结论：AC= 2AE.（1）取AC的中点M，则DM∥AB，且 DM = 1/2AB = 1/2BD， DE=1/2BD 简证：∴ DM = DE，（2）∵ DM∥AB，∴∠1= ∠BAD，∵ BA = BD，∴∠2 = ∠BAD，∴∠1=∠2，那么△ADE≌△ADM，∴ AM =AE，即 1/2AC = AE，∴AC = 2AE.附练习题1.已知△ABC中, AB = 5, AC = 3,则中线AD的范围为____，2.如图7, 在△ABC中，AB=5cm,AC=3cm,D是BC的中点，且AD⊥AC，求AD的长（勾股定理）.略解：延长AD至E，使 DE =AD，设 AD = DE = x，则(2x)2 +32 = 52 ,解得 x = 2，即 AD = 2.3.已知：如图8，在△ABC中, AD为BC边上的中线，BE交AC于E，交AD于F，若A E = EF，求证：AC = BF.4.如图9：△ABC中, AD平分∠BAC，F为BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于G，求证：GB = CE. [提示：延长GF到 M，使 FM = GF，连结CM ]5.如图10，在△ABC中,∠ACB=90°，AD为BC边上的中线， E为AD的中点, CE的延长线交AB于F，FG∥AC交AD于G，求证: FB =2CG.6.如图11，已知△ABC中，∠C = 90°， AC = 2cm , ∠B =15°, 作 BA的中垂线 DE交 BC于E，求BE的长.。

全等三角形专题——倍长中线简化版

全等三角形专题——倍长中线简化版

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全等三角形专题 ——倍长中线
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造初全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，下面举例子说明。

一、证明线段不等
1、如图，在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，求证：2AB AC AD +f
二、证明线段相等
2、如图，在ABC V 中，AB AC f ，E 为BC 边的中点，AD 为BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF CG =
3、已知如图，ABC V 中D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AC 与BE 交于点F ，且EA EF =,求证：BF AC =
B。

三角形的中线定理

三角形的中线定理

三角形的中线定理三角形的中线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段。

根据三角形的中线定理，三角形的三条中线相交于同一点，且这个点离三角形三个顶点的距离相等，将这个点称为三角形的重心。

在本文中，我们将讨论三角形的中线定理以及其相关性质。

一、中线的定义和性质中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

对于任意三角形ABC，连接顶点A和对边BC的中点D，连接顶点B和对边AC的中点E，连接顶点C和对边AB的中点F，则线段DE、EF和FD三条中线相交于同一点G，如下图所示。

[图]根据三角形的中线定理，有以下性质：1. 三条中线的交点G称为三角形ABC的重心，记作G。

2. 重心G到三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。

3. 重心G将每条中线分成2:1的比例，即GD:DG=1:2，GE:EG=1:2，GF:FG=1:2。

二、证明中线相交于同一点为了证明三角形的三条中线相交于同一点，我们分别取两条中线的交点为G和G'，再连接顶点C和对边AB的中点F。

设中线DE与中线EF的交点为P，中线FD与中线EF的交点为Q，则需要证明P和Q 重合于G。

1. 假设P和Q不重合，即P≠Q。

2. 由于中线的定义，可知DE=2EP、EF=2FP、FD=2FQ。

3. 由此可以得到△DEP∼△FEQ，且比例为1:2。

根据相似三角形的性质，可得DE∥FQ。

4. 同理，可得EF∥DP、FD∥EP。

5. 根据平行线的性质，由DE∥FQ、EF∥DP、FD∥EP可得△PDE和△QEF全为平行四边形。

6. 设两平行四边形的交点为R，则可得四边形ERPD和RFQF全为平行四边形。

7. 根据平行四边形的性质，ER=PD、RF=QF。

8. 由于△EDP和△FEQ相似，可得ED:DE=FE:EQ，即2:1=2:EQ，解得EQ=EQ。

9. 同理，可得DE=FP、EF=FQ。

10. 综上所述，可得DE=FP=FQ=∑，即△DFP和△FQE全为等边三角形。

11. 注意到FP=QF=EQ，可得△DFP和△FQE全为同一等边三角形。

完整版三角形的中线例题

完整版三角形的中线例题

每日一题《三角形的中线》10月1日课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:如图〔，△ ABC中，若AB=8, AC=6求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流, 得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ ADC^^ EDB的理由是______________A. SSSB. SASC. AASD. HL(2)求得AD的取值范围是A. 6 V AC X 8B. 6< AD<8C. 1 V AC X 7D. K ADC7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,人。

