离散型随机变量的概率分布
第二节常见离散型随机变量的概率分布
例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
离散型随机变量的概率分布
解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
3.二项分布
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P{X = a} = 1 则称 X 服从 a处的退化分布.
2.两点分布（Bernoulli分布)
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
2.2 离散型随机变量的概率分布
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
2 3 2
注:若将本例中的"有放回"改为"无放 将本例中的"有放回"改为" 那么各次试验条件就不同了, 回",那么各次试验条件就不同了,不是贝 努里概型,此时,只能用古典概型求解. 努里概型,此时,只能用古典概型求解
C C P(X=2)= ≈ 0.001 P { X = 0} P { X = 1}
= 1 C 0.01 × 0.99 C 0.01 × 0.99
0 20 0 20 1 20 1
19
≈ 0.0169 重贝努利概型, (2)这是 )这是n=80重贝努利概型,参数为 重贝努利概型 参数为p=0.01,需维 , 修的机床数X~B(80, 0.01),故不能及时维修的概率为 修的机床数 故不能及时维修的概率为
eλ = ∑
k=0
λk
k!
某射手连续向一目标射击, 例4. 某射手连续向一目标射击,直到命中为 已知他每发命中的概率是p, 止 , 已知他每发命中的概率是 , 求所需射击 发数X 的概率函数. 发数 的概率函数 显然, 可能取的值是1,2,… , 解: 显然,X 可能取的值是 为计算 P(X =k ), k = 1,2, …, , , 设 Ak = {第k发命中 ,k =1, 2, …, 发命中}, 第 发命中 , 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
"使用到 使用到1000小时已坏" 小时已坏" 使用到 小时已坏 视为事件A,每次试验, 视为事件 )3+3(0.8)(0.2)2 ,每次试验 =(0.2 A发生的概率为 发生的概率为0.8 发生的概率为
离散型随机变量的概率分布
用随机变量表示随机事件:
在灯泡寿命试验中， {灯泡的寿命不低于1000小时} 可用随机变量X表示为{X≥1000}
用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到 120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}
在投硬币试验中， {正面朝上}可以表示为{X=1} 一般地：{X=k} ，{X ≤a} ，{a＜X≤b}表示一个随机 事件。
C130
X
0
1
2
3
pk
1
6
1
3
1
2
10
30
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
P{X 1} p, P{X 0} q 1 p
( 0＜p＜1，p+q=1) 则称 X 服从0-1分布（p为参数）, 也称为贝努里分布.
50次射击试验中命中的次数等都可以用一个随机变量X
来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；
(2) 一个传呼台单位时间内接到的传唤次数，城市某 十字路口一分钟内通过的机动车数、单位时间内到达 某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X来表示， 它所有可能的取值为一切非：h）是一个可以在 (0, +∞)上取值的随机变量，{X>10000}表示“电视机使用 寿命超过10000 h”这一事件．类似的，测量的误差X也 是一个随机变量，它可能的取值为(﹣∞,﹢∞)上任意实 数，{︱x︱ <0.1 }表示“测量的误差在(-0.1, 0.1)内”．
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
离散型随机变量的概率分布
(1) pn 0 n 1, 2,
(2) pn 1
n
凡满足上述两条性质的 任意一组 pn , n 1,2, 都可
以成为一个d .r .v .的概率分布。称之为离 散型 概率分布。
对于集合 xn : n 1,2, 中的任何一个子集 A，事件
“X 在A 中取值”，即事件“ X A”的概率为 P ( X A) Pn
xnA
例1：做一次试验，其结果只有两种，成功和失败，
若令成功的概率为 p，用 X表示试验成功的次，则 X的分
布律为：
X P
0
1 p
1
p
此类试验即为伯努利试验，此分布称为0-1分布。
不难求出X的分布函数
例2：设d.r.v.X的概率分布为：
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复 的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这n次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各次试验的结果互不影响 . 实际模型 设事件A在一次试验中发生的概率为 p, (0 p 1), 令X = “n次试验中A事件发生的次数”， 现独立地重复试验n次，
X P
-1 0.3
0 0.3
1 0.2
2 0.2
P ( X 1, X 0) P ( X 1 X 0) P ( X 0) P ( X 1) 0.3 3 1 P ( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{ X a } 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
离散型随机变量的概率分布
n次试验中A发生的总次数，则
X的可能值为 0,1,2,…,n, 且
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1,2,...,
n
称 X ~ B(n, p) 二项分布
n重
A发生的概率
证明：指定的k次（如前k次）让A发生，其余
的（n-k）为 A发生
而事件A在n次试验中发生k次的方式为：C
k n
P(X
§2 离散型随机变量的概率分布
主要内容
一、离散型随机变量的定义及其分布律 二、常用分布 三、常用分布之间的联系
一、离散型随机变量的定义及其分布
1. 定义 如果随机变量X所有可能值是有限个或无限可 列个，则称X为离散型随机变量。 2. 概率分布
要掌握一个离散型随机变量的分布，必须
且只需知道以下两点
(1) X所有可能的取值: x1, x2, , xk ,
例 2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为 0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾 的概率.
