(完整word版)蝴蝶定理的八种证明及三种推广
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
椭圆中的蝴蝶定理是什么？
蝴蝶定理起源于圆，并可推广至圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线），椭圆中的蝴蝶定理是高考中最常见的情况，对综合分析能力要求甚高。
一·何谓蝴蝶定理：
1815年，英国伦敦出版社，著名的数学科普刊物《男士日记》上刊登了如下的命题：
以上问题的图形，像一只翩翩起舞的蝴蝶，这正是该命题被称之为“蝴蝶定理”的原因。
由于蝴蝶定理意境优美，结论简洁，内涵丰富，两百多年来引无数数学家为之流连忘返，浮想联翩。
时至今日，人们不仅发现了蝴蝶定理的六十多种证明方法，而且还给出了定理的各种变形与推广。
二·蝴蝶定理的证明：
蝴蝶定理的证明方法非常之多，但利用曲线系方程来证明蝴蝶定理干净简洁，内涵丰富。
另外，如果将圆的方程换成圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的方程，则得到对应这些曲线中的蝴蝶定理。
三·蝴蝶定理的推广：
对蝴蝶定理的探索与研究至今仍然没有结束，由人称它为欧氏平面几何里的一颗璀璨明珠。
四·典型高考题示例：
蝴蝶定理在高考数学中曾多次出现，下面仅举一例进行说明：
蝴蝶定理，butterfly thearem，古典欧氏几何最精彩的结果之一。
1815年首次被一个自学成才的中学教师W·霍纳以初等方式证明。
足可见，高等的东西用初等方法解决未必完全不可能。
以上，祝你好运。
数书九章 蝴蝶定理
数书九章蝴蝶定理一、定理描述蝴蝶定理是数书九章中的一条著名定理，其表述为：在任意一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)中，其对称轴两侧的两个端点A、B和函数图像的最低点P构成的直线AP和BP的斜率之和等于零。
即：k1 + k2 = 0，其中k1、k2分别为直线AP、BP的斜率。
二、证明方法蝴蝶定理的证明方法有很多种，其中一种常用的证明方法是利用二次函数的性质和对称性。
通过设A、B、P三点的坐标，并利用对称性质和斜率公式，我们可以推导出k1 + k2 = 0。
三、应用举例蝴蝶定理在数学、物理、工程等多个领域有着广泛的应用。
例如，在解决一些几何问题时，可以利用蝴蝶定理来求解一些未知量；在解决一些物理问题时，可以利用蝴蝶定理来研究一些物体的运动轨迹；在解决一些工程问题时，可以利用蝴蝶定理来优化一些设计。
四、推广和变形蝴蝶定理可以推广到更高维度的空间中，并可以在不同的数学分支中得到应用。
此外，蝴蝶定理还有许多变种形式，如双曲线的蝴蝶定理等。
五、历史背景蝴蝶定理最早出现在中国的数书九章中，是古代数学家们研究二次函数时的一个重要成果。
随着时间的推移，蝴蝶定理逐渐被世界各地的数学家所认识和应用，成为数学史上的一个经典定理。
六、文化内涵蝴蝶定理不仅是一个数学定理，更是一种文化现象。
在中国文化中，蝴蝶常常被视为美丽、优雅和自由的象征。
因此，蝴蝶定理也被赋予了这些美好的寓意，成为了一种具有文化内涵的数学定理。
七、与其他数学定理的关系蝴蝶定理与其他数学定理之间有着密切的联系。
例如，它可以与勾股定理、射影定理等其他几何定理结合使用，来解决一些更复杂的数学问题。
此外，蝴蝶定理还可以被应用到复数、矩阵等领域中，与其他数学分支相互渗透。
八、当代研究现状随着数学的发展，蝴蝶定理的研究也在不断深入。
现代数学家们利用代数、几何、拓扑等各种工具对蝴蝶定理进行了深入的研究，揭示了它更深层次的数学内涵和意义。
同时，随着计算机技术的发展，数值计算和符号计算等方法也被应用到蝴蝶定理的研究中，为定理的应用提供了更多的可能性。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
那什么是蝴蝶定理呢？咱们先来看一个简单的图形。
想象有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后，分别从这个交点向四边形的四条边作垂线。
这时，你会发现一个有趣的现象：在两条对角线上相对的两个三角形的面积乘积相等。
比如说，有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为 E、F、G、H。
