离散数学版屈婉玲(答案)

《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)

1.答：（2），（3），（4）

2.答：（2），（3），（4），（5），（6）

3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是

（4）是，T （5）不是（6）不是

4.答：（4）

5.答：⌝P ，Q→P

6.答：P(x)∨∃yR(y)

7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))

8、

c、P→(P∧(Q→P))

解：P→(P∧(Q→P))

⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))

⇔⌝P∨P

⇔ 1 (主合取范式)

⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）

d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))

解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))

⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))

⇔ P∨Q∨R

⇔ M0 (主合取范式)

⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、

b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)

证明：

（1） P 附加前提

（2） Q 附加前提

（3） P→(Q→R) 前提

（4） Q→R （1），（3）假言推理

（5） R （2），（4）假言推理

（6） R→(Q→S) 前提

（7） Q→S （5），（6）假言推理

（8） S （2），（7）假言推理

d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P

证明、

(1) P 附加前提

（2） P→⌝Q 前提

（3）⌝Q （1），（2）假言推理

（4） Q∨⌝R 前提

(5) ⌝R （3），（4）析取三段论

(6 ) R∧⌝S 前提

（7） R （6）化简

（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取

所以该推理正确

10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))

⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))

⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)

⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)

⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)

⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))

（集合论部分）

1、答：(4)

2.答：32

3.答：（3）

4. 答：（4）

5.答：（2），（4）

6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：

a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)

证明：

(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）

=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）

=A⋂（B-C）

b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)

证明：

(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)

=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)

（二元关系部分）

1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}

2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}

R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝

3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,

<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

4.

答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010000

00001 R 1

-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000010000000001

5、解：

（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、

传递的；

（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛011101110;它是反

自反的、对称的；

（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛100001110;它既不是自反的、也

不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。 6、解：

R 诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。 7．画出下列集合关于整除关系的哈斯图.

(1){1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. (2){1,2,…..,9}.

并指出它的极小元，最小元，极大元，最大元。

在图（1）极小元，最小元是1，极大元，最大元是24；

在图（2）中极小元，最小元是1，极大元是5，6，7，8，9，没有最大元。

第5章 函数

1.解

(1){<1，a >，<2，a >

，<3，c >}的定义域为A ，值域为{a ，c }。又由于它满足单值性，所以它是函数，但因为1和2都对应a ，它不是单射，{a ，c }≠B ，它不是满射。

(2){<1，c >，<2，a >，<3，b >}的定义域为A ，值域是B 。又由于它满足单值性，所以它是函数，且是单射。满射和双射。

(3){<1，a >，<1，b >，<3，c >}的定义域为A ，值域是B 。由于它不满足单值性，所以它不是函数，更不是单射、满射和双射。

(4){<1，b >，<2，b >，<3，b >}的定义域为A ，值域是{b }。由于它满足单值性，所以它是函数，因为1、2和3都对应b ，所以它不是单射，由于{b }≠B ，所以它不是满射。

2.解

(1)不同的函数共n m 个。

(2)显然当|m |≤|n |时，存在单射。 (3)显然当|n |≤|m |时，存在满射。 (4)显然当|m |＝|n |时，才存在双射。 3.解

因为g f (x )＝f (g (x ))＝f (3x ＋1)＝3(3x ＋1)＝9x ＋3，h g (x )＝g (h (x ))＝g (3x ＋2)＝3(3x ＋2)＋