切换系统知识总结

切换系统来源于实际控制系统,所以对其研究不但是现代控制理论发展的需要,更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统,切换系统在运行过程中,切换规则起着重要作用,不同的切换规则将导致完全不同的动态特征:若干个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子系统在适当的切换下可使整个系统稳定,即其子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性.1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析的综述文章,并归结为如下三个基本问题:问题1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件;问题2:切换系统在受限切换下是否渐近稳定;问题3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定.以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。

我们在研究切换系统稳定性的时候，大多围绕这三个问题展开.在对控制系统进行分析的过程中，已经有了很多的研究方法，在研究切换系统的稳定性时，我们经常用到的方法有：单Lyapunov 函数方法，共同Lyapunov 函数方法，多Lyapunov 函数方法，共同控制Lyapunov 函数方法，backstepping 方法，LMI等。

切换系统基本知识定义1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式ẋ=fσ（x）（1）其中这里{f p：p∈P}是一族R n→R n的充分正则函数，σ：[0,+∞)→P是关于时间的分段.常值函数，称为切换新号。

σ有可能取决于时间t或状态x（t），或两者都有。

P是某个指标集。

以下非特别指明假设P都是有限集。

如果这里所有的子系统都是线性的，我们就得到一个线性切换系统，ẋ=Aσ(x)（2）1任意切换下稳定很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系统都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。

我们要研究的是为了使切换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。

存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。

共同Lyapunov 函数法与传统的Lapunov直接法基本是一致的。

其主要思想是:对于切换系统，如果各子系统存在共同Lyapunov函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定的。

定理1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具，具体如下:对于切换系统（1），如果存在正定连续可微的函数V：R n→R n，正定连续的函数W：R n→R n，满足V(x)=∂V∂xf p(x)≤−W(x) ∀x，∀p∈P那么显然系统是稳定(渐近稳定)的。

如果V (x )是径向无界的，则结果是全局的。

因此，这样一个Lapunov 函数(称为共同Lyapunov 函数)是研究切换系统的一个重要课题。

对于线性系统 (1)，一般要找的是二次Lyapunov 函数。

定义 2给定一组稳定矩A i ，i ∈Q ，若存在一个正定矩阵P>0使得A i T P +PA i <0，∀i ∈Q则称它为A i ，i ∈Q 的一个共同二次Lyapunov 函数。

引理 1如果切换系统的子系统存在不稳定的凸组合，ẋ=∑μi f i （x ）ni=1其中，μi >0 ，∑μi =1n i=1，那么该切换系统不具有共同Lyapunov 函数。

由以上引理可见，切换系统存在共同Lyapunov 函数V (x )的必要条件为切换系统的子系统的凸组合均稳定。

另外，对于下列一对二阶渐近稳定的线性系统还有以下充分必要条件。

ẋ=A i (x )，A i ∈R 2×2，i =1,2考虑两个子系统的矩阵凸组合γα(A 1，A 2)≜αA 1+(1−α)A 2，α∈（0,1）定理 2一对二阶渐近稳定的线性切换系统具有共同二次Lyapunov 函数当且仅当γα(A 1，A 2)和γα(A 1，A 2−1)中的矩阵都稳定。

定理3 如果{A p ：p ∈P}是由一些可交换的Hurwitz 矩阵组成的有限集，那么这个相应的线性切换系统（2）是全局一致指数稳定的。

令{A 1,A 2,….，A m }是一个给定的由交换的Hurwitz 矩阵构成的集合，令P 1是下面的Lyapunov 方程的唯一的正定解A 1T P1+P 1A 1=−I 对于i=1,…,m ，令P i 是下面的Lyapunov 方程的唯一的正定解A i T P i +P i A i =−P i−1然后函数V (x )=x T P m x是所期望的给定的线性切换系统（2）的一个二次共同Lyapunov 函数。

P m 由以下公式给出 P m =∫eA m T t m …(∫e A 1Tt 1∞0e A 1t 1dt 1)∞0…e A m t m dt m由于A i ，i =1,…,m 是可交换的，所以我们可以将上式可以重新写成下面的形式P m =∫e A i Tt i ∞0Q i e A i t i dt i这里Q i >0。

定理4 如果{f p ：p ∈P}是由可交换的一次连续可微的斜向量场组成的有限集，并且所有的子系统的原点是一个全局渐进稳定的平衡点，那么交换的切换系统（1）是全局一致渐进稳定的。

这里没有给出共同Lyapunov 函数的明确结构，有两种方法能够构造这样的一个函数，但是，他们都要依靠更强的条件：系统（1）的各子系统是指数稳定的。

并且仅仅给出一个局部的共同Lyapunov 函数。

方法一 考虑这样一个线性化的矩阵A p :=∂f p ∂x (0)，p ∈P .如果非线性的斜向量场可交换，那么线性化的矩阵A p 也可交换。

（假设f p ∈C 1，f p (0)=0，∀p ∈P ）。

线性化的矩阵可交换是一个弱解条件。

矩阵A p 是Hurwitz 的当且仅当斜向量场f p 是指数稳定的。

这样对于线性化的系统的一个二次共同Lyapunov 函数，就可以作为这个有限子族非线性系统原点处的一个局部的共同Lyapunov 函数。

方法二 令P ={1,…,m}，系统（1）的各子系统f p 是指数稳定的。

对于任意的p ∈P ，令φp （t ，z ）表示系统ẋ=f p （x ）满足初始条件x (0)=z 的解，定义V 1（x ）≔∫|φ1（τ，z ）|2T0dτV i （x ）≔∫V i−1（φi （τ，z ））T 0dτ， i=2,…,m这里T 是一个足够大的正常数。