那么，三角形 AOB 和三角形 COD 的面积乘积就等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积乘积。
这就是蝴蝶定理的基本内容。
可能有的小朋友会问了，为什么会有这样神奇的定理呢？咱们来试着证明一下。
假设三角形 AOB 的面积为 S₁，三角形 BOC 的面积为 S₂，三角形COD 的面积为 S₃，三角形 AOD 的面积为 S₄。
因为三角形的面积等于底乘以高除以 2，而三角形 AOB 和三角形BOC 都以 BO 为底边，它们的高分别是 AE 和 CF。
所以，S₁/S₂＝（AE×BO/2) ／（CF×BO/2) ＝ AE/CF。
同理，三角形 AOD 和三角形 COD 都以 DO 为底边，它们的高分别是 AH 和 CG。
所以，S₄/S₃＝（AH×DO/2) ／（CG×DO/2) ＝AH/CG。
又因为三角形 AEO 和三角形 CGO 相似（因为对顶角相等，直角相等），所以 AE/CF ＝ AH/CG。
从而得出 S₁×S₃＝ S₂×S₄，这就证明了蝴蝶定理。
蝴蝶定理在解决实际问题中可有大用处啦！比如，有一道这样的题目：在一个四边形中，两条对角线相交，其中一条对角线被交点分成 3 厘米和 5 厘米两段，另一条对角线被交点分成 2 厘米和 4 厘米两段。
求这个四边形中相对的两个三角形的面积比。
蝴蝶定理
蝴蝶定理蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。
SM。
MT。
∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD, BT=1/2BC，∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。
Y。
M均是四点共圆，∴∠XOM=∠YOM∵OM⊥PQ∴XM=YM二，如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b ＞r＞0）。
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。
（Ⅱ）直线y=k求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证：| OP | = | OQ |。
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。
高三数学二轮复习冲刺：蝴蝶定理及应用
蝴蝶定理背景下的解析几何与应用1.蝴蝶定理：AB 是二次曲线Ω的一条弦，O 是AB 的中点，过O 作Ω的两条弦CD 和EF ，其中E C ,位于AB 的同一侧，直线CF 和DE 分别交AB 于点Q P ,，则有OQ OP =.2.斜率形式结论1:B A 、分别为椭圆)(1:2222b a by a x E >=+的左、右顶点，)0,(t T 为x 轴上一定点，过M 直线交椭圆于D C ,两点，连接BD AC ,，那么ta t a k k BD AC +-=.证明：过T 作x PQ ⊥轴，交椭圆于Q P ,交BD AC ,于,,N M 由椭圆对称性可知：TQ TP =：进而据蝴蝶定理可知：TN TM =，于是可得：t a t a AT BT BTNT AT MT NBT MAT k k BD AC +-===∠∠=tan tan .结论2[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =213坎迪定理如图，过圆的弦AB 上任意一点M 引任意两条弦CD 和EF ，连接CF ED 、交AB 于P 和Q ，则MBMA MQ MP 1111-=-.坎迪定理的推广设AB 是二次曲线的任意一条弦，M 为AB 上任意一点，过M 作任意两条弦CD 和EF ，连接ED 、CF 交直线AB 于P 和Q .（1）若Q P 、位于M 两侧，则MBMA MQ MP 1111-=-；（2）若Q P 、位于M 同一侧，BM AM <，则MB MA MQ MP 1111-=+.二．典例分析例1（2020一卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：依上述蝴蝶定理的内容：由于31=PD P A k k 过E 作x MN ⊥轴，交DP AP ,与N M ,点，交椭圆于H G ,.显然E 为椭圆弦GH 的中点，由蝴蝶定理：EN EM =，3133tan tan =+-===∠∠=E E PD P A x x AE BE BENE AE NE NEB MAE k k ，23=E x 例2．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理的证明与推广
