指数与对数运算练习题教学内容
数学指数函数与对数函数的应用教案
数学指数函数与对数函数的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解指数函数和对数函数的定义和性质；2. 掌握指数函数和对数函数的运算法则；3. 理解指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
二、教学重点1. 指数函数和对数函数的定义和性质；2. 指数函数和对数函数的运算法则；3. 指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
三、教学内容及安排1. 指数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入指数函数的概念；2. 引导学生思考指数函数的定义和性质。
2. 指数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍指数函数的定义和符号表示；2. 讲解指数函数的性质，如指数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解指数函数的特点。
3. 指数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍指数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行指数函数的简化和计算。
4. 对数函数的引入（5分钟）1. 通过例子引入对数函数的概念；2. 引导学生思考对数函数的定义和性质。
5. 对数函数的定义和性质（15分钟）1. 介绍对数函数的定义和符号表示；2. 讲解对数函数的性质，如对数函数的增减性、奇偶性等；3. 给出一些例子，让学生通过观察图像来了解对数函数的特点。
6. 对数函数的运算法则（15分钟）1. 介绍对数函数的乘法法则、幂法则和除法法则；2. 通过例题演示如何运用这些法则进行对数函数的简化和计算。
7. 指数函数和对数函数的应用（20分钟）1. 介绍指数函数在复利计算、人口增长等领域的应用；2. 介绍对数函数在测量震级、pH值等领域的应用；3. 给出一些实际问题，让学生通过应用指数函数和对数函数进行求解。
8. 拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考其他领域中指数函数和对数函数的应用；2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识。
四、教学方法1. 示范法：通过举例和演算，引导学生理解和掌握指数函数和对数函数的定义、性质和运算法则。
数学指数函数与对数函数的运算教案
数学指数函数与对数函数的运算教案本教案的目标是帮助学生理解并掌握数学指数函数和对数函数的运算规则。
通过本教案的学习，学生将能够正确地进行指数函数和对数函数之间的运算，提高数学运算的能力。
以下是本教案的教学内容：一、引言在数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念和工具。
指数函数描述了指数增长的数学规律，而对数函数则是指数函数的逆运算。
理解和掌握指数函数和对数函数的运算规则对于解决实际问题和进一步深入学习数学都非常重要。
二、指数函数与对数函数的定义1. 指数函数的定义：指数函数是以常数e（约等于2.71828）为底的幂函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数，x为自变量。
2. 对数函数的定义：对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数，x为正实数。
三、指数函数与对数函数的基本性质1. 指数函数的性质：- a^0 = 1，任何实数的零次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，指数之间的乘法等于底数不变的加法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
- a^(-n) = 1/(a^n)，负指数等于倒数。
2. 对数函数的性质：- logₐ1 = 0，任何底数为正实数的对数1等于0。
- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
- logₐ(a^n) = n*logₐa，对数的乘方等于指数乘以对数底数。
- logₐ(1/a) = -logₐa，底数的倒数的对数等于对数的相反数。
四、指数函数与对数函数的运算规则1. 指数函数的运算规则：- a^m * a^n = a^(m+n)，指数相加等于底数不变的乘法。
- (a^m)/(a^n) = a^(m-n)，指数相减等于底数不变的除法。
- (a^m)^n = a^(m*n)，指数的乘方等于底数不变的乘法。
2. 对数函数的运算规则：- logₐ(a*b) = logₐa + logₐb，对数的乘法等于对数分解后的加法。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
数学指数与对数的基本概念与运算
数学指数与对数的基本概念与运算教案主题：数学指数与对数的基本概念与运算1. 导入在日常生活中，我们经常会遇到一些大的数值或小的数值。
而为了更方便地表示和计算这些数，数学家们引入了指数和对数的概念。
本节课我们将学习指数与对数的基本概念与运算方法。
2. 指数的基本概念2.1 指数的定义指数就是表示某个数连乘若干次的方式。
比如，a的n次方（a^n）表示将a连乘n次的结果。
其中，a为底数，n为指数。
2.2 指数的性质- 同底数相乘，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)- 乘方的乘方，指数相乘：(a^m)^n = a^(m*n)- 连续乘方，指数相乘：a^m * a^m = a^(m*n)- 除方的除方，指数相减：a^m / a^n = a^(m-n)- 零次幂等于1：a^0 = 1 （其中，a ≠ 0）- 负指数等于倒数：a^(-n) = 1 / a^n （其中，a ≠ 0）3. 对数的基本概念3.1 对数的定义对数就是指数的逆运算。
对于正数a（a > 0）和正整数b（b > 0，且b ≠ 1），记作logb(a) = n，表示b的n次方等于a。
3.2 对数的性质- 对数的乘法法则：logb(a * c) = logb(a) + logb(c)- 对数的除法法则：logb(a / c) = logb(a) - logb(c)- 对数的乘方法则：logb(a^m) = m * logb(a)- 对数的换底公式：logb(a) = logc(a) / logc(b)4. 指数和对数的运算方法4.1 指数运算法则- 同底数相乘，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)- 乘方的乘方，指数相乘：(a^m)^n = a^(m*n)- 连续乘方，指数相乘：a^m * a^m = a^(m*n)- 除方的除方，指数相减：a^m / a^n = a^(m-n)4.2 对数运算法则- 对数的乘法法则：logb(a * c) = logb(a) + logb(c)- 对数的除法法则：logb(a / c) = logb(a) - logb(c)- 对数的乘方法则：logb(a^m) = m * logb(a)5. 练习题5.1 计算下列式子的值：- 2^3 * 2^2 = ?- 10^5 / 10^3 = ?- 5^0 = ?- 3^(-2) = ?5.2 计算下列式子的值：- log2(4 * 8) = ?- log5(125 / 5) = ?- log3(27^2) = ?- log10(1000) = ?6. 总结和归纳通过本节课的学习，我们掌握了指数和对数的基本概念和运算方法。
指数对数运算习题 (1)
第1节实数指数幂的运算（2课时）考试要求1 .理解有理指数幂的概念。
2 .会进行有理指数幂的计算。
知识精讲1 .有理指数幂的有关概念。
（1）零指数幂：a 0=（a 丰0）。
（2）负整数指数幂:"Z —（n e N +,a20）。
（3）分数指数幂：+(a>0,m ,n 互质m ,n e N )。
(a>0,m ,n 互质m ,n e N )。
2 .幂的运算性质：（a >0,b >0,m ,n e R ）a m—， a n(a m )n=51 .有下列运算结果（1）（-1）0J ；（2）、而=a ；（3）（a -2）2二a ；（4）a 3+a 3二a 3；（5）33*33二3，则其中正确的个数是（）。
A.0B.1C.2D.32 .把下列各式化成分数指数幂的形式5（a ）n =3.根式的概念（1）式子nN 叫做根式，这里n 叫做(1) a m a n (2) (3)(4) (ab )m —(2)(nja )n—(3)当nn a n —|a I —基础训练为奇数时，—(a >0)(n >1,n e N )。
n a n — ，当n 为偶数时，（1）3a2—，（2）1—aa33a_—,跖 3a 2+b 3=， i^i_(a 5*b 3)5=，4a 2b 3=。
3.比较下列各题中的两个数值的大小(用“>”“<”“=”填空)（1） 1(-100)022（2）227-33-2（3） 1111 (-)-3(一)-3 827（4）典型例题 11 16481-4【例1】化简计算 （1）⑵[(3)-3]3-(-5)04(3) 3<3义3：3义6/3(4) b 2b 2b()4+()0*(--)-42a 23aa变式训练6789计算：L (17)0+4-1x 《厂2-0.012 7V3x 4'3x 4'271282-1x 643+273+(3+<5)0 9v7y7xv\/7（3） （4） （5）（6）(1)m +m -11 mn (2)二3，求下列各式的值 (3)m 3+m -3 变式训练1.已知a-a -1=2, 求（1） a 2+a -2；(2)巩固练习一、选择题1.计算(-8)A.4 ）。
指数与对数的计算教案
指数与对数的计算教案一、教学目标1. 理解指数的概念，能够计算指数运算；2. 理解对数的概念，能够计算对数运算；3. 能够应用指数和对数的计算方法解决实际问题。
二、教学内容1. 指数的定义和性质；2. 指数计算的基本规则；3. 对数的定义和性质；4. 对数计算的基本规则；5. 应用题训练。
三、教学过程第一节指数的定义和性质指数是数学中常用的一种运算符号，表示一个数自乘若干次。
例如，2³表示2自乘3次，即2×2×2=8。
1. 引入指数的概念指数运算可以用来表示重复乘法的简化形式，如何理解指数运算对求解问题的帮助？2. 指数的定义与性质指数的定义：aⁿ=a×a×a× ... ×a（n个a相乘）指数的性质：幂的乘法、幂的除法、幂的幂第二节指数计算的基本规则1. 同底数幂相乘和幂相除的规则2. 指数为零和指数为一的特殊情况第三节对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，它可以简化指数运算的计算过程。
1. 引入对数的概念对数运算可以帮助我们解决指数运算中的问题，如何理解对数运算对求解问题的帮助？2. 对数的定义与性质定义：例如，log₃9=2，表示3的几次方等于9。
性质：对数运算的乘法、对数运算的除法第四节对数计算的基本规则1. 换底公式2. 对数的乘法和除法规则第五节应用题训练将指数和对数的计算方法应用到实际问题中，例如：1. 求解指数方程2. 计算复利问题3. 解决科学计数法问题四、教学评价1. 在教学过程中，要通过合作学习的形式，让学生互相讨论解题思路，提高学生的合作与交流能力；2. 在教学结束前，可以布置一些练习题，检验学生对指数和对数计算的掌握程度；3. 在课后，搜集一些实际应用问题，让学生自主解决，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
五、教学反思本教案通过引入指数和对数的概念，系统地介绍了其定义、性质和计算规则，并结合应用题进行训练。
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
新高考数学计算题型精练 指数运算与对数运算(解析版)
新高考数学计算题型精练指数与对数运算1．求值：(1))20.51π316-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)2ln 31274e log 9log 8lg 4lg 25-⋅++．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式123493711041644⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭（2）原式ln923e log 3log 2lg10091212=+⋅+=++=．2．计算(1)1223182π4-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)2log 321log lg 2lg 528--+【答案】(1)5(2)1-【详解】（1）()1122222333132282π214154233--⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++-++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）()2log 321log lg 2lg 523lg 2lg 5318--+=--++=-3．求值：(1)(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．【答案】(1)3(2)10【详解】（1）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=；（2）原式ln 923elog 3log 2lg10091210=-⋅+=-+=；综上，（1）原式=3；（2）原式=10.4．计算:(1)341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯；(2)21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯++.【答案】(1)2(2)4【详解】（1）341lg2lg 3lg5log 2log 94-+-⨯2232log 9lg2lg23lg5log 2log 4-=-+-⨯32lg22lg23lg5log 2log 3=++-⨯3(lg2lg5)1=+-3lg101=-31=-2=.（2）21log 3231lglog 3log log 52100+-⨯+2log 322222log log 512log 322log 5log 32=--⨯++⨯112622=--++4=.5．