微积分在中学数学中的应用开题报告
微积分在中学数学教学中的应用
微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容，也是大学数学的重要的基础课程，容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础，提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容，在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中，没有得到它应有的体现，难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册（选修2—2）（人民教育），从微积分产生的时代背景和历史意义出发，简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义，论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性，通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究，结合现代教育教学理论，归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言 (1)2文献综述 (3)2.1国外研究现状 (3)2.2国外研究现状评价 (4)2.3提出问题 (4)3微积分在中学数学教学中的应用 (4)3.1微积分与中学数学的联系 (4)3.2微积分在中学数学中的地位和作用 (5)3.3微积分在中学数学解题中的应用 (5)3.3.1导数在求曲线的切线中的应用 (5)3.3.2导数在不等式证明中的应用 (6)3.3.3导数在恒等式证明中的应用的 (8)3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 (9)3.3.5导数在几何上的应用 (12)3.3.6导数在方程解的问题上的应用 (12)3.3.7导数在数列问题中的应用 (12)3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4] (13)4定积分在中学数学中的应用 (14)4.1定积分在求曲边形面积上的应用 (14)4.2积分在不等式证明中的应用 (14)4.3定积分在组合恒等式证明中的应用 (15)5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性 (16)5.1提高现代数学教师修养的必要性 (16)5.2提高现代数学教师修养的可行性 (16)6结论 (16)6.1主要发现 (16)6.2启示 (16)6.3局限性 (16)6.4努力方面 (17)参考文献 (17)1引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪前，恒团，公龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；公园3世纪徽的“割圆术”和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大发展.到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中，都包含着微积分的初步想法.到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要的地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩的军事需要，也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来，所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求变现为一些急需解决的问题，可以分为一下四种类型：（1）球运动物体的瞬时速度和加速度.（2）已知曲线求其切线.（3）已知函数求函数的极大值和极小值.（4）求曲线的长度.这些问题都是17世纪时，其他科学，尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分思想的成果，但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学，17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国，由于历史的原因，我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后，广大的教育工作者在不同的时期，从不同的角度，利用不同的方法，对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究，取得了一定的成果.早在1983年，的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段，教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人，也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体，也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中，有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见，高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外，对微积分的教学研究较早，并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初，德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的“新数学”运动及后来60年代末在法国进行的“现代数学教育改革”运动，他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展，将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代，各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如，日本，文英堂，竹之修，高等学校新编，数学II（1998）；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册（1988）；英国，剑桥大学SMP教材系列，纯数学（1997）；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导，阿利莫夫等主编的高中“代数与分析初步”（2000）等新编高中微积分教材，都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明，文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法，没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少，对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明. 2.3提出问题在一些发达的省市，微积分已纳入高考，对微积分的进一步学习迫在眉睫，但就部分高中生而言，他们已具备较强的学习能力，数学学习过程中会根据教师的指导，除学好基础知识外，还会体会微积分的思想，总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生，要教好掌握高中数学知识尚且困难，更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此，除对问题解决中应用微积分外，还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册（选修2—2）的进一步延伸和发展，而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤，无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识，进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之，学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握，可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接，使不少大一新生一接触到“数学分析”时，就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节，许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题，研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容，为中学生进入大学埋下伏笔，微积分在中学数学解题中提供了新的方法，同时也提供了重要的思想，为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用3.3.1导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里，由于初等数学知识本身的极限性，对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的，并且切线是不能穿过切线的.因此，求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组，消去y，化成关于x的一元二次方程，利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置，即只要曲线在这点的极限存在并连续，那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线，即一条切线除切点外，还可能与这条曲线有其它的公共点，因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1(2013年卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0， ()xx f 21'-，()0>x 因为 ()11=f ，()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：()11--=-x y即02=-+y x因此，用导数的方法不仅修正了切线的定义，还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.3.3.2导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具，包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说，前者较易，后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法，如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等，但这些方法毕竟带有局限性，对于一些比较复杂的问题往往就不起作用，而且还有这些情况，题目略有不同，证明方法就迥然不同.总之，证明不等式是方法很多，要得出确定的方法几乎是不可能的.因此，不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ， 从其导数入手即可证明：1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：0)0()(max ==f x f因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x∴x x ≤+)1ln( （右面得证） 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ，则： 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即：0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当1->x 时，有：x x x ≤+≤-+)1ln(111从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.3.3.3导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到，这里就恒等式的三种情况（组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式）利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C 解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ，则()()1111110132121132------⋅=+⋅=+++=++++n n n n n n n n n n n n n C C C n nC C C C这种方法简单，但是技巧强，若想不到这样或者遗忘公式，就无法作答. 方法二 由二项式定理展开得：()nn n n n o n n x C x C x C C x ++++=+ 2211由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ，对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ，即可得：1321232-⋅=++++n n n n n n n nC C C C利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单，更重要的是可以优化解题过程，开阔学生视野，发展学生思维. 例3证明()()2112111321x nx x n nxx x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-()()[]()21'111111x x x x n x x x x n n n --++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++()()21111x nx x n n n -++-=+例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则()()()2322'43141313xx x xx F ---+--=当2121<<-x 时，()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()c X F ≡令0=x ，则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=Fππ=⋅=22故π=c ，所以在⎪⎭⎫⎝⎛-21,21，()π=--343arccos arccos 3x x x又π=⎪⎭⎫⎝⎛±21F ，所以当21≤x 时()π=--343arccos arccos 3x x x在三角学中，有时从关于正（余）弦的恒等式出发，通过求导，即可得到有关余（正）弦的相应很等式恒等式.3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地，求函数()x f y =的极值的方法是： 解方程()0'=x f ，当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ，右侧()00'<x f ，那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ，右侧()00'>x f ，那么()0'x f 是极小值. 二、求函数()x f 最值的方法我们知道，如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点，设1x ，2x ，……，n x ，则()()()()(){}b f x f x f x f a f Max f n Max ，，，，， 21= ()()()()(){}b f x f x f x f a f f n ，，，，， 21min m in =如果确知()x f 的最值存在的话，这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ，所以()()()2242'+-=-=x x x x f令()0'=x f ，解得2=x 或2-=x . 下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时，2>x 或2-<x ； ②当()00'<x f 时，22<<-x当x 变化时，()0'x f ，()x f 的变化如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值，极大值为()3282=-f 当2=x 时，()x f 有极小值，极小值为()342-=f例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值. 解：由例4可知，在[]3,0上，当2=x 时，()44313+-=x x x f 有极小值，并且极小值为()342-=f又由于()40=f ，()13=f 因此函数()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值是4，最小值是34-. 通过这两个例题我们看到，求函数极大（小）值和最大（小）时，运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到，初等方法只能处理一些特殊问题，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，还容易遗漏一些极值点，导数法不但方法简单、统一，易于掌握和运用，而且不会漏掉极值点，更重要的是它的应用围比初等方法广得多.3.3.5导数在几何上的应用3.3.6导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题. 例 若3>m ，则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？ 解：设()123+-=mx x x f ，则()mx x x f 232'-=，当3>m 且[]2,0∈m 时，()0'<x f ，故()x f 在()2,0上单调递减，而()x f 在0=x 与2=x 处都连续，且()010>=f ， ()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根． 3.3.7导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+，*∈N n ，且()1,01∈a ，求证： 10<<n a证明：构造函数()x x x f 23213+-=，则：()()()1123'+--=x x x f当()1,0∈x 时，()0'>x f ，所以()x f 在()1,0上是增函数. 因为()1,01∈a ，即：101<<a故1=n 时，原不等式成立.设k n =时，原不等式成立，即10<<k a 因为()x f 在()1,0上是增函数，所以()()()10f a f f k <<又()00=f ，()11=f ，所以()10<<k a f ，即101<<+k a即1+=k n 时，原不等式成立，故：当*∈N n 时，10<<n a导数在数列中的应用还远不止这些，如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等，但基本思想方法是一样的，在这里就不一一例举.3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷，带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容，《课标》对定积分的定位如下：“（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础；（2）通过实例，直观了解微积分基本定理的含义；（3）了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和基本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ，那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =，b x =，0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积.例(2013年卷理科) 求直线 l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于解析：本题考查抛物线的性质，定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ，所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值，即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式，主要是因为导数可以判断函数的单调性，可以求函数的极值和最值，此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算，积分本身又具有单调性，此外也有积分中值定理，再加上积分明显的几何直观，使积分在不等的证明中也有广泛的应用. 例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x ()21ln ln111122+==+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰x x xdx而当10≤≤x 时，有22111xx x+>+∴由积分单调性得()12ln 21->+4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式，通过求导运算，可以证明组合恒等式，这是我们在3.3中已经介绍过.同样，选择适当的二项式，通过积分运算，也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n nn n n 证明：考虑积分()⎰-=11dx x I n的两种算法：①11111+==-=⎰⎰-=n du u du u I n nxu ②()dx x C I n k k n kk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001()()1111010+-=-=∑⎰∑==k C dx x Ckn knk k nk knk()n nnn n nC n C C C 113121210+-+-+-= 比较积分I 的两种计算结果，即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究，如定积分在求平面区域的面积，求平面曲线的弧长，求旋转体的体积，求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论.5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视，且题型灵活多变，一般的学生难于把握，在解决的过程中更是困难重重，在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法，以其为指导，并熟练掌握微积分的基础知识以后，问题就能够迎刃而解，使得在解决微积分问题时思路清晰，运算简便，尤其是导数在求函数的单调性、极大（小）值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用，以后在处理微积分问题时，若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想，对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容，无论是对于教师还是学生都是“新”的.作为教师要从思想方法上指导学生，6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明，其主要是归结概括，还有诸多知识需待补充，微积分在中学数学中的应用远远不止这些，未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想，其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多，并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键，应用微积分可以解决很多数学数学问题，需进一步学习积累，灵活应用，以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：，1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育，1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育.2009.。
微分中值定理开题报告
3．本课题的研究内容
本课题拟从以下几个方面研究：
一、对微分中值定理的几点证明
1.微分中值定理的一种统一证法
2.微分中值定理的一种逆向分析证法
二、微分中值定理的推广
1.讨论微分中值定理的内在联系
2.讨论三个定理的推广形式，并给出简单证明
3.加强条件之后的深层阐述
三、微分中值定理的一些应用
第二阶段：中期（2011年10月22日——2011年11月21日）
第三阶段：结题（2011年11月22日——2011年12月23日）
预期效果：
1.研究微分中值定理的一些证法；2.研究微分中值定理在解题中的应用；3.形成论文
5．参考文献
[1]刘玉莲，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学应用数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.