是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF 求证：AC=BF 门)解；■「在凸蛊DC和皿中J AADC— AB DE ,[BD= CDAADC^ AEDE ( SAS),故选(?)解：匚由(1)如；AADC^ iEDE,■\BE=AC=0. AE=2AD,丁在人直EE中，AB=8S由三角形三边关系定理得：8-£<2AD<8+S)KAD<?f故选G⑶证明：延弋AD 到lb 使AD-DM*连撲目兀m 昙△直BC 中线，ABB-DCi［在 AADG ft AIDE 中r BD=DC* ^ADC=. AD —DM二 AABC^ AJlDEi,A BM=ACt 上匚AD=ziM.■-*AE=EF f■\ ZCAD=ZAFE*■/ ZAFE=ZEFDi二 ZEFD=ZCAD=2：W ? ABF=BI=AC FEfAC=BF.10月2日1如图，AD >^ ABC 中BC 边上的中线，求证： AD< _ ( AB+AC .2证明；如圏延长AD 至E,使AD 二DE 】连播EE.在EACD 和AEBD 中：DC=DB彳 ZlADC^AD=DE/■ iACJ^iEBD (SAS),/■ AC=8E 〔全尊三角形的对应边相等〕，<5AABE=I 3 由三角理的三边关系可l=|AE<AE+BE )ep2AD<AB+AC, A AD<^(AB4AC )-10月3日如图，人。

三角形专题讲座1——三角形的中线与面积

三角形专题讲座1——三角形的中线与面积

三角形专题讲座一三角形的中线与图形面积一、回顾复习：例1、如图，、如图，AD AD 是BC 边上的中线，则BD=BC BC，△，△，△ABD ABD 的面积的面积=_____=_____=_____的面积．的面积．【小结】三角形的中线不仅平分对边，还平分三角形的面积。

二、变式提高例1、如图，在△、如图，在△ABC ABC 中，中，D D 、E 分别是BC BC、、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则S 阴影等于( ) A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2 例2、在△、在△ABC ABC 中,D 是BC 上的点上的点,,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,=12,那么那么S △ABC 等于等于( ) ( )A.30B.36C.72D.24巩固练习：1.如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．2. 2. 如图如图如图,,四边形ABCD 的两条对角线AC AC、、BD 交于点E ，延长AC 到点G ，使CG=AE CG=AE，延长，延长DB 到点F ，使BF=DE BF=DE。

S ΔEBC =6cm 2,S 四边形ABCD =103S ΔEBC ，求S ΔEFG 。

AB CE FDFE D C B A三角形专题讲座一三角形专题讲座一三、拓展延伸：1.如图，小李承包了一块植草的三角形草地，他把草地分成东、南、西、北四块，一段时间后，他发现东边的草可牧5只羊，南边的草可牧10只羊，西边的草可牧8只羊。

问：在北边草地可牧几只羊？只羊。

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题

三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。

2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。

【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。

由于∠BAD=30°，所以x=30°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。

3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。

【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。

由于∠BAD=80°，所以x=80°。

根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。

由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。

再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。

所以∠ABC=∠ACB=160°。

4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。

决战中考之三角形专项突破专题02 三角形中线段的问题(学生版)

决战中考之三角形专项突破专题02 三角形中线段的问题(学生版)

