初中数学竞赛几何证明题综合训练

几何证明题综合训练

1． 线段或角相等的证明

（1） 利用全等△或相似多边形； （2） 利用等腰△； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换；

（5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明

（1） 转化为相等问题。如要证明a=b±c ，可以先作出线段p=b±c ，再去证明a=p ，

即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

（2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt △斜边上的中线等于斜边的一半；

△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3． 两线平行与垂直的证明

（1） 利用两线平行与垂直的判定定理。

（2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 （3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F 。求证：BE 平分CD 。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED 、AC 、AF 。

CF=DF ←△ACF ≌△EDF ←

←⎪

⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧⎩⎨⎧←←∠=∠∠=∠=∠←∠=∠←⎭⎬⎫

∠=∠=四点共圆、、、P B F A ABP AFC ABP AEF EFD EFD AFC CD //AE EDF ACF ED AC

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF 、⎪⎩

⎪⎨

⎧=∠←=∠←=、、、P B F O 90

OBP 90OFP DF CF 0

←∠PFB=∠POB ←

←⎩

⎨⎧←∠=∠←∠=∠是切线、PB PA AEB POB CD

//AE AEB PFB

注：连结OP 、OA 、OF ，证明A 、O 、F 、P 四点共圆亦可。 【例2】△ABC 内接于⊙O ，P 是弧 AB 上的一点， 过P 作OA 、OB 的垂线，与AC 、BC 分别交于S 、T ， AB 交于M 、N 。求证：PM=MS ⇔PN=NT 。

【分析】只需证

NP

TN

MS PM =

， PM ²PN=MS ²NT 。 （∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM ∽△PBN →

PN

AM

BN PM =

→PM ²PN=AM ²BN （∠BNT=∠AMS ，∠BTN=∠MAS ）→△BNT ∽△

SMA →NT

AM

BN MS =

→MS ²NT=AM ²BN

【例3】已知A 为平面上两半径不等的圆O 1和O 2的一个交点，两外公切线P 1P 2、Q 1Q 2

分别切两圆于P 1、P 2、Q 1、Q 2，

M 1、

M 2分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点。求证：∠O 1AO 2=∠M 1AM 2。

【分析】设B 为两圆的另一交点，连结并延长BA 交P 1P 2于C ，交O 1O 2于M ，则C 为

P 1P 2的中点，且P 1M 1∥CM ∥P 2M 2，故CM 为

M 1M 2的中垂线。

在O 1M 上截取MO 3=MO 2，则∠M 1AO 3=∠M 2AO 2。

故只需证∠O 1AM 1=∠O 3AM 1，即证

3

11

131O M M O AO A O =。 由△P 1O 1M 1∽P 2O 2M 2，M 1O 3=M 2O 2，O 1P 1=O 1A ，O 2P 2=O 2A 可得。

【例4】在△ABC 中，AB>AC ，∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：AE=

2

AC

AB -。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE 上截取EF=AE ，只需证BF=AC ，连结DC 、DB 、DF ，从而只需证△DBF ≌△DCA ← DF=DA ，∠DBF=∠DCA ，∠DFB=∠DAC ←∠

DFA=∠DAF=∠DAG 。

方法2、延长CA 至G ，使AG=AE ，则只需证BE=CG

← 连结DG 、DC 、DB ，则只需证△DBE ≌△DCG ← DE=DG ，∠DBE=∠DCG ，∠DEB=∠DGC=Rt ∠。 【例5】∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。

求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O ，则P 、M 重

合，PM=0，结论显然成立。 若角平分线不过O ，则延长DO 至D'，使OD'=OD ，则只需证DD'=PM 。连结D'P 、

DM ，则只需证DMPD'

为平行四边形。

过O 作m ⊥PK ，则D −−

→−)(m S D',K −−→−)

(m S P ，∴∠D'PK=∠DKP BL 平分∠ABC ，MK ⊥

BL →BL 为MK 的中垂线→∠DKB=∠DMK

∴∠D'PK=∠DMK ，∴D'P ∥DM 。而D' D ∥PM ，

∴DMPD'为平行四边形。

【例6】在△ABC 中，AP 为∠A 的平分线，AM 为BC 边上的中线，过B 作BH ⊥AP 于H ，AM 的延长线交BH 于Q ，求证：PQ ∥AB 。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。 倍长中线：延长AM 至M'，使AM=MA'，连结BA'，如图6-1。

PQ ∥AB ←

MA QM MB PM =

←QM MA QM MA PM MB PM MB -+=-+←/

QA AQ

PC BP = ←⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠←===BQ A ABQ B A BA QA

AQ B A AC ,AC

BA

PC BP ////

∠A'BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

方法2、结合角平分线和BH ⊥AH 联想对称知识。

延长BH 交AC 的延长线于B'，如图6-2。则H 为BB'的中点，因为M 为BC 的中点，

连结HM ，则HM ∥B /

C 。延长HM 交AB 于O ，则O 为AB 的中点。延长MO 至M'，使OM'=OM ，连结M'A 、M'B ，则AM'BM 是平行四边形，

∴MP ∥AM'，QM ∥BM'。于是，QB HQ

'MM HM PA HP ==，所以PQ ∥AB 。 【例7】菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于E 、F 、G 、H ，在EF 与GH 上分别作⊙O 的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q 。

求证：MQ ∥NP 。（95年全国联赛二试3）

B'

D D