数学建模习题——线性规划教学提纲
线性规划教学大纲
线性规划教学大纲引言：线性规划是数学中的一种重要方法，用于解决优化问题。
本教学大纲旨在介绍线性规划的基本概念、原理和应用，使学生能够理解并运用线性规划解决实际问题。
一、课程目标本课程旨在使学生：1. 理解线性规划及其应用领域；2. 掌握线性规划中的基本概念和术语；3. 理解线性规划模型的构建过程；4. 掌握线性规划模型的求解方法；5. 能够运用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划基本概念a. 线性规划的定义和特点；b. 线性规划的基本形式和标准形式；c. 线性规划的约束条件和目标函数。
2. 线性规划模型的构建a. 确定决策变量；b. 建立决策变量与目标函数之间的关系；c. 建立决策变量与约束条件之间的关系。
3. 线性规划模型的求解方法a. 图形法：介绍线性规划模型在二维平面上的图形表示方法；b. 单纯形法：介绍单纯形表和单纯形算法的基本原理；c. 整数规划：介绍整数规划模型的特点和求解方法。
4. 教学案例分析通过实际案例分析，引导学生掌握线性规划的应用技巧，并能够独立解决实际问题。
三、教学方法1. 讲授结合案例分析：通过理论讲授和具体案例分析相结合的方式，引导学生深入理解和掌握线性规划的基本原理和方法。
2. 互动式教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题并与教师和其他同学进行交流和互动，促进思维的碰撞和深入思考。
3. 实践操作：安排一定的实践操作环节，使学生能够亲自动手建立线性规划模型和运用求解方法解决实际问题。
四、教学评估1. 平时成绩：包括课堂表现、参与讨论和实践操作。
2. 作业成绩：布置相关作业，旨在巩固学生对线性规划的理论知识和求解方法的掌握。
3. 期末考试：考查学生对线性规划的基本概念、模型构建和求解方法的理解和应用能力。
五、教材和参考书目主教材：1. 《线性规划基础》，作者：XXX，出版社：XXX。
参考书目：1. 《线性规划与整数规划》，作者：XXX，出版社：XXX。
2. 《运筹与优化导论》，作者：XXX，出版社：XXX。
数学建模教案--线性规划PPT课件
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地
产地
B1
B2
B3
B4 产量
4
12
4
11
A1 8
8
16
2
10
3
9
A2
64
10
8
5
11
6
A3
8
14
22
销量
8
14
12
14
48
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝372
表上作业法
1、初始基可行解－－沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排 物品调运时，却可能导致不得不采用运费很高的其他 供销点，从而使整个运输费用增加。
ai b j
mn
min z
Cij xij
i1 j1
n
xij ai
i 1,2,...m
j 1
m
（Ⅰ ） xij bj
j 1,2,...n
i 1
xij 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
其中ai , b j Cij 0
运输问题及其数学模型
该模型是一个线性规划模型，可以用单纯形法 求解。但是变量数目非常多。如3个产地，4个销地。 变量数目会有19个之多。
(3)所有结构约束条件都是等式约束； (4)各产地产量之和等于各销地销量之和。 秩 ( A) =m+n-1 运输问题的基可行解中应包含m+n-1个基变量.
表上作业法
表上作业法是一种迭代法，迭代步骤为： 1、先按某种规则找出一个初始解(初始调运方案)； 2、再对现行解作最优性判别； 3、若这个解不是最优解，就在运输表上对它进行调整 改进，得出—个新解； 4、再判别，再改进； 5、直至得到运输问题的最优解为止。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。
数学建模之线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数学建模算法大全线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数学建模 线性规划模型
数学建模教案－线性规划模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：（1）全部截出长为698mm的甲件，一共可截出EQ F(4000,698) »5件，残料长为510mm。
（2）全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 E Q F(4000,518) »7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698 x + 518y £ 4000x ，y都是非负整数目标是使：z = EQ F(698x + 518y,4000) （材料利用率）尽可能地接近或等于1。
（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数： max z = EQ F(698x + 518y,4000)满足约束条件：698 x + 518y £ 4000 ， (1)x ，y都是非负整数 . (2)例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：x 1 + 2x 2£ 8 .同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4 x 1£ 164 x 2£ 12.该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。
数学建模测试地的题目-线性规划部分
313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。
模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。
写在作业本上。
按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据见下表：1、试建立获得最大产值的生产计划的线性规划模型。
2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。
习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。
这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。
问各种原料投放比例为多少能使成本最低？试建立线性规划模型。
习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。
且1张桌子必须配4把椅子。
已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。
本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。
（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。
习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。
问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。
数学建模第4讲线性规划
解 编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
2024/8/3
数学建模
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
010010
0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500];
To MATLAB (xxgh3)
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
x1
min z (6
3
4)
x2
x3
s.t.
