三角函数的图象与性质(说课课件)
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三角函数的图象与性质ppt课件
(π，－1)
，32π，0，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象和性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域Leabharlann RRxx∈R，且x≠
kπ＋π2，k∈Z
值域 周期性
[－1,1]
[－1,1]
R
周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 2kπ(k∈Z， 周期是 kπ(k∈Z 且
系中画出[0,2π]上 y＝sinx 和 y＝cosx 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足 sinx＝cosx 的 x
为
π 4
，
5π 4
，
再
结
合
正
弦
、
余
弦
函
数
的
周
期
是
2π ， 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z .
解法二：sinx－cosx＝ 2sinx－4π≥0，将 x－4π视为一个整体，由正弦函数 y＝sinx 的 图象和性质可知 2kπ≤x－4π≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π(k∈Z)．所以定义 域为
角度 2：三角函数的奇偶性和对称性 【例 3】 (1)已知 f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( D )
A.π B．－π C.π D．－π
2
24
4
(2) 函 数 f(x) ＝ sin
2x－π 6
的 对 称 中 心 为 _____k2_π_＋__1π_2_，__0_(_k_∈__Z_)___ ， 对 称 轴 方 程 为
___x_＝__3π_＋__k2_π_(k_∈__Z_)_______．
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数的图像与性质说课课件
本节课是数形结合思想方法的良好素材,数形结合是数 学研究中的重要思想方法和解题方法,因此，本节课在教 材中的知识作用和思想地位是相当重要的.
二.学 情 分 析
（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思
维在学习中占有不可替代的地位，所以本节要紧 紧抓住数形结合方法进行探索.
（2）本班学生对数学科特别是函数内容的学
可知：正弦函数图像每经过 2k (k Z) 单位长度就重复出现，所以
...... 6 ,4 ,2 ,2 ,4 ,6..... 都是函数的周期.
2k(kZ)
最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小整数， 那么这个最小整数就叫做f(x)的最小正周期 根据上述定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) 都是它的周期，最小正周期为2
1
6
4
2
0
2
4
x
-1
1、定义域 3、最小正周期 4、单调性 : 增区间 5、最值 当x=
余弦曲线
2、值域
减区间
时，ymin
当x= 6、奇偶性
时，ymax
[设计意图]：通过把学习任务转移给学生，激发学生的主体意识和成就 动机,通过自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流 ，最 终使学生成为独立的学习者 ，随着问题的解决，学生的积极性将被调动
单调区间为
2k
2
,2k
2
(k
Z
)
【设计意图】：通过列举正弦函数的几个
单调区间，最后归纳出函数所有的单调区 间，体现从特殊到一般的知识认识程 ，
培养学生观察、归纳的学习能力，有助于 以后理解记忆正弦型函数的相关性质.
思考：正弦函数的减区间是？ 当x取何值时，y取最值？
二.学 情 分 析
（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思
维在学习中占有不可替代的地位，所以本节要紧 紧抓住数形结合方法进行探索.
（2）本班学生对数学科特别是函数内容的学
可知：正弦函数图像每经过 2k (k Z) 单位长度就重复出现，所以
...... 6 ,4 ,2 ,2 ,4 ,6..... 都是函数的周期.
2k(kZ)
最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小整数， 那么这个最小整数就叫做f(x)的最小正周期 根据上述定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) 都是它的周期，最小正周期为2
1
6
4
2
0
2
4
x
-1
1、定义域 3、最小正周期 4、单调性 : 增区间 5、最值 当x=
余弦曲线
2、值域
减区间
时，ymin
当x= 6、奇偶性
时，ymax
[设计意图]：通过把学习任务转移给学生，激发学生的主体意识和成就 动机,通过自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流 ，最 终使学生成为独立的学习者 ，随着问题的解决，学生的积极性将被调动
单调区间为
2k
2
,2k
2
(k
Z
)
【设计意图】：通过列举正弦函数的几个
单调区间，最后归纳出函数所有的单调区 间，体现从特殊到一般的知识认识程 ，
培养学生观察、归纳的学习能力，有助于 以后理解记忆正弦型函数的相关性质.
思考：正弦函数的减区间是？ 当x取何值时，y取最值？
三角函数图象与性质PPT优秀课件
谢谢观赏
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失��
《三角函数的图象与性质》精品说课课件ppt
典例解析 例 2．求下列三角函数的周期： (1) y＝3sinx，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R；
x∈R;
【解】(1)" x? R ，有 3sin(x＋π)＝3sinx，
由周期函数的定义知，y＝3sinx 的周期为 2π.