解: P( X 3) 0.8k e
k3 k!
查表
0.0474
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三. 常用分布的联系 1. 0-1分布和B(n,p)
X ~ B(n, p)中，当n 1时，X ~ 0 1分布，且X分解为
2
b 3 2b 1
1
2 3
b 1 2
练习1: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a , k 1,2, ,10. 10
试求常数a. (a 1)
练习2: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k 0,1,2,...., 0为常数。
第二节离散型随机变量的概率分布(分布律)
例6. 将一枚均匀骰子抛掷 3 次， 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
解: 显然， X的概率函数是：
1 k 5 3 k P {X k } C ( ) ( ) , 6 6
k 3
k 0 ,1, 2 , 3
概率统计
3
0 .
定理
设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 p 1)
4 5 4 5 5 5 0
0.98
概率统计
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
Pn ( k) C p (1 p )
k n k
n k
k 0,1,2
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
记为: 列表:
X～B(n, p)
概率 Pn ( k ) 就等于二项式 [(1 p) px ]n 的展开式中 x k 注 ▲ 显然它满足： 的系数，这也是二项分布的名称的 P ( X k ) 0, 由来.
k C n p k (1 p)n k ( p q )n 1 k 0 n
概率统计
例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个目 标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
思考题： 从中抽取3只，求次品数不大于1只 例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 的概率有多大？ 求：他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布. 12 22 答案： P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1) 解： X 可能取值为 0、1、2 则： 35 35
问:希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
解: A : 发射 5 发炮弹就炸毁了目标
离散型随机变量的概率分布
例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期 医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工 是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为 0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求 相应的概率。
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”, P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
(k 1,2, )
若随机变量 X 的分布律为
X 1 2 k , p q 1, pk p qp qk1 p
k0 k!
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量简介离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。
在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。
在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。
二、伯努利分布伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。
它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。
该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布的概率质量函数如下：P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。
三、二项分布二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。
它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。
每次实验都有两个可能结果：成功和失败。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。
泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。
泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）内事件的平均发生次数。
五、几何分布几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
几何分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
1.5 概率论——离散型随机变量的概率分布
1
即，kk00
np np
p p
1
因此 np p 1 k0 np p
于是
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
二项分布的概率计算;
B(k;n, p) P( X k) Cnk pk (1 p)nk
1.直接计算; n 较小 2.查表 n 较大时,ｐ不太大或小时 3.利用泊松分布; n 较大, p较小 4.利用中心极限定理; n 较大
二项分布的概率最大值(众数); 二项分布中 X 可以取值 0,1,2, , n,使概率 Pk 取最大值
的 k记作 k0 , 称 k0为二项分布的最可能取值。已知 n, p 来求 k0
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
设P( X k0 )为最大，则有下面不等式组：
因此 X概率分布为 X -1
0
1
2
P 0.3 0.3 0.2 0.2
P( X 1 X 0) P( X 1, X 0) P( X 0)
P( X 1) 0.3 3 1 P( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{X a} 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
(1)P( X 10) 0.9510 0.599
(2)P( X 8) C180 0.958 0.052 0.075 (3)P( X 9) C190 0.959 0.05 0.9510 0.914
4.超几何分布
模型: 一般地，如果有 N个元素分为两大类，第一类 N1个 元素，第二类 N2个元素(N1 N2 N ), 采用不重复抽样， 从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的 个数 X的分布称为超几何分布。
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概念及特点离散型随机变量是指在一定条件下，其取值只能是有限个或者可数个的随机变量。
与连续型随机变量相对应，离散型随机变量的取值只能是整数或者某些特定的值。
因此，它们具有以下几个特点：1. 取值有限或可数2. 每个取值的概率都不为03. 不连续4. 概率分布可以用概率质量函数来描述二、常用离散型随机变量的概率分布及其性质1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的二项分布，它只涉及到一个试验和两种结果。
伯努利分布表示为：X~B(1,p)，其中p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
性质：（1）期望：E(X)=p（2）方差：Var(X)=p(1-p)2. 二项分布二项分布是多次独立重复进行相同试验中成功次数的概率分布。
二项分布表示为：X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=np（2）方差：Var(X)=np(1-p)3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布表示为：X~P(λ)，其中λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
性质：（1）期望：E(X)=λ（2）方差：Var(X)=λ4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立重复试验中，第一次成功所需的试验次数的概率分布。
几何分布表示为：X~G(p)，其中p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=1/p（2）方差：Var(X)=(1-p)/p^25. 超几何分布超几何分布是描述从有限个物品中抽取不放回地抽取n个物品，其中有m个特定类型的物品的概率分布。
超几何分布表示为：X~H(N,M,n)，其中N表示总共有多少个物品，M表示特定类型的物品有多少个，n表示抽取多少个物品。
性质：（1）期望：E(X)=nM/N（2）方差：Var(X)=nM/N*(N-M)/(N-1)三、离散型随机变量的应用离散型随机变量在实际生活中有广泛的应用。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布一、定义与性质1.离散型随机变量：随机变量X的取值是 countable 的，即X的所有可能取值可以构成一个可数集合。
2.概率分布：离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每一个可能值的概率。
3.概率的基本性质：a.非负性：概率值非负，即P(X=x)≥0。
b.归一性：所有可能取值的概率之和为1，即ΣP(X=x)=1。
c.互斥性：不同取值之间的概率没有交集，即P(X=x1)∩P(X=x2)=0（x1≠x2）。
二、概率分布的数学描述1.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）：离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数f(x)来描述，定义为P(X=x)=f(x)。
2.概率分布表：将所有可能的取值及其对应的概率列成表格，称为概率分布表。
3.伯努利分布（Bernoulli distribution）：定义在随机试验成功（记为1）和失败（记为0）上的两点分布，其概率质量函数为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。