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋－；(2)55557log 352log log 7log 1.83-+-.【答案】(1)9100(2)2【详解】（1）原式210.5332333351053-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦95510033=+-9100=（2）原式5555499log 35log log 7log 95=-+-5499log 35795⎛⎫=÷⨯÷ ⎪⎝⎭5log 252==6．计算：(2)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭【答案】(1)4-(2)1【详解】（11128125lg 25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（2）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．7．计算或化简下列各式：(1)()1223164⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(2)228393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)(lg 2)lg 20lg5+++++⨯【答案】(1)3(2)172【详解】（1）原式221111111113332362362222255122ln e 333233422++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-++⨯⨯=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=()22233322log 3log 32log 2log 2log 2lg 2lg 20lg 533⎛⎫⎛⎫+++++⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22235915log 3log 2lg 2lg 20lg5lg 2lg 21lg5322=⨯++⨯=+++⨯()()()215151517lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg 2lg5lg5lg 2lg52222=+++=+++=++=8．计算下列各式的值：(1)2237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭；(2)2log 331log 27lg2100++．【答案】(1)1π4+(2)92【详解】（1）02237828-⎛⎫--+⎪⎝⎭()23321213π2=-+-+141π34=-+-+1π4=+；（2）21log 33223311l 2og 27lg 2log 3lg10ln e 332310092-++=+++=-=++．9．计算下列各式的值：(1)213112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)3332log 2log 32log 8-+.【答案】(1)5.5(2)0【详解】（1）原式230.52120.54 5.5=-+-=-+=；（2）原式3333348log 4log 32log 8log log 1032⨯=-+===.10．计算下列两个小题：(1)ln 31e2lg15lg 3++；(2)0.25608π+．【答案】(1)4(2)75【详解】（1）ln 3111e2lg15lg 3lg 2lg15lg 3lg 2154333⎛⎫++=+++=+⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）660.750.2650.25085221289π17=⨯+⨯+=+⨯=++.11．求下列式子的值：(1)()()12623129.684-⎛⎫+--- ⎪⎝⎭.(2)ln334lg252lg2log 16log 3e +-⋅+.【答案】(1)0(2)3【详解】（1）()()()()126203122332129.68931912412 1.05444--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤+--- ⎪⎣⎦⎝⎭==+--=（2）ln33434lg252lg2log 16log 3e lg25lg42log log 33lg1002324233+-⋅++-⋅+=-+=-+==12．计算与化简：(1)453log 27log 8log 25⨯⨯(2)12271112333662228a a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(3)10220.51392(0.01)54-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.【答案】(1)9(2)b -(3)5140(4)3【详解】（1）原式3lg 33lg 22lg 592lg 2lg 5lg 3=⨯⨯=；（2）原式12711122363262328a b b-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）原式131511421040=+⨯-=（4）原式()()22lg 52lg 2lg 5lg 52lg 2lg 2=++++()()22lg 5lg 2lg 2lg 5=+++2213=+=13．（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595.【答案】（1）12；（2）2【详解】解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48---+1﹣2327()8+2.25＝32﹣1﹣2333(2⎡⎤⎢⎥⎣⎦+2.25＝32﹣1﹣94+94＝12；（2）log 535﹣2log 573+log 57﹣log 595＝log 5[35÷（499）×7÷95]＝log 5（35×949×7×59）＝log 525＝2．14．化简求值：(1)2133325-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)7log 2log lg 25lg 47++.【答案】(1)12-(2)112【详解】（1）原式1213331182212122-=-⨯+=-+=-.（2）原式331311log 3lg100222222=++=++=.15．化简或求值：(1)0.5207120.1π93-⎛⎫+-+⎪⎝⎭；(2)7lg142lg lg 7lg183-+-；【答案】(1)101；(2)0；(3)1.【详解】（1）0.5207120.1π93-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭1225151100110011019333⎛⎫=+-+=+-+= ⎪⎝⎭；（2）7lg142lg lg 7lg183-+-27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭9lg 1471849⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭lg1=0=；（3211-=.16．计算：(1))()1211610.259-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+．【答案】(1)23-(2)6【详解】（1）原式4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=17．计算下列各式的值：(1)()6221103321642e 453π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)ln 2352log 27lg2lg5log 16log e ---⋅．【答案】(1)2023(2)2【详解】（1）()6221103321642e π453-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭611223243245⎛⎫=+-+⨯ ⎪⎝⎭232345=+⨯2023=．（2）()ln 235log 27lg2lg5log 16log e-+-⋅ln25=31log 16log e --⋅()ln 2521=24log 2log 5e =2222-⋅+-+=2．18．计算下列各题：(1)()20.5312816410.751627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()70log 23log lg 25lg 479.8+++-.【答案】(1)94(2)132【详解】（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++=.19．化简求值(1)1131227(0.002)2)8--⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)()266661log 3log 2log 18log 4⎡⎤-+⨯÷⎣⎦．【答案】(1)372-(2)1【详解】（1）原式)113131232271350010285002-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3372022=+-=-.（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 43⎡⎤=-++⋅⨯÷⎢⎥⎣⎦()()()26666612log 3log 31log 31log 3log 4⎡⎤=-++-+÷⎣⎦()()22666612log 3log 31log 3log 4⎡⎤=-++-÷⎣⎦()666666621log 3log 6log 3log 212log 2log 2log 2--====.20．（1）计算：1222301322(2.5)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知7log 23log 27lg252lg27x a =++-，求33x xx xa a a a--++的值．【答案】（1）12；（2）739．【详解】（1）原式123232223333391991122222444212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦⎝⎭．（2）()33log 32lg52lg2232lg5lg223223x a =++-=++-=+-=，所以()()()()3322331xx xx x xx xx x x xx xa a aa a a a a a a a a a a -------++⋅-++==+++()()()22222222117311131.39xxxxxx aaaa aa --⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【答案】(1)4(2)7【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log 22log 212log 292ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.22．求值：()1220348π49-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭;(2)3323log 54log 2log 3log 4-+⋅.【答案】(1)172；(2)5.【详解】（11215321022532233317(2)(2)1[(]22122248(π4)()9-=++++-+=++=+.（2）322332332322log 454log 54log 2log 3log 4log log 3log 3log 23252log 3-+⋅=+⋅=+=+=.23．计算下列式子(1)()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-2334lo g log ⨯【答案】(1)132(2)8-【详解】（1）()7l 0o 2g lg25+lg4l 79og .8+++-3233133lg1002122122log =+++=+++=.（22334lo g log ⨯()222log lo 4lg100036281312g log =-⨯=--=-⨯-.24．计算：()031438162-⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭；(2)223lg 2lg 5log log 64++-．【答案】(1)118(2)-2【详解】（1）原式()13314334311111122124488⨯⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=---+=-++= ⎪⎝⎭（2）原式()22lg 25log 32log 312=⨯+---=-25．计算：223327-⋅+；(2)()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-．【答案】(1)27-(2)1【详解】（1）依题意，223327⋅+()22233433=--⋅+(2224332=--⋅+(224272=--+231227=-+=-（2）()()()221004lg 2log 2lg 5lg 23++-()()4lg 2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 23lg100⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭4lg 2lg 2lg 5lg 232⎛⎫=++- ⎪⎝⎭43lg 25lg 322=⋅+52lg 2lg2=+25lg 2lg 2=+5lg 412⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭26．求值：(1)01310.0277-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；(2)ln 21lg20lg4lg e 5-++.【答案】(1)73；(2)2.【详解】（1）()()111341334170.0270.3120.31273---⎛⎫+-+-=+-=⎪⎝⎭；（2）ln 21201lg20lg4lg e lg 2lg122545⎛⎫-++=⨯+=+= ⎪⎝⎭.27．