2．本课题的研究现状
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
微积分在中学数学中的应用开题报告
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
山西大同大学
学院：数计学院 系别：数学系 专业(专业方向)：数学与应用数学
论文题目
微积分在中学数学中的应用
指导教师
王鲜凤
职称
讲师
学生姓名
苗慧芳
学号
090701011427
一、研究目的(选题的意义和预期应用价值)
微积分是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值。学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用。将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作。对于中学数学中一些问题的解决用初等数学的方法可能繁琐、困难甚至根本无法做到，但利用微积分解决则能取得意想不到的效果。作为一名未来的中学教师不但要掌握中学数学中各种题型的一般解法，也要能运用高等数学中相应知识来解答，从而提高教师专业素质。其中微积分就是一个重要的知识点。是个值得研究的课题。
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微分开题报告
微分开题报告微分开题报告引言：微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和曲线的切线问题。
微分学的应用广泛，涉及到物理、工程、经济等领域。
本文将探讨微分学的基本概念和应用，并介绍一些相关的研究课题。
一、微分学的基本概念1.1 函数和导数函数是数学中的基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
而导数则是函数在某一点的变化率，它可以用来描述曲线的陡峭程度。
导数的计算方法有很多，包括极限、差商和微分等。
1.2 微分的几何意义微分可以理解为函数在某一点的线性近似，它可以用来求解曲线的切线方程。
切线是曲线在某一点的局部近似，它在几何学中有着重要的应用。
二、微分学的应用2.1 物理学中的微分学微分学在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体的运动状态、求解力学问题、研究电磁场等。
微分学的概念和方法为物理学提供了强大的工具，使得我们能够更好地理解和解释自然现象。
2.2 工程学中的微分学工程学中的许多问题都可以通过微分学来求解，例如建筑物的结构分析、电路的设计和控制系统的优化等。
微分学的应用使得工程师能够更好地设计和改进各种工程系统，提高其性能和效率。
2.3 经济学中的微分学微分学在经济学中有着重要的应用，例如求解最优化问题、研究市场供求关系和分析经济增长等。
微分学的方法可以帮助经济学家理解和预测经济现象，为经济决策提供科学依据。
三、微分学的研究课题3.1 非线性微分方程非线性微分方程是微分学中的一个重要研究课题，它描述了许多复杂的现象和系统。
研究非线性微分方程可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如天气预测、生态系统的稳定性和人口增长等。
3.2 偏微分方程偏微分方程是微分学中的另一个重要研究课题，它描述了多变量函数的变化规律。
偏微分方程在物理学、工程学和金融学等领域都有着广泛的应用，例如描述热传导、流体力学和期权定价等问题。
3.3 微分方程的数值解法微分方程的数值解法是微分学中的一个重要研究领域，它研究如何用计算机来求解微分方程。
微积分在中学数学及实际生活中的应用论文开题报告
. . .. . .民族大学本科毕业论文（设计）任务书学院：理学院年级：2012级专业班级：信息与计算科学民族大学本科毕业论文（设计）开题报告题目：微积分在中学数学及实际生活中的应用学院:理学院专业:信息与计算科学学号:姓名:指导教师:职称:填表日期: 2016年3月说明1．学生应在开题报告前，通过调研和资料搜集，主动与指导教师讨论，在指导教师的指导下，完成开题报告。
2．此表一式二份，交学院装入毕业设计（论文）存档。
3．开题报告需经指导教师、院（系）领导审查合格后，方可正式进入下一步毕业设计（论文）阶段。
4．理工科类专业不得少于10篇（部）相关文章或著作的阅读量。
5．开题报告撰写不少于1000字。
6．表格字体——宋体，字号——小四，行间距——1.25，段前——0.5，标题——黑粗体。
7．有关栏目空格不够时，可加页续填。
民族大学毕业论文（设计）指导过程记录表学院：理学院年级2012级专业班级：信息与计算科学1班NO：01民族大学毕业论文（设计）指导教师意见表学院：理学院年级2012级专业班级：信息与计算科学1班NO：02民族大学毕业论文（设计）评阅教师意见表学院：理学院年级2012级专业班级：信息与计算科学1班NO：03毕业论文（设计）答辩记录表学院：理学院年级2012级专业班级：信息与计算科学1班NO：04答辩秘书（签字）：填制日期：年月日民族大学毕业论文（设计）成绩报告单学院：理学院年级：2012级专业班级：信息与计算科学1班NO：05学院主管教学院长（签字）：日期：年月日。
中学微积分课程教学研究的开题报告
中学微积分课程教学研究的开题报告一、研究背景微积分是现代数学中最为重要的一部分，它广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等领域。
中学微积分课程作为初步学习微积分的重要环节，在数学教育中具有重要的地位。
然而，传统的微积分课程教学形式往往缺乏足够的活力和趣味性，不利于学生深入理解微积分的基本理论和应用技巧。
因此，对中学微积分课程教学进行深入研究，探索有效的教学方法和策略，有助于提高学生的学习兴趣和学习成绩，进一步促进数学教育的发展和创新。
二、研究目的和意义通过对中学微积分课程教学进行研究和探索，旨在实现以下目标：1. 总结和分析中学微积分课程的教学现状和问题，揭示教学中存在的困难和挑战。
2. 研究有效的中学微积分教学方法和策略，探索适合学生学习特点和需求的教学方式。
3. 通过教育教学实践，评估不同教学方法的效果和应用价值，提出改进和完善的建议。
通过实现以上目标，本研究对于推动中学微积分课程教学改革和提高教育教学质量具有重要的意义和价值。
三、研究内容和方法1. 研究内容(1) 中学微积分课程教学现状和问题的分析。
(2) 中学微积分教学方法和策略的研究与探索。
(3) 教育教学实践的开展和评估。
2. 研究方法(1) 文献资料法：通过文献调查和阅读相关的书籍、教材、论文等资料，了解中学微积分课程教学的基本情况和教育教学的发展趋势。
(2) 调查问卷法：通过向中学生、教师等目标对象发放问卷调查，了解他们对中学微积分教学的看法和建议，分析中学微积分教学存在的问题和需要改进的方向。
(3) 实验研究法：通过实验研究的方式，对不同的教学方法和策略进行比较和分析，评估不同教学方法的具体效果和应用价值。
四、预期成果通过本研究，预期可以取得以下成果：1. 深入了解中学微积分课程教学的现状和问题，提出针对性的改进建议和措施。
2. 提出一系列适合中学生学习特点和需求的微积分教学方法和策略，丰富课程内容，提高学生学习兴趣和效果。
3. 对教育教学实践进行科学评估和总结，得出中学微积分教学改革的经验和启示，为今后的教学工作提供有益的指导和参考。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。
本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。
这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。
为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。
本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。
用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。
浅谈微积分学在中学数学教学中的应用
- - -题目浅谈微积分学在中学数学教学中的应用学生何凯茜学号1109014004所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业数教1101班指导教师权双燕完成地点理工学院2015 年6 月12 日浅谈微积分学在中学数学教学中的应用：何凯茜（理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班, 723000）指导教师：权双燕[摘要]微积分学在中学数学中扮演着非常重要的角色,其理论贯穿初等数学,并且延伸至高等数学.在遇到初等数学难以解决的问题时,微积分会是一件十分称手的兵刃.本文归纳总结了微积分在函数极值与最值、函数单调性、不等式与恒等式的证明、绘制函数图像、求平面图形的面积以及求切线方程等方面的应用.[关键词]初等数学;高等数学;导数;定积分引言我国从1961年将微积分的初步知识纳入我国中学数学中,微积分是高中数学课本中新增加的容,也是大学数学的重要基础课程,容包括导数和积分两个重要的概念以及它们的应用.在高中阶段开设微积分的基础容,是高中教育与发展的要求[1].初等数学是高等数学的基础,二者有着本质的联系,将高等数学的知识用于解决初等数学中遇到的问题,不仅可以使学生了解初等数学与高等数学的在联系,更能加深学生对于系统知识的串联.一些用初等数学知识解答起来特别难,特别复杂的题目,应用微积分知识后,大大的简化了解答问题的步骤,使得学生学习与解题效率大大增加,同时也提高了教师的成就感,使得教师可以更有效的投入到教学工作中.文章将通过具体例题来论述微积分学在高中数学中的重要作用和应用[2].“数学可以更好的帮助人们探求客观世界的规律,并对现代社会量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断,同时为人们交流信息提供了一种有效、简洁的手段.数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值.”[3]这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的的所在.1初等数学与高等数学的联系高等数学是初等数学的延伸和发展,而初等数学却是高等数学的基础.从学习之初我们就知道,所有的知识都要从简到繁,由低级到高级,所以我们应该是先学习和掌握初等数学,然后才能学习和应用高等数学.反之,在学习过高等数学的知识以后,我们再回过头来,回顾高中阶段遇到的对于当时难以解决的问题,就像是站在一处高地上,俯瞰四周广阔的平原一般,所有关系,所有性质,尽收眼底.例如在中学数学中恒等式的证明以及恒等变形过程十分繁杂,一不留神就会出错.如果题目再复杂一些,就更困难.使用微积分的知识,可以避免繁杂的工作.微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据[4-5].再例如在初等数学中,我们经常用的一些定理、公理在课本里面都没有给出证明,只用其结论.而这些定理在高等数学中,利用微积分等知识就可以进行推理了.例如：祖恒定理的证明.（祖恒定理：夹在两个平行的平面之间的两个几何体,被平行与这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个平面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.）我们可以用微积分的方法解决那些用其他数学方法难于处理的许多问题.高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用,事实上,它无法用高中数学知识证明,而在高等数学中,用微积分的理论就可以很容易地给出它的理论证明.本文用微积分知识直接来处理初等数学中遇到的一些问题,目的是使初等数学难以解决的问题的步骤更加简洁[3].2导数在中学数学解题中的应用“导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率,通过理解导数概念,体会导数的思想及其涵;了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础”[3].微分在中学数学解题中的应用主要由导数的应用来体现. 2.1用导数判断函数的单调性中学数学探讨函数的单调性时使用的是定义法[1]：已知函数()y f x =,在某区间取12x x >,若有12()()0f x f x ->,则函数在这一区间呈单调递增;若有12()()0f x f x -<,则函数在这一区间呈单调递减.虽然定义法简单易懂,但如果函数表达式变得复杂一些,该方法就不再适用.此时运用微积分的方法进行判别,只需给()y f x =求导,然后根据导函数值的正负,就可以很直观的判断原函数的单调性了[6].例1 已知函数2()ln f x x x =,求函数单调性.解 函数的定义域为(0,)+∞,对函数求导()2ln f x x x x '=+令()0f x '=,得10x =（舍）,21x =.当(0,)x ∈+∞表1.1 函数随x 增减状况x (0,1)1(1,)+∞所以函数(f ;当(0,1)x ∈,()f x 单调递减,其取值围是(,0)-∞;当(1,)x ∈+∞,()f x 单调递增,取值围是(0,)+∞.2.2利用导数求函数极值、最值一般地,设函数()f x 在0x x =及其附近有定义[1]（1）若对于0x 附近的点,都有0()()f x f x >,则0()f x 是函数()f x 的一个极小值 （2）若对于0x 附近的点,都有0()()f x f x <,则0()f x 是函数()f x 的一个极大值 极大值与极小值统称极值.例2 已知函数2()()xf x x nx n e =-+,其中n R ∈. （1）若函数()f x 存在零点,数n 的取值围.