专题02 三角形中线段的问题知识对接考点一、三角形中的线段三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点补充：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.专项训练一、单选题1．（2021·湖南长沙·）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．三角形的稳定性D ．垂线段最短2．（2021·浙江）如图，在矩形ABCD 中，点F 为边AD 上一点，过F 作//EF AB 交边BC 于点E ，P 为边AB 上一点，PH DE ⊥交线段DE 于H ，交线段EF 于Q ，连接DQ ．当AF AB =时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）A ．EFB ．DEC ．PHD ．PE3．（2021·上海金山·九年级二模）已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、acm ，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a 的取值可以是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．7cm4．（2021·青海西宁·九年级一模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．某个数的绝对值大于0B ．a -一定是负数C ．五边形的外角和等于540︒D ．长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形5．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）．A ．方差越大，数据波动越小B ．两直线平行，同旁内角相等C ．长为3cm ，3cm ，5cm 的三条线段可以构成一个三角形* 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六感D ．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本 6．（2021·江苏九年级一模）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） 本号资料皆来源于微信@公众号：数学第六感A ．3，7，5B ．4，8，5C ．5，12，7D ．7，13，8 7．（2021·全国）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A．53B．73C．83D．1038．（2021·山东）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．349．（2021·全国）若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 10．（2021·福建）如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC ，则线段GE的长为（）A．6B．4C．5D．3二、填空题11．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）过△ABC的重心G作GE△BC交AC于点E，线段BC＝12，线段GE长为________．12．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．13．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，△ACB＝90°，正方形BDEF BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．14．（2021·浙江杭州市·九年级模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．15．（2021·湖北襄阳市·）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为_______________．三、解答题16．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．（3）若四边形ABOC 为平行四边形△求m 的值．△若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．△过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．17．（2021·广西南宁十四中九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、()4,4C -．（1）请画出ABC 绕点A 顺时针旋转90 得到的11AB C △；（2）若点D 在线段11B C 上，且直线AD 将11AB C △分成面积相等的两部分，请画出线段AD ，并写出D 的坐标．18．（2021·陕西西安·）问题提出（1）如图△，在Rt △ABC 中，△A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在BC 上找一点D ，使得AD 将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD ，并求出AD 的长度； 本号资料@皆来源于微信公众号：数#学第六感问题探究（2）如图△，点A 、B 在直线a 上，点M 、N 在直线b 上，且a △b ，连接AN 、BM 交于点O ，连接AM 、BN ，试判断△AOM 与△BON 的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图△，刘老伯有一个形状为筝形OACB 的养鸡场，在平面直角坐标系中，O （0，0）、A （4，0）、B （0，4）、C （6，6），是否在边AC 上存在一点P ，使得过B 、P 两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP 的表达式；若不存在，请说明理由．19．（2021·陕西九年级一模）问题提出：（1）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝4，在BC 上找一点D ，使得线段AD 将△ABC 分成面积相等的两部分，画出线段AD ，并写出AD 的长为 ．问题探究：（2）如图2，点D是△ABC边AC上一定点，在BC上找一点E，使得线段DE将△ABC 分成面积相等的两部分，并说明理由．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB＝20米，AD＝100米，△A ＝60°，△ABC＝150°，△BCD＝120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．20．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心）（数学经验）三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．（经验发展）面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．（结论应用）（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．（迁移应用）（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．21．（2021·江苏南京·）已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图△中，点O是△ABC的内心；（2）在图△中，点O是△ABC的重心．22．（2021·陕西九年级二模）（1）如图1，AB是△○的弦，点P在△○上，当△P AB是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置；（2）如图2，△○的半径为4，A、B为△○外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），OA=，P为△○上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为邻边作平行四边形且8P ABC，求BC最小值；（3）如图3，A、B是△○上的两个点，过A点作射线AM AB⊥，AM交△○于点C，若3AB=，AC=，点D是平面内的一个动点，且24CD=，E为BD的中点，在点D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．23．（2021·黑龙江九年级一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝；（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD△AB，△CDB的面积为6，直接写出△CBD的正切值．。

直角三角形斜边上的中线专题训练

直角三角形斜边上的中线专题训练

直角三角形斜边上的中线专题训练LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】CBD直角三角形斜边上的中线班级：_____________ 姓名：_____________1、已知Rt △ABC 中，斜边AB=10cm ，则斜边上的中线的长为______2、如左下图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF 的长为_____3、如右上图：已知在△ABC 中，∠C=25°，点D 在边BC 上，且∠DAC=90°，AB=12DC ． 则∠BAC 的度数为_________4、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠CDA=80°，则∠A=_____ ∠B=_____（第4题） （第5题） （第6题）5、如图，△ABC 中，∠C=90°，D 在CB 上，E 为AB 之中点，AD 、CE 相交于F ，且AD=DB ．若∠B=20°，则∠DFE=（ ）A 、40°B 、50°C 、60°D 、70°6、如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ） A 、20 B 、12 C 、14 D 、137、如图，已知△ABC 和△ABD 均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E 为AB 的中点，求证：CE=DE ．NM EDCBA NMDCBA8、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE9、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。

MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想10、如图，AB 、CD 交于点E ，AD=AE ，CB=CE ，F 、G 、H 分别是DE 、BE 、AC 的中点（1）求证：AF ⊥DE （2）求证：FH=GH。

三角形的中线例题

三角形的中线例题

每日一题 《三角形的中线》A. SSS B . SAS C . AAS D . HL(2)求得AD 的取值范围是A. 6V AD X 8 B . 6W AD<8 C . 1< AD< 7 D . K AD<7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已 知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,人。