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。
这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
从向和作垂线，设垂足分别为和。
类似地，从向和作垂
线，设垂足分别为和。
证明蝴蝶定理
现在，由于
从这些等式，可以很容易看出：
由于 =
现在，
因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
蝴蝶定理高中
蝴蝶定理高中
（实用版）
目录
1.蝴蝶定理的概述
2.蝴蝶定理的证明方法
3.蝴蝶定理在数学领域的应用
4.蝴蝶定理对高中数学教学的重要性
正文
【蝴蝶定理的概述】
蝴蝶定理，又称为蝶形定理，是一种数学公式，主要描述了三角函数的性质。
它的名字来源于它的形状像一只蝴蝶。
在数学中，蝴蝶定理是一种基本的公式，它在解决许多数学问题时都起到了关键的作用。
【蝴蝶定理的证明方法】
蝴蝶定理的证明方法比较简单，主要是通过将三角函数进行拆分和组合，然后通过化简，最后得到蝴蝶定理的公式。
具体的证明过程需要一定的数学技巧，但对于高中生来说，理解这个过程可以帮助他们更好地理解三角函数的性质。
【蝴蝶定理在数学领域的应用】
蝴蝶定理在数学领域中有广泛的应用，它不仅可以用来解决三角函数的问题，还可以用来解决复数和指数函数的问题。
在解决一些复杂的数学问题时，蝴蝶定理往往能够提供一种简单而优美的解决方案。
【蝴蝶定理对高中数学教学的重要性】
蝴蝶定理对高中数学教学具有重要的意义。
通过学习蝴蝶定理，学生可以更好地理解三角函数的性质，提高他们的数学技能和解决问题的能力。
同时，蝴蝶定理也是一种很好的教学工具，可以帮助教师更好地解释和教授三角函数。
小学几何之蝴蝶定理完整版
小学几何之蝴蝶定理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】CFE ADBCBEFDA几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质1） HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
蝴蝶定理资料
Q
P
C，F，D，E 的二次曲线系为
A
M
Bx
b2x2+a2(y+h)2 – a2b2+λ(y – k1x )( y – k2x )=0，
F
令 y=0，得(b2–λk1k2)x2+a2h2–b2a2=0．由韦达定理 xp+xq=0，即 E MP= MQ．命题得证．
类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.
，
因为点 M(0，m)为线段 PN 的中点，所以 xN xP =0， 0 yP =m，
A1
M
P
O
求证：
=
；
C B1
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C，D，G，H，设 CH 交 x 轴于点 P，GD 交 x 轴于点 Q.
Q G
D A2
x
求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形)
答案 （I）e= a2 b2 ；（II）见解析 (Ⅲ)见解析．
M
x
Q
F
设 A(0，t)，B(0，–t)，知 t，–t 是 Cy2+Ey+F=0 的两个根，所以 E=0. 若 CD，EF 有一条斜率不存在，则 P，Q 与 A，B 重合，结论成立.
DB
图1
若 CD，EF 斜率都存在，设 C(x1，k1x1)，D(x2，k1x2)，E(x3，k2x3)，F(x4，k2x4)，P(0，p)，
=
(点 M 也可以是 AB 延长线上的点)．
定理 1：在圆锥曲线中，过弦 AB 中点 M 任作两条弦 CD 和 EF，
y
C
直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P，Q，则有|MP|=|MQ|.