（2）当0n <时,求函数()f x 的单调区间;并确定此时()f x 是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.解（1）因为函数()f x 存在零点,则20x nx n -+=有实根,240n n ∆=-≥,则0n ≤或者4n ≥（2）当0n <时,函数定义域为R22()(2)()(2)(2)x x x xf x x n e x nx n e x x nx e x x n e '=-+-+=+-=+-由()0f x '=,则0x =或者2x n =-;由()0f x '>,则0x >或者2x n <-;表2.1 函数随x 增减状况x (,2)n -∞-2n -(2,0)n -(0,)+∞()f x增极大值减极小值增所以()f x 在(,2)n -∞-,(0,)+∞上单调递增,在(2,0)n -上单调递减.又知当2x n <-并趋近于-∞时,()0f x >;0x >并趋近于-∞时,()0f x >; 而(0)0f n =<,所以()f x 存在最小值(0)f n =. 2.3导数在不等式的证明中的应用证明不等式的方法有很多,没有哪一个是固定解法,常用的方法有恒等变形和数学归纳法,缺点是这些方法操作复杂,运算量较大.此时选择运用微积分知识,将不等式问题转化为函数问题,套用单调性和最值进行解答会简单的多[7-8].例3 设e 是自然对数的底,π是圆周率,求证：e e ππ>.证明 因为函数ln y x =单调递增,故e e ππ>等价于ln ln e e ππ>,即ln ln e e ππ>.即ln ln e e ππ>,令ln ()()x f x x e x =≥,则21ln ()xf x x -'=. 因此,当x e >时,()0f x '<,于是()f x 在[],e +∞单调递减,从而()()f e f π>,即ln ln e e ππ>,原命题得证. 2.4导数在组合恒等式中的应用例4证明组合恒等式()()20212222231542nn n n n n C C C n C n n -+++++=++.证明 显然恒等式左边可以写成()21nknk k C=+∑,与()210nt k n k k t C =+∑对比,则121,2t t ==现在将二项式定理()01nnk k n k x Cx =+=∑两侧同乘1x 后再求导数,变形为()()()1111nnn k k n k x nx x k C x -=+++=+∑两边再同乘x 后求导得()()()()()()112221121111nnn n n k kn k x nx x nx x n n x x k C x ---=++++++-+=+∑ 令1x =,即得()()22201542nk n n k k C n n -=+=++∑在此证明结果中,最后若对x 取不同的值,可推得若干种不同形式的组合数恒等式.例如,取1x =-或2x =,则可分别获得()()()2021********n nn n n n C C C n C n -+-+-+=> ()()20212222222232141493n n n n n n n C C C n C n n -+⨯+⨯++⨯+=++通过以上例题,可以明显看到利用导数证明组合数恒等式,不仅思路清晰、简单明了,而且模式比较固定,易被学生掌握,可使众多看起来复杂的一些组合数恒等式的证明问题迎刃而解[9-10]. 2.5求曲线的切线几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.更准确地说,当切线经过曲线上的某点（即切点）时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的,此时,“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）.但是在复杂的曲线中,作图都是一件困难的事情,单凭定义找出曲线的切线更是难上加难.这个时候微积分就变成了救世主[11].例5 求曲线31y x x=-上点()1,0处的切线过程. 解 首先求出函数31y x x =-在1x =处的导数,函数31y x x =-是函数3()f x x =与1()g x x=的差,由导数公式表分别得出221()3,()f x x g x x ''==-根据函数差的求导法则可得()()3222211133x f x g x x x x x x '⎛⎫⎛⎫''-=-=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将1x =代入导函数得13141⨯+=,即曲线31y x x =-上点()1,0处的切线斜率为4,从而其切线方程为()041,y x -=-4(1).y x =- 2.6讨论数列最大项例6 已知数列{}n a 的通项2(10)()n a n n n N +=-∈求数列{}n a 的最大项.解 作辅助函数2()(10)(0)f x x x x =->,则2()203f x x x '=-. 令()0f x '>,则2003x <<;令()0f x '<,则0x <或者203x >. ()f x ∴在区间20(0,)3上是增函数,在区间20(,)3+∞上是减函数. 因此,当203x =时,函数()f x 取最大值.对n N +∈,2()(10)f n n n =-, max (7)147(6)144,()147f f f n =>=∴=所以数列{}n a 的最大项为7147a =.2.7利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等高中课本引入导数时,是以速度变化率和人服用退烧药后体温变化为例的.对于导数的物理意义并有人给予统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义.例如,匀速直线运动路程函数S 对时间t 的导数()S t '就是速度;瞬时速度V 对时间t 的导数()V t '就是加速度;通过导体某截面的电量Q 对时间t 的导()Q t '数就是电流强度.下面我们看一个具体的例题.例7 已知物体的运动规律为3S t =（米）,求这个物体在2t =秒时的速度.解 由导数的定义23S t '=有运动物体运动路程对时间的物理意义可知()V S t '=将2t =代入上式,得2(2)(2)3212V S '==⨯=.3定积分在中学数学解题中的应用定积分是新课标中新加的容,需要掌握的容如下：（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础;（2）通过实例,直观了解微积分基本定理的含义;（3）了解微积分的文化价值[3]．定积分在实践中具有广泛的应用.所以在学以致用的前提下教学,更能够激发学生的学习欲望. 3.1利用定积分求曲边图形面积初等数学阶段要求计算的曲边图形面积一般都是由两条或三条函数图像构成的,之前所学习的函数的解法放在这里根本起不到什么作用,所以在计算时我们可以运用定积分的方法来进行运算.其基本理论如下[12]：（1）如果函数()f x 和()g x 在[,]a b 上可积,并且满足()(),[,],f x g x x a b ≥∀∈那么介于直线,x a x b ==和曲线(),()y f x y g x ==之间的图形面积可以表示为定积分：[()()]baS f x g x dx =-⎰（2）如果函数()y ϕ和()y φ在[,]a b 上可积,并且满足()(),[,],y y y a b ϕφ≥∀∈那么介于直线,y a y b ==和曲线(),()x y x y ϕφ==之间的图形面积可以表示为定积分：[()()]ba S y y dy ϕφ=-⎰（3）正确写出曲边图形所对应的正确积分表达式是重难点,因为积分值可正可负,但是图形面积却一定是正值.因此,一定要遵守一条重要理论,就是“一边恒在一边上”,要么是x 作积分变量,要么是y 作积分变量.即：当x 作为积分变量时,()(),[,],f x g x x a b ≥∀∈当y 作为积分变量时,()(),[,],y y y a b ϕφ≥∀∈具体步骤： 第一步,画出图形;第二步,确定曲边图形围,通过解方程组求出交点横坐标,定出积分上、下极限;第三步,确定被积函数,特别要注意区别被积函数的上、下位置,牢记“一边恒在一边上”; 第四步,写出曲边图形面积的积分表达式;第五步,运用积分基本公式来计算定积分,求出曲边图形的面积．例8 求抛物线22y x =与直线40x y --=所围成图形的面积. 解 第一步：画图,如图3.1x图3.1 两函数相交所构成的图像第二步：求交点：将22y x =与40x y --=联立,解得交点为(2,2),(8,4)- 第三步：写积分：由图像可知,若以x 作为积分变量,则在整个积分区间[]0,8上曲边图形各边不是都满足“一边恒在一边上”.因此,选取以y 作为积分变量,在[]2,4-上,恒有242y y -≥,则直线40x y --=与曲线22y x =所围成的图形（如图）面积：()24242y S y dy -⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰第四步：算面积：直线40x y --=与曲线22y x =所围成曲边图形的面积（如上图所示）：()2222442242444226218y y y y S y dy y dy y ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭=⎰⎰ 另解：若以x 作为积分变量,在整个积分区间[]0,8上虽然图形的边不都满足“一边恒在一边上”,但是,结合图像,我们可以对以x 作为积分变量的积分区间[]0,8进行拆分：[]0,2和[]2,8, 则有：在[]0,2上,≥则直线2x =与曲线y y ==(2200S dx ⎤==⎦⎰⎰在[]2,8上,4x ≥-,则直线2x =与曲线y =4y x =-所围成的曲边图形面积：())880044S x dx x dx⎤=-=+⎦⎰⎰因此得曲边图形面积：)280233228220241433218S x dxx x x x=++⎛⎫=+-+⎪⎪⎝⎭=⎰⎰根据基本理论,为了满足不等关系（一边恒在一边上）,适当选取积分变量,会使得计算变的简洁;不过拆分区间,然后分块检验一边恒在一边上,分区间求解也是行的通的[4-6].3.2定积分在不等式证明中的应用例9若,2,n N n∈≥,求证：111111ln123231nn n+++<<++++-证明不等式链的左边是通项为1n的数列的前1n-项之和,右边通项为11n-的数列的前1n-项之和,中间的ln n可当作是某数列的前1n-项的和.故只要证当2n≥时这三个数列的通项不等式()11ln ln11n nn n<--<-成立即可.构造函数1,yx=因为()1ln xx'=,作1yx=的图像（图3.2）,由图知x在区间[]()1,,2n n n-≥上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,即111,1nndxn x n-<<-⎰而()11ln ln ln1n x nx nndxx n nx==--==--⎰,故不等式()11ln ln11n nn n<--<-成立,从而所证不等式成立.3.3定积分在因式分解中的应用定积分在因式分解中的步骤为：第一步,构造函数.一般讲被分解因式中的某一个字母看作变量,其它字母看作常量;第二步,根据构造的函数进行求导,确定导函数与原函数存在公因式;第三步,将构造函数写成定积分的方式求解[13].例10 分解因式：22242(1)2(1)(1).y x y x y +-++-解 将y 作为变量,x 作为常量,构造函数()f y ,得22242()(1)2(1)(1)f y y x y x y =+-++-, 对()f y 求导,有2422()2(1)42(1)2(1)(1)[12(1)]f y y x y x y x x x y x '=+---=+-++-当0y =时,242222(0)12(1)(1)(1)f x x x x x =-+=-=-+,()f y '∴与(0)f 有公因式(1)(1)x x -+.故可以利用定积分进行因式分解：即：22()(1)(1)(222f y x x y yx y =+-++4微积分在函数作图中的应用中学课本中介绍绘制函数图像时大多采用的是描点作图的方法,但是描点法作图时存在很多不足之处.譬如描点数量少会导致函数图像走势不准确,对于关键点的判断也不准确.学习了导数及其应用后,作图时能够精准地表达出图像的极值点和增减性,使得函数图像更准确[14].例11 函数2123y x =+的图像正确形状是图4.1,用描点法作图得到的是图4.2这样的错误图像.x x5 小结通过总结了微积分在中学数学中的这些应用,可以看出如果用初等数学的知识解决某些特殊问题的话,不免会繁琐无比,但只要巧妙得把高等数学中的思想和方法应用到初等数学中就会产生奇妙的结果,一些题目的本来繁杂的思考计算步骤就可以省略掉,变得既简单又明了.数学是一门学问,其中高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系,微积分则扮演着重要的角色,它不但能解决初等数学中的诸多问题,而且成为高等数学发展的基础.用微积分的知识解决初等数学中的问题,有居高临下的作用.微积分在初等数学中的应用远不止这些,在其他方面也有广泛的应用.微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分,它对中学数学有重要的指导作用.参考文献[1]士键，王尚志,普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-2）[M].人民教育课程教材研究所.：师大学.2009. 02222222222222222()()(0)(0)()(0)2(1)[12(1)](1)2(1)[(1)(1)](1)(1)(1)(22221)yyf y f y f f f y dy f x x y x dy x x x y x y x x x y yx y x y x '=-+=+=-++-+-=-++++-=+-++--+⎰⎰[2]霞,微积分与中学数学的关联[M].师大学教育硕士专业学位论文.2012.03.