数学 考研真题及答案详解

绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+（8）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（ ） （A ）,A C B C 与相似与相似（B ）,A C B C 与相似与不相似 （C ）,A C B C 与不相似与相似（D ）,A C B C 与不相似与不相似二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线21arcsiny x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为_______ (10) 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则220t d ydx ==______ (11)2ln(1)(1)x dx x +∞+=+⎰_______ (12) 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)______f x y =（13）11tan ______y xdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则_____a =三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→（16）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求x dy dx=，22x d y dx =（17）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值（19）（本题满分10分）设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明： ()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,|2,D x y x y y =+≤计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰。

（21）（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线L: ()y y x =上任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,p Y ，法线与x 轴相交于点(),0p X ，若p p X Y =，求L 上点的坐标(),x y 满足的方程。

（22）（本题满分11分）设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+。

()I 证明：()2r A =()∏若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。

（23）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .参考答案1.【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. 2.【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B. 3.【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.4.【答案】A 【解析】特征方程为：21,248022iλλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+Q 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x xy y y Ae xe B x C x =+=++选C.5.【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D. 6.【答案】B 【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.7.【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。

8.【答案】B 【解析】由0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1,因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，即100~020002A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，∴~A C ，但B 不相似于C.9.【答案】2y x =+【解析】()22limlim(1arcsin )1,lim lim arcsin 2,2x x x x y y x x x x xy x →∞→∞→∞→∞=+=-==∴=+Q10.【答案】18-【解析】()'220222cos cos ,11cos sin (1)cos 1181t tt tt t t dy dx dy t t e dt dt dx e t d y t e te d y e dx dx dx e dt===+⇒=+⎛⎫⎪-+-+⎝⎭⇒==⇒=-+11.【答案】1【解析】2022ln(1)1ln(1)(1)1ln(1)11(1)11.(1)x dx x d x x x dx xx dx x +∞+∞+∞+∞+∞+=-+++⎤+⎡=--⎥⎢++⎣⎦==+⎰⎰⎰⎰12.【答案】yxye 【解析】,(1),(,)(),y y y yx y f ye f x y e f x y ye dx xyec y ''==+==+⎰故()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，因此()0c y '=，即()c y C =，再由(0,0)0f =，可得(,).y f x y xye =13.【答案】ln cos1.【解析】交换积分次序：11110000tan tan tan ln cos1x y xx dy dx dx dy xdx x x ===⎰⎰⎰⎰⎰ 14.【答案】-1【解析】设112α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由题设知A αλα=，故4121111211323112222a a λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故1a =-. 15.【答案】23【解析】0t x →，令x t u -=，则有00t x u x u xdt du du ++=-=⎰⎰⎰3300223122=limlim2limlim332xx uxu x x ux x x dueduxx du xx +→→→→====⎰⎰⎰原式16.【答案】2'''1112(1,1),(1,1),x x dyd yf f dxdx====【解析】 ()()'''''1212102''2''''''2''111221221222''''111220(,cos )(0)(1,1)sin (1,1)1(1,1)0(1,1)(sin )(sin )sin cos (1,1)(1,1)(1,1)x xx x x x x x x x y f e x y f dyf e f x f f f dxd y fef e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx =====⇒=⇒=+-=⋅+⋅=⇒=+-+-++-⇒=+-结论： '102''''11122(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)x x dy f dxd yf f f dx ====+-17.【答案】14【解析】 211122102000111111lim ln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nn k k k x x x dx x dx x x dx nn x →∞=-++=+=+=+⋅-=+∑⎰⎰⎰18.【解析】两边求导得：2233'33'0x y y y +-+= （1）令'0y =得1x =±对（1）式两边关于x 求导得 ()2266'3''3''0x y y y y y +++= （2）将1x =±代入原题给的等式中，得1110x x or y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， 将1,1x y ==代入（2）得''(1)10y =-< 将1,0x y =-=代入（2）得''(1)20y -=> 故1x =为极大值点，(1)1y =；1x =-为极小值点，(1)0y -= 19.【解析】（I ）()f x 二阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→>< 解：1）由于0()lim 0x f x x +→<，根据极限的保号性得0,(0,)x δδ∃>∀∈有()0f x x<，即()0f x < 进而()0(0,)0x fδδ∃∈<有又由于()f x 二阶可导，所以()f x 在[0,1]上必连续那么()f x 在[,1]δ上连续，由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得：至少存在一点(,1)ξδ∈，使()0f ξ=，即得证（II ）由（1）可知(0)0f =，(0,1),()0f ξξ∃∈=使，令()()'()F x f x f x =，则(0)()0f f ξ== 由罗尔定理(0,),'()0f ηξη∃∈=使，则(0)()()0F F F ηξ===，对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理：12(0,),(,)ηηηηξ∃∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠，使得12'()'()0F F ηη==，即()2'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。