几何里的蝴蝶定理
几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。
2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。
然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。
从图上直观地看，似乎XM = MY。
二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。
- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。
- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。
2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。
- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。
- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。
- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。
三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理
“蝴蝶定理”和四点共圆蝴蝶定理：如图1：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．证明：如图2，连接OA 、OP 、OQ ，过O 点作OX ⊥CD 于X ，OY ⊥EB 于Y,连接AY 、AX 。
因为 OA ⊥MN ，由垂径定理可知：CX=XD,EY=BY.在四边形OXPA 中，∠OAP=∠OXP=90°,于是有O 、X 、P 、A 四点共圆，从而有∠AOP=∠AXC. (Ⅰ)同理可得：A 、O 、Y 、Q 四点共圆，有∠AOQ=∠AYE.(Ⅱ)由∠C=∠E,∠D=∠B ，证得：△ADC ∽△ABE ， 有EB AE CD AC =，根据CX=XD,EY=BY ，有EQAE CX AC 22=， 于是得出EQAE CX AC =，结合∠C=∠E ， 证得△AXC ∽△AQE,有∠AXC=∠AYE,(Ⅲ)综合(Ⅰ) 、(Ⅱ)、 (Ⅲ)，得出 ∠AOP=∠AOQ.①由OA ⊥MN ，得知：∠OAP=∠OAQ=90° ②加上 OA=OA ③由①、②、③可以证得△OAP ≌△OAQ,由全等三角形的性质得出AP ＝AQ.无独有偶，在教学实际中笔者遇到了这样一道题：如图3，设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．通过对“蝴蝶定理”的证明，我们可以看出，此题是把MN 由圆内移到了圆外，根据上题的思路，我们同样可以借鉴。
证法简要叙述如下：如图4所示，连接OP 、OQ ，过O 点作OX ⊥CD,OY ⊥BE ，垂足分别为X 、Y ，连接AX 、AY 。
由OX ⊥CD ，OA ⊥MN ，得知∠OXQ=∠OAQ于是O 、X 、A 、Q 四点共圆有∠AOQ=∠AXQ.同理，O、Y、A、P四点共圆，有∠POA=∠PYA.由割线定理得知△ACD∽△AEB ①因为OX⊥CD,OY⊥BE，根据垂径定理有CX=XD,BY=EY ②由①、②同样证得△ACX∽△AEY,得出∠CXA=∠EYA.根据等角的补角相等得出∠AXQ=∠PYA，这样有∠AOQ=∠POA.在△OPQ中，OA⊥MN，OA平分∠POQ，根据三线合一定理得知OA垂直平分PQ，即AP＝AQ.评析：不难看出，在证明PA=PQ的过程中，着重抓住了在同一个三角形中垂直（已知条件）和平分（求证结果）之间的内在联系，构造等腰三角形（或证明全等），从而把求证线段相等的问题转化成求两个角相等，而四点共圆的出现恰恰给我们提供了等角证明的桥梁。
蝴蝶定理及其推广
蝴蝶定理及其推广本文介绍蝴蝶定理、坎迪定理及相关结论的解析法证明蝴蝶定理最开始是一个关于圆的定理，因其图形像一只翩翩起舞的蝴蝶，被称为蝴蝶定理，并可推广到了任意二次曲线之中，而坎迪定理是蝴蝶定理的一般形式。
圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理的霍纳证法证法1.霍纳证法证明:作OU⊥AD,OV⊥BC,则U,V分别是AD,BC的中点注意到∠EUO=ZEMO=90°，从而E,M,O,U四点共圆，进而∠EOM=∠EUM，同理，可知∠FOM=ZFVM注意到△ADM∽△CBM，且U,V是这对相似三角形的对应点，那么∠AUM=∠CVM，即∠EOM=∠FOM，从而ME=MF，证毕。
证法2.单墫证法1983年，中国科技大学单墫教授给出一个简洁的解析法证明: 以M为原点，弦PQ所在直线为x轴，视圆O为单位圆，建立直角坐标系，如图:设圆O的方程为x²+(y-a)²=1，直线AB、CD的方程分别为y=k1x、y=k2x,由圆和直线组成的二次曲线系方程为:μ[x²+(y-a)²-1]+λ(y-k1x)(y-k2x)=0令y=0,则xE,xF满足方程(μ+λk1k2)x²+μ(a²-1)=0，由于x的系数为0，结合韦达定理可得xE+xF=0，即xE=-xF，故ME=MF外接图形为任意二次曲线的蝴蝶定理我们将圆换成一个任意的二次曲线，结论也是一样成立的:蝴蝶定理外接曲线型的推广证明:这里我们仍以单墫教授在上例的解析法证明思路:以M为原点，MP所在直线为x轴，设P(m,0),Q(-m,0)，且过这六点的圆锥曲线方程为:Ax²+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1)将(m,0)和(-m,0)代入，得F=-Am²,D=0，不妨设A=1,则(1)化为:x²+Bxy+Cy²+Ey-m²=0设直线AB：x=k1y,CD:x=k2y,那么经过A,B,C,D的二次曲线系方程为:x²+Bxy+Cy2+Ey-m²+λ（x-k1y)(x-k2y)=0 (2)注意到两条直线是退化的二次曲线，当y=0时，方程(1+λ)x²=m²的两根即为xE，xF，由代数方程根与系数的关系，易知:x E+x F=0,故ME=MF。
蝴蝶定理
第33讲 蝴蝶定理精讲摘要风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：=④ (证明略)这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．ABF D QMP CEA BFDQM PEOCx yAB FD Q MPEOCxyA BDFP M Q CExy④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．=.蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：=(点M 也可以是AB 延长线上的点)．A PMQ BDExy 图1FC定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =(x –x 1)+ k 1x 1，p =(0–x 1)+ k 1x 1=，同理q =，所以p +q =将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，同理 x 3+x 4=, x 3x 4=，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是x 1+y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.ACPM Q BD Elxy 图5F 调研精讲答案 （I ）e =22a b a-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．解析 （I ）椭圆方程为22x a +22()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22a b a-.（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．根据韦达定理，得：x 1+x 2=2122212k a rb a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，所以1212x x x x +=2212r b k r- ①将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=2222r b k r- ② (韦达定理真的“很伟大”)由①，②得：11212k x x x x +=222r b r -=23434k x x x x +，所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=1122k x k x ， 解得p =12121122()k k x x k x k x --.由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =12231223()k k x x k x k x --.由11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=141124x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：=；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)A 1B 1HGQMP D O Cxy A 2B 2即12231223()k k x x k x k x ---=12141124()k k x x k x k x --，所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.