求值：(1)))2202220223272264-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；(2)()9log 1620427log 9log 643lg 2lg 5lg 12022lg 5⨯++⨯+++．【答案】(1)3(2)7【详解】（1）原式()20222162113999++-=++=.（2）原式()3log 4223log 3log 43lg 2lg 5lg 2lg 524lg 2lg 5lg 2lg 5=⨯++⨯++=++++6lg 2lg5617=++=+=.28．计算(1))2log 3lg12lg1001-+-(2))0.523124-⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】(1)2；(2)1π3-.【详解】（1）)2log 3lg12lg1001-+-)32lg101=-+-321=-+2=；（2）)0.523124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭20.5233233π22-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦13π322-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭1π3=-.29．计算下列各式的值：(1)11421481⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯.【答案】(1)143(2)2【详解】（1）114211423314813⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=．（2）33252log 2log 12l 8og 5log -+⨯321log log 32381==-+=+．30．求下列各式的值：(1)134440.06425--⎛⎫---⋅⎪⎝⎭(2)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+．【答案】(1)1516(2)2【详解】（1）原式1159151910.41621616=--⨯=--=．（2）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=．31．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100--⋅．【答案】(1)2916(2)74-【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.32．计算下列各式的值：(1)2log 23log lg 5lg 22++．(2)cos 20sin 50cos50cos70︒︒-︒︒．【答案】(1)72(2)12【详解】（1）2log 2317log lg 5lg 22lg10222++=++=；（2）cos 20sin 50cos50cos70cos 20sin 50cos50sin 20︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1sin 50202=︒-︒=.33．计算下列各式，写出演算过程(1)1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++---⋅.【答案】(1)72(2)12-【详解】（1）解：原式23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-.34．化简求值：(1)213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭(2)2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++．【答案】(1)7318；(2)4.【详解】（1）213240330.250.53π)0.0648---⎛⎫⨯---++ ⎪⎝⎭212433331132124225---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦45731129218=--++=；（2）2log 314319lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg 5lg 2log 33log 222=++-⨯++()32314lg 52log 33log 222=+⨯-⨯++41324=+-+=.35．求值：(1)()11202929.3log 443-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 2lg2lg5lg15+++【答案】(1)1(2)3【详解】（1）()111222029233339.3log 412121432222-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=--+=--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）5log 2lg 2lg 5lg15lg1002123+++=++=+=.36．化简求值：1020.5+(2)0.21log 53212lg5log 25lg 4-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【答案】(1)3(2)2【详解】（1）原式3322=++=（2）原式155log 522lg5log 22lg 25=-++()15log 52112lg 5lg 2log 255-⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭151log 511552⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=11255=-+2=37．计算下列各式的值：(1)1013352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1433log lg 253log 3lg 43+-+【答案】(1)3(2)1【详解】（1）解：113352943-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112133334413355⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11213333443355+⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1433log lg 253log 3lg 4+-+343331log 3log 32lg53log 32lg 24=-+-⨯+3312(lg5lg 2)44=-++-12lg101=-+=.38．化简求值：(1)312log 14lg 2lg529-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；(2)71113sin cos tan 634πππ++.【答案】(1)32(2)1【详解】（1）原式()1220233lg 25211322-⎡⎤⎛⎫=+⨯-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式πππsin πcos 4πtan2ππ634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan π634⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭11πtan 1224=-++=39．化简或求值(1)11034781(0.064)()()|0.1|816---++-(2)7lg142lg lg 7lg183-+-【答案】(1)3110(2)0(3)5π-【详解】（1）11034781(0.064)()()|0.1|816---++-1310.10.42=-++53112210=-++1310=+31.10=（2）27lg142lg lg 7lg1837lg14lg lg 7lg1839lg 1471849lg10.-+-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⨯÷ ⎪⎝⎭==（3）325.πππ+=-+-=--=-40．计算求值(1)2ln 38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(2)419log 8log 34--【答案】(1)11(2)2-【详解】（1）2ln 38916log 27log 6log 6e⨯÷+ln92361log 3log 64log 2e 2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（2）419log 8log 34--2331log 2log 322=---314222=+-=-.41．计算：(1)()110520.01321π---+；(2)3log 22log 8lg 2lg53++-．【答案】(1)5(2)2【详解】（1）()110520.01321102125π---+=---=；（2）()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=．42．计算：(1)1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭(2)2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+.【答案】(1)94(2)1【详解】（1）解：1123182427-⎛⎫-+ ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎝⎭1132233223-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ =⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123223323232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭33992244-+==.（2）解：2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+()lg 2lg5lg 2lg5=++()lg 2lg 5lg 25=+⋅⨯()lg 2lg 5lg 251=+=⨯=.43．化简求值：)2138227--⎛⎫++⎪⎝⎭；(2)3log 211lg 9lg 240292361lg 27lg 35+-+-+.【答案】π(2)3【详解】（1）原式2335259π32π3π4344⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+-=-+++-= ⎪⎝⎭．（2）原式32log 21lglg10lg 3lg 24083414336lg8lg10lg 9lg 5+-=+=+=-+=-+.44．求值：(1)230323(8)π)-+-；(2)()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯．【答案】(1)2(2)0【详解】（1）2331032223(π)3313212-=-+⨯=-+=（2）()22824log 27(lg 5)(lg 2)lg 5lg log 16log 9+-+⨯32322222log 3(lg 5)(lg 2)2lg 5lg 2log 3=+-+⨯2(lg 5lg 2)1110=+-=-=45．计算：(1)ln 2lg252lg2e ++(2)()20.5133890.1252749--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)4(2)19【详解】（1）原式lg25lg42lg1002224=++=+=+=.（2）原式2132(0.5)3()332313724712939⨯⨯-⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.46．（1）求值：3204161)++；（2）求值：5log 2lg25lg45log +++．【答案】（1）12；（2）112．【详解】（1）原式()343432132112=++=++=（2）原式()323lg 2542log 3=⨯++3lg10022=++112=47．求值：(1)()1430513π38-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)()2273log 8log 7log log 81+⨯．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）()143015545143π32312381-+⎛⎫-- =+=⎝+⎭-⎪-=；（2）()2273274log 8log 7log log 813log 7log +⨯=+⨯273log 72l 5og 22==++=⨯.48．（1）)1334ln 22811e 162022⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()314163log 4log 2log log 3⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）5；（2）12．【详解】（1）原式31442433333214152222⨯⎛⎫⎛⎫=++-=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()(3344341log 4log 2log log log 2log 32=-=⨯=．49．计算：(1)212232327(1)(()[(3)]28--+⋅+-；(2)232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+【答案】(1)5(2)32【详解】（1）22122233323272349(1)()()[(3)]1()[()]3135283294--+⋅+-=+⋅+=+⨯+=（2）232lg5lg 4log 3log 4log +-⋅+lg 32lg 23332lg 52lg 22(lg 5lg 2)2lg 2lg 3222=+-⨯+=+-+=50．计算下列各式的值：(1)2ln 21elglg 202--；(2)232lg 25lg8log 27log 23+-⨯.