(2)令 z = 2x ，由 xÎ R，得 z Î R ，且 y =cos z 的周期为 2π.即
第五章 三 角 函 数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.掌握 y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性 和最值．
2.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间 及最值．
3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．
提出问题
【解析】 (1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°， 所以 60°不是正弦函数 y＝sin x 的一个周期． (2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确． (3)×.因为定义域不关于原点对称．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．函数 f(x)＝ 3sin2x－π4，x∈R 的最小正周期为(
(2)判断函数 f(x)＝sin34x＋32π的奇偶性．
【解析】 (1)∵f(x)的定义域是 R， 且 f(－x)＝ 2sin 2(－x)＝－ 2sin 2x＝－f(x)， ∴函数为奇函数．
【答案】 A (2)∵f(x)＝sin34x＋32π＝－cos 34x， ∴f(－x)＝－cos－34x＝－cos 34x， ∴函数 f(x)＝sin34x＋32π为偶函数.
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的 哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
三角函数的图像和性质教学课件
图像变化
当角度增加时，余 弦函数的值会减小， 图像会向中心靠拢； 当角度减小时，余 弦函数的值会增加， 图像会向外扩展。
图像周期
余弦函数的图像具 有周期性，周期为 360度。在一个周 期内，图像会重复 出现。
正切函数的图像
图像形状
01 正切函数的图像在直角坐标系中呈现出周期性和无界性，其形状类似于波浪线。
调性。
PART 04
三角函数的应用
在几何学中的应用
三角函数在几何学中有着广泛的应用， 例如在计算角度、长度、面积等方面。
三角函数可以帮助我们理解几何图形的 性质，例如在研究圆、椭圆、抛物线等 方面。
三角函数还可以用于解决一些几何问题， 例如在计算最短路径、最大面积等方面。
在物理学中 的应用
交流电
三角函数的基本性质
周期性
三角函数（如正弦函数和 余弦函数）具有明显的周 期性，这意味着它们的图 像会重复出现。
振幅和相位
振幅和相位是描述三角函 数的重要参数。振幅决定 了图像的最高点和最低点， 而相位决定了图像在垂直 方向上的位置。
奇偶性
三角函数中的正弦函数和 余弦函数具有不同的奇偶 性。正弦函数是奇函数， 而余弦函数是偶函数。
图像变化规律
02 正切函数的图像随着角度的变化而呈现周期性的变化，其变化规律是每隔180度重复一次。
图像与x轴交点
03 正切函数的图像与x轴的交点是无穷多个，且分布不均，主要集中在x轴的两侧。
其他三角函数的图像
正切函数图像在直角坐标系中呈现 出周期性和无界性，是三角函数中 较为特殊的一种。
余切函数图像与正切函数图像互为 反函数，在直角坐标系中呈现出对 称性和周期性。
工程学
在工程学中，三角函数可以用于解决各种实际问题，如结 构工程中的应力分析、机械工程中的振动分析等。
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
数学精华课件：三角函数的图象和性质
正切函数的图象
正切函数是奇函数，其图像关于原点对 称。
正切函数的图像是一个连续的曲线，它 在每一个开区间$(-frac{pi}{2}+kpi, frac{pi}{2}+kpi)$内是单调递增的。
正切函数的定义域为除去所有形如 $kpi+frac{pi}{2}$的点，其中$k$为整 数。正切函数没有最大值和最小值，因
06
总结与回顾
重点回顾
三角函数的基本概念
三角函数是描述三角形边长和角度之间关系的数学函数，包括正 弦、余弦、正切等。
三角函数的图象
三角函数的图象是周期性的，呈现波浪形状，具有对称性。
三角函数的性质
三角函数具有一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
学习反馈
01
02
03
学生掌握情况
通过课堂练习和课后作业， 了解学生对三角函数图象 和性质的掌握情况。
学习目标
掌握三角函数的图象 绘制方法。