是厶ABC 的中线，BE 交AC 于E,交AD 于F ,且AE=EF 求证：AC=BF(1)解：丁在 iADC 和△EDE 中 (AD=DE{ AADC — ZBDE ,[BD =CDz. AADC^ AEDE ( SAS),故选旳(2)解：丫由〔1〕知匕 AADC^ AEDB,AE=2AD,:在A ABE 中，AB=S,由三角形三边关系定理得i 3-6<2AD<8+6,Z. 1<AD<7,故选：10月1日课外兴趣小组活动时, 老师提出了如下问题: 如图〔，△ ABC 中， 得到了如下的解决方法： (1)由已知和作图能得到△ AB=8, 延长 图2 AC=6求BC 边上的中线 AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流, AD 到点E,使DE=AD 请根据小明的方法思考：ADC^A EDB 的理由是T 在A ADC 和△ IDB中^ADC — .AD=DM% ABM^AC* ZCAD=ZM 7Z. ZCAD=ZAFE,T ZAFE=ZBFD,/■ ZBFD-ZCAD=ZlI fAEF=EM=AC-即AC=BF.10月2日1如图，AD >^ ABC 中BC 边上的中线，求证： AD< （ AB+AC .2证明i ；如图延长AD 至E,便AD=DE,连接BE.在AACD 和4EBD 中!(DC^DBZJDC=Z£D5[AD=DE/. AMD 監 AEBD CSAS),A AC=BE （全等三角形的对应边相等〕，在A ABE 中，由三角形的三边关系可得AE<AB+BE S 即2AD<AB+ASAAD<~ （AB+AC ）・（3）证明;延长AD 到使AD=DM,连接吕血/.ED=DC,10月3日如图，人。

八年级数学全等三角形 专题：利用中线构造全等

八年级数学全等三角形 专题：利用中线构造全等

八年级数学培优第1课时全等三角形的构造（关于中点）1.如图△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，(1)求证：()12AD AB AC <+. (2)若AB=4，AC=3，则AD 的范围是 。

2.已知：在△ABC 中，AD 是边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证:AF=EF.3.如图，已知BD 平分ABC ∠，AD=DE ，EF ∥BC,求证：AB=EF 。

4.如图，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，FM ∥AD,交AB 于E 。

求证：BE=CF 。

F E DC B A FE DC B A E FM D C B AD C B A5.如图，在△ABC 中，AB=AC,点E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长AC 到D ，使CD=BE ，连结DE 交BC 于F ，求证:EF=FD 。

6.如图，△ABC 是等腰直角三角形，090C ∠=,AC=BC,点D 从点A 出发，沿线段AC 向点C 运动，（不与C 重合），点E 同时从点B 出发，沿线段CB 的延长线运动，且他们的运动速度相同，连DE 交AB 于点G 。

（1）求证：DG=EG 。

（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，FG 与AB 总能保持某种数量关系？若是，请求出这种数量关系，并证明。

若不是，请说明理由。

7.如图，已知：AD 是△ABC 的中线，AE ⊥AC,AF ⊥AB,且AE=AC,AF=AB ，试判断AD 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由。

8.已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分,A B ∠∠，点E 在CD 上。

求证：（1）点E 为CD 的中点；（2）BC+AD=ABFE DC BAG FE DC BA F ED C B A EDCBAEDCBA9.如图，在△ABC 中，点E 是BC 的中点，DE ⊥EF 交AB 于D ，交AC 于点F ，连结DF ， （1）请你判断BD+CF 与DF 的大小关系，并证明你的结论。

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中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积；
1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线
2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形
有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）
3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．
4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．
第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线
D
A
B
C
N D
C
B
A
M
F E
D
C
B
A
方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE
方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN
方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
D
C B
A
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE
例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC
于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
提示：
方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
提示：倍长AE 至F ，连结DF
证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）
例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD
【融会贯通】
第 1 题图 A
B F
D E
C
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+
第 14 题图
D
F C
B
E
A
3、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE
提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD
4．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，动点E 在AB 边上，DF ⊥DE 交AC 于F ，连接EF ，猜想：BE+CF 与EF 的大小关系为 ，并请加以证明．
5．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．
（1）探究PG 与PC 的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG 与PC 的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．
6．如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 、△DCE 都为等边三角形，M 为BD 的中点，N 为AE 的中点，求证：△CMN 为等边三角形．
E A B C D A
B
C M T
E
第6题图第7题图
7．如图，在△ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC 分别交于D、E，求证：BD+CE＞DE．
第三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为（）A．5 B．10 C．15 D．20
第1题图第2题图第3题图
2．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．
8．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．
第四、两边中点连线，为三角形的中位线——平行于第三边且等于第三边的一般；（一）、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少
变形题：已知三角形的三边为a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少
（二）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形
变形题1：已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形
F B
C
变形题2：已知E为平行四边形ABCD边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE，分别交BC、BD于F、G，连结AC交BD于O点,连AF。

求证：AB=2OF
E D
B
A
（三）如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线相交于M、N。

求证：∠BME=∠CNE
B
变形题：在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点,连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由。

C
第五、三中线交于一点，该点称为“重心”，将中线长度分为2∶1；
三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。

证法1：取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。

（如图1）
证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。

⑴求线段长
例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。

⑵求面积
例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。

练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。

2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD 的面积为。

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