[3]《高中数学课程标准》[J].2000.6:前言[4]党光,对高中数学微积分的理解及教学建议[J].教学实践.2012.2(4):71-72[5]王金梅,数学史在高中数学教学中的应用研究[M].大学硕士学位论文.2011.[6]蔚,舒江,浅谈微积分在中学数学解题中的应用[J].数理化教学研究.2007.5(3)：64[7]王茜,微积分在高考数学试题中的应用[J].中学数学.2013.3(6):11-12[8]匡继昌,如何给中学生教授微积分[J].数学通报.2006.5(2):3-5[9]俞,高中新课标函数与微积分有关容的处理研究课程教材、教法[J].课程·教材·教法,2010.1(30):60-62.[10]郭延庆,微积分在中学数学中的指导作用[J].XX教育学院学报.1989.1(8):89-91.[11]于素洁,高中微积分教学研究[J].2008:16-22.[12]陆群峰,导数在中学数学中的应用[J].学科教学.2008.3(1):102[13]White, P&Mitchelmore, M.1996, Conceptual knowledge introductory calculus. Journal for Reseacrh in Mathmatics Education,2001.2(27):79-95.[14]Boarn, E&Avital, S 1986. Rate of change over interval as a ProPerty of functions an algebraic and numerical approach. International Jounral of Mathmatics education in Science&Technology,1993. 17 (1):71-77.Introductiontotheapplicationofthecalculus in mathematicsteaching of middle schoolHE Kai-xi（Grade11,Class1, Mathematics and applied mathematics, school of Mathematics and puter Science,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi）Tutor: Quan Shuang-yanAbstract: Calculus in middle school mathematics plays a very important role, its theory through elementary mathematics, and extend to higher mathematics.This paper summarizes the application of calculus in function extreme value with the most to prove the monotone of function, inequality and identities, image rendering function, Planar graphics area and seek tangent equations, etc.Keywords: elementary mathematics ; higher mathematics ; derivative ; definite integral。
浅析微积分在中学数学中的应用.docx
学号 2009311010152 编号2013110152研究类型应用研究分类号O122文理学院College Of Arts And Science Of Hubei Normal University学士学位论文Bachelor ’s Thesis论文题目浅析微积分在中学数学中的应用作者姓名指导老师傅朝金所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2013年 5月湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用外文题目： Application of calculus in mathematics teaching in middleschool学生姓名学生学号2009311010152数学系院系专业学生班级0901班数学与应用数学学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况. 如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理 .学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象.指导教师（签名）：年月日目录1.引言12.中学微积分的基本数学思想方法22. 1“极限”思想22.2化归思想42.3微积分中的哲学与辩证的思想52.4函数思想 [1]52.5数形结合思想63.微积分在中学数学中的应用63.1 关于函数的单调性63.2求函数的极值、最大值与最小值73.3函数的变化性态及作图83.4微积分在解方程中的应用103.5不等式的证明113.6恒等式的证明113.7曲线的切线及求法124.结语135.参考文献14浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师：傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）摘要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导作用 . 微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧密 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度的涉及 . 在讨论在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步体现微积分与中学数学的联系 .关键词：微积分；函数性态；思想方法中国图书分类号： O122Application of calculus in mathematics teaching in middleschool Luo Fang (Tulor: Fu Chaojin Professor )(Hubei Normal University College of Arts and Sciences, Departmentof mathematics, China Huangshi 435002)Abstract:Calculus is a compulsory basic course of university mathematics, its basic theory plays an important role in middle school mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been widely used, very close contact with the middle schoolmathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimatethinking,dialectical philosophy thought, the idea of function,number form combining thought have got different involved. In thediscussion on monotonicity of function, and the extreme values ofa function,function changes of behavior and mapping, in theapplication of calculus equation,inequality and identities,tangent to the curve and calculating method,methods use thecalculus, can play the role of deduce simplicity into complexity,to further reflect the calculus with the middle schoolmathematics.Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师 : 傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）1.引言2l 世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各个领域的运用．我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培养满足社会需要的人才．相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的能力．因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维”去分析问题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务．在我国新制定的《数学课程标准》中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段．数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值．”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在．数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁 . 在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路 . 作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的 .微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉及 .本文同时举例说明微积分在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法方面的应用 .2.中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的时间活动，是解决数学问题的根本策略.所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有程性、次性和可操作性等特点 . 数学方法是解决数学的手段和工具 . 数学思想方法是数学思想和教学方法的称 . 数学思想是数学知与方法形成的律性的理知 , 是数学方法的灵魂 . 数学方法是数学思想的表形式和得以的手段 . 数学思想是数学知和方法的，数学方法是解决数学、体数学思想的手段和工具 .微分如今既是大学的重要基，也是高中新增加的数学程的内容. 微分的展是很有趣的，其中思方法极重要，引起我在教学中的重 . 微分中涵的主要数学思想，如极限的思想、化思想、的哲学思想、函数的思想、数形合思想等从不同面都有不同程度的研究 .2.1 “极限”思想所极限的思想是用无限的化程来研究有限的思想．它是用有限描述无限、由近似渡到精确，更是一种工具、一种程，特是于化的“无小” 程，是高等数学的中心思想 . “极限”思想方法揭示了常量与量、有限与无限、直与曲等一系列立一及矛盾相互化的关系 . 其极限思想的本是人通化程量的分析来把握化程的果 . 是一种极有价的思方式 . 种思也是非常重要的，有利于学生形成思，到数学知的一性 .例如在求曲梯形的面，了四个程：化“整” “零”，以“直”代“曲”，“零” “整”，取极限四个程．首先将曲梯形任意分割成若干个小曲梯形，每个小曲梯形的面用接近的小矩形的面作近似替代，分割得越，近似程度越精确，最后以小矩形面之和得极限作曲梯形面．即：(1)化“整” “零”：分曲梯形个小曲梯形.2-12-2在区中任意插入若干个分点，把分成个小区度依次：，，，⋯，作，⋯，.，它的，经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，(2) 以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. .在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形() ，则有，.(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和 .把这样得到的个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值，即.(4) 取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积，求得曲边梯形的面积 .通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活中去．2.2 化归思想化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个 ( 或某些 ) 己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的思想，其核心就是简化与转化．化归思想有三要素：化归对象( 要化什么 ) ，化归目标 ( 化成什么形式 ) ，化归途径 ( 怎么化 ) ．在化归思想中，“转化”是关键．认知心理学认为 : 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的．即把新旧知识建立起联系，而这种联系常常用到化归思想．