【答案】(1)3.(2)1-.【详解】（1）22ln 2ln 2111e lg lg 20e (lg lg 20)4lg(20)4lg10413222--=-+=-⨯=-=-=.（2）2232323232lg 25lg8log 27log 2lg(258)log 27log 2lg103log 3log 22313+-⨯=⨯-⨯=-⨯=-=-.51．化简下列各式：(1)75sincos cos(5)tan 224ππππ++-+；(2)24log 32log 0.252lg 42lg 5⋅++++⋅【答案】(1)-1(2)1592【详解】（1）原式3sincos cos 11011122πππ=+++=-+-+=-.（2）原式421log 322242221log ln e 2lg 4lg55123)log (lg 24lg 4-=++++=++++1159281lg100222=-+++-=.52．计算下列各式的值：(1)()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)07log 2(9.8)log lg25lg47+-++.【答案】(1)3；(2)132【详解】（1）原式2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++3232=++132=53．计算求值：(1))()140231101108200-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭；(2)(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．【答案】(1)36(2)9【详解】（1）原式()()43431010220236⎡⎤=++-=+-=⎣⎦；（2）原式()2log 3212lg 32lg 2lg 22lg 528lg 524lg 2lg 3⎛⎫=++⨯++⋅ ⎪⎝⎭()22lg 2lg 52lg 22lg 5342lg 5lg 2lg 52lg 27=++++=+++()2lg 5lg 27279=++=+=.54．计算下列各式的值：(1)(332212234-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)5log 3333322log 4log log 2527-++【答案】(1)1(2)6【详解】（1）(33332221392213424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33233233331112222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）5log 3333322log 4log log 2527-++23332log 423log 27333627⎛⎫=÷⨯+=+=+= ⎪⎝⎭55．求下列各式的值：(1)1220.2531222854--⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)158311lglog 9log 125log 10032+--.【答案】(1)56-(2)163-【详解】（1）()112112220.25344311315222812212544266---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⨯=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）3235158352311516lglog 9log 125log lg10log 9log 5log 22231003233--+--=---=---+=-.56．化简求值：())13320,0a b a b ->>；(2)7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+.【答案】(1)1(2)7【详解】（1）因为0,0a b >>()31332221b a ab --⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，()31333222a a b b --=，所以原式332233221a b a b--==；（2）7log 52225lg5lg 2lg 2lg5log 5log 47+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+()25lg 5lg 2lg 2lg 5log 5log 25=+++⨯+lg 5lg 2157=+++=.57．计算：(1)21304816π27-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)3ln 22552lg 4lg log 5log 4e 8++⋅+.【答案】(1)154-(2)11【详解】（1）解：原式()231344291521524344-⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）解：原式()32ln 25ln 52ln 2lg 4e 128118ln 2ln 5⎛⎫=⨯+⋅+=++= ⎪⎝⎭.58．计算：(1)5log 3311845log 11log 27log 2log 8-⋅++；(2)若33m m --=99m m -+的值.【答案】(1)116(2)9914m m -+=.【详解】（1）原式31122133log 113log 3log 2log 232=-⨯++131133326=-++=.（2）将等式33m m --=99212m m -+-=，则9914m m -+=.。
数学指数函数与对数函数教案
数学指数函数与对数函数教案教案内容：一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解指数函数与对数函数的基本概念；2. 掌握指数函数与对数函数的图像性质；3. 熟练运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题。
二、教学重点1. 指数函数与对数函数的定义与性质；2. 指数函数与对数函数的图像；3. 指数函数与对数函数在实际问题中的应用。
三、教学内容1. 指数函数的定义与性质指数函数是指具有形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
在教学中，我们着重讲解指数函数的定义与性质，包括：1.1 指数函数的定义：y=a^x；1.2 指数函数的图像特点：与a、x的取值相关；1.3 指数函数的性质：a）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；b）同底数幂相除，底数不变，指数相减；c）指数为0的幂等于1；d）若指数为正，函数单调递增；若指数为负，函数单调递减。
2. 对数函数的定义与性质对数函数是指具有形如y=loga(x)的函数，其中a>0且a≠1。
在教学中，我们重点介绍对数函数的定义与性质，包括：2.1 对数函数的定义：y=loga(x)；2.2 对数函数的图像特点：与a、x的取值相关；2.3 对数函数的性质：a）对数的底数不为0、不为1；b）对数与指数是互反运算；c）对数函数的增长特点：当x增大时，对数值增大；当x减小时，对数值减小；d）对数函数在坐标系中的对称性。
3. 指数函数与对数函数的图像通过绘制指数函数和对数函数的图像，让学生对其形态和性质进行直观感受。
3.1 指数函数的图像特点：a）当0<a<1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递减；b）当a>1时，函数图像经过点(0, 1)且单调递增。
3.2 对数函数的图像特点：a）对数函数的图像都经过点(1, 0)；b）当0<a<1时，函数图像在y轴的正半轴上递减；c）当a>1时，函数图像在y轴的正半轴上递增。
4. 指数函数与对数函数的应用通过实际问题的讲解，让学生认识指数函数和对数函数在各个领域的应用。
指数和对数运算学案教案.doc
指数(一)一、预习提纲1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=43421Λ个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn∈≠=- 2．运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3.根式的运算性质：当n 为任意正整数时，(n a )n =a.当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .2.根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. (1)nmnmnm aaa11==- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.3．分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、讲解新课：1．根式：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 例1求值① 33)8(-= ； ②2)10(-=; ②44)3(π-= ； ④)()(2b a b a >-=.例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++解：例3:求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例4：用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)例5：计算：()[]91385256323075.0--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---三、课练试题： 1. 求下列各式的值(1)44100; (2)55)5.0(-; (3)2)4(-π; (4)).()(66y x y x >-2.比较63123,11,5的大小.3.用根式的形式表示下列各式.(1)51a ; (2)43a ; (3)53-a; (4)32-a.四、课后作业：1．用分数指数幂表示下列各式(其中各式字母均为正数)⑴43a a ⋅; ⑵a a a ; ⑶32)(b a -; ⑷322b a ab +.2.化简：()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2123( )。
指数函数与对数函数练习题(含详解)
指数函数1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为。
2。
指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量,函数的定义域.2。
对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，。
奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内,从顺时针方向看图象，逐渐减小。
指数函数习题一、选择题1．定义运算a⊗b＝错误!,则函数f（x）＝1⊗2x的图象大致为（)2．函数f(x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x)＝f(1－x)且f（0）＝3，则f(b x)与f（c x)的大小关系是( )A．f（b x)≤f(c x)B．f（b x)≥f(c x)C．f（b x)>f（c x）D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1｜在区间(k－1，k＋1）内不单调,则k的取值范围是（）A．(－1，＋∞) B．(－∞，1）C．（－1,1) D．（0,2）4．设函数f(x）＝ln［(x－1）（2－x）]的定义域是A，函数g（x)＝lg(错误!－1）的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )A．a〉3 B．a≥3C．a〉 5 D．a≥错误!5．已知函数f(x)＝错误!若数列｛a n}满足a n＝f（n)(n∈N*），且｛a n}是递增数列,则实数a的取值范围是（)A．［错误!，3) B．(错误!，3）C．(2，3) D．（1，3）6．已知a〉0且a≠1，f（x）＝x2－a x,当x∈（－1,1）时，均有f（x)<错误!，则实数a的取值范围是( )A．(0，错误!]∪［2，＋∞) B．［错误!,1)∪（1，4]C．［错误!，1）∪(1，2] D．(0，错误!）∪[4，＋∞）二、填空题7．函数y＝a x（a>0，且a≠1）在[1,2]上的最大值比最小值大错误!，则a的值是________．8．若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟）定义：区间[x1,x2］(x1〈x2)的长度为x2－x1。
第11讲 指数与对数的运算(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
项 C 中，因为 a＋a－1＝3，所以(a12＋a－1)2＝a＋a－1＋2＝5，且 a＞0，所以 a12＋a－1＝ 5，故 C 错误；在
2
2
a 选项 D 中，因为 a3＋a－3＝18，且 a＞0，所以
a＋ 1 2 a a ＝a3＋a－3＋2＝20，所以 a
a＋
1
＝2
5，故 D
aa
正确．
5、log225·log3(2 2)·log59＝________．
2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
第 11 讲：指数与对数的运算
一、课程标准
1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用
二、基础知识回顾
1. 有关指数幂的概念
(1)n 次方根
正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是
两个绝对值相等、符号相反的数，0 的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．
(2)方根的性质
①当
n
n 为奇数时，
an＝a；
②当
n
n 为偶数时，
an＝|a|＝
a, a≥0， -a，a＜0.
(4)
a
2 3
b
1
1 2
a
1 2
b
1 3
6 ab5
【解析】(1)原式＝
－3 2
－2
1
＋5002－（
10（ 5＋2） ＋1 5－2）（ 5＋2）
＝4＋10 5－10 5－20＋1＝－167.