答案 （1）24x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．解析 （1）由已知，a =2b ．又椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故234b+214b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)， 由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为y =12-x ，由方程组221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭． 所以|MC |∙|MD |=25)(2)4m m m -=-． |MA |∙|MB | =14|AB |2=14221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．=22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．答案 （I ）26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=45． 解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， 则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =2a ，∴椭圆E 的方程为222xb +22y b =1；代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，∴椭圆E 的方程为26x +23y =1；由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)； （Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =12，直线l ′平行OT ， 得直线l ′的参数方程为0023x x ty x t =+⎧⎨=-+⎩，代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，整理得2t 2+4t +x 20– 4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2x -；而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |， 且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，【 调研3】已知椭圆E :+=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．∴λ=2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2x x --=45，即存在满足题意的λ值．答案 （1）24x +22y =1；（2）（ii ）62．解析 （1）由题意得22224222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1．（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ， 因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k-， 因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02Py +=m ， 得x P =mk，y P =2m ， 所以点Q ,2m m k⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以k '=()20m m m k---= –3k ，故'k k = –3为定值． （ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2421kmx k -+，y 1+y 2=2221mk +， 所以A 222264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫+--⎪++⎝⎭，， 直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线 交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．AQMPONxy B得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=212181km k +，y 1+y 2=22181mk +， 所以B ()()22224916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +14k ， 因为点P 在椭圆上，所以224m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立， 所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =32k +14k≥(当且仅当k时取“=”)，所以当k时，k AB． 分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +22y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，即||||AP PB =||||AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．答案 （1）24x +22y =1；（2）见解析； 解析 (1)由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c ab c a b，解得a 2=4，b 2=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.(2)方法一:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=||||AP PB =||||AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ， 于是 4=121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =121λλ++y y . 从而 2221221λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②【 调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(，0)，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|| ∙ || =|| ∙ ||，证明：点Q 总在某定直线上.又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③x 22+2y 22=4 ④①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上 方法二:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且||||PA AQ =||||PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y① x 2=41λλ++x ，y 2=11λλ++y② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2=4，整理得(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③ (x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④④–③得 8(2x +y –2)λ=0∵ λ≠0，∴2x +y –2=0 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A NMTOF xyB蝴蝶定理的推广 1．椭圆+=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (，0)．2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方ANM T OF xyBDl PQ CE 快速提高高考成绩，轻松考取理想名校，提分奇书，巧学妙解王，火爆淘宝，订购店铺 或淘宝直接搜索书名：巧学妙解王 或拼多多搜索书名：巧学妙解王今天你真的提分了吗？还不赶快使用巧学妙解王！ 高考数学满分突破50讲——《妙妙题》即将上架！官网在线阅读： 凡是有高中的地方，必有巧学妙解王！程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此===，即=，注意到x A = –x B 化简得x C =.