能够运用三角函数解 决实际问题，如物理、 工程等领域的问题。
理解三角函数的性质， 如周期性、奇偶性、 振幅和相位等。
02
三角函数的基本概念
正弦函数
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为y=sinx，
x∈R。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，因 为f(-x)=sin(-x)=sinx=-f(x)。
布。
在工程学中的应用
01
三角函数在工程学中广 泛应用于信号处理、控 制系统等领域。
02
在信号处理中，三角函 数可以用于实现滤波、 调制和解调等操作。
03
在控制系统中，三角函 数可以用于实现PID控制、 模糊控制等算法。
三角函数的图像与性质ppt课件
自学导引
1．对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)＝ ___f(_x_)__，那么函数 f(x)叫做周期 函数．非零的常数 T 叫做这个函数的_周__期___．
2．如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那 么这个最小正数就叫做 f(x)的__最__小__正__周__期___．正弦函数和余弦函数 都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期，最小正周期是
• 【解】 (1)画法： • ①列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cos x
1 0 －1 0
1
1＋cos x 2 1
0
12
②描点：
• ③连线：用平滑曲线依次连接各点，即得
所图象．
• (2)画法：x ①列0 表：π2 π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1
0
②描点：
新知初探思维启动
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
五点法
五点法
函数
y＝sin x
y＝cos x
关键 五点
____(_0_,0_)______，(π2，1)， ____(π_，__0_)______，
(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，
(32π，－1)，___(_2_π_，__0_)___ (32π，0)，(2π，1)
精彩推荐典例展示
易错警示 形式较复杂的函数图象的作法 例3 作出函数 y＝ta1n x·sin x 的图象． 【常见错误】 (1)在化简过程中，易忽视该函数的定 义域，造成化简前后不等价，从而所画图象不正确． (2)正、余弦函数五点坐标互混而出错．
三角函数的图像与性质优秀课件1(说课)
演示
.用描点法作出y=sinx 在[0,2π]上的图像
(1) 列表
x
y
0
6
1 2
3
3 2
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
1 2
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
3 2
2
-
x
(3) 连线
1 -
1.4.1正、余弦函数的图象
π
3π 2
2
.
2
.
.
.
y= -sinx,
2
x [0,2 ]
x
3 2
.
y sinx, x [0,2π]
1.4.1正、余弦函数的图象
练习反馈
课本P34练习1、2题。
归纳总结
代数描点法
正弦函数的图像
几何描点法
余弦函数的图像
1.4.1正、余弦函数的图象
布置作业
1.书面作业：P46习题1.4，A组1题； 2.预习下节课的内容。
练习反馈 练习反馈
归纳总结 归纳总结
1.4.1正、余弦函数的图象
创设情境
1.研究函数的一般方法： 图像 性质
2.单摆实验
实验
1.4.1正、余弦函数的图象
简谐运动的图像
1.4.1正、余弦函数的图象
探究新知
复习回顾：画函数图像的基本方法：描 点法、变换法(课件演示y=sinx 在 [0,2π]上的图像)； 复习三角函数的单位圆定义，正弦线的 定义； 用单位圆中的正弦线来作正弦函数图像。
.用描点法作出y=sinx 在[0,2π]上的图像
(1) 列表
x
y
0
6
1 2
3
3 2
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
1 2
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
3 2
2
-
x
(3) 连线
1 -
1.4.1正、余弦函数的图象
π
3π 2
2
.
2
.
.
.
y= -sinx,
2
x [0,2 ]
x
3 2
.