可见，化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想．化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的．例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其( 二阶 )导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解．像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”．一般说来，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式的转化；引入辅助元素的转化．化归原则在解决问题时的一般模式为:还原图 2-3求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在 . 然而，将进行任意分割个小区间后，得到了个小曲边梯形 . 通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积近似替代，则“曲”变“直”，问题迎刃而解 .还原图 2-4可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛．2.3 微积分中的哲学与辩证的思想微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要数学思想 . 微积分学是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确 . 在它的每一个定义、公式和法则中无不闪烁着唯物辩证法的光芒 . 微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲 . 又如微分与积分作为微积分的核心内容，微分是由整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题 . 它们是两个互逆的过程，也是对立统一的 . 2.4 函数思想 [1]函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思想．辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应．以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值的“绝对运动”，才换来了等式的“相对静止”．从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系中．要想辩证的理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学．微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题 . 如导函数 ( 导数 ) 就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数——导函数. 由定积分知道，原来的函数称为原函数．这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数的问题时，可转化为另一个函数问题来解决( 化归思想 ) ；函数的单调性、凹凸性、函数的极值，最值 ( 尤其在经济问题中函数的最值应用题 ) 经常要考虑到函数思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数．函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化．函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为其相应函数在某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值．因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤.2.5 数形结合思想微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物理意义，不少结论也反映了某种几何关系或性质．如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的面积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等 . 这就决定了数形结合法成为微积分中的一个重要思想方法 . 因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方法角度去分析，把握其本质联系，使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构 .3.例说微积分在中学数学中的应用3.1 关于函数的单调性中学数学中讨论函数的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取，若，则在该区间单调递增，若，则在该区间单调递减 . 该方法的优点是直观易懂，其缺点是函数表达式复杂时判断的正负比较困难，往往运用较高技巧，且适用面也较窄 [2].运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可 . 该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽.例 1已知函数，讨论的单调性.解的定义域为，，令，得，当时，，的变化情况如下：-+极小值所以，在上的最小值是.当，单调递减且的取值范围是；当，单调递增且的取值范围是.3.2 求函数的极值、最大值与最小值设在点连续，在点的某一空心领域内可导，当由小增大经过时，如果：（ 1）（ 2）由正变负，那么由负变正，那么是极大值点；是极小值点；（3）不变号，那么不是极值点.特别说明：(1) 驻点 ( 使的点叫做函数的驻点)不一定是点 .是函数的驻点，但不是其极值点.(2) 极值点还可能是使导数不存在的点. 如函数，在在，但是是它的极小值点 .的极值处导数不存例 2已知函数在取得极小值 5，其导函数的图象经过点，，如图 3-1所示，求：(1)的值；(2)，，的值；(3)的极大值 .解(1) 观察图象，我们可发现：当时，，此时为增函数；当，此时为减函数；当时，因此在处函数取得极小值 . 结合已知，可得，此时.时，图 3-1为增函数 .(2) 由(1) 知，即，再结合的图象可知，方程的两根分别是, .那么，即.联立(3) 由(1)知，得在，，.处函数取得极大值，所以3.3 函数的变化性态及作图中学数学教材中在介绍了二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像，这种图像不一定能反应曲线在一些点和区间上的性态 . 学习了导数及其应用后，就可以利用函数的导数并结合函数的某些性质，有效地对函数的增减性、极致点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断，从而较为准确的描绘出函数的图像 . 对于一些非初等函数，采用这一方法冒险而冗长，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果取得点太多，那将花费过多的精力，且仍会担心是否忽略了一些重要的点 . 例如函数与的正确图形应为图 3-2 所示，而用描点法很可能画出图 3-3 的错误图形 [4].图 3-3图 3-2利用导数作为工具，就可以有效地对函数的增减性、极值点等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象 . 一般来说描绘函数的图像可以按以下步骤进行：（1）求出函数的定义域确定图像范围.（2）判别函数是否具有奇偶性或周期性缩小描绘图像的范围.（3）求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能在极限，也可能趋向无穷( 此时有垂直渐近线 ) ，如果函数定义域是无限区间，则要讨论当无限增加时的变化趋势若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线.（4）计算函数的一、二阶导数并求解和讨论的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表.（5）计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 .（6）在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘 .例3 作函数解定义域为令，得驻点的图形 .，曲线与轴的交点为，，；令，得. 利用连续函数..列表如下 :极大值拐点极小值作图像如下：图 3-43.4 微积分在解方程中的应用在超越方程中判别根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求较高，往往会由于作图误差而出错.例 4[6]试证明方程在内只有个实根，并求出它的近似值 , 使误差不超过.本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值 .解设，则，，容易验证在区间上，，，，.因为在内连续，且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方程在内只有 1 个实根 .可以看出在内，曲线是单调递增、下凹并从轴的下方穿过轴到上方的，曲线与轴交点的横坐标. 就是方程在内的根，现在用切线法求根的近似值 .在端点处作切线来求方程的近似实根，现在，所以它比更接近于根，继续施行这样的方法，得：因为，，而，所以取.为根的近似值，它的误差就不超过.3.5不等式的证明不等式的证明方法多种多样，但没有较为统一的方法，初等数学通过恒等变形、数学归纳法等方法解决，或应用已有的基本不等式来证明，为此往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧 . 而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性 [7].例 5证明不等式，.证明设，则，，所以递增，又例，故，即6设是自然对数的底，.是圆周率，求证:.证明因为函数单调递增，故等价于，即，即.令，则.因此，当时，，于是在内单调递减，从而，即，原命题得证 .3.6 恒等式的证明例7 求证：.本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证.证明因为，对等式两边求导得：，令即得：.3.7 曲线的切线及求法例 8[8]（2009全国卷Ⅰ理）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最小值.解（1）依题意有，，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为.又已知圆的圆心为，半径为 1. 所以，解得.(2)，当时，.令，解得；令，解得.所以的增区间为，减区间是.（3）当，即时，在上是减函数，所以的最小值为.当，即时，在上是增函数，在是减函数 .所以需要比较和两个值的大小.因为，所以. 所以，当时最小值为；当时，最小值为. 当，即时，在上是增函数 .所以最小值为.综上，当时，为最小值为；当时，的最小值为.4. 结语微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富 [9], 凝聚了一代又一代数学家的心血，它那闪烁着人类理性思维的光辉，将永远鼓舞着后来人 . 因此，在中学数学教学中，向学生介绍微积分的思想，激发他们献身科学事业的热情是很有必要的. 因此，微积分的学习将有助于学生动态思维以及唯物主义思想的培养. 不仅如此，教师应向学生弘扬数学文化，使学生体会到数学荡漾着浓郁的人文气息 . 激发学生的创造热情，是每个中学教师义不容辞的责任 .用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助 . 而且对中学数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学的优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣 . 另外，还可扩展中学数学的应用范围 . 微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其它如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用 . 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.5.参考文献[1]丁向前 . 微积分思想在中学数学中的渗透 [J]. 数学教学研究， 2008， 27(8):4 ～5.[2]俞宏毓 . 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 [J]. 高等函授学报（自然科学版）， 2006，20(2):32 ～ 36.[3] 贤锋 . 浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[4]魏本成，吴中林 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 天中学刊， 2001， 16(5) ：54 ～55.[5]吴向群，庄认训 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 青海师专学报（自然学科）， 2002，22(5):77 ～ 78.[6]徐岳灿 . 探索微积分在中学数学中的必要性 [J]. 上海中学数学， 2011，64 （6）： 27～ 29.[7]包建廷 . 微积分在不等式中的应用 [J]. 承德民族师专学报， 2003，23(2):27 ～30.[8]肖新义，肖尧 . 微积分方法在初等数学中的应用研究 [J]. 和田师范专科学校学报2009，28（5）： 15～16.[9]王昆扬 . 给中学生讲好微积分基本知识 [J]. 数学通报， 2001(6):23 ～ 24.[10]李霞 . 浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J]. 牡丹江教育学院学报，2006，95（ 1）： 83～84.致谢大学生活转眼就要结束了，这几年是我人生中最重要的学习时间. 在大学校园里，我不仅学到了丰富的专业知识，更学到了终身受用的学习方法和积极的生活态度，通过对各门课程的学习和与相关专业老师的沟通，使我深感机会难得，获益匪浅，母校严谨的学风和老师的广博丰富的知识令我敬佩，各位老师的悉心授课使我对数学有了更多、更深层的认识，为以后的学习和工作打下坚实的基础 . 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始 . 四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊 .本学位论文是在我的导师傅朝金教授的亲切关怀和悉心指导下完成的的选择到项目的最终完成，傅老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持. 从课题. 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的605 室友们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意 !最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢.湖北师范学院文理学院学士学位论文评审表系部数学系学生罗芳班级班评阅人傅朝金名称姓名0901姓名名称。
