菱形证明专题训练

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乐学教育菱形证明专题训练

1.已知:如图，在四边形ABCD中,AＢ∥CD，E,Ｆ为对角线AC上两点,且

AＥ＝CF，DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．ﻫ

【答案】∵AＢ∥ＣＤ，

∴∠BＡＥ=∠ＤCF.ﻫ∵DＦ∥ＢE,

∴∠BEF＝∠ＤFE，ﻫ∴∠AEＢ＝∠CFD.

又∵AE=ＣF,ﻫ∴△AEＢ≌∠CFD,

∴AB=CD．ﻫ∵ＡB∥CＤ，ﻫ∴四边形ABＣD是平行四边形.

∵ＡＣ平分∠BAD,

∴∠BAE＝∠DAF.ﻫ又∠BAE=∠DＣＦ,

∴∠DAＦ=∠ＤCF,ﻫ∴ＡD=ＣD，

∴四边形ABCD是菱形.

2．如图，矩形AＢCD中，点O为AＣ的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接BF交AC于点M,连接DＥ，ＢＯ.若∠ＣOB=６0°,FO=FC.

求证:

(１)四边形EＢＦD是菱形;

【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCＤ的对角线AC的中点，

∴B,D, O三点共线且BD＝DO=CＯ=ＡO．

在矩形AＢCD中,ＡB∥ＤC,AB=DC，∴∠FCO＝∠EAＯ.

在△ＣFO和△AEＯ中,ﻫ∴△CFＯ≌△AEO,∴ＦO=EＯ.ﻫ又∵BO=DO,∴四边形BＥFD是平行四边形.

∵BＯ=CＯ,∠ＣOB=６0°，ﻫ∴△COB是等边三角

形.∴∠OCＢ=6０°.ﻫ∴∠FＣＯ=∠DCB-∠ＯCＢ=30°.ﻫ∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.ﻫ∴∠FOB=∠FOＣ+∠ＣOB＝90°.

∴EF⊥BD．∴平行四边形EＢFＤ是菱形.

（2)MB∶OE=3∶2.

【答案】∵BＯ=ＢC,∴点Ｂ在线段ＯＣ的垂直平分线上．

∵FO=FC,∴点Ｆ在线段OC的垂直平分线上．

∴BF是线段OC的垂直平分线.ﻫ∴∠FＭO=∠OＭＢ=90°．ﻫ∴∠OBＭ=30°.∴OＦ=ＢF．ﻫ

∵∠FOC=30°，∴ＦM=ＯF.ﻫﻫﻫ∴BM=BＦ-MＦ＝２OＦ-OＦ=OF．

ﻫﻫ即FO=EO,∴ＢM∶OＥ=3∶2．

３.如图,在△ABＣ中,∠AＢC＝９0°,BD为ＡC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E，过点A作ＢＤ的平行线,交CＥ的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BＤ，连接BＧ,DＦ.

求证:四边形ＢGFＤ是菱形．ﻫ

【答案】∵FＧ∥BD,BＤ=ＦＧ，∴四边形BGFD是平行四边形.

∵CＦ⊥BD,AG∥ＢＤ,∴ＣF⊥ＡG．又∵∠AＢＣ=90°,点D是AＣ的中

点,∴BD＝ＤF＝ＡC，ﻫﻫﻫ∴平行四边形BGFD是菱形.

４. 如图,点O是菱形ＡBCD对角线的交点，ＤE∥AC,CＥ∥BＤ，连接OＥ.ﻫ求证：OE=ＢＣ.

【答案】∵DE∥AC,ＣＥ∥BD，ﻫ∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCＤ是菱形,

∴ＡＣ⊥ＢD,ＯB＝ＯＤ,

∴∠BOＣ=∠COＤ=90°,

∴四边形OCED是矩形,

∴∠OＤE=９0°，∵OB＝OD，∠ＢOC=∠ODE=90°,ﻫ∴ＢＣ＝，OE=,ﻫﻫ

∵ＤE＝OC．ﻫ∴OE=ＢＣ．

5.［２0１5·兰州中考,25] （９分)如图,四边形ABＣD中，AＢ∥CD，ＡB≠CＤ,ＢＤ=AC.

(１）求证:AD=BＣ;

【答案】作BＭ∥AC,ＢＭ交DC的延长线于点M,则∠AＣD=∠BＭD．1分

ﻫ

∵AＢ∥CD，BM∥AC,ﻫ∴四边形ABMC为平行四边形．２分

ﻫ∴ＡC=BM.ﻫ∵BＤ=ＡC，∴ＢM=ＢD.ﻫ∴∠ＢＤM=∠BMD.

∴∠BDＣ=∠AＣD．

在△BDC和△ＡCＤ中，

ﻫ∴△ＢDC≌△ACD.4分

∴BＣ=AD.5分

(2）若Ｅ,F,G,H分别是AＢ,CD,AC,BD的中点．求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.

【答案】连接ＥG,GF,ＦH，HE.6分

∵E,H为AB,BD的中点，∴ＥH=AＤ．

同理FG=ＡＤ，EG＝BC，ＦH=BC.ﻫ

∵BC=AD,∴ＥG=FG=FH＝EH.8分ﻫ∴四边形EGＦH为菱形,ﻫ∴EF与ＧH互相垂直平分.９分

6.[201５·长春中考,１8] （7分)如图,CE是△ABC外角∠ACＤ的平分线,ＡＦ∥CＤ交CE于

点F，FG∥ＡC交CＤ于点G,求证:四边形ACGF是菱形.ﻫ

【答案】因为ＡF∥CD,ＦＧ∥AC，

所以四边形ＡCＧF是平行四边形①,ﻫ又因为∠ACE=∠ＥCG,∠ECG=∠AＦC，ﻫ所以

∠ACE=∠AＦＣ,所以ＡC＝AF②，

由①②得四边形ACＧF是菱形.

7.[2010·上海中考，2３]已知梯形ＡBCD中,ＡD∥BＣ，AB=ＡD（如图所示），∠ＢAD的平分线ＡE交ＢＣ于点E，连结

ＤＥ．ﻫ

(１)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法)，并证明四边形ＡBED是菱形;

【答案】ﻫ

∵∠BAＥ=∠ＤAE，

∠DAＥ=∠BEA，ﻫ∴∠BAE=∠BＥA，AB=BE＝AD,

AD∥BE，∴四边形ＡBED的平行四边形，又AB=ＡD,

∴四边形ABED为菱形

（2)∠ABＣ=６0°,EＣ＝２BＥ，求证：EＤ⊥DC.

【答案】过Ｄ作ＤF∥AＥ，则ＤF=CF=1，ﻫ∴∠Ｃ＝3０°,而∠DＥC＝60°,

∴∠EDＣ＝90°,∴ED⊥ＤC.

8.[2０1０·沈阳中考,19]如图,菱形ＡBCD的对角线ＡC与BD相交于O，点E,Ｆ分别为边ＡB,ＡD的中点，连接ＥF,OE，OF,求证：四边形ＡEOF是菱形.

【答案】∵点E,F分别为ＡB，AＤ的中点

∴AE＝AB，AF＝AD（2分)ﻫﻫ

ﻫ又∵四边形ABCD是菱形

∴AＢ=AＤ

∴AE＝AＦ(4分)

又∵菱形AＢCD的对角线AC与BＤ相交于点Oﻫ∴O为BD的中点

∴OＥ,OＦ是△ＡBD的中位线(６分）ﻫ∴ＯＥ∥AＤ,OF∥AB

∴四边形AEOF是平行四边形（８分)

∵ＡE＝AF

∴四边形AEOＦ是菱形(10分)