那么V m 是一个各子系统的局部共同Lyapunov 函数。

如果函数f p ：p ∈P 满足全局Lipschitz 条件，，那么我们就得到一个全局的共同Lyapunov 函数。

定理 5（共同Lyapunov 存在逆定理）假设切换系统（1）是全局一致渐进稳定的，集合{f p （x ）：p ∈P}对∀x 有界，函数f p （x ）对于x 和一致的p 满足局部Lipschitz 条件，那么这个系统的各子系统有一个径向无界的光滑的共同Lyapunov 函数。

2受限切换稳定多Lyapunov 函数法是Branicky 从切换系统的特点出发提出的，这是因为共同Lyapunov 要满足的条件往往过强，实际系统中存在共同Lyapunov 函数的情形并不多见，而且很多切换系统虽然不存在共同Lyapunov 函数，却可以选择适当的切换信号使系统渐近稳定。

对于这样的系统，多Lyapunov函数法是一种有效的方法。

多Lyapunov函数:为切换系统定义一组Lyapunov-like函数V i,i=1,2,…,m，然后判定切换系统稳定性。

对于系统（1），假设各个子系统切换时状态不发生跳变，平衡点为x̅∈Ωi⊂R n, f i（x）是全局Lipschiz连续的，所谓Lyapunov-like函数V i是定义在区域Ωi上的一个连续可微的实值函数，且满足以下条件(1)正定性: V i(x̅)=0，∀x∈Ωi，当x≠x̅，V i（x）>0(2)导数负定:当切换到子系统f i（x（t））时，其相应的Lyapunov函数V i单调递减，即∀x∈Ωi，V(x)=∂Vf i(x)≤0。

∂x共同Lyapunov函数法研究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而多Lyapunov函数法研究系统对于一类切换序列是否稳定。

定理6若切换系统（1）的各子系统都是全局渐进稳定的，令V p，p∈P是相应的各子系统的径向无界的Lyapunov函数，若存在一族正定的连续函数W p，p∈P，满足对于每一对切换时刻(t i，t j)，i<j，满足σ(t i)=σ(t j)=p∈P，并且σ(t k)≠p，t i<t k<t j，V p(x(t j))−V p(x(t i))≤−W p（x(t i)）则切换系统（1）是全局渐进稳定的。

基于逗留时间的稳定性对于切换系统，即使各个子系统均渐近稳定，如果切换不当，也可能使这个系统不稳定。

直观地说，这是由于切换引起的“系统能量”增长趋势超过了各稳定子系统对“系统能量”的衰减作用。

一个自然的想法是，如果在各稳定子系统内停留的时间足够长，以对消并超过切换引起的“系统能量”增长趋势，那么切换系统就可以稳定了。

这一方法被称为“长驻留时间”。

衡量逗留时间长短的最简单直接的方法就是引入一个正常数τ>0，假设相邻切换时刻相差不小于τ的切换信号(即每次在子系统的逗留时间不小于τ)，我们考虑在这样一类切换信号下系统的稳定性。

对于线性切换系统，如果各个子系统均渐近稳定，那么只要切换信号满足在各个子系统内的逗留时间足够长，即只要τ足够大，就可以保证线性切换系统全局指数稳定，并且还可以定量计算出逗留时间的下限。

在一定条件下，还可以将上述结论推广到非线性切换系统。

在这里，我们仅以一组全局指数稳定的非线性系统为例来说明基于逗留时间的稳定性条件。

假设切换系统（1）的各子系统是全局指数稳定的，对于任意的p∈P，都存在对应的Lyapunov函数V p满足a p|x|2≤V p(x)≤b p|x|2（3）∂V∂xf p(x)≤−c p|x|2（4）其中a p，b p，c p是正常数。

由（3）和（4）我们能够得到∂V∂xf p(x)≤−2λp V p(x)，p∈P这里λp≔c pb p，p∈P。

这样V p(x（t0+τ）)≤e−2λpτV p(x（t0）)当t∈[t0,t0+τ)，σ（t）=p。

下面我们考虑以下两个子系统的情况P={1,2}，σ=1，t∈[t0,t1)，σ=2，t∈[t1,t2)，t i+1−t i≥τ，i=0,1。

由以上不等式我们知道V2（t1）≤b2a1V1（t1）≤b2a1e−2λ1τV1(t0)V1（t2）≤b1a2V2（t2）≤b1a2e−2λ2τV2(t1)≤b1b2a1a2e−2（λ1+λ2）τV1(t0)只要τ足够大，就可以保证V1(t2)<V1(t0)，引用多Lapunov函数稳定性条件可见，只要切换信号满足在各个子系统内的驻留时间τ足够大（其实只需τ>12（λ1+λ2）log b1b2a1a2），就可以保证切换系统全局渐近稳定。