微积分思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：微积分思想在中学数学中的应用姓名陈东学号 11111022037院系数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级 2011级指导教师庄乐森2015 年 4 月 21日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章中学数学中的微积分思想 (3)1.1 中学数学与微积分的关系 (3)1.2 微积分的基本思想方法 (3)1.3 微积分的几种基本思想 (3)1.3.1 极限思想 (3)1.3.2 化归思想 (4)1.3.3 函数思想 (4)1.3.4 数形结合思想 (5)第2章微积分的基本应用 (6)2.1 关于函数单调性的讨论 (6)2.2 函数极值与最值相关问题讨论 (7)2.3 函数的变化性态与图像关系讨论 (8)2.4 关于用微积分解方程问题的讨论 (9)2.5 关于不等式证明的讨论 (11)2.6 关于曲线的切线及求法的讨论 (12)第3章结语和展望 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文主要以微积分思想为基础来讨论微积分与中学数学之间的联系，介绍了常见的几种微积分思想，通过导数，来研究函数的单调性与极值问题，以及验证如何利用导数来证明不等式等问题.以此得到，将微积分应用到中学数学中，能够起到化难为易的重要作用，而且把微积分思想与中学数学之间的联系也需要我们进一步去研究与探讨.关键词：微积分；导数；不等式；最值ABSTRACTThis paper is mainly based on the idea of calculus to discuss links between calculus and middle school mathematics, it introduces several common calculus thought, through derivatives, to study the problem and Extremes monotonic function, and verify how to use derivatives proof of inequality and other issues. in this get, will be applied to high school calculus mathematics, it can play an important role in anything easy, and the contact calculus between thought and middle school mathematics, we also need to go further study and discussion.Keywords: Calculus; Derivative; Inequality; The most value第1章中学数学中的微积分思想微积分思想应用到中学数学中的方面有很多：求函数的极值与最值问题、函数单调性问题、以及利用导数证明不等式和恒等式，它们都是数学最基础的知识，通过微积分可以让问题更简单的解答出来，从而使学生更容易的去接受和理解中学数学.1.1 中学数学与微积分的关系初等数学是高等数学的基础，二者有着本质上的联系.将微积分运用到中学数学中也可以使得本质得以体现，进而更容易掌握初等数学.早在1983年，四川的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分内容进行了教学和教法的探讨，而且把微积分思想运用到初中数学中也能够为以后学习微积分打下一个坚固的基础.1.2 微积分的基本思想方法微积分思想方法在解决问题上一般分为变化率问题与积累性问题，两个问题虽然本质上看来有所不同，但在解决问题上却有异曲同工之处，都是讨论在局部范围的内近似状态，最后通过极限方法使近似状态精确到某一单点值，这就是所谓的微积分思想，微积分思想主要以极限为工具，对数学中的函数、不等式等问题进行解析，而且微积分能够运用到初等数学中的方法有很多：“以直代曲”、“局部刻画整体”、“极限方法”，但是在中学数学中一般偏重于对极限的运用与探讨.1.3 微积分的几种基本思想1.3.1 极限思想极限思想是数学思想的基础，它主要是讨论运用有限的值来描述无限的变化状态，通过多次运算把估算出的近似值转化到相对准确值上，这样也就充分体现出极限思想的本质，他可以讨论变化趋势的“无穷小”过程，同时也揭露了“曲线性与直线性”“量变与质变”“近似于精确”等一些对立统一而又能相互转化的辩证关系.例10.999991?我们知道1/3=0.33333...，两边同时乘以3就可以得到10.99999...=，这样我们就看左边是一个有限的数，右边是无限的数，0.99999...10.99999...990.99999...10⨯-⨯==⨯，所以0.99999 (1)=.同样的想法在求曲边梯形面积时，就要运用到“化整为零”、“以直代曲”、“取极限”等思想，首先把曲边梯形分割成若干个小梯形面积，对每个小梯形进行面积近似求值，最后求和取到近似值，而且分割的越细面积值就越接近曲边梯形面积，最后取极限值，问题得以解决.1.3.2 化归思想在数学问题上，一般都会运用到化归思想，它是解决问题的一个转折点，通过把问题转化，变向的去解决问题的思想方法，也是让问题通过更方便的途径或方法解决出来的另一种形式，起到化复杂为简单，化抽象为具体，化生为熟的作用，化归思想可以说在解决问题时是无处不在的，在问题与问题之间进行相互转化，最后求得原问题的答案，对于化归思想来说它的重要本质主要体现在“转化”，能够做到把复杂转化成简单，使问题更一目了然的展现出来.在数学问题上我们最常见几个利用化归原理来解答问题的例子：对反三角函数进行求导；复合函数求导，通常将其转化成最基本的导数，然后根据四则运算，求其结果，最后得到结果；求曲边形面积，将其转化成极限、积分问题.如在求曲边梯形面积时直接去求解，相对比较更繁琐、困难，但是若把它分割成若干个近似无限个小梯形，去求面积的总和，最后极限求值，这样问题就能更简单的解答出来.而且化归思想同时运用到数学建模上也是比较常见的，在设计模型时，就可以把抽象化具体，寻找实际的例子进行分析，最后转化到模型中.1.3.3 函数思想函数思想是数学中最重要的部分，也是主体部分，它的主体思想与辩证唯物主义是有密切关系的，在讨论事物的相对性，以及一一对应的关系时，不存在绝对性问题，只存在相对性关系，函数思想以变量关系为本质，讨论自变量、因变量以及函数值之间的对应关系.在中学数学中，我们了解熟悉基本初等函数有以下六类：（1）常量函数；（2）幂函数；（3）指数函数；（4）对数函数；（5）三角函数；（6）反三角函数.而且在高等数学中也会有很多的证明需要通过函数来完成，如：柯西中值定理，拉格朗日中值定理，罗尔定理，可见函数思想的重要性以及广泛的应用.中学中函数思想在数学中与其相关最密切的应该是微积分，因为函数中的很多问题都可以通过微积分中的导数来解决，如：解多元函数；讨论函数的单调性；计算函数的极值与最值；判断函数是否连续等问题.我们知道，通过导数来解析函数思想是很有意义的，设某函数在一个规定的区间内成立，那么不难得到区间内的每一个点都有相对应的导数，这样在该区间内就可以定义一个新的函数（即为导数），通过微积分思想我们可以了解到函数里包含导函数，原函数，在解决问题时，我们通常都是对原函数进行解析，但这样做可能变得更繁琐，因此，我们运用化归思想，将其进行转化变形，成为导函数，然后再解决，这样就是问题得以解决.1.3.4 数形结合思想所谓的数形结合思想就是利用图形把相应的数量关系有效地表达出来，做到数与图相结合，从而解决问题的本质，可以说是数学领域一项重要且基础的数学思想，它运用几何关系去表达数量关系，使数与形完美的结合，把抽象的问题或思维具体化，达到转难为易的程度，在微积分的学习中，用导数去证明函数的单调性以及用导数去求曲线的切线方程，这些都涉及到了数形结合思想，而且，对于初中学生来讲，刚刚接触初等数学知识，还不能很好地运用与掌握，但是如果能够把图形运用上，那么问题以及结果就更直观的展现出来，数与形相结合更有利于他们的起步，同时也为高等数学打下良好的基础.第2章 微积分的基本应用2.1 关于函数单调性的讨论定义 2.1：设函数()f x 在区间(),a b 上有定义，如果对于区间(),a b 内的任意两点12,x x ，满足：（1）当12x x <，恒有()()12f x f x ≥则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递减；（2）当12x x <，恒有()()12f x f x ≤则称函数()f x 在开区间(),a b 单调递增； 在解决中学数学中函数问题时，一般都会用定义法，但是遇到比较复杂的函数反而不容易判断，如：反三角函数，复合函数，但是运用导数，反而使得问题更简单，更能让学生接受.利用导数来判断函数单调性问题的方法大致有以下几个步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）算出()0f x '=下函数的解，并判断是否是可导点，同时把定义域根据这些点分成多个子区间；（3）确定函数()'f x 在不同的子区间内的符号，根据正、负来判断函数的单调性. 例2 判断函数()()231f x x x =-的单调性.分析 本题主要考查函数的单调性，解决一般的函数大致都会用定义法，但是本题是幂函数，用定义法反而更麻烦，因此我们对函数()f x 进行一阶求导，求出导点与不可导点，然后根据导函数的符号判断函数的单调性.解 首先易知函数的定义域为(),-∞+∞， ()()123313252133x f x x x x x --'=-+=令()'0f x =得到125x =并且20x =是()f x 的不可导点. 所以可以将定义域(),-∞+∞分为三个子区间()22,0,0,,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则画表如下:因此在区间()2,0,,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭函数是递增的，在区间20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是递减的. 2.2 函数极值与最值相关问题讨论可以说，函数的极值与最值问题一直都是大家讨论的热点话题，也是中学数学中一条重要的知识点，极值与最值可以反映出函数的特性.在很多应用中都有涉及，如：求讨论多元函数问题.若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则在定区间[],a b 上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大值、最小值提供了理论保证.具体的若函数f 的最大（小）值点0x 在开区间(),a b 内，则0x 必定是的极大（小）值点.又若f 在点0x 可导，则点0x 还是一个稳定点，所以我们只要比较f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f 在定区间[],a b 上的最大值和最小值.下面举例解释这个过程.例3 求函数()322912f x x x x =-+在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 解 函数在闭区间15,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，故必存在最大最小值.