另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0∴x A x B =，即x =；将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =，因此可得x C ==x 0，又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)． 值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究． 蝴蝶定理推论性质1： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得===，设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=，得mn =a 2.A C OP MQ BD E lHxy 图3G F 蝴蝶定理推论性质2：若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.蝴蝶定理推论性质3：直线l ：x =，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线±=1的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=.证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：.A C OP M Q BD E l IxyG F 蝴蝶定理推论性质4： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：===，由性质3得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =上.A C OP M Q BDE lH x y图5G F蝴蝶定理推论性质5：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.OFGMDExy图6lC 蝴蝶定理推论性质7： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =上.证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.蝴蝶定理推论性质8：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. OPG M DExyl CQ蝴蝶定理推论性质9：直线l ：x =，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则=.蝴蝶定理推论性质10：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.蝴蝶定理推论性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.【 调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．ANMTOF xyB蝴蝶定理推论性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |， 所以===.A PM Q BDE图8FCGI答案 (1)x =92；(2)T (7，103) (3) 见解析． 解析 （1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)． 由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92． 故所求点P 的轨迹为直线x =92．（2）将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53)、N (13，209-) 直线MTA 方程为：0503--y =323++x ，即y =13x +1， 直线NTB 方程为：2009---y =3133--x ，即y =56x –52． 联立方程组，解得：7103=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，所以点T 的坐标为(7，103)． （3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m(x +3)， 直线NTB 方程为：00--y m =393--x ，即y =6m(x –3)． 分别与椭圆29x +25y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 2223(20)20(,)2020--++m mm m ． （方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：222202040208020+++++m y m m m m m =2222223(20)203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由22240380-+m m =2236020-+m m 及m >0，得m此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠，直线MD 的斜率k MD =22240802403180+--+mm m m =21040-mm ，直线ND 的斜率k ND =2222020360120-+--+mm m m =21040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=________.解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得22y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 222,p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立得28y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 288,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴|OP |=，|PQ ， ∴ABQ ABOS S ∆∆=||||PQ OP =3.2．已知椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．精讲巩固ANM POFx B(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求12k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =12，右准线方程为x =4，即2a c =4．解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +23y =1．(2)点P (4，)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点M 的坐标为(0．那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(85，．那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12kk =13. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)， 利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，那么：x 1+x 2=22843k k + ①， x 1x 2=2241243k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =112y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =222y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212122334x x x x x x -++-∴ x =21212212223()442x x x x x x x x -+++-+ ③将①②代入③解得：x =4． 故点P 存在直线x =4上．当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ． 由2234x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0，解得<n. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32n，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4n)在直线y =x +1上， 所以4n=34n+1，解得n = – 2． 所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S|AC |2. 由(1)可得|AC |2=(x 1 – x 2)2+(y 1 – y 2)2=23162n -+，所以S–3n 2+16) (<n)．