离散型随机变量的概率分布

离散型随机变量的概率分布

1．离散型随机变量的概率分布

(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

为离散型随机变量X 的概率分布表，具有如下性质： ①p i ________0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝________.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____________． 2．两点分布

如果随机变量X 的概率分布表为 其中0

一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么

P (X ＝r )＝C r M C n －

r N －M

C n N

(r ＝0,1,2，…，l )．

即

X 0

1

… l

P

C 0M C n －

N －M

C n N

C 1M C n －

1

N －M

C n N

…

C l M C n －

l

N －M

C n

N

其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.

如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．

题型一 离散型随机变量的概率分布的性质

例1 设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k

5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．

(1)求a ； (2)求P (X ≥3

5)；

(3)求P (110

10)．

X 0 1 P

1－p

p

设离散型随机变量X的概率分布为

X 0123 4

P 0.20.10.10.3m

求：(1) 2X＋1的概率分布；

(2) |X－1|的概率分布．

题型二离散型随机变量概率分布的求法

命题点1与排列组合有关的概率分布的求法

例2(2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的概率分布．

例3某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件)012 3

频数159 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．

例4(2014·安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判

定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为2

3，乙获胜的概率为

1

3，各局比赛结果相互独立．

(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布．

(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．

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①从中任取一支，求其标价X的概率分布；

②从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布．

(2)(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

②已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．

题型三超几何分布

例5 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7

9.

(1)求白球的个数；

(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布．

(2015·天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自

甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的概率分布．

典例 (14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第

一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得

球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．

A 组 专项基础训练

(时间：40分钟)

1．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2m

A 3

n

的是________． ①P (X ＝3) ②P (X ≥2) ③P (X ≤3) ④P (X ＝2) 答案 ④

解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2m

A 3

n

. 2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 值为________． 答案

155

解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝1

55

.

3．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12

2)的值为________．

答案 5

6

解析 ∵P (X ＝n )＝a

n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，

∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P (12

2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)

＝54×12＋54×16＝56

. 4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________． 答案

1235

解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14

C 37＝1235

.

5．设离散型随机变量X 的概率分布为