由于 ()()()()322222912291212912,0,452912,0,2f x x x xx x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩因此，()()()()()1612,0,45612,0.2x x x f x x x x ⎧----≤≤⎪⎪'=⎨⎪--<≤⎪⎩ 又因为()0012f '-=-，()0012f '+=，所以由导数极限定理推知函数0x =处不可导，令0f '=可得1,2x x ==，不可导点0x =，以及端点15,42x x =-=的函数值. ()()()1115515,24,00,, 5.4322f f f f f ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此函数f 在0x =处取得最小值0，在1x =和52x =处去的最大值5. 2.3 函数的变化性态与图像关系讨论在中学数学中，我们最常见的几种函数图像基本上都是通过描点法来完成的，然而这样的方法得到的图像不一定能够明了的反映出曲线在一定的区间内的性态，这也是描点法的不足之处，但是学习了导数后，可以把导数应用到函数中去，利用导数来判断函数的单调、极值、最值、凹凸性等问题，进而也可以准确的画出函数的变化图像，但是对于一些初等函数而言，取点不够多，就会导致图像的错误，但是如果点取的很多，很浪费时间.对此类问题的例子有很多如：21y x =，正确的图像应为2-2，但是2-3确是用描点法得到的错误图像[]7.图2.1 图2.2所以图像的准确性直接关系着函数变化性的具体体现.作函数图像一般程序：(1)求函数的定义域；(2)考察函数的奇偶性；(3)求函数的某些特殊点,如：与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；（4）计算出函数曲线与坐标轴的交点坐标，以及极值点、拐点、稳定点的坐标；（5）把上述的重要点的坐标描到直角坐标系中，并画出渐近线，最后讨论曲线的变化性态.例4 作出函数3213x y x =-+的图形. 解 首先判断出函数的定义域∞∞（-，+），并且由题可知与y 轴的交点为（0,2）.22(2)y x x x x '=-=-，2 2.y x ''=-令0y '=，的驻点0x =，2x =；令0y '=，得驻点0x =，2x =；令0y ''=，得1x =. 列表如下:图2.3 2.4 关于用微积分解方程问题的讨论在解方程中尤其是超越方程，凭借以往的图像法去解决问题，往往会导致误差太大，使得答案不准确，因此，我们改用通过微积分，利用函数的单调性以及切线法来解方程.例5 用牛顿切线法求方程322470x x x ---=的近似解，使误差不超过0.01. 分析 首先通过构造函数，然后对函数进行求导，求出x 值，然后来判断是不是极值点，通过运算来得出近似解.解 设()32247f x x x x =---.求得导数()()()()322,6 4.f x x x f x x '=+-''=- 容易检验23x =-为极大值点，2x =为极小值点，并且203f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又因为()()lim ,lim x x f x f x →-∞→+∞=-∞=-∞，所以方程()0f x =有且只有一个根.如图2.4所示，从点()4,9B 作切线与轴相交于()()1'44 3.684f x f =-≈ 我们来估计以1x 代替δ的误差：()f x '在[]3,4上的最小值为11m =，而()()1 3.68 1.03f x f ==，由误差计算公式可得 ()11 1.0311f x x m δ-≤=, 而1.030.0111≥，因此尚不合要求.图2.4再在点()()11,B x f x '作切线，求得,()()121'1 3.36f x x x f x =-≈, 由于()20.042f x =-，此时, 20.01x δ-≤,因此取 3.36δ≈已能所要求的精确度.2.5 关于不等式证明的讨论不等式是研究数学的重要工具，研究不等式以及不等式的证明两个问题也是数学领域的一个重大突破，相对来说，前者较易，后者较难，利用导数研究函数的单调性，再有单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合的一个难点，也是近几年高考的热点，同时证明不等式也是学生的弱点与难点，而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性[]10.那么以下则介绍以下用导数证明不等式的一般思路：（1）构造函数()f x ；（2）通过对函数的运算，求出函数在区间内的单调性；（3）通过函数单调性对不等式进行证明；（4）用函数的最值证明不等式.例6 已知,m n 为正整数，且1m n <<，求证()()11n m m n +>+.分析 直接验证无从下手，则对不等式进行化简变形即可得到，()()ln 1ln 1n m m n +>+，然后验证不等式()()ln 1ln 1m n m n ++>是否成立. 证明 构造函数()()ln 1x f x x +=，当()2x ≥时，求导得()()()()21ln 101x x x f x x x -++'=<+，所以()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2m n ≤<知()()f m f n >，即()()ln 1ln 1m n m n++>或()()ln 1ln 1n m m n +>+ 所以()()ln 1ln 1n n m n +>+，即()()11n mm n +>+.从此例可以看到，导数作为证明不等式的工具，方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.除了不等式的证明外，我们往往也会遇到恒等式的证明问题，对此也可以通过导数的方法来进行证明.例7 求证 1231232n n n n n n C C C nC n -++++=.分析 此题主要考查对二项式定理求导的理解与运用.证明 因为 012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=+++++，对等式两边求导得：112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =即得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=. 2.6 关于曲线的切线及求法的讨论例8[]11(2013年福建卷 理科)已知函数()x x x f ln 2-=，验证曲线()x f y =在点()()1,1f A 处是否存在切线方程并算出.分析 此题验证如何来求曲线的切线方程，怎样运用导数进行计算.解 函数()x f 的定义域为()∞+，0，()21f x x '=-，()0>x 因为 ()11=f ，()11,f '=-所以我们可以得到在点()()1,1f A 的切线方程为，()11--=-x y ，即 02=-+y x .综上所述，就可以证明出通过导数来求曲线的切线是一个很好的解题思想和方法.第3章结语和展望本论文研究的主要内容是:讲述微积分思想的意义以及作用，直接深入本文主旨提出微积分思想与中学数学的联系，通过举例证明在初等数学中的广泛应用，并且详细介绍了微积分的主要几种思想，然后在通过实际例子的解答与验证，了解到这些思想的相关应用，从而得到微积分思想在中学数学中的广泛应用，如：微积分关于函数的单调性、求函数的极值、最大值与最小值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式的证明、曲线的切线及求法.用微积分去处理中学数学上的问题，能够起到化难为易的重要作用，而且能够让学生更容易的去接受，对于刚接触初等数学的学生，可以起到引导的的作用，同时也为以后更好的学习高等数学打下稳定的基础，微积分思想运用到中学数学中的知识也不仅仅只有这么多，如求不定规则图形的面积、讨论导数在数列中的应用、在几何上的应用、求方程的解、因式分解等很多问题上，它能够把问题通过转化变得简单，起到“化曲为直”的作用，而且在近几年的高考中也逐渐侧重了对微积分的考查与运用，在初等数学与高等数学之间，微积分思想起到承上启下的重要作用，同时也能够开拓师生的思路，掌握教材的能力，微积分思想在中学数学中的作用与地位主要体现在以下几个方面：（1）了解微积分的相关知识，能够增强学生的运算能力以及逻辑思维能力与空间何想象能力；（2）能够帮助学生提高解决问题的能力，为学生打下良好的数学基础；（3）微积分运用到初中数学中能够起到化难为易，化抽象为具体的重要转化作用.综上所述，都足以表明微积分思想在中学数学中的重要性，也使得这一重要的数学思想的本质得以体现.本文章主要介绍了微积分思想在中学数学中的应用，但是它也在其他的领域有所应用，如：在天文学上对经纬度的测量，从而进行了相关的研究：（1）研究黑洞与其他行星；（2）月食现象产生的原因；（3）计算气候变化周期.微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富[15],数学史上的重要里程碑，也是数学家们辛劳的结晶，掌握和了解微积分，能够增强学生对数学的理解与运用能力，所以说微积分思想不但是数学史上的创举也是人类发展史上的重要的一部分.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆：重庆出版社，1983：73～221.[2]曹发祯.微积分在中学数学中的应用[M].广东教育出版社，1991[3] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）.人民教育出版社.2009.[4] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[5] 俞宏毓.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用[J].高等函授学报（自然科学版），2006，20(2):32～36.[6] 贤锋.浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[7] 魏本成，吴中林.微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，16(5)：54～55.[8] 吴向群，庄认训.微积分在中学数学中的应用[J].青海师专学报（自然学科），2002，22(5):77～78.[9] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[10] 包建廷.微积分在不等式中的应用[J].承德民族师专学报，2003，23(2):27～30.[11] 肖新义，肖尧.微积分方法在初等数学中的应用研究[J].和田师范专科学校学报2009，28（5）：15～16.[12] 徐岳灿.探索微积分在中学数学中的必要性[J].上海中学数学，2011，64（6）：27～29.[13] 丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，27(8):4～5.[14] 李霞.浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2006，95（1）：83～84.[15] 王昆扬.给中学生讲好微积分基本知识[J].数学通报，2001(6):23～24.致谢大学的四年生活转瞬即逝，回首过去的日子，感觉收获到很多东西，当完成这篇文章的时候，我感慨万分.首先真诚的感谢我的论文指导老师庄乐森老师，他能够在百忙之中帮我指导论文的修改与审查，同时，我也很感谢大学四年内教过我的老师们，是你们一丝不苟的工作精神与职业责任心深深地感染了我，是你们在教会我很多的数学知识与文学上的知识，是你们的启迪让我对知识探求的渴望，最后，我也很感谢陪伴我身边的朋友，是你们在我困难的时候帮助我，鼓励我，在我困惑的时候给予我宝贵的意见与建议，谢谢你们曾陪我走过，我的大学生活因为有你们而变得充实、丰富而又多彩.。
微积分方法在初等数学中的应用研究
微积分方法在初等数学中的应用研究微积分方法是数学界的重要分支，它的基本思想是利用极限的概念来解决问题，广泛应用在物理、化学、工程、经济学等多个领域。
尤其在当今信息快速发展的时代，微积分更是成为一种理论技术，对社会的发展有着极大的影响。
此外，微积分方法在初等数学中也有着重要的应用，主要表现在以下几个方面：一、微积分方法可以用来解决函数、曲线的基本性质及其变化趋势。
微分学主要研究函数的变化量，而积分学则主要研究函数的变化程度。
由此可以完全推导出函数的图形，并由图形解决一些理论问题，同时也为解决贴近实际问题提供了有用的计算工具。
二、微积分方法可以用来解决多项式的性质及其变化规律。
多项式是初等数学中常见的一种函数，其特征是其变量只有一个。
用微积分的方法解决多项式的问题可以很好的解释函数的变化趋势，同时也能发现多项式的一些精妙之处。
三、微积分方法可以用来研究几何函数、椭圆函数及其特性。
几何函数是初等数学中常见的另一种函数，其特征是变量有多个。
由于其变化趋势和多项式不同，因此用微积分方法分析几何函数可以更好的发掘函数的一些特性，并通过对比开拓函数之间的新奇性。
四、微积分方法也可以用来研究一元函数的变换及其性质。
一元函数是以x为自变量，以y为因变量的函数，其变换性是最为重要的特性之一。
用微积分法可以准确地分析一元函数的变换性，并确定其极值点，及确定函数的最大值和最小值的位置。
总之，微积分方法对初等数学的研究和发展有着重要意义，是一种有效的数学工具。
同时，由于微积分方法和初等数学之间存在着千丝万缕的联系，所以必须加强对微积分方法的研究，以便进一步深入探索函数及其变化趋势。
微积分在中学数学及实际生活中的应用-本科毕业论文开题报告
贵州民族大学本科毕业论文（设计）任务书学院：理学院年级：2012级专业班级：信息与计算科学学生姓名指导教师职称论文（设计）微积分在中学数学及实际生活中的应用题目毕业论文(设计)工作内容通过研究讨论微积分思想在中学数学及实际生活中的应用的问题，进一步把高等数学的思想融入初等数学中，通过对一些实际问题的（非理想化模型）的研究，进一步把微积分思想运用到解决实际问题中，把所学到的东西贯穿生活、应用生活、服务生活，做到有所学就有所用，做到一个问题的多角度考虑，寻求问题的不同解决方法与简便解法，建立知识点之间的内部联系，灵活的运用它们来进行解题，从而达到扩宽思路与整合学科的目的。