所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x – y相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解析：∵椭圆C ：22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12， AFCPO xyBDF∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y相切，b，则a 2= b 2+c 2=4． 故椭圆C 的方程为：24x +23y =1．(2)①证明：∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32)，B (1，32-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1k-(x –1)，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +，x 1x 2=2241234k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3k-，∴P (4，3k-)，则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=12121212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++=222222222438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k--+-⋅++⋅++--⋅+++=2727236(1)k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；② ∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2=2241234k k -+. 由弦长公式得|AB2212(1)34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =22112(1)134k k++⋅=2212(1)34k k ++.∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)12(1)k k ++=712.∴存在常数λ=712，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x ANMQOxyB9令y =0，解得：x =1．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，代入02p⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2； （II ）点A (214y ，y 1)，B (224y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12y-(x –1)，代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=21214(4)y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得d 1+d 2321121121|2(2)|+--+-y y y y y y y311221|(2)|+--+-y y y y y3112|2|+-y y y3114|2|++y y22因此S APBQ =12|PQ |∙( d 1+d 2)=1设函数f (x )=256(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，可得，当x ∈(0时，f (x )单调递减；当x ∈+∞)时，f (x )单调递增， 从而当y 1S．。
蝴蝶定理的证明
蝴蝶定理的证明蝴蝶定理的证明首先需要了解以下两个概念：1. 链式法则：如果x 是y 的函数，y 是z 的函数，则x 是z 的函数且有如下链式法则：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z} =\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}2. 广义的乘法公式：对于任意n 个变量x_1, x_2, \dots, x_n 和它们的函数f(x_1, x_2, \dots, x_n)，有如下广义的乘法公式：\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{j\neq i} \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j} \frac{\partialx_j}{\partial x_i} + \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_i} \frac{\partialx_i}{\partial x_i}接下来考虑如下的蝴蝶图形： \cdot \frac{\partial d}{\partial x} + (\frac{\partial z}{\partial f \partial e} \cdot \frac{\partial f}{\partial e\partial c}) \cdot \frac{\partial e}{\partial x} + (\frac{\partial z}{\partial f\partial c} \cdot \frac{\partial f}{\partial c \partial b}) \cdot \frac{\partial b}{\partial x}继续化简可得：\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial f} \cdot (\frac{\partial f}{\partial d \partial b} + \frac{\partial f}{\partial d \partial a}) \cdot\frac{\partial d}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial f} \cdot \frac{\partial f}{\partial e \partial c} \cdot \frac{\partial e}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial f} \cdot \frac{\partial f}{\partial c \partial b} \cdot \frac{\partialb}{\partial x}由链式法则可得：\frac{\partial f}{\partial d \partial b} + \frac{\partialf}{\partial d \partial a} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}d} \cdot\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}b} + \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}d}\cdot \frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}a} =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}d} \cdot 0 = 0，因此上式可以进一步化简为：\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial f} \cdot (\frac{\partial f}{\partial e \partial c} \cdot \frac{\partial e}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial c \partial b} \cdot \frac{\partial b}{\partial x})即蝴蝶定理成立，证毕。
蝴蝶定理的多种证法
蝴蝶定理的多种证法蝴蝶定理：AB为圆上的弦，C为AB的中点，DE和FG为过C点的弦，DG、EF分别交AB于H、I,则C为HI的中点。
证法一（霍纳证法）：过圆心O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴DS/FS=DE/FC根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2∴DS/FS=DL/FT又∵∠D=∠F∴△DSL∽△FST∴∠SLD=∠STF即∠SLN=∠STM∵S是AB的中点∴OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆（对角互补的四边形共圆）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴△SOM≌△SON(ASA)∴MS=NS证法二（作图法）：分别过H、I作DE的垂线，垂足为H1、I1，再过H、I作FG的垂线，垂足为H2、I2∵△CHH1∽△CII1∴CH/CI=HH1/II1∵△CHH2∽△CII2∴CH/CI=HH2/II2∵△DHH1∽△FII2∴HH1/II2=DH/FI∵△GHH2∽△EII1∴HH2/II1=GH/EI∴(CH/CI)²=(HH1/II1)•(HH2/II2)=(DH•GH)/(FI•EI)=(AH•BH)/(AI•BI) =(AC－HC)(CB＋HC)/[(AC＋CI)(BC－CI)]∵AC=BC∴(CH/CI)²=(AC²-HC²)/(AC²-CI²)∴CH=CI∴C是HI的中点证法三（对称法）：过F点作AB的平行线交圆于I点，连接MI、HI、DI∵AB∥FI，M是AB的中点∴由圆的对称性得：FM=MI∴∠MFI=∠MIF又∵AB∥FI∴∠HMI=∠MIF=∠MFI=∠GMF又∵∠HDI+∠MFI=180°(E、D、I、F共圆）∴∠HDI+∠HMI=180°∴D、H、M、I共圆∴∠MIH=∠HDM又∵∠HDM=∠GFM∴∠GFM=∠MIH∴易得△GFM≌△HIM(ASA)。