y sinx, x [0,2π]
1.4.1正、余弦函数的图象
练习反馈
课本P34练习1、2题。
归纳总结
代数描点法
正弦函数的图像
几何描点法
余弦函数的图像
1.4.1正、余弦函数的图象
布置作业
1.书面作业：P46习题1.4，A组1题； 2.预习下节课的内容。
练习反馈 练习反馈
归纳总结 归纳总结
1.4.1正、余弦函数的图象
创设情境
1.研究函数的一般方法： 图像 性质
2.单摆实验
实验
1.4.1正、余弦函数的图象
简谐运动的图像
1.4.1正、余弦函数的图象
探究新知
复习回顾：画函数图像的基本方法：描 点法、变换法(课件演示y=sinx 在 [0,2π]上的图像)； 复习三角函数的单位圆定义，正弦线的 定义； 用单位圆中的正弦线来作正弦函数图像。
三角函数三角函数的图象与性质课件
《三角函数三角函数的图象与性质课件pptx》2023-10-26•引言•三角函数的概念与性质•三角函数的图象表示目录•三角函数的应用•习题解答•总结与展望01引言三角函数是数学中的基础科目，对于高中生来说，掌握好三角函数的知识可以为后续的高等数学学习打下基础。
在本课程中，我们将从定义、图象、性质和应用等方面全面介绍三角函数的知识。
课程背景介绍课程目标熟悉三角函数的图象和变化趋势。
让学生掌握三角函数的定义、公式和基本性质。
培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
能够灵活运用三角函数解决实际问题。
课程大纲•第一部分：三角函数的定义与公式•正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与基本公式。
•角度与弧度的转换。
•第二部分：三角函数的图象与性质•正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质。
•三角函数的周期性、最值和对称性。
•第三部分：三角函数的应用•利用三角函数解决实际问题，如物理、工程、计算机等领域的问题。
•三角函数在复数、极坐标系中的应用。
02三角函数的概念与性质1 2 3$y = \sin x$，表示单位圆上点的纵坐标。
正弦函数$y = \cos x$，表示单位圆上点的横坐标。
余弦函数$y = \tan x$，表示单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值。
正切函数奇偶性正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。
值域正弦函数和余弦函数的值域为$\lbrack -1,1\rbrack$，正切函数的值域为全体实数。
周期性正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，最小正周期为$2\pi$。
定义域正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，正切函数的定义域为不等于$\frac{k\pi}{2} + \pi$的全体实数。
正弦函数的周期性$y = \sin x$的周期为$2\pi$，即$\sin(x + 2k\pi) = \sin x(k \in \mathbf{Z})$。
三角函数的周期性余弦函数的周期性$y = \cos x$的周期为$2\pi$，即$\cos(x + 2k\pi) = \cos x(k \in \mathbf{Z})$。
三角函数的图象与性质说课课件
思考： 试从所得到图象的横向范围、纵向范 围以及变化趋势和对称轴个数与二次 函数对比分析，说起两者之间的区别。
复习回顾：
例 1：回顾初中的函数作图方法，试作出二次函数 y x2 2x 3
的图象
例 2：观察二次函数的图象，口答：图象中哪些点或线确定时， 就能作出二次函数的图象。
讲解正课：
例 3：回顾任意角三角函数的内容，作出一个单位圆，完成下
本课的内容是后续教学的基础，只有在本 节目标完成的情况下，后续的教学才能顺利的 进行。
2.教学方 法
计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生理解利用单 位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；
讨论式教学 让学生分组（四人一组）讨论、交流、总 结；
讲议结合教学 教师耐心引导、分析、讲解和提问；
分层教学 提问分层、评价分层、作业分层
2.教学重点
利用“五点作图法”作出正弦函数一个周期 的图象；
懂得利用周期的定义解决一些简单的问题；
能够利用正弦函数图象归纳正弦函数的性质
3.教学难点
从单位圆中的三角函数线到三角函数图象 的过渡；
周期定义的应用
正弦函数性质的理解
二、目标分析:
1.知识目标
正弦函数的图象与性质
2.能力目标
（1）试分析该函数形式，口答该函数的自变量和函数
值分别是什么？
（2）试根据例 3 中的表格，利用描点法，在坐标系中
作出正弦函数在[0, 2 ] 上的图象；
（3）进一步观察以上作图中所描的点，试删掉其中的
一些点，以最少的描点数作出相同的草图；
（4）根据单位圆中正弦线的变化规律，试作出正弦函
数在[2 , 4 ] 的图象；
上的图象特征；
（2）试归纳函数在区间 [ ,13 ] 、 [ 11 , ] 以及
复习回顾：
例 1：回顾初中的函数作图方法，试作出二次函数 y x2 2x 3
的图象
例 2：观察二次函数的图象，口答：图象中哪些点或线确定时， 就能作出二次函数的图象。
讲解正课：
例 3：回顾任意角三角函数的内容，作出一个单位圆，完成下
本课的内容是后续教学的基础，只有在本 节目标完成的情况下，后续的教学才能顺利的 进行。
2.教学方 法
计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生理解利用单 位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；
讨论式教学 让学生分组（四人一组）讨论、交流、总 结；
讲议结合教学 教师耐心引导、分析、讲解和提问；
分层教学 提问分层、评价分层、作业分层
2.教学重点
利用“五点作图法”作出正弦函数一个周期 的图象；
懂得利用周期的定义解决一些简单的问题；
能够利用正弦函数图象归纳正弦函数的性质
3.教学难点
从单位圆中的三角函数线到三角函数图象 的过渡；
周期定义的应用
正弦函数性质的理解
二、目标分析:
1.知识目标
正弦函数的图象与性质
2.能力目标
（1）试分析该函数形式，口答该函数的自变量和函数
值分别是什么？
（2）试根据例 3 中的表格，利用描点法，在坐标系中
作出正弦函数在[0, 2 ] 上的图象；
（3）进一步观察以上作图中所描的点，试删掉其中的
一些点，以最少的描点数作出相同的草图；
（4）根据单位圆中正弦线的变化规律，试作出正弦函
数在[2 , 4 ] 的图象；
上的图象特征；
（2）试归纳函数在区间 [ ,13 ] 、 [ 11 , ] 以及
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单位圆与三角函数线是画正弦函数图象的基础
2. 诱导公式 sin( 2k ) sin
诱导公式可以把的图象扩展到究它们的哪些性质？
通过回忆学过的一些函数的定义域、值 域、单调性和奇偶性引导学生总结正弦函数 的主要性质。
（二）新课引入
观察：装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在 与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”。
-1
.