指导教师（签名）：年月日系主任（签名）：年月日教学院长（签名）：年月日该表由学生与指导老师共同讨论后，确定论文题目，并在“工作内容”备注栏填写“完成论文撰写所需完成的主要任务”。
贵州民族大学本科毕业论文（设计）开题报告题目：微积分在中学数学及实际生活中的应用学院:理学院专业:信息与计算科学学号:姓名:指导教师 :职称 :填表日期 :2016年3月说明1．学生应在开题报告前，通过调研和资料搜集，主动与指导教师讨论，在指导教师的指导下，完成开题报告。
2．此表一式二份，交学院装入毕业设计（论文）存档。
3．开题报告需经指导教师、院（系）领导审查合格后，方可正式进入下一步毕业设计（论文）阶段。
4．理工科类专业不得少于10 篇（部）相关文章或著作的阅读量。
5．开题报告撰写不少于1000 字。
6．表格内字体——宋体，字号——小四，行间距—— 1.25 ，段前—— 0.5 ，标题——黑粗体。
7．有关栏目空格不够时，可加页续填。
.一、研究目的和意义目的：通过对微积分的研究，建立初等数学与高等数学之间的紧密联系，更好的把微积分跟中学数学的极限思想紧密的连接起来，逐步的把积分思想更多的推广到中学学习中。
另外，应用微积分思想解决一些非理想化模型，让很多实际问题得到解决。
“微积分”教学中融入数学文化的行动研究的开题报告
“微积分”教学中融入数学文化的行动研究的开题报告一、研究背景微积分是高等数学的基础课程，是自然科学和社会科学中的基本工具。
然而，由于其抽象性质和数学术语的使用，微积分被很多学生认为是难以理解和掌握的学科，给他们带来了挑战和困惑。
因此，在教学的过程中，教师需要采取行之有效的措施来提高学生的学习兴趣和学习效果。
除了传授数学知识外，教师可以借鉴数学文化来丰富教学内容和方式，从而激发学生对微积分学习的兴趣。
数学文化是指数学知识、数学思想的产生、传播、接受和应用的一种社会文化现象。
数学文化是数学本身以及与数学相关的历史、哲学、艺术等方面的表现。
将数学文化融入微积分教学中，可以使学生在学习微积分的同时了解更多与数学相关的文化知识，从而提高他们对微积分的兴趣和对数学的认识。
二、研究目的本研究旨在探究将数学文化融入微积分教学中的行动研究，包括以下几个方面：1. 探讨数学文化与微积分教学的融合方式和途径。
2. 分析将数学文化融入微积分教学中的效果和影响。
3. 探究学生对数学文化融入微积分教学的反响和评价。
三、研究内容本研究将包括以下几个方面的内容：1. 文献综述。
通过对国内外相关文献的梳理和分析，探讨数学文化与微积分教学的关系以及融合方式和途径。
2. 规划课程设置。
设计课程大纲，明确数学文化在微积分课程中的融合点和内容，并制定具体的教学方案。
3. 实施教学研究。
针对本研究所设立的微积分课程，将数学文化融入其中，选取适当的教学方法和手段，开展教学实践，并记录教学过程和效果。
4. 数据分析及评价。
对教学实践所获得的数据进行汇总和整理，运用统计方法及其他科学方法进行数据分析，评价数学文化融入微积分教学的效果及对学生的影响。
四、研究方法本研究采用的是行动研究方法。
行动研究是一种质量研究方法，它强调研究者与研究对象之间的互动和相互影响，以及教学实践和研究相结合，以推动教育改进、进步和传承为目的。
行动研究的基本步骤包括计划、实施、评价和改进。
(完整版)浅谈微积分在中学数学中的应用
浅谈微积分在中学数学解题中的应用数学与计算科学系数学与应用数学专业学号：09690137 姓名：尹佩指导老师：蔡江涛摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决中学数学中的一些问题.本文通过阐述微积分在中学数学中的重要地位和作用的基础上,研究微积分在中学数学解题中的应用.关键词：微分积分中学数学新课改0.引言微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的部分内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下基础.微积分是数学的一个基础学科，它分为微分和积分.微积分的创立,极大的推动了数学自身的发展.它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值.微积分在中学数学中的地位和作用具体体现在以下几个方面：（1）学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力.（2）学习微积分能更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用，有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用.(3)将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作.利用微积分来解决中学数学中的一些问题能取得意想不到的效果.1.微分在中学数学解题中的应用《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时通过理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微分在中学数学解题中的应用主要由导数实现.1.1微分法在求函数极值和最值问题中的应用中学数学教材的二次函数,三角函数和不等式等内容都涉及到求函数极值与最值问题. 在求比较复杂的函数的极值和最值问题中一般采用微分的知识来解决，根据对自变量求导研究导函数性质从而判断函数.导数的定义:当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)-f(x0)与自变量之比的极限存在且有限，就说函数f 在x0 点可导，称之为 f 在x0 点的导数（或变化率）。
微分方程在数学中的地位开题报告
微分方程在数学中的地位开题报告微分方程是数学中一个重要的分支，它是研究物理学、化学、经济学等学科中的各种变化规律的数学工具，包括定性和定量分析。
微分方程的提出和发展历程贯穿了整个近代数学发展的历程，如牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯等伟大的数学家都做出了重要的贡献，并使它成为当今数学和应用科学中非常活跃和关键的领域。
微分方程的地位可以从以下几个方面来分析：首先，微分方程是数学中应用最广泛的一部分，它广泛应用于物理学、化学、生物学、经济学、工程学等科学领域，因为这些自然和人文科学中所涉及的很多问题都可以转化为微分方程的形式，如探讨物质流动、波动、震动等问题，以及人口增长、经济增长等问题。
其次，微分方程是建模的重要工具。
建模就是将实际问题转化为数学模型，通过对数学模型的研究得到有关问题的结论和规律。
微分方程作为数学建模的基础，在各个领域具有不可替代的作用，它能够用简洁的数学式子描述实际现象的规律性，提供一种有效的途径来抽象和理解这些现象。
除此之外，微分方程也是数学中自成体系的分支之一，它有着严密且完整的理论体系。
微分方程的数学理论涉及求解微分方程的通解、特解、初边值条件的应用、一般解与特殊解的关系等问题，其中还有一些重要且难解的问题，如微分方程的充分性、唯一性及其解的连续变化性等问题。
微分方程在各个领域的应用越来越广泛，随着科学技术的发展和人类对自然现象和社会生活深层次规律的探究，需要用微分方程来描述的问题将越来越多。
因此，我们必须对微分方程的基本概念、解法和应用有一个深刻的理解，以便更好地应用微分方程解决实际问题。
总之，微分方程在数学中起着重要的地位，它是应用最广泛、理论最完整的数学分支之一，不仅是数学本身的研究对象，而且是其它学科的数学基础和研究工具，今后发展方向应在提高微分方程应用的实用性和精度的前提下，提高其数学理论的深度和广度，以适应实际问题的变化和发展。
微积分与中学数学的关联的开题报告
微积分与中学数学的关联的开题报告一、选题的背景及意义微积分是数学中的重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等基本概念，是建立数学分析的基础。
而中学数学则是学生在学习中所接触到的数学内容，它包括代数、几何、概率与统计等方面的知识。
微积分与中学数学密切相关，对于中学生们进一步了解微积分具有重要意义。
因此，探究微积分与中学数学的关联有助于提高中学生对微积分的理解和学习效果。
二、选题的研究现状微积分与中学数学的关联早已引起数学教育学者们的关注。
国内外许多学者对此进行了研究。
例如，文章《中学数学教育与微积分教育的联系与研究》（马聪明，2009）论述了中学数学与微积分的关系，提出了中学数学的教育应该包括微积分教育；文章《中学数学与微积分教育》（张春美，2016）强调了微积分思想在中学数学教育中的应用；而徐军老师在其授课中，也注重将微积分的概念与中学数学联系起来，加深学生的理解。
三、拟定的研究目标本研究旨在：1、探究微积分与中学数学的内在联系；2、分析中学生对微积分的理解和学习情况；3、归纳出在中学数学教育中如何更好地引入微积分知识。
四、拟定的研究步骤1、查阅文献，了解国内外相关研究成果；2、对比分析微积分与中学数学的共通点和不同点，并分析中学生学习微积分的困难点；3、进行问卷调查，收集中学生对微积分的理解和看法；4、在具体的教学案例中，采用一些前沿的教学手段，如数学建模、多元思维等，探究将微积分的概念与中学数学进行有机结合的方法；5、总结研究成果，提出引入微积分知识的建议。
五、拟定的研究设备本研究采用以下设备：1、电脑及相关软件：进行文献检索和数据统计；2、问卷调查表：用于收集中学生对微积分的看法与理解；3、多媒体教学设备：用于展示教学案例；4、教材：包括中学数学和微积分相关教材。
六、拟定的论文章节结构第一章：绪论1、研究背景2、研究目标3、研究现状第二章：微积分与中学数学的关联1、微积分与中学数学的共通点和不同点2、分析中学生学习微积分的困难点第三章：中学生对微积分的理解和看法1、问卷调查结果分析2、对问卷调查结果的讨论第四章：将微积分的概念与中学数学进行有机结合的教学探究1、教学案例的设计与实施2、教学效果的评估第五章：结语1、研究成果总结2、教育启示3、需要深入研究的问题参考文献。
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学院：数计学院系别：数学系专业(专业方向)：数学与应用数学
论文题目
微积分在中学数学中的应用
指导教师王鲜凤源自职称讲师学生姓名苗慧芳
学号
090701011427
一、研究目的(选题的意义和预期应用价值)
微积分是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。它是我国现在普遍使用的高中数学教材中增加的部分，蕴含多种数学思想，如极限思想、函数的思想、数形结合思想、化归思想微积分中的哲学思想、辩证的思想等，它们在中学数学中都有着广泛的应用和价值。学习微积分的知识可以进一步提高学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力,有利于学生学好基础知识和掌握基本内容,有利于数学知识的综合运用。将微积分的理论应用于初等数学，不仅可以使其内在的本质联系得以体现，而且可以进而指导初等数学的教学工作。对于中学数学中一些问题的解决用初等数学的方法可能繁琐、困难甚至根本无法做到，但利用微积分解决则能取得意想不到的效果。作为一名未来的中学教师不但要掌握中学数学中各种题型的一般解法，也要能运用高等数学中相应知识来解答，从而提高教师专业素质。其中微积分就是一个重要的知识点。是个值得研究的课题。
三、分析研究的可能性、基本条件及能否取得实质性进展(方案论证)
在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作
初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。
四、课题研究的主要方法、策略和步骤
研究方法：运用文献分析法、文本细读法、比较法、综合分析法等进行研究。
研究策略和步骤：首先，了解本论题的研究状况，形成文献综述和开题报告。其次，进一步搜集阅读资料并研读文本，做好相关的记录，形成论题提纲。第三，深入研究，写成初稿。最后，反复修改，完成定稿。
五、研究进度安排
<6>、2013年5月1日—5月15日：提交论文、参加答辩。
六、指导教师意见
指导教师签字：
年月日
七、教学系意见
系主任签字
年 月 日
八、学院意见
院长签字：
年月日
<1>、2012年12月15日—12月31日：论文选题、查阅资料。
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
二、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所突破和创新的方面(文献综述)
目前，探究微积分在中学数学中有哪些应用的文章非常之多。研究的范围也是相当广泛的，无论从代数方面还是几何方面。
其中，杜忠芬在他的《浅谈微积分在初等数学中的应用》一文中，从导数中值定理定积分等方面应用都有研究。利用定积分研究弧长、旋转体体积、旋转曲面面积做了较为全面分析。郑玉琳在他的《微积分在初等数学解题中的应用》主要探究了微积分在代数方面的应用，选取了历年来的一些高考试题，尤其在不等式及恒等式的证明这块，通过构造函数利用函数单调性来证，简单新颖。微分中值定理是微分学的理论基础，它是研究函数整体性态一个分析工具。在初等数学中又是用来研究不等式及根的存在性的一个有力工具。天津师范大学数学院的杨旭婷在《浅析微分中值定理的应用》中系统总结了中值定理及定理间相互联系。并利用Roll中值定理证明根存在性。在中学数学中组合恒等式证明也一直是个难点，但适当利用微积分知识该问题也可较易得到解决。对于此问题吴琼杨在他一篇《浅谈微积分在组合恒等式证明中的应用》作了较详细的介绍。将恒等式的一侧归结为和式幂函数在某区间的定积分形式，用积分法来证明。本文主要在一些学者研究的基础上对微积分在中学数学中最典型和应用最多的几个方面进行研究讨论，如不等式证明、恒等式证明、方程根的存在性及中学几何公式证明等。通过具体的实例加以分析。