小学蝴蝶定理公式证明
小学蝴蝶定理公式证明
蝴蝶定理指出了一种具有特殊形状的两边对称的图形 - 蝴蝶。
它包含四个等边三角形，两个等边三角形相交在中心，使其因而形成一个四边形。
蝴蝶定理的主要结论是当给定一个四边形的话，如果满足两条条件：（1）斜边的长度是两边的平方和，（2）两个等边角的夹角是160度，那么此四边形就是蝴蝶形状。
将一个四角形写成A，B，C，D还是以一种顺时针的方式，其中
AB=AC，BC=CD。
我们想要证明蝴蝶定理，可以通过将这个四角形分解成两个等边三角形来完成：这里的三角形ABC和BCD，其中两个等边边AB和BC。
按照上述描述，可以用以下公式来证明蝴蝶定理：
（1）斜边长度：AB²+BC²=AC²+CD²
（2）角的夹角160°：∠ABC=∠BCD=160°
证明：
首先，使用勾股定理证明斜边的长度：
AB²=AC²+BC²
BC²=CD²+AB²
将他们相加得到：
AB²+BC²=AC²+CD²
接下来，使用另外一个定理证明角的夹角：
由于AB=AC，BC=CD，所以ABCD是一个等边四边形，
∠ABC=∠BCD，根据等腰四边形的定理，∠ABC=∠BCD=160°
这样，我们完成了蝴蝶定理的所有文字和公式证明。
两条给定条件，即斜边的长度是两边的平方和，两个等边角的夹角是160度，被证明是十分正确的。
因此，当给定了一个四边形满足这两条条件时，它就是蝴蝶形状。
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蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
[2]2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
图 2图 3图4图 5证法 4 （Steven 给出）如图5，并令DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x yαβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由FCM AME EDM FMBFCM EDM FMB AMES S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδαγβδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅化简得 ()()()()222222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222222x y a y a x -=-，从而 ,ME MF x y ==。
证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MAαβαββαβα++=+=+，上述两式相减，得()()()11sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪⋅⋅⎝⎭设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα-==︒-=-==︒-=于是 ()11sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。
（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为()222x y a R ++=。
直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x=。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为()()()222120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。
[5]证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为()222x a y r -+=直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x=。
又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，则14x x 、分别是二次方程()()2222222212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。
AD 在y 轴上的截距为()()241111214411111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----⋅=-=---。
同理，BC 在y 轴上的截距为()122332k k x x x x --。
注意到12x x 、是方程()22221120k xax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程()22222120k x a x a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x ax x a r x x ++==-，从而易得341212340x x x x x x x x +=--，即ME MF =。
证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。
因C F B 、、三点共线，令BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1 ()A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○2图 8作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。
注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得D CB A cos cos ρρρραβ--=- ○4将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。
二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P 、 Q 分别是 ED 、 CF 和AB 的交点. 如果 P 、 Q 分别是 CE 、 DF和AB 延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .推论 1 过圆的弦 AB 的中点M 引任意两条弦 CD 与 EF, 连结 CE 、 DF 并延长交 AB 的延长线于 P 、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsin α · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF ·QD ·M P 2= PC·PE·MQ2. ②又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM 是 AB 的垂线 (O 是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB 的前提下将圆 O 的弦 AB 移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2 已知直线 AB 与 ⊙O 相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M 作 ⊙O 任意两条割线 MC, M E 分别交 ⊙O 于 C, D 和 E, F. 连结DE,FC 并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F 作 FK ∥AB, 交直线 OM 于 N,交 ⊙O 于 K .连结 M K 交 ⊙O 于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M 在 FK 的垂直平分线上) .又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK 知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C 四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有PM = QM .推论 3设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD 和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF 知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。