代数运算练习题指数运算与对数运算
代数运算练习题指数运算与对数运算代数运算练习题：指数运算与对数运算在代数运算中，指数运算与对数运算是非常重要的概念和技巧。
本文将为您介绍指数运算与对数运算的概念及其相关性质，并提供一些练习题帮助您巩固对这两个概念的理解与应用。
一、指数运算1. 指数的定义在代数中，指数表示将一个数连乘多次的运算。
以a^n为例，其中a称为底数，n为指数。
指数n告诉我们底数a要连乘n次。
2. 指数的性质指数运算有一些基本的性质，如下所示：（1）乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的指数相乘等于底数不变，指数相加。
（2）除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即相同底数的指数相除等于底数不变，指数相减。
（3）幂的幂：(a^m)^n = a^(m*n)，即一个数的指数再次取指数等于底数不变，指数相乘。
（4）零指数：a^0 = 1，其中a≠0。
任何数的0次方等于1，但0的0次方未定义。
（5）负指数：a^(-n) = 1 / a^n，其中a≠0。
一个数的负指数等于它的倒数的正指数。
二、对数运算1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。
以log_a M = N为例，其中a称为底数，M为真数，N为对数。
对数关系告诉我们底数a的N次方等于真数M。
2. 对数的性质对数运算也有一些基本的性质，如下所示：（1）乘法法则：log_a (M * N) = log_a M + log_a N，即两个数的乘积的对数等于它们的对数的和。
（2）除法法则：log_a (M / N) = log_a M - log_a N，即两个数的商的对数等于它们的对数的差。
（3）幂的法则：log_a (M^n) = n * log_a M，即一个数的幂的对数等于指数乘以这个数的对数。
（4）换底公式：log_a M = log_b M / log_b a，其中a、b为底数，M为真数。
当需要用一种底数的对数来计算另一种底数的对数时，可以使用换底公式。
指数运算与对数运算(解析版)
专题08 指数运算与对数运算考点预测：1.n 次方根与分数指数幂 （1）方根如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n n a . ②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n n a 示，负的n 次方根用符号n a . 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成n a ±0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作00n =.n a 根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：)n n a a =；,,nna n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mn m n a a =0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂1m nmnmnaaa-=0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a+=（0a >，r ，s Q ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s Q ∈）；③()rrrab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，xa 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是x a .所以无理数指数幂xa （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.①r s r s a a a+=（0a >，r ，s R ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s R ∈）； ③()rrrab a b =（0a >，0b >，r R ∈）.4.对数的概念一般地，如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.当0a >，且1a ≠时，log N xa a N x =⇔=.5. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N . 6. 关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）log 10a =； （3）log 1a a =. 7. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log na a M n M =（n R ∈）.8. 换底公式log log log c a cbb a =（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.例1．计算下列各式的值. （1）5lg242log 9log 1210--+（2）14030.75337(0.064)()(2)168--⎡⎤--+-+⎣⎦ 【解析】（1）原式()2lg 522228log 3log 3log 410255=-++=-+=-. （2）原式()()413334334511410.4122116288⨯--=-++=-++=例2．计算下列各式的值：（1()41332140.2522-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭；（223ln 241256e 7lg 10lg 0.1-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）解：原式141432=--+⨯=-.（2）解：原式()()344lg100049426496427112=-+-=--+-=⨯-. 例3.（1）已知223x x -+=，求88x x -+的值； （2）已知827a =-，1771b =，求(211213333341333333327a a b ba a ba a b++--的值． 【解析】（1）()()()()()33228822222222x x x x x x x x x x -----⎡⎤+=+=+-⋅+⎢⎥⎣⎦ ()()2232232233318x x x x --⎡⎤=+-⨯⋅=⨯-=⎢⎥⎣⎦． （2）∵0a ≠，270a b -≠，827a =-∴原式()22111133331133113333327a a b b a b a a b a ⎛⎫++ ⎪-⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭⎭=⨯-()33113323327a b a a b ⎛⎫- ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭=-⎭⎝2233827a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭222332-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭94=．过关测试 一、单选题1．（2021·北京·东直门中学高一阶段练习）如果关于x 的不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<，那么3ab 等于（ ） A ．4- B ．4C ．14-D ．14【答案】B 【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果. 【详解】∵不等式2x ax b <-的解集是{24}x x -<<， ∴2,4-是方程20x ax b -+=的两个实根，∴2424a b-+=⎧⎨-⨯=⎩，∴2,8a b ==-， ∴()()2233824ab =-=-=. 故选：B.2．（2021·河南·安阳县高级中学高一期中）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac = B ．c ab = C ．a cd = D ．d a c =+【答案】C 【分析】由题得5a b =，10c b =，510d =，可得()51055ca c d cdb ====，即得.【详解】因为0b >，5log b a =，lg b c =， 所以5a b =，10c b =，又510d =， 所以()51055ca c d cdb ====，所以a cd =. 故选：C ．3．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）已知函数()12log ,1,24,1,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．4【答案】A 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】1212442f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ()12122224log 4log 2log 221f -====--. 故选：A4．（2021·江苏·3a a=，则22a a -+的值是（ ） A ．47 B ．45C ．50D ．35【答案】A 【分析】利用指数幂的运算法则即求. 【详解】 3a a=， ∴2129a a a a -=++=，即17a a -+=，∴()2122249a a a a --+=++=， ∴2247a a -+=. 故选：A.5．（2021·江苏·高一期中）若正实数m 满足+=1122m m，则+2log m m 的值为（ ） A ．-2 B ．0 C ．-4D ．14【答案】A 【分析】对指数式两边取以2为底的对数，化简即可求解. 【详解】+=1122m m12221log (2)log 21log m m m m -∴+==-=--， 2log 2m m ∴+=-，故选：A6．（2021·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知,αβ满足10100,(lg 1)1000ααββ=-=，则αβ的值为（ ） A ．20 B ．1000 C ．100 D ．410【答案】B 【分析】根据10100,(lg 1)1000ααββ=-=，可得lg 2αα+=，lg lg(lg 1)3ββ+-=，即lg 2αα+=，lg 1lg(lg 1)2ββ-+-=，从而可得lg 1αβ=-，即可得出答案.【详解】解：因为10100αα=，(lg 1)1000ββ-=， 所以lg 2αα+=，lg lg(lg 1)3ββ+-=， 即lg 2αα+=，lg 1lg(lg 1)2ββ-+-=， 又因为函数lg y x x =+在()0,∞+上递增，所以lg 12lg lg 1lg lg 31000αβαβαβαβ=-⇔-=-⇔+=⇔=. 故选：B.7．（2021·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）下列结论正确的是（ ） A ．ln(ln )0e = B ．若10lg x =，则10x = C ．lg(lg1)0= D ．若ln e x =，则2x e =【答案】A 【分析】运用常见对数运算ln 1,ln10,lg10e ===，可以判断AC 选项，利用指对互换log ,n a b n a b ==可以判断BD 选项. 【详解】选项A 中ln 1,ln10e ==，所以正确；选项B 中1010lg ,10x x ==，所以不正确；选项C 中lg10=所以该式无意义，不正确；选项D 中ln ,e e x x e ==，所以不正确. 故选：A.8．（2021·江苏省响水中学高一期中）若lg 2,lg3a b ==，则45log 12等于（ ） A ．221a ba b +++B ．2221a ba b +++C ．221a ba b ++-D ．221a ba b +-++【答案】D 【分析】由换底公式得45lg12log 12lg 45=，再根据运算律求解即可. 【详解】解：由换底公式得45lg12lg 4lg 32lg 2lg 32log 12lg 45lg 9lg 52lg 31lg 221a ba b +++====++--++ 故选：D二、多选题9．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）设102,lg 3a b ==，则下列四个等式中正确的是（ ） A ．lg122a b =+ B ．61log 15a b a b-+=+ C ．106a b += D ．152aa -=【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的关系可得lg 2,103b a ==，再利用换底公式、对数的运算法则以及指数幂的运算法则计算可得； 【详解】解：因为102,lg 3a b ==，所以lg 2,103b a ==，所以()2lg12lg 43lg 4lg3lg 2lg32lg 2lg32a b =⨯=+=+=+=+，故A 正确；610lg3lg lg15lg3lg5lg3lg10lg 2lg31lg 212log 15lg6lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3b a a b⎛⎫+ ⎪++-+--+⎝⎭======+++++，故B 错误； 101010236a b a b +=⨯=⨯=，故C 正确；5lg 2lg 2lg 2log 21lg 2lg10lg 2lg51555552aa---=====，故D 正确；故选：ACD10．（2021·浙江·无高一期中）（多选题）设,,a b c 都是正数，且91525a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac += C ．121c b a=-D ．221c a b=+ 【答案】AC 【分析】由指数式与对数式关系化为对数式，再由对数的运算法则判断． 【详解】设915251a b c m ==>=则9log a m =，15log b m =，25log c m =，92511112log 9log 25log (925)2log 15log log m m m m a c m m b +=+=+=⨯==，即121c b a=-，C 正确； 所以2ab bc ac +=，A 正确，B 错误；11255log 25log 9log 2log 93m m m m c a -=-==，15111log 1522log 2m b m ==， 1112c a b -≠，即221c a b≠+，D 错． 故选：AC ．11．（2021·江苏南京·高一期中）已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ） A ．2214a a -+= B ．123a a --=C ．