4.二项分布（Binomial distribution）：在n次独立重复试验中，成功次数的离散型随机变量遵循二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)p k(1-p)(n-k)，其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。
5.几何分布（Geometric distribution）：在伯努利试验中，第一次成功之前试验次数的离散型随机变量遵循几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p。
6.负二项分布（Negative binomial distribution）：在伯努利试验中，试验次数达到r次之前成功次数的离散型随机变量遵循负二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(r-1,k-1)(1-p)(r-k)p k。
7.超几何分布（Hypergeometric distribution）：从N个对象中抽取n 个，其中有K个成功对象，抽取k个成功对象的离散型随机变量遵循超几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n)。
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离散型随机变量的概率分布1．离散型随机变量的概率分布(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布表，具有如下性质： ①p i ________0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝________.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____________． 2．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为 其中0<p <1， 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即X 01… lPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C l M C n －lN －MC nN其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．题型一 离散型随机变量的概率分布的性质例1 设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X ≤710)．X 0 1 P1－pp设离散型随机变量X的概率分布为X 0123 4P 0.20.10.10.3m求：(1) 2X＋1的概率分布；(2) |X－1|的概率分布．题型二离散型随机变量概率分布的求法命题点1与排列组合有关的概率分布的求法例2(2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的概率分布．例3某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)012 3频数159 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．例4(2014·安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布．(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．Yanfu Rd Learning Center①从中任取一支，求其标价X的概率分布；②从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布．(2)(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；②已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．题型三超几何分布例5 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．(2015·天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布．典例 (14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是________． ①P (X ＝3) ②P (X ≥2) ③P (X ≤3) ④P (X ＝2) 答案 ④解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为________． 答案155解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.3．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为________．答案 56解析 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 答案1235解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.5．设离散型随机变量X 的概率分布为Yanfu Rd Learning CenterX 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m若随机变量Y ＝|X －2|，则P (Y ＝2)＝________. 答案 0.5解析 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目， X ＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， 则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.Yanfu Rd Learning Center(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为X 0 5 10 15 20 P1416161614B 组 专项能力提升(时间：30分钟)9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为________． 答案X 0 1 2 P0.10.60.3解析 ∵X 的所有可能取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.∴X 的概率分布为X 0 1 2 P0.10.60.310.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 答案 (－13，13)解析 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 所以a ＝13，由⎩⎨⎧13－d >0，13＋d >0，得－13<d <13.11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为_____________________． 答案η12Yanfu Rd Learning CenterP14 12 14解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为η 0 1 2 P14121412．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P521152831418413.已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球． (1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．解 (1)由题意知P ＝C 1x C 1y C 11C 26C 14＝xy 60≤160(x ＋y 2)2＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立，Yanfu Rd Learning Center所以，当P 取得最大值时x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310， P (ξ＝3)＝C 22C 12C 26C 14＝130，所以红球个数ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P15715310130Yanfu Rd Learning Center1．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布表，具有如下性质： ①p i __≥__0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为X 0 1 P1－pp其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从两点分布． 3．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即Yanfu Rd Learning CenterX 01… lPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C l M C n －lN －MC nN其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________． ①至少取到1个白球； ②至多取到1个白球； ③取到白球的个数； ④取到的球的个数． 答案 ③解析 ①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.2．(教材改编)从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有________个． 答案 17解析 X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的概率分布如下：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________. 答案 23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.Yanfu Rd Learning Center4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的概率分布的性质例1 设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X ≤710)．解 (1)由概率分布的性质，得P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a＝115. (2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P (110<X ≤710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝615＝25.思维升华 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设离散型随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(1)2X ＋1的概率分布； (2)|X －1|的概率分布．