解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
涂色问题的常见解法及策略
涂色问题的常见解法及策略涂色问题是在给定一定数量的图形或区域的情况下，选择不同的颜色对它们进行涂色，使得相邻的区域具有不同的颜色。
这个问题在计算机图像处理、地图着色、图论等领域都有广泛的应用。
本文将介绍常见的涂色问题解法及策略。
1. 回溯法回溯法是一种常见的解决涂色问题的策略。
其基本思想是尝试在每个区域上涂上一种颜色，并检查该颜色是否符合要求。
如果符合要求，则继续涂色下一个区域；如果不符合要求，则回溯到上一个区域重新选择颜色。
回溯法的算法步骤如下：1.选择一个起始区域。
2.在该区域上选择一种颜色，并检查是否与相邻区域的颜色冲突。
3.如果颜色冲突，则选择另一种颜色，并重新检查。
4.如果所有颜色都冲突，则回溯到上一个区域重新选择颜色。
5.重复步骤2-4，直到所有区域都被涂色。
回溯法的优点是简单易懂，容易实现。
但对于复杂的问题，可能会产生大量的重复计算，效率较低。
为了提高效率，可以采用剪枝或启发式搜索等技巧进行优化。
2. 图着色算法涂色问题可以看作是图着色问题的特例，其中每个区域可以看作是一个节点，相邻的区域之间有一条边。
因此，可以借用图着色算法来解决涂色问题。
图着色算法的基本思想是为每个节点选择一个颜色，并确保相邻节点具有不同的颜色。
常见的图着色算法有贪心算法、回溯法、禁忌搜索等。
其中，贪心算法是一种简单且高效的图着色算法。
其基本思想是每次选择一个颜色，并将其分配给当前节点，然后继续处理下一个节点。
在选择颜色时，优先选择与当前节点相邻节点颜色不同的颜色。
贪心算法的流程如下：1.对节点进行排序，按照节点的度从大到小排序。
2.依次处理每个节点，选择一个颜色，并将其分配给当前节点。
3.检查相邻节点的颜色，如果与当前节点的颜色相同，则选择另一种颜色，并重新检查。
4.重复步骤2-3，直到所有节点都被着色。
贪心算法的优点是简单高效，适用于大规模的问题。
然而，由于贪心算法的局部最优性，可能无法得到全局最优解。
3. 深度优先搜索深度优先搜索是一种常见的解决涂色问题的策略。
涂色问题的解题思路2
涂色问题的解题思路2解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1)2) 区域3与53)4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2 24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情① ②③④ ⑤ ⑥形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
妙解排列组合里的涂色问题
㊀㊀㊀妙解排列组合里的涂色问题◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．关键词:排列组合;涂色;解题技巧１一分步,二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题．图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数为:４ˑ３ˑ２ˑ１ˑ１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２种上色方法．图２推广１㊀如图２,用４种不同颜色给图中A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析已知条件要求,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,看似问题较为复杂,无从下手．结合图形解读问题要求,可以发现需要涂色的６个点可以分为上下两部分,即A ,D ,E 为一组,剩下的点B ,C ,F 为另一组．解答该问题可先使用分步法,后使用分类法．首先第一步涂色A ,D ,E ,即A ３４种方法;第二步分别涂色B ,C ,F ,即２ˑ４＋１ˑ３种方法．此时涂色方法总数为A ３４(２ˑ４＋１ˑ３)＝２６４种,所以一共有２６４种涂色方法．２一分类,二分步对于某些较为复杂繁琐的涂色问题,就需要首先以使用颜色的种类为依据进行分类,特别是不同的题目对于要求使用颜色的种类也不一样．当题目中出现要求三种颜色时就需要进行分类计数,如果没有出现最多使用三种颜色的要求,那么问题就更复杂了,还需要做深入的思考和处理,分类计数原理是处理此类复杂问题的首要方法．即解题步骤为首先分析题目要求的用色的种类,要求有最多使用三种颜色的就可以进行分类,如果没有最多三种颜色这个条件的要求,那么需要再思索．一般来说,中学阶段出现后面这种情况的题型很少．㊀图３例题２㊀幼儿园老师让班上的小朋友给图３中的四个格子涂色,其中要求:有６种不同的颜色可以使用,每一个格子一次只能涂一种颜色,一次使用的颜色最多只有三种且每两个相邻的格子颜色不能一样．那么不一样的涂色方式有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析题目信息可以知道,此题与例题１有共同的特点,就是结合使用分步和分类的方法来解题,但它明显比例题１复杂得多．因此对于此题应该首先以使用颜色的种类为依据来进行分类,这样就会简便许多,出错的几率也会相应减小．分类方式有两种:３８２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀第一种就是使用２种颜色涂,就有C １３A ２２＝３０种;第二种就是使用三种颜色上色,选颜色的方法就有C ３６＝２０种,选出３种颜色以后就在格子上上色的方法有C １３(２＋２＋２)＝１８种．根据分步计数原理就有:１８ˑC ３６＝３６０种．因此,一共有３０＋３６０＝３９０种上色方法．图４推广２㊀在一个正六边形的六个区域内栽种观赏植物,如图４,要求同一块区域内栽种同一种植物,相邻的两块区域种植不同的植物,现有４种不同的植物可供选择,则有㊀㊀㊀㊀种种植方案．分析:对问题所给条件分析,不难发现解答该问题需要使用分类计数原理和分步计数原理．以种植植物的种类个数为依据计算,进而求解具体种植方案仍具有一定难度．应考虑局部分类法,即以不相邻区域的种植植物种类个数为分类依据,进一步计算种植方案．