11226a a-+=D ．332211223a a a a--+=+【答案】ACD 【分析】由14a a -+=结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】14a a -+=,()2122216a aa a --∴+=++=，2214a a -∴+=，故选项A 正确;()()2211244412a a a a ---=+-=-=，123a a -∴-=±B 错误;2111222426a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭,11226a a ∴+=C 正确; 31133113311331112222222222222233333a a a a aa a a a a a a a a a a --------⎛⎫⎛⎫+=+++=++++++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭,且11226a a +33322636a a-+=+332236a a ∴+=332211223636a a a a--+∴==+，故选项D 正确. 故选：ACD12．（2021·海南·海口一中高一期中）下列各选项中，值为1的是（ ） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64C ．()()11222323⋅D ．()()11222323-【答案】AC 【分析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C 选项，原式((1122232311⎡⎤==⎣⎦⋅=，C 选项符合题意.对于D 选项，由于()()()()1111222222323232322323-⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题.三、填空题13．（2021·福建·13012760.125lg10048⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________． 【答案】3 【分析】根据分数指数幂的运算即可求出答案. 【详解】111332301272535360.125lg1001213484222⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3.14．（2021·江苏省如东高级中学高一阶段练习）已知4log 3x =，则332222x xx x--++的值为___________．【答案】73【分析】由题得23x=332222x xx x--++代入23x =. 【详解】因为4log 3x =，所以43,23x x ==所以3322222222(222222)(212)17212(2)1(2)3133x x x x x x x x x x x x x x --------+-+++==++=-+=-+=.故答案为：7315．（2021·上海·高一专题练习）已知实数a ，b 满足log a b -3log b a =2，且a a =b b ，则a+b =____. 43【分析】先由log a b -3log b a =2，解得b =a 3或b =1a，再分别带入求出a 、b ，即可求出a+b. 【详解】 由log a b -3log a b=2，得到log a b =3或log a b = -1，则b =a 3或b =1a .当b =a 3时，由a a =b b 可得：a a =33a a ，则a =3a 3，而a >0，则33a b == 当b =1a 时，同理可得：a = -1a ，而a >0，所以无解，所以a+b 43.4316．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期中）设3436a b ==，则21a b+=____________【答案】1 【分析】利用指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质和换底公式进行求解即可. 【详解】解：3436a b ==，则34log 36,log 36a b ==， 33633log 311log 3log 36log 36a ∴===，43644log 411log 4log 36log 36b ===， 22363636363636212log 3log 4log 3log 4log (34)log 361a b∴+=+=+=⨯==. 故答案为：1.四、解答题17．（2021·云南·弥勒市一中高一阶段练习）化简求值：（1）()()1246234783π28⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎣⎦⎝⎭.（2）341lg 2lg 3lg5log 2log 94-+-⋅.（3）已知18log 9a =，185b =，试用a ，b 表示36log 5的值 【答案】 （1）π8+； （2）2； （3）2b a-. 【分析】（1）利用根式和分数指数幂运算即可求解；（2）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；（3）由指对互化可得18log 5b =，再由换底公式以及对数的运算化简即可求解. （1） 原式()021364342723π28⨯⨯⎛⎫=--- ⎪⎝⎭341π32π8=-+=-++.（2）原式22223lg2lg23lg5log 2log 3-=-+-⋅lg 2lg 3lg 22lg 23lg 5lg 3lg 2=++-⋅ ()3lg2lg513lg1012=+-=-=.（3）由185b =可得18log 5b =， 所以181818361818181818log 5log 5log 5log 5log 36log 4log 92log 2log 9===++()181818log 521log 9log 92ba-+=-=.18．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期中）求值： （1）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258) （2）2111.50.250.623321[(0.027)][81320.02()]10--++-⨯【答案】 （1）13（2）193【分析】（1）直接利用对数的运算法则和换底公式化简求值； （2）直接利用指数幂的运算性质化简求值. （1）解：原式=3332225551(log 5log 5log 5)(log 2log 2log 23++++=2225551(3log 5log 5log 5)(log 2log 2log 2)3++++=2513log 53log 2=133⨯. （2）解：原式=11-140.2550.632[(0.027)[320.02100]⨯⨯++-⨯ =11132(0.3)[3210193332]-++-=+=. 19．（2021·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））（1）计算：120133634437282(23)263-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）化简：413332233338124a a bb a a b ab a ⎛-÷- ⎝+ 【答案】（1）110；（2）a . 【分析】结合已知条件利用指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）原式11113332344321222323-⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11313344222427210811033+⎛⎫⎛⎫=-++⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)原式41111333332112333381242a a bb a a b a b a -⎛⎫-=÷-⨯ ⎪⎝⎭++ 411333211211333333814212a a b a b a b ab a--=⨯⨯++-()111333221111113333338222aa b aaa ba ab b -=⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()3311338882a a b a a b aa b a b --===-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）（1）计算：()10.5130272720.013π964--⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知()131a a a -+=>，求22a a --的值.【答案】（1）10；（2）35【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由题意求出1a a --，则()()2211a a a aa a ----=-+，即可求解 【详解】 （1）()()1110.523123132227275320.013=+10396434π-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦54=+10+31033-=； （2）因为()212229a a a a --+=++=， 所以227a a -+=，所以()212225a a a a ---=-+=， 所以15a a --= 因为1a >， 所以15a a --=所以()()221135a a a aa a ----=-+=21．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知log 3a m =，log 2a n =（0a >且1a ≠）． （1）求2m n a +的值；（2）若3log 21m n +=+，解关于x 的不等式：2(1)60tx at x a -++-<（其中t R ∈）．【答案】 （1）12（2）当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞；当103t <<时，不等式的解集为13,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫⎪⎝⎭；【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；（2）利用对数的运算可得3a =，再分类讨论0t <，0=t ，103t <<，13t =和13t >，解不等式即可得解.（1）由log 3a m =，log 2a n =，得3m a =，2n a = 2223212m n m n a a a +∴=⋅=⨯=（2）3log 21m n +=+，33log 3log 2log 6log 21log 6a a a ∴+==+=，3a ∴=不等式22(1)60(31)30tx at x a tx t x -++-<⇒-++<（1）当0=t 时，不等式为：30x -+<，解得3x >，不等式的解集为()3,+∞； （2）当0t ≠时，方程2(31)30tx t x -++=的两个根为13x =和21x t=①当0t <时，13t <，二次函数开口向下，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；②当103t <<时，13t >，二次函数开口向上，不等式的解集为13,t ⎛⎫⎪⎝⎭；③当13t =时，二次函数开口向上，不等式的解集为∅； ④当13t >时，13t <二次函数开口向上，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上可知，当0t <时，不等式的解集为1,(3,)t ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当0=t 时，不等式的解集为()3,+∞；当103t <<时，不等式的解集为13,t ⎛⎫⎪⎝⎭；当13t =时，不等式的解集为∅；当13t >时，不等式的解集为1,3t ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 22．（2021·全国·高一课时练习）对于正整数,,()a b c a b c ≤≤和非零实数x ，y ，z ，w ，若701x y z w a b c ===≠，1111w x y z=++，求a ，b ，c 的值. 【答案】2a =，5b =，7c =. 【分析】由已知条件,结合分数指数幂的运算得到111111707070w y w w w x z a b c ⋅⋅=⋅⋅，进而1111()70x y z w abc ++=，结合1111x y z w++=，得到70abc =，然后将70分解2,5,7的乘积，由701w ≠可得1a ≠，进而得到1a b c <≤≤，从而得到,,a b c 的值. 【详解】∵70x w a =，∴11701w x a =≠. 同理可得1170y w b =，1170w z c =. ∴111111707070w y w w w x z a b c ⋅⋅=⋅⋅， 即1111()70x y z w abc ++=. 又1111x y z w++=，∴70257abc ==⨯⨯. 又a ，b ，c 为正整数，且701w ≠，∴a ，b ，c 均不为1， ∴1a b c <≤≤，∴2a =，5b =，7c =. 【点睛】本题考查指数幂的运算，涉及整数分解问题，属中难题，难度较大.。
《对数的运算》教案与同步练习
《第四章指数函数与对数函数》《4.3.2对数的运算》教案【教材分析】学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。