1
0
1 1
1 0
x1 x2 x3
120
50
30 0 20
x1 x2 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120]; vlb=[30,0,20];
《建模方法教学资料》线性规划问题求解
06 线性规划问题求解的注意 事项与建议
初始解的选择
1
初始解的选择对线性规划问题的求解过程和结果 有很大影响。
2
初始解应尽量接近最优解，以减少迭代次数和避 免陷入局部最优解。
3
可以采用随机初始解、历史数据或启发式方法来 选择初始解。
迭代过程中的收敛性判断
在迭代过程中，需要不断判断算法是否收敛。
05 线性规划问题的实际案例 分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划问 题，主要涉及如何根据市场需求和资源 限制来优化生产过程，以最小化成本或 最大化利润。
VS
详细描述
生产计划问题通常需要考虑多种产品、多 个生产阶段和资源限制。目标函数可以是 成本最小化或利润最大化，约束条件包括 资源限制、产品需求和生产能力等。求解 方法包括线性规划、整数规划和动态规划 等。
线性规划问题通常表示为求解形如 mincTxmin_{x} c^T xminxcT 或 maxcTxmax_{x} c^T xmaxxcT 的最优化问题，其 中 c∈Rn,x∈Rnc in mathbb{R}^n, x in mathbb{R}^nc∈Rn,x∈Rn,c∈Rn,x∈Rn，并且约束条件可以 表示为 Ax≤bA^T x = bAATx≤b 或 Ax=bA^T x = bAATx=b。
目标函数
目标函数是线性规划问题的核心，它表示要优化的目标或要达到的目标状态。目标函数通常是一个关 于决策变量的函数，表示决策变量的取值与目标之间的关系。
目标函数可以是最大化或最小化一个或多个决策变量，以实现最优化的目标。在解决线性规划问题时 ，需要找到使目标函数取得最大或最小值的解。
03 线性规划问题的求解方法
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案一、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和方法。
2. 掌握线性规划模型的建立和求解。
3. 能够应用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划概述线性规划的定义线性规划的应用领域2. 线性规划模型线性规划问题的标准形式线性规划问题的约束条件3. 线性规划的求解方法单纯形法内点法4. 线性规划的应用实例生产计划物流优化5. 线性规划的扩展整数规划非线性规划三、教学方法1. 讲授法：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
3. 练习法：学生自主完成习题，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、PPT和教学资料。
2. 习题集。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引出线性规划的主题。
2. 讲解：讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例。
3. 练习：学生自主完成习题，教师进行解答和讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用线性规划解决问题的关键步骤。
5. 总结：回顾本节课的重点内容，提醒学生注意线性规划的适用范围和求解方法的选择。
教学反思：本节课通过讲解线性规划的基本概念、方法和应用实例，使学生了解了线性规划的基本知识和应用领域。
在教学过程中，要注意引导学生掌握线性规划模型的建立和求解方法，培养学生的实际问题解决能力。
也要注意线性规划的扩展内容，为学生进一步学习提供参考。
六、线性规划的单纯形法1. 单纯形法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 单纯形法的应用实例最大化利润最小化成本七、线性规划的内点法1. 内点法的原理和步骤基本思路迭代过程2. 内点法的应用实例最大化利润最小化成本八、线性规划的应用领域1. 生产计划原材料分配产品生产调度2. 物流优化运输问题库存管理九、线性规划的案例分析1. 案例一：生产计划问题描述模型建立求解过程2. 案例二：物流优化问题描述模型建立求解过程十、线性规划的扩展1. 整数规划基本概念求解方法2. 非线性规划基本概念求解方法教学反思：通过本节课的学习，学生应该能够掌握线性规划的单纯形法和内点法，并能够应用到实际问题中。
与线性规划有关的几何概型教学提纲
需等待码头空出,则满足x-y≥2
或y-x≥4,
设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件
B,画出区域
00
x 2 4, y 2 4,
yx4或x y2.
P(B)
12020 2
பைடு நூலகம்
12222
2
44
2
2
21.
2424
576 288
4．甲、乙两人约定上午7∶00至8∶00之间到某站乘 公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车 时刻分别为7∶20，7∶40，8∶00，如果他们约定， 见车就乘，求甲、乙同乘一车的概率．
1.(约会问题) 两人相约于傍晚 7 时到 8 时在公园见面，
先到者等候 20 分钟就可离去，设二人在这段时间内
的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求两人
能够见面的概率。
y
解：以 7 点为坐标原点， 60
S
小时为单位。x，y 分别表示
A
20
两人到达的时间，( x，y )
x
构成边长为 60的正方形S。 o
由几何概型的计算公式得，P= 即甲、乙同乘一车的概率为
2019 SUCCESS
POWERPOINT
2018年12月12日星期三7
2019 SUCCESS
THANK YOU
2018年12月12日星期三8
解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y, 则0≤x<24,0≤y<24且y-x≥4或y-x≤-4.