则该问题可以分为三类情况:①区域A ,C ,E 种植同一种植物,剩下区域B ,D ,F 分别各有３种选择,即C １４ˑ３ˑ３ˑ３＝１０８种方案;②区域A ,C ,E 一共种植２种植物,剩下区域B ,D ,F 有３ˑ２ˑ２种选择,即C ２４C １３C １２ˑ３ˑ２ˑ２＝４３２种方案;③区域A ,C ,E 一共种植３种植物,剩下区域B ,D ,F 有２ˑ２ˑ２种选择,即A ３４ˑ２ˑ２ˑ２＝１９２种方案．所以,一共有种植方案１０８＋４３２＋１９２＝７３２种．３一平面,二空间对于一些很难掌握的点线面需要涂色的立体图形,由于相邻的地方比较多,因此就需要先把立体问题转化成为平面上的问题,然后再以使用颜色的种类为依据进行分类解答．即解题步骤为首先将立体图形转化成为平面图形,再根据题目情况分类,具体的分类情况由实际题目的要求决定,分类依据还是以使用的颜色种类为依据,分别进行讨论求解,最后所有情况相加就是需要求的总的情况数．例题３㊀已知有一个四棱锥P ＧA B C D ,如图５所示,使用４种不同的颜色在四棱锥的每个面上上色,要求相邻的区域颜色不同,一共有多少种涂法?图５㊀㊀图６分析:分析可知,此题需要将立体图形转化成平面图形,在平面区域中涂色．如图６所示,区域１,２,３,４等价于四棱锥的侧面,区域５等价于底面．下面就以使用的颜色的种类来分类:(１)使用３种颜色时:也就是区域１和３颜色一样㊁区域２和４颜色一样,那么就有A ３４种;(２)使用４种颜色时,那么根据要求区域１和３㊁区域２和４这两组里面只会有一组颜色一样,那么就有C １２A ４４种．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３４＋C １２A ４４＝７２种．推广３㊀用６种不同颜色给三棱柱A B C ＧD E F 的面涂色,如图７所示,要求有公共棱的平面涂色不相同,则有多少种涂色方法?图７㊀㊀图８分析:根据例题３可知,几何体有关于平面的涂色问题,解答时通常转化为平面图形进行求解．则该问题的求解思路与之类似,即将图７的三棱柱A B C ＧD E F 转变为图８的平面图形,以涂色颜色的种类为依据分类进行求解,其中图７中三棱柱的底面D E F 也需要涂色．由已知条件可知,至少需要上４种颜色,具体的解题过程为:使用４种颜色,即上下底面同一个颜色,则有A ３６C １３＝３６０种方法;使用５种颜色,即上下底面不同颜色,则有A ３６A ２３＝７２０种方法．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３６C １３＋A ３６A ２３＝１０８０种方法．涂色方法计数问题是目前排列组合问题的重难点,要学会正确的解答思路．解决此类问题的策略,首先要分析题目,然后再根据题目选择合适的解题方法,正确使用分类和分步计数原理．对于排列组合的基础知识也需要掌握牢固,避免出现基础性的错误．参考文献:[１]杨瑞强． 涂色型 排列组合问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２００８(４):１９Ｇ２０．[２]王东侠．例谈高考数学中 涂色 问题的处理技巧[J ]．河北理科教学研究,２０１２(３):４４Ｇ４５．[３]周建学．巧用捆绑法解 涂色 题[J ]．中学生数学(高中版),２００４(２３):１．Z４８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解决排列组合中涂色问题专题讲座
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，① ②③ ④ ⑤ ⑥4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
排列组合中的涂色问题1
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 二、点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A44
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
排列组合中涂色问题
一、区域涂色问题
1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
问题。
四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
排列组合中涂色问题的常见方法和策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有3A 种；① ②③ ④ ⑤ ⑥3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
解决排列组合中涂色问题专题讲座(有详细答案)
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；①②③④ ⑤⑥（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不⨯⨯⨯=种。
同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：34、根据相间区域使用颜色分类讨论。
例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜 色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。
②当相间区域A 、C 、E 着两种不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。
③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
总计有108432192732++=种不同的涂色方法。
5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。
例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。
8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)
排列组合问题之涂色问题（四个方面）一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。
根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。