“五点法”的一般步骤：列表、描点、连线。
问题二：正弦函数有哪些主要性质？
（1）学生分组讨论交流、相互评价，教师巡视并参与学生的讨论。 （2）提问部分小组，教师进行归纳并板书。
学生通过观察正弦函数图象的特点，分组完成 了正弦函数的主要性质的建构，培养学生合作学习 和交流的能力。
学生只需指出函数的定义域、值域、奇偶性和 单调性即可，函数的单调区间学生可能说不完整， 教师加以补充。
四、 教法分析
2．启发、提问方式教学
通过观察“正弦函数的几何作图法” 课件的演示，让学生分组讨论、交流、总 结，由小组成员代表小组发表意见，说出 正弦函数y=sinx的图象中起着关键作用的 点以及函数的主要性质。
四、 教法分析 3．讲议结合教学
教师耐心引导、分析、讲解和提 问，并及时对学生的意见进行肯定 与评议。
思考：1、该曲线是何曲线？ 2、你有办法画出该曲线的图象吗？
让学生观察单摆运动，了解日常生活中 的实际问题转化为数学问题，提高学生对数 学学习的兴趣，从而引入新课，这种曲线就 是正弦函数y=sinx的图象。
（三）讲授新课
1. 课件演示：正弦函数的图象的几何作图法
y
通过课件演示突破弧度制
B
1 (B)
到x轴上点的对应这一难点。培 养学生观察能力、分析能力。
A
O1
o
(O1)
x
2
-1
y=sinx, x [0,2]
2．教师引导
先作y=sin x在[0,2]上的图象(五个步骤):
（1） 在直角坐标系的 y 轴左侧作单位圆；
（2） 从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份
2 数作x越轴多的，垂画线出，的可图以象得越到精对确应）于，0 、过圆、O1、 上的、 …各、等分等点
弦曲线。
课件演示：正弦曲线
y=sinx, x R y 1
-2
-
o
-1
x
2
3
4
3、提出问题
问题一：函数y＝sinx，x [0,2 ]的图象中起着关键作用的点 是哪些点？几何作图法虽然比较精确，但是不太实用，如何快 捷地画出正弦函数的图象呢？
五个关键点： (0,0),( ,1),( ,0),(3 ,1),(2 ,0)
五、学法分析
引导学生认真观察“正弦函数的几何 作图法”教学课件的演示；引导学生通过 图象认识性质，通过函数的性质认识图象； 促进学生知识体系的建构和数形结合思想 方法的形成，培养学生勇于探索、勤于思 考的精神，提高学生合作学习和交流的能 力。
sin( 2k ) sin
六、教学过程
（一）复习
1. 单位圆与三角函数线的定义
因为终边相同的角有相同的三角函数
值，即 sinx 2k sin x 所以函数 y sin x
在 x 2k ,2k 1 的图象与函数y sin x ， x 0,2 的图象的形状完全一样，只是位
置不同，于是只要将它向左、右平行移动
（每次平移2 个单位长度），就可以得到
正弦函数，y sin x, x 0,2 的图象，即正
2
2
关于奇偶性，引导学生从图像关于原点 对称和诱导公式sin(－x)=－sinx两方面论证， 进一步深化“数形结合”的思想。
三、教学重点、难点
教学重点：通过画正弦函数y＝sinx的 图象总结函数的性质。
教学难点：理解弧度制到x轴上点的 对应以及用五点法作出正弦函数的图象。
四、 教法分析
1．多媒体辅助教学
借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位 圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得 直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优 美的函数图象，给人以美的享受。
正弦函数的图象与性质
(说课)
教材的地位和作作用用 教学目标 教学重点、难点 教法分析 学法分析 教学过程
一、教材的地位和作用
本节课是必修四第一章第三节第一课时的内容。 是在学习了任意角和弧度制、任意角的三角函 数、三角函数的诱导公式的基础上，对三角函 数的进一步探索和研究，是与其他函数有很多 共性但又有独具特性的一类函数，并且通过本 节课的学习对培养学生的观察分析能力、作图 读图能力、类比联想能力、归纳概括能力有着 重要的作用，为后面更好地学习正弦型函数
y Asin(x ) 的性质打下牢固的基础。