【教学目标与核心素养】课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.【教学重难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景引入已知对数log864，log264，log28，log464，log48.对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？由上面的问题你能得出什么结论？二、新知导学1．对数的运算性质[时，log a(MN)≠log a M·log a N，log a(M＋N)≠log a M＋log a N，log a MN≠log a Mlog a N.2．换底公式log a b＝__log c blog c a__(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．[知识点拨] (1)可用换底公式证明以下结论：①log a b＝1log b a；②log a b·log b c·log c a＝1；③log an b n＝log a b；④log an b m＝mnlog a b；⑤log1a b＝－logab.(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．三、课前自测1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( A )①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log a xy＝log a x÷log a y；④log a(xy)＝log a x·log a y.A．0 B．1C．2 D．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A．73B．5C．313D．13[解析] 原式＝lg(25×4)＋(3－2)－1 2＝lg100＋3 ＝2＋3＝5.3．log62＋log63等于( A )A．1 B．2 C．5 D．6[解析] log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.4．计算：log25·log32·log59＝__2__.[解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2.5．计算下列各式的值：(1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log222；(2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7.(2)原式＝(log23＋log29log28)(log322＋log38log39＋log32)＝(log23＋23log23)(2log32＋32log32＋log32)＝53log23×92log32＝152.四、互动探究命题方向1 ⇨对数的运算性质典例1 用log a x，log a y，log a z表示：(1)log a(xy2)；(2)log a(x y)；(3)log a 3xyz2.[解析] (1)log a(xy2)＝log a x＋log a y2＝log a x＋2log a y.(2)log a(x y)＝log a x＋log a y＝log a x＋12log a y.(3)log a 3xyz2＝13log axyz2＝13[log a x－log a(yz2)]＝13(log a x－log a y－2log a z)．『规律方法』对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．〔跟踪练习1〕用log a x、log a y、log a z表示下列各式：(1)log a(x3y5)；(2)log ax yz.[解析] (1)log a(x3y5)＝log a x3＋log a y5＝3log a x＋5log a y.(2)log axyz＝log a x－log a(yz)＝log a x 12－(log a y＋log a z)＝12log a x－log a y－log a z.命题方向2 ⇨运用对数的运算性质化简求值典例2 计算下列各式的值：(1) log327＋lg25－lg4；(2) (lg5)2＋lg2×lg50.[思路分析] 利用对数的运算性质进行计算．[解析] (1)原式＝log3332＋lg254＝32＋lg110＝32＋lg10－1＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.『规律方法』灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．〔跟踪练习2〕求下列各式的值：(1)log318－log36；(2)log112 3＋2log1122；(3)log28＋43＋log28－43；(4)lg3＋2lg2－1lg1.2.[解析] (1)原式＝log3186＝log33＝1.(2)原式＝log112 3＋log1124＝log11212＝－1.(3)原式＝log2[8＋43×8－43]＝log282－432＝log264－48＝log24＝2.(4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.命题方向3 ⇨换底公式的应用典例3 (1)计算log2125·log318·log519；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[思路分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析] (1)原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝－2lg5·－3lg2·－2lg3lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝lg mlg3＝12，∴lg m＝12lg3，即lg m＝lg312，∴m＝ 3.『规律方法』关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b＝1log b a；log a a n＝n，log am b n＝nmlog a b；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．〔跟踪练习3〕计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log21125·log3132·log513.[解析] (1)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log927＝log327log39＝log333log332＝3log332log33＝32.(3)log21125·log3132·log513＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.因忽视对数的真数大于零而致误典例4 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x 2＋x ＝6中x ∈R ，而在原方程中，应有⎩⎨⎧x ＋1>0x >0，求解之后再验根即可．[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg6，∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2. 转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力 典例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.[思路分析] (1)欲求2x ＋1y的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log an b m ＝mnlog a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝log2a＋223＋ab＝3＋aba＋2.解法二：因为log23＝a，所以log32＝1a.又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝log356log312＝log37＋log38log33＋log34＝log37＋3log321＋2log32＝b＋3·1a1＋2·1a＝ab＋3a＋2.『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．五、课堂达标作业1．lg5＋lg20的值是( B )A．12B．1C．32D．2[解析] 原式＝lg(5×20) ＝lg100＝lg10＝1.2．2log510＋log50.25的值为( C )A．0 B．1 C．2 D．4[解析] 原式＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.3.12log612－log62＝__12__.[解析] 原式＝12log612－12log62＝12log6122＝12log66＝12.4．计算下列各式的值：(1)lg27＋lg8－3lg10lg1.2；(2)log535－2log573＋log57－log51.8；(3)2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1.[解析] (1)原式＝lg3312＋lg23－3lg1012lg3×2210＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(3)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg2－12＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg 2＝1.《4.3.2对数的运算》同步练习A级基础巩固一、选择题1.log29log23＝( B )A．12B．2C．32D．92[解析] 原式＝log232log23＝2log23log23＝2.2．lg8＋3lg5的值为( D )A．－3 B．－1C．1 D．3[解析] 原式＝lg8＋lg53＝lg8＋lg125＝lg1000＝lg103＝3.3．若lg2＝a，lg3＝b，则lg12lg15等于( D )A．2a＋b1＋a＋bB．2a＋2b1＋a＋bC．2a＋b2－a＋bD．2a＋b1－a＋b[解析] lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋1－lg2＝2a＋b1－a＋b.4．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为( A )A．3 B．8 C．4 D．log48[解析] x＋2y＝log23＋2log483＝log49＋log4(83)2＝log4(9×649)＝log464＝3，故选A．5．若log34·log8m＝log416，则m等于( D )A．3 B．9 C．18 D．27[解析] 原式可化为：log8m＝2log34，∴13log2m＝2log43，∴m 13＝3，m＝27，故选D．6．已知2a＝5b＝M，且2a＋1b＝2，则M的值是( B )A．20 B．2 5 C．±2 5 D．400[解析] ∵2a＝5b＝M，∴a＝log2M＝lg M lg2，b＝log5M＝lg Mlg5，∴1a＝lg2lg M，1 b ＝lg5lg M，∴2a＋1b＝2lg2lg M＋lg5lg M＝lg4＋lg5lg M＝lg20lg M＝2，∴2lg M＝lg20，∴lg M2＝lg20，∴M2＝20，∵M>0，∴M＝2 5.二、填空题7．计算：34×819＋log23×log38＝__5__.[解析] 原式＝223×213＋log23×log323＝2＋lg3lg2×lg23lg3＝2＋lg3lg2×3lg2lg3＝2＋3＝5.8．化简log2(2＋3)＋log2(2－3)＝__0__.[解析] log2(2＋3)＋log2(2－3)＝log2[(2＋3)·(2－3)]＝log21＝0.三、解答题9．计算下列各式的值：(1) log327＋lg25＋lg4－7 log73－27－23；(2) 21＋log23－log1264＋lg0.01＋ln e.[解析] (1)原式＝log3332＋lg(25×4)－7log72－(33)－23＝32＋lg100－2－3－2＝32＋2－2－19＝32－19＝2518.(2)原式＝2×2log23－log2－126＋lg10－2＋lne12＝2×3＋6－2＋12＝212.B级素养提升一、选择题1．若x log34＝1，则4x＋4－x的值为( B )A．83B．103C．2 D．1[解析] 由x log34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋13＝103，故选B．2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( A ) A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1[解析] log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．3．log2716log34＝( D )A．2 B．3 2C ．1D ．23[解析] 由公式log an b m ＝mnlog a b ，得 原式＝log 3342log 34＝23log 34log 34＝23.4．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则lg(ab )·(lg a b)2＝( B )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析]由题意得⎩⎨⎧lg a ＋lg b ＝2lg a ·lg b ＝12，∴lg(ab )·(lg ab)2＝(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )2 ＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ] ＝2(4－4×12)＝4.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝__1__. [解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.三、解答题7．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m －n 的值；(2)求log a18.[解析] (1)因为log a2＝m，log a3＝n，所以a m＝2，a n＝3.所以a2m－n＝a2m÷a n＝22÷3＝4 3 .(2)log a18＝log a(2×32)＝log a2＋log a32＝log a2＋2log a3＝m＋2n.8．计算：(1)(log3312 )2＋log0.2514＋9log55－log31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析] (1)(log3312 )2＋log0.2514＋9log55－log31＝(12)2＋1＋9×12－0＝1 4＋1＋92＝234.(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.9．计算下列各式的值：(1)2log32－lg3329＋log38－log553；(2)4log23＋log 128－lg516＋lg25－lg(12)－3－ln e3.[解析] (1)原式＝log34－log3329＋log38－3＝log3(4×932×8)－3＝log39－3＝log332－3＝2－3＝－1.(2)原式＝4log49＋log2－123－lg516＋lg25－lg8－lne32＝9－3＋lg25－(lg516＋lg8)－32＝92＋lg25－lg(516×8)＝92＋lg25－lg52＝92＋lg(25×25)＝92＋lg10＝92＋1＝112.。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
必修一第三章指数函数与对数函数复习教案