作出区域
00
x 24, y 24,
yx 4或yx4
设“两船无需等待码头空出”
为事件A,
则P(A)212202025. 2424 36
数学建模-线性规划
x2
P1
P2 P3 P4 P5
M
O点 Q点 R点 P点
B [P P 1 3 B [P 2 P 3
P ] x (0,1, 3, 0,16) 5 P ] x (4,1, 5, 0, 0) 3
T
T
R
P Q
B [P P 1 2
0
x1
最优解
数学建模之线性规划
单纯形算法举例
m in s .t z = -2 x 1 -3 x 2 -x 1 + x 2 2 x1 +2x 2 10 3x1 +x 2 15 x1, x 2 0
min z min( z ) max z C X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束 条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非 负变量（称为松弛变量）使其变为等式； （3）对于无约束的决策变量：譬如 x (, ,则令 )
x x x,使得 x, x 0 ,代入模型即可。
n
,称之为决策变量， B j 产量为 x j ( j 1, 2, , n)
所得的利润为 z ,则要解决的问题的目标是使得总利润
函数
z c j x 有最大值。决策变量所受的约束条件为 j
j 1
数学建模之线性规划
aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, , n) j
数学建模
线性规划问题
数信学院 任俊峰
2012-7-9
数学建模之线性规划
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的 方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、 “最小”、“最高”、“最低”、“最多”等等。
数学教案数学建模中的线性规划问题
数学教案数学建模中的线性规划问题【教案】数学建模中的线性规划问题引言：在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
通过对实际问题进行数学建模，可以将实际问题抽象化为线性规划问题，并利用数学方法解决。
本教案将以线性规划问题为主题，介绍线性规划的基本概念、模型建立和解决方法。
一、线性规划的基本概念线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（最小）值的一组变量取值。
线性规划的基本组成包括：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是需要求解的未知数，也是问题中需要决策的部分。
例如，假设某个问题需要制定生产计划，那么可以定义生产计划为决策变量。
2. 目标函数目标函数表示需要优化的目标，可以是最大化或最小化某个指标。
例如，假设某个问题中需要最小化生产成本，那么可以将成本作为目标函数。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制，通常包括等式约束和不等式约束。
例如，某个问题中可能对生产数量有限制，那么可以将这个限制作为约束条件。
二、线性规划模型的建立在建立线性规划模型时，需要明确问题中的决策变量、目标函数和约束条件。
根据具体问题的要求，可以将其转化为数学表达式。
1. 决策变量的定义根据问题中的需要，确定决策变量的含义和取值范围。
例如，在某个生产计划问题中，决策变量可以表示各种产品的生产数量。
2. 目标函数的建立根据问题的优化目标，确定目标函数的表达式。
例如，在最小化生产成本的问题中，可以将成本表示为决策变量的线性组合。
3. 约束条件的制定根据问题中对决策变量的限制，确定约束条件的表达式。
例如，某个问题中对生产数量有限制，那么可以将这个限制表示为决策变量的线性组合。
三、线性规划问题的求解求解线性规划问题的方法有多种，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法是一种逐步迭代的方法，通过改变决策变量的取值，逐步接近最优解。
1. 单纯形表单纯形表是单纯形法的主要工具，用于辅助计算。
数学建模教案----线性规划
价值系 数
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
s.t. … … …
第i 种资 源的拥有
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm 量
xj 0(j=1,…,n)
技术系数或 工艺系数
8
线性规划数学模型
线性规划的简写式
n
max(min) z c j x j
月份
所需仓库面积
合同租借期限 合同期内的租
费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
线性规划数学模型
例2
月份
1
2
所需仓库面积
15
10
合同租借期限 1个月 2个月
3 20 3个月
4 12 4个月
合同期内的租费 2800
4500
6000
7300
j1
n
st.