例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种；㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A 种；㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有44A 种。
根据分类计数原理得涂色方法总数为445120A =。
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4解析：依题意至少要用3种颜色。
①若用3种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有34A 种；②若用4种颜色，则区域2与4同色，区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。
共有4种。
根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有3444272A A +=。
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。
例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析：可把问题分为三类：①四格涂不同的颜色，有34A 种；②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。
例谈涂色问题的常见方法及应对策略
６ 兜 秀 冕 舄 冕 ９
中学 数学 杂志
２ ０ １ ３年第 ７期
例 谈 涂 色 问题 的 常见 方 法及 应 对 策 略
曲阜 师 范大 学附属 中学 “ 涂 色 型”的排 列 组 合 问题 ， 立意新颖、 构 思 精 巧、 解法 灵 活 ， 能较 好地 考查 学生 分析 问题 和 解决 问 题 的能力 ． 解 决 涂 色 问题 的方 法 技 巧 性 强 且 灵 活 多 变， 这类 问题更 有 利 于 培养 学 生 的 创新 思维 及 分 析 ２ ７ ３ １ ６ ５ 张海 军
题 等价 于求方 程 。＋６＋ｃ＝ａ ｂ ｃ 的正 整数解 ．
１
＋
一
由于 口 ， ≥ｉ （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） ， 故
１
—
ｌ
＋ ０ ０３０４
１
１
＋
０ ｌ ｒ 上 ２ｒ 上４
１
≤
Ｚ ｘ ｊ ｘ 斗
不妨设 ｎ ≤ｂ ≤ｃ ， 三角形最小内角 ≤÷，
０， ２０ ， ３ ｎ４
ｒ 上 １Ｏ ￣ ２０， ３
１ １ ｌ ＋— １ Ｘ ３ —× ４ ＋— １ Ｘ ２ — Ｘ ４ ＋— １ Ｘ ２ — Ｘ ３ ＜ １ ．
故 。 ≤ 。 ： １ ， １ ＋ ６ ＋ 。 ： ６ ｃ ， 即 ÷＋ 十 ： １ ．
（ １ ） Ｂ用 四种颜 色 ， 则 有 ４必 与 Ｆ颜 色相 同 、 Ｃ与 颜
色相同， 故有 Ａ ： Ｘ １ ｘ １ ＝２ ４
种方法 ． （ ２ ） Ｂ、 Ｆ、 Ｅ、 Ｄ 用 三 种 颜
与解决问题 的能力 ， 是近几年高考及竞赛试题改革
的一个 新亮 点． 解 决此 类 问题 的关键 是 找 准 突破 口 ， 进行恰 当的分 类 讨 论 ． 本 文 以近 几 年 的高 考 及 竞 赛 题为 例总 结涂 色 问题 的常见方 法及应 对策 略． 例 １ （ ２ ０ １ ０年 天津卷 ）如 图 １ ， 用 四种 不 同颜
排列组合中涂色问题1
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略江苏省阜宁中学 刘 佐与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120①②③④⑤ ⑥例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与42) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
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解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；l（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法① ②③ ④ ⑤ ⑥共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类： （1） 四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只12542C A ； 5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++= 4、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108⨯⨯⨯=种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2） 当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。
（3） 若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607420⨯=解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 解答略。
三、线段涂色问题1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A 种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A ++=种 解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同， 故有36A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
四、面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？⇒ 解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=BC。