二、 教学目标
知识与技能：掌握正弦函数图象的作法；通过 图象总结正弦函数的性质。
过程与方法：先以物理学的简谐运动的实例激 发学生的探究兴趣，再通过分析动态演示正弦曲线 的形成过程，让学生领会数形结合的数学思想方法。
情感态度和价值观：使学生体验探究的乐趣， 培养学生善于观察勇于探究的良好习惯和严谨的科 学态度，同时也能够促进师生间的教学相长。
角的正弦线；
632
2 （3） 找横坐标：相应地，再把x轴上从0到 这一段
（ 2 ≈6.28）分成12等份；
（4）找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起 点与x轴上的点x重合；
（5）连线再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起
来，就得到了函数 y sin x, x 0,2 ，的图象。
再利用课前复习的诱导公式，终边相同的角具 有相同的三角函数值，就可以得到整个正弦函数的 图象。
根据不同层次的学生的回答，教师给予不同的 评价。
（板书）正弦函数的性质
定义域：R
值 域： [1，1]
当 x 2k , k Z时，函数取最大值1；
2
当 x 2k , k Z时，函数取最大值－1。
2
奇偶性：奇函数
单调性：在区间
[2k
2
,2k
2
],
k
Z上为增函数；
在区间[2k ,2k 3 ],k Z上为减函数。
2
2
事实上，描出这五个点，函数y＝sinx，x [0,2 ] 的图象的形状
就基本确定了。今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个 关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们 把这种方法称为“五点法”。
课件演示：画正弦函数图象的五点法
. y y=sinx, x [0,2]
1
.
.
.2
x
2. 诱导公式 sin( 2k ) sin
诱导公式可以把的图象扩展到究它们的哪些性质？
通过回忆学过的一些函数的定义域、值 域、单调性和奇偶性引导学生总结正弦函数 的主要性质。
（二）新课引入
观察：装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在 与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”。
-1
.
“五点法”的一般步骤：列表、描点、连线。
问题二：正弦函数有哪些主要性质？
（1）学生分组讨论交流、相互评价，教师巡视并参与学生的讨论。 （2）提问部分小组，教师进行归纳并板书。
学生通过观察正弦函数图象的特点，分组完成 了正弦函数的主要性质的建构，培养学生合作学习 和交流的能力。
学生只需指出函数的定义域、值域、奇偶性和 单调性即可，函数的单调区间学生可能说不完整， 教师加以补充。
四、 教法分析
2．启发、提问方式教学
通过观察“正弦函数的几何作图法” 课件的演示，让学生分组讨论、交流、总 结，由小组成员代表小组发表意见，说出 正弦函数y=sinx的图象中起着关键作用的 点以及函数的主要性质。
四、 教法分析 3．讲议结合教学
教师耐心引导、分析、讲解和提 问，并及时对学生的意见进行肯定 与评议。
思考：1、该曲线是何曲线？ 2、你有办法画出该曲线的图象吗？
让学生观察单摆运动，了解日常生活中 的实际问题转化为数学问题，提高学生对数 学学习的兴趣，从而引入新课，这种曲线就 是正弦函数y=sinx的图象。
（三）讲授新课
1. 课件演示：正弦函数的图象的几何作图法
y
通过课件演示突破弧度制
B
1 (B)
到x轴上点的对应这一难点。培 养学生观察能力、分析能力。
A
O1
o
(O1)
x
2
-1
y=sinx, x [0,2]
2．教师引导
先作y=sin x在[0,2]上的图象(五个步骤):
（1） 在直角坐标系的 y 轴左侧作单位圆；
（2） 从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份
2 数作x越轴多的，垂画线出，的可图以象得越到精对确应）于，0 、过圆、O1、 上的、 …各、等分等点
弦曲线。
课件演示：正弦曲线
y=sinx, x R y 1
-2
-
o
-1
x
2
3
4
3、提出问题