j 1
aij
x
j
bi
(i
1,2,, m)
x
j
0(
j
1,2,, n)
线性规划数学模型
线性规划问题应用
市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划)
生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”)
库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
数学建模第1章线性规划
数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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基础部数学教研室
数学 建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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基础部数学教研室
数学 建模
解 （1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾 犏- 2 犏 臌1
5 3
-1 1
轾 犏x1 犏 犏x2 犏 臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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基础部数学教研室
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
基础部数学教研室
数学 建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
线性规划习题课教案
线性规划习题课教案一、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和方法。
2. 掌握线性规划模型的建立和求解。
3. 能够应用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划概述线性规划的定义线性规划的应用领域2. 线性规划模型线性规划的数学模型线性规划的约束条件线性规划的目标函数3. 线性规划的求解方法图形法单纯形法内点法三、教学重点与难点1. 教学重点：线性规划的基本概念和方法。
线性规划模型的建立和求解。
2. 教学难点：线性规划模型的求解方法（单纯形法、内点法）。
四、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引出线性规划的概念和方法。
2. 讲解：讲解线性规划的基本概念和方法，举例说明。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学内容。
4. 讨论：分组讨论实际问题，建立线性规划模型并求解。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对线性规划基本概念和方法的理解程度。
2. 练习题：评价学生对线性规划模型的建立和求解能力。
3. 实际问题解决：评价学生应用线性规划解决实际问题的能力。
六、教学方法1. 案例分析：通过分析具体的线性规划案例，让学生理解线性规划的应用场景和求解过程。
2. 互动讨论：鼓励学生积极参与讨论，提出问题和建议，增强对线性规划的理解。
3. 练习题：提供丰富的练习题，让学生通过实践巩固所学知识。
七、教学资源1. 教案、PPT：提供详细的教学内容和图表，方便学生理解和复习。
2. 练习题库：提供多样的练习题，满足不同学生的学习需求。
3. 案例资料：提供真实的线性规划案例，帮助学生了解线性规划在实际中的应用。
八、教学进度安排1. 课时：根据教学实际情况，安排适当的课时进行线性规划的教学。
2. 教学进度：按照教案和教学计划，有序地进行线性规划的教学，确保学生掌握基本概念和方法。
九、教学反思与改进1. 课堂反馈：关注学生的学习反馈，了解他们在线性规划学习过程中的困惑和问题。
2. 教学评价：根据学生的练习和实际问题解决情况，评价教学效果，发现问题并及时改进。
线性规划问题的数学模型讲义
数学建模方法
2019年1月17日星期四
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一 、合理下料问题
例1. 某工厂生产一型号机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和 1.5米长的三种轴分别为1、2、1根，这些轴需要用同一种圆钢 制作, 圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下 料，才能使得用料最省？ 解 关于下料方式的分析如引例，下料方式见表1-1，
通过上述分析，建立线性规划问题数学模型主要考 虑以下几个方面：
数学建模方法
2019年1月17日星期四
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建立线性规划问题数学模型的三个基本要素: ①决策变量:明确问题中有待确定的未知变量(称为决 策变量)，并用数学符号来表示； ②约束条件:明确问题所有限制条件(约束条件)且用决策 变量的一些表达式(线性等式或线性不等式)来表示； ③目标函数:明确解决问题的目的，并用决策变量的线 性函数(称为目标函数)表示，按问题的要求，求其最大 值或最小值。 从我们所建立的数学模型来看，目标函数是决策变量 的线性函数、约束条件是决策变量的线性等式或线性 不等式,故我们称此为线性规划(Linear Programming, 简记为LP)模型。
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Ch1线性规划问题2 线性 Ch2单纯形方法2 Ch3对偶线性规划问题2 Ch4运输问题2 Ch5整数规划2 建模案例(自学+点评)
数学建模方法
2019年1月17日星期四
规划
模型 及应 用10
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一、两个变量线性规划 §1-1 LP问题数学模型 问题的图解法步骤 [LP背景介绍] 引例 二、线性规划解的汇总 一、合理下料问题 §1-3 LINGO软件简介 二、资源合理利用问题 一、软件简介 （资源的最优配置） 二、举例说明 三、配料问题(食谱问题) 四、运输问题
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数学建模习题——线
性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此
表四
问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400
225 1.4()9154325(),,,,0
M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥
利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];
A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];
b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
（2）设借到资金y 万元，则由题设条件可知：
12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0450.027********
225 1.4()9154325(),,,,00100
M x x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y =++++-++++≤+++≥++++≤++++++++≤++++≥≤≤
利用MATLAB 求最优解，代码如下
c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045 0.0275]; A=[1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1];
b=[1000;-400;0;0;100]; Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
即 12345240,0,810,0,50,100x x x x x y ======
所以经理应借出100万元用于投资，应投资A 证券240万元，B 证券0万元，C 证券810万元，D 证券50万元，最大利润为30.07万元。
（3）在1000万元资金的条件下：
（Ⅰ）若证券A 的税前收益增加为4.5%，根据MATLAB 运行结果(运行结果与第（1）问的运行结果相同)可知所投资的各种证券值不变，所以投资不用改变。
（Ⅱ）若证券C 的税前收益减少为4.8%，MATLAB 运行结果如下：
即12345336,0,0,648,16x x x x x ===== 所以投资应该改变。