Yanfu Rd Learning Center解 由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为X0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得两个概率分布为 (1)2X ＋1的概率分布2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(2)|X －1|的概率分布|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3题型二 离散型随机变量概率分布的求法命题点1 与排列组合有关的概率分布的求法例2 (2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽的个数，求X 的概率分布．解 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的概率分布为X 0 1 2 P715715115命题点2 与互斥事件有关的概率分布的求法 例3 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0 1 2 3 频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．Yanfu Rd Learning Center(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件) ＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布为X 2 3 P1434命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例4 (2014·安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的概率分布．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”． 则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，Yanfu Rd Learning CenterP (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的概率分布为X 2 3 4 5 P59291081881思维升华 求离散型随机变量X 的概率分布的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的概率分布．求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．①从中任取一支，求其标价X 的概率分布；②从中任取两支，若以Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的概率分布．解 ①X 的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X 的概率分布为X 10 20 30 40 P14141414②根据题意，Y 的可能取值为20,30,40， 且P (Y ＝20)＝1C 24＝16，P (Y ＝30)＝2C 24＝13，P (Y ＝40)＝3C 24＝12.所以Y 的概率分布为Y 20 30 40 P161312(2)(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． ①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；②已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的概率分布．解 ①记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.②X 的可能取值为200,300,400.Yanfu Rd Learning CenterP (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的概率分布为X 200 300 400 P11031035题型三 超几何分布例5 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ， 则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为X 0 1 2 3 P112512512112思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2015·天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635.Yanfu Rd Learning Center(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． 所以，随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P114373711417．随机变量取值不全致误典例 (14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．易错分析 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． 规范解答解 由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.[4分] P (ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09， P (ξ＝3)＝C 12×0.3×0.4＝0.24， P (ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16， P (ξ＝6)＝C 12×0.3×0.3＝0.18， P (ξ＝7)＝C 12×0.4×0.3＝0.24， P (ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[10分] 故随机变量ξ的概率分布为ξ 2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09[14分]温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.[方法与技巧]1．对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．Yanfu Rd Learning Center2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率． [失误与防范]掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：(1)概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率． (2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是________． ①P (X ＝3) ②P (X ≥2) ③P (X ≤3) ④P (X ＝2) 答案 ④解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为________． 答案155解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.3．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为________．答案 56解析 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54，Yanfu Rd Learning Center∴P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 答案1235解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.5．设离散型随机变量X 的概率分布为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m若随机变量Y ＝|X －2|，则P (Y ＝2)＝________. 答案 0.5解析 由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3. 由Y ＝2，即|X －2|＝2，得X ＝4或X ＝0， ∴P (Y ＝2)＝P (X ＝4或X ＝0) ＝P (X ＝4)＋P (X ＝0) ＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________． 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X ＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目， X ＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对， X ＝2，甲抢到2题均答对， X ＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的概率分布． 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， 则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的概率分布为X 0 5 10 15 20 P1416161614B 组 专项能力提升(时间：30分钟)9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为________． 答案X 0 1 2 P0.10.60.3解析 ∵X 的所有可能取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.∴X 的概率分布为X 0 1 2 P0.10.60.310.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________． 答案 (－13，13)解析 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎨⎧13－d >0，13＋d >0，得－13<d <13.11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为_____________________． 答案η 0 1 2 P141214解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的概率分布为η 0 1 2 P14121412．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的概率分布为ξ123Yanfu Rd Learning CenterP521 1528 314 18413.已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球． (1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．解 (1)由题意知P ＝C 1x C 1y C 11C 26C 14＝xy 60≤160(x ＋y 2)2＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310， P (ξ＝3)＝C 22C 12C 26C 14＝130，所以红球个数ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P15715310130。