问题一：函数y＝sinx，x [0,2 ]的图象中起着关键作用的点 是哪些点？几何作图法虽然比较精确，但是不太实用，如何快 捷地画出正弦函数的图象呢？
五个关键点： (0,0),( ,1),( ,0),(3 ,1),(2 ,0)
五、学法分析
引导学生认真观察“正弦函数的几何 作图法”教学课件的演示；引导学生通过 图象认识性质，通过函数的性质认识图象； 促进学生知识体系的建构和数形结合思想 方法的形成，培养学生勇于探索、勤于思 考的精神，提高学生合作学习和交流的能 力。
sin( 2k ) sin
六、教学过程
（一）复习
1. 单位圆与三角函数线的定义
因为终边相同的角有相同的三角函数
值，即 sinx 2k sin x 所以函数 y sin x
在 x 2k ,2k 1 的图象与函数y sin x ， x 0,2 的图象的形状完全一样，只是位
置不同，于是只要将它向左、右平行移动
（每次平移2 个单位长度），就可以得到
正弦函数，y sin x, x 0,2 的图象，即正
2
2
关于奇偶性，引导学生从图像关于原点 对称和诱导公式sin(－x)=－sinx两方面论证， 进一步深化“数形结合”的思想。
三、教学重点、难点
教学重点：通过画正弦函数y＝sinx的 图象总结函数的性质。
教学难点：理解弧度制到x轴上点的 对应以及用五点法作出正弦函数的图象。
四、 教法分析
1．多媒体辅助教学
借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位 圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得 直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优 美的函数图象，给人以美的享受。
正弦函数的图象与性质
(说课)
教材的地位和作作用用 教学目标 教学重点、难点 教法分析 学法分析 教学过程
一、教材的地位和作用
本节课是必修四第一章第三节第一课时的内容。 是在学习了任意角和弧度制、任意角的三角函 数、三角函数的诱导公式的基础上，对三角函 数的进一步探索和研究，是与其他函数有很多 共性但又有独具特性的一类函数，并且通过本 节课的学习对培养学生的观察分析能力、作图 读图能力、类比联想能力、归纳概括能力有着 重要的作用，为后面更好地学习正弦型函数
y Asin(x ) 的性质打下牢固的基础。
二、 教学目标
知识与技能：掌握正弦函数图象的作法；通过 图象总结正弦函数的性质。
过程与方法：先以物理学的简谐运动的实例激 发学生的探究兴趣，再通过分析动态演示正弦曲线 的形成过程，让学生领会数形结合的数学思想方法。
情感态度和价值观：使学生体验探究的乐趣， 培养学生善于观察勇于探究的良好习惯和严谨的科 学态度，同时也能够促进师生间的教学相长。
角的正弦线；
632
2 （3） 找横坐标：相应地，再把x轴上从0到 这一段
（ 2 ≈6.28）分成12等份；
（4）找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起 点与x轴上的点x重合；
（5）连线再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起
来，就得到了函数 y sin x, x 0,2 ，的图象。
再利用课前复习的诱导公式，终边相同的角具 有相同的三角函数值，就可以得到整个正弦函数的 图象。
根据不同层次的学生的回答，教师给予不同的 评价。
（板书）正弦函数的性质
定义域：R
值 域： [1，1]
当 x 2k , k Z时，函数取最大值1；
2
当 x 2k , k Z时，函数取最大值－1。
2
奇偶性：奇函数
单调性：在区间
[2k
2
,2k
2
],
k
Z上为增函数；
在区间[2k ,2k 3 ],k Z上为减函数。
2
2
事实上，描出这五个点，函数y＝sinx，x [0,2 ] 的图象的形状
就基本确定了。今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个 关键点，用光滑曲线将它们连结起来即可得到函数的简图，我们 把这种方法称为“五点法”。
课件演示：画正弦函数图象的五点法
. y y=sinx, x [0,2]
1
.
.
.2
x