第三章指数函数及对数函数总复习教学目标：1、知识及技能理解有理数指数器的含义，掌握塞的运算性质 理解指数函数的概念和性质，能画出指数函数的图像 通过实例，了解指数函数模型背景 理解对数的概念及运算性质，会灵活运用换底公式 理解对数函数的概念和性质，能画出对数函数的图像通过实例，了解对数函数模型背景知道指数函数及对数函数互为反函数，理解互为反函数的两个函数的定义域及值域的关系, 及会求一个函数的反函数。
(8)体会三种函数的增长率。
2、过越方法让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程及方法。
3、情感、态度及价值(1)通过本章的学习，充分认识到数学的应用价值(2)培养学生的观察问题、分析问题的能力(3)体会函数及方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法0教学重点：L 指数函数及对数函数的概念2 .指数函数及对数函数的图像、性质和运算性质3 .函数增长快慢的比较教学难点：指数函数及对数函数的图像及性质的应用(1)(2)(3)(4)(5) (6) (7)(1)(g)"-4・(-2)一3+(；)° -9 2(2)(√9)^7(√10Γ)Ξ÷√100Γ(3)l g500+lg^-∣lg64+50(lg2+l g5)2(4) |1 + Ig0.001∣ + Jg2∣-41g3 + 4 + lg6-lg0.02 2、化简2 1 I 1 1 5(1) (2a y h2)(-6a2b3)÷(-3a^b^)2÷lg0.36 + -lg8Iog rt√27÷ log rt 8-Iog w√≡⑷-------------- j ------------------------------------- (U Y " D-Iog fl 0.3 +log, 23、求值l-2x(1)已知121=3,12'=2,求8∣, 的值(2)若涉＜0,且。
必修1《指数与对数运算》专题复习(精心整理)
必修1《指数与对数运算》专题复习（一）指数与指数幂运算¤知识要点：1. 若n x a =，则x 叫做a 的nn >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：n a =,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；=（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n a （0,,,1a m n N n *>∈>且）；1m n m n aa -==.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> （1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(； （3）s r r a a ab =)( ¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）； （2【例2】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-；（2a ＞0，b ＞0）；（3（二）对数运算¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =5.对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NM a log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式ab bc c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． ¤例题精讲：【例1】求值（1）2log 8 （2）5log 25 （3）（4）3log 1 （5）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+【例2】（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.。
初一数学上册综合算式专项练习题指数与对数的运算
初一数学上册综合算式专项练习题指数与对数的运算指数与对数是数学中的重要概念与运算符号，在初一数学上册综合算式专项练习题中也不例外。
本文将针对初一数学上册综合算式专项练习题中的指数与对数的运算进行详细介绍和分析。
一、指数的运算在初一数学上册综合算式专项练习题中，指数是常见的数学运算符号之一。
指数运算可以简化大数的计算，并且具有一些常用的运算法则。
1.相同底数的指数运算当指数的底数相同时，指数运算可以转化为底数的运算。
如：a^m * a^n = a^(m+n)a^m / a^n = a^(m-n)(a^m)^n = a^(m*n)2.指数为0的运算任何数的0次方等于1。
如：a^0 = 13.指数为负数的运算求一个数的负指数，相当于求这个数的倒数。
如：a^(-m) = 1/(a^m)二、对数的运算在初一数学上册综合算式专项练习题中，对数是另一种常见的数学运算符号。
对数的运算可以简化指数运算，并且具有一些常用的运算法则。
1.对数的定义对数的定义为：如果a^x = b，那么x叫做以a为底b的对数，记作x = logₐb。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为指数。
2.换底公式在初一数学上册综合算式专项练习题中，换底公式是常用的对数运算法则之一。
换底公式表明，任何一个底数为a的对数，都可以转化为另一个底数为b的对数。
换底公式的表达为：logₐb = logcₐ / logc-b三、综合算式练习题示例下面是一些初一数学上册综合算式专项练习题中关于指数与对数的运算示例：1.计算：2³ + 3² - 4⁰ = ?解析：4⁰ = 1，所以2³ + 3² - 4⁰ = 8 + 9 - 1 = 16。
2.计算：log₂8 + log₃9 = ?解析：根据换底公式，将log₂8转化为以底数为3的对数，得到log₃8/log₃2。
同样，log₃9也可以转化为以底数为3的对数，得到log₃9/log₃3。
第6讲 指数与对数的运算
10
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2．回源教材 (1)下列运算中正确的是( C )
A． （2－π）2＝2－π C．(m14n－38)8＝mn32
B．a －1a＝ －a D．(x3－ 2)3＋ 2＝x9
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C 对于 A，2－π<0，所以 （2－π）2＝π－2，错误；对于 B，因为 －1a>0，所以 a<0，则 a －1a＝－(－a)· －1 a＝－ －a，错误；对于 C， (m14n－38)8＝(m14)8(n－38)8＝mn32，正确；对于 D，(x3－ 2)3＋ 2＝x9－2＝x7，错误．
1．根式 (1)根式的概念
如果__□1__x_n＝__a__，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.式子n a
叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质：(n a)n＝a(a 使n a有意义)；当 n 为奇数时，n an＝a，当 n 为 偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0.
B．(xa－1y)a·(4y－a)＝4x
1
C．[(1－ 2)2]2－(1＋ 2)－1＋(1＋ 2)0＝3－2 2
D．2a3b23·(－5a23b13)÷(43 a4b5)＝－52a73b－23
16
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
1
1
12 1
ABD 对于 A，(a6)－1·(a－2) －3＝a－6＋3＝a2，故正确；对于 B，(xa－1y)a·(4y
5
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2．有理数指数幂
幂的有 关概念
有理数 指数幂 的运算
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指数与对数运算练习
题
指数运算练习题
1、用根式的形式表示下列各式)0(>a
（1）51a = （2）34
a = （3）35
a -
= （4）32
a -
=
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）3
4y x = （2）)0(2>=m m
m （3
= （4
= ； （5）a a a = ；
3、求下列各式的值
（1）23
8= ；（2）12
100-
= ； （3）31
()4
-= ；（4）
3
4
16()81
-=
（5）12
2
[(]-
=
（6）(12
2
1⎡⎤⎢⎥⎣⎦
= （7）=3
264
4.化简
（1）=••12
74331a
a a （2）=÷•6
54323a a a （3）
=÷-•a a a 9)(34
32
3
（4）322
a
a a •= （5）3
1
63)278(--b a = （7）()0,053542
15
658≠≠÷⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
-b a b a b
a =
5.计算
（1）4
35125
25÷-
(2) （3）21
0319)4
1()2(4)21(----+-⋅-
()5.02
12001.04122432-⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
- （5）48
37
3271021.097203
225
.0+
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛++⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
-π （6）241
3
0.753323(3)0.04[(2)]168
----++-+
（7）(
)
3
263
425.00
3
1323228765.1⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯-
6.解下列方程 （1）13
1
8
x
- = （2）151243
=-x （3）1321(0.5)4x x --=
7.(1).已知112
2
3a a
-
+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22a a -+=
（2）.若1
3a a -+=，求下列各式的值：（1）112
2
a a -+= ；
（2）22a a -+= ； (3).使式子34
(12)x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，135b -=,则323a b -的值= .
对数运算练习题
一、选择题
1、以下四式中正确的是（ ）
A 、log 22=4
B 、log 21=1
C 、log 216=4
D 、log 221=4
1 2、下列各式值为0的是（ ）
A 、10
B 、log 33
C 、（2－3）°
D 、log 2∣－1∣ 3、2
5
1log 2
的值是（ ）
A 、－5
B 、5
C 、51
D 、－5
1
4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ）
A 、2
5
B 、3
C 、10
D 、1
5、设N ＝
3log 12＋3
log 1
5，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ）
A 、 a >5或a <2
B 、 25<<a
C 、 23<<a 或35<<a
D 、
34<<a
7、 若log [log (log )]4320x =，则x -
12
等于（ ）
A 、 1
4
2 B 、
1
2
2
C 、 8
D 、 4
8、3
3
4
log
的值是（ ） A 、 16 B 、 2 C 、 3 D 、 4
9、 n
n ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、
－2
二、填空题
10、用对数形式表示下列各式中的x
10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =6
1
：＿＿＿＿ 11、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________ 12、Log 155=m,则log 153=________________
13、14lg 2lg 2+-＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 14．（1）．
12a
a
-=
, 则 log 12 3= （2）．6log 18log )3(log 2626+= ．
（3）
____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+； （4）5log 38log 9
32
log 2log 2533
3-+- =________ （5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________
15 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 19、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝________
16、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===_______ 21、 lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题
17、求下列各式的值 ⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶252
log 1 ⑷3
73
log 1
18、求下列各式的值
⑴lg10－5 ⑵lg0.01 ⑶log 281
⑷log 27
181 19、求lg 25+lg2·lg25+lg 22的值
20、化简计算：log 2
251·log 381·log 59
1 21. 化简：()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
22. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求
x
y
的值． 23.已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.
24计算，（1）0.21log 3
5
-； （2）4912
log 3log 2log ⋅- （3）
（log 25+log 4125）5
log 2
log 33⋅
25.计算:7log 35log )13(3log )9
71(551lg 4321
-+--+-。