第五讲固体力学-线弹性问题有限元分析

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有限元分析1

有限单元法的形成与发展
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
根据结点的平衡条件，得
( Fxie ) FLxi å e ( Fxje ) FLyi å e
e
单元e的结点力，用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。 K FL 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。
3 单元位移函数
2 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合
¼ Í
2-7
2 有限单元法的计算步骤
1、离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。
有限单元法的形成与发展
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。

有限元分析方法

百度文库- 让每个人平等地提升自我第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。

数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。

有限单元法的形成近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（Computer Aided Engineering）。

这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。

许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。

CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：❑CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。

❑虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。

❑大幅度地降低产品研发成本。

❑在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。

❑能够快速对设计变更作出反应。

❑能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。

❑能够精确预测出产品的性能。

❑增加产品和工程的可靠性。

❑采用优化设计，降低材料的消耗或成本。

❑在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。

❑模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。

❑进行机械事故分析，查找事故原因。

当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。

其中最为著名的是由美国国1百度文库 - 让每个人平等地提升自我2家宇航局（NASA ）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran 有限元分析系统。

有限元ppt课件

15
里兹法:
选择一个定义于整个求解域并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表达式,建立线性方程
求解方程计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2

y
1

0

(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW

1 2
F xdx
将F代入:
dW

1 2

x
x x dy
dU

dW

1 2

x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。

U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o

43
2.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等于弹性体的虚应变能,即

有限元分析法

杆单元 Rod element 梁单元 Beam element 弹簧单元 Spring element
2个移动自由度 1个转动自由度
3个移动自由度（平面杆单元2个） 3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个） 3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
梁结构
弹簧结构
网格划分方法
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . . . ... .. .. . ..
二次
低阶单元
更高阶单元
线单元
• 线单元: 用于螺栓(杆)，弹簧，桁架或细长构件
面单元
• 壳单元: –Shell (壳)单元每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。
面单元
-平面应力分析是用来分析诸如承受面内载荷的平板、承受压力或远离中心载荷的薄圆盘等结构。
details ignored
Geometric model for FEA
单元类型选择
Element type：
3节点三角形平面应力单元
单元特性定义
Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
模型检查 • • • • 低质量单元畸形单元重合节点重合单元
2 nodes
. .
A
. .
..
B
1 node
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元之间存在信息传递
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）
第2节有限元建模方法
Finite element model
Input data

有限元分析基础

有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。

边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。

边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。

场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。

根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。

1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。

下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。

等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。

试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。

)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。

有限元法概述

但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才显著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Clough 等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推导。

应用固体力学有限元Abaqus算例分析

问题描述：（1）计算出两种工况下的解析解；（2）用有限元软件解决以下问题：探究单元数量对计算结果的影响；探究边界条件的影响。

工况（a ），令u （L ）=0改变到u （L ）=±0.02m 工况（b ），令σ（L ）=P 改变到σ（L ）=P ±0.1P （1）两种工况下的解析解推导过程及结果如下看成是平面应力问题来解决，只有板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，板很薄，外力又不沿厚度变化应力沿着板的厚度又是连续分布的，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有z 0,0,0zx zy σττ=== （1）同时，根据剪应力互等定理0,0xz yz ττ== （2）由平衡微分方程，可以知道0;0yxx y xyX x yY y xτσστ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ （3）几何方程,,x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ （4）物理方程如下：1()1()2(1)x x y y y x xy xyE EEεσμσεσμσμγτ=-=-+= （5）由此可以得到22()1()1()2(1)x y xy E u vx y E v uy x E v ux yσμμσμμτμ∂∂=+-∂∂∂∂=+-∂∂∂∂=+-∂∂ （6）代入平衡微分方程得到22222222222211()012211()0122E u u vX x y x y E v v uY y x x yμμμμμμ∂-∂+∂+++=-∂∂∂∂∂-∂+∂+++=-∂∂∂∂ （7）0;X Y g ρ==因此根据以上式子可以得到 22200()()01E d v y g dy ρμ=+=- （8）对（8）式积分，得到22()0(1)()2u x g v y y Ay BE μρ=-=++ （9）第1种情况：物体在全部边界上的位移分量是已知的，因此边界条件为位移边界条件在边界上，我们有0;()s y u u v v v y ==== （10）(0)0,()0v v L == （11）得到参数：2(1)0;2gLB A E μρ-==（12）22()(1)()()2()2y g v y Ly y E L g y ρμσρ-=-=- （13）将数据代入式（13）得到22274()(1)()()=(y-y ) 1.691021()()7.6441022y g v y Ly y mE L g y y Paρμσρ--=-⨯⨯=-=-⨯⨯ （14）第2种情况：物体在全部边界上的部分位移分量和应力分量是已知的，因此边界条件为混合边界条件(0)0;()y v L p σ== （15）210;()B A p gL Eμρ-==+⨯ （16）所以有221()[()]2()()y v y p gL y E y p g L y μρσρ-=+-=+- （17）将数据代入（17）可以得到22772541()[()]=8.5110 2.06102()()107.64410(1)y v y p gL y g y y E y p g L y y μρρσρ---=+-⨯-⨯=+-=+⨯- （18）（2）计算中采用Abaqus有限元商业计算软件来模拟题目中的工况材料参数见下表名称数量材料密度ρ7800kg/m3物体长度L 1m物体宽度W 0.1m弹性模量E 2.1*1011重力加速度g 9.8泊松比0.3载荷P 0.1MPa计算单元类型为S4R，单元数量为250工况（a）计算参数设置及结果如下由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为3.798*104Pa由解析解22274()(1)()()=(y-y) 1.691021()()7.6441022ygv y Ly y mELg y y Paρμσρ--=-⨯⨯=-=-⨯⨯得到的固定端点处最大应力为3.822*104Pa；在中间位置位移最大为4.533*10-8m 应力误差为4443.82210-3.79810=100%=0.62%3.82210η⨯⨯⨯⨯位移误差为8884.53310-4.22510=100%=7.28%4.22510η---⨯⨯⨯⨯工况（b ）计算参数设置及结果如下由计算结果可知，最大应力在固定端处取得，最大值为1.791*105Pa 由解析解22772541()[()]=8.51102.06102()()107.64410(1)y v y p gL y g y y E y p g L y y μρρσρ---=+-⨯-⨯=+-=+⨯- 得到的固定端点处最大应力为1.7644*105Pa ；自由端最大位移为6.45*10-7m应力误差为5551.79110-1.764410=100%=1.5%1.764410η⨯⨯⨯⨯ 位移误差为7776.57210-6.4510=100%=1.89%6.4510η---⨯⨯⨯⨯通过有限元计算，可以得到和解析解很接近的结果，通过误差分析表明，有限元计算此类平面应力问题可以很好地满足计算精度的要求。

弹性力学及有限元

热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计，提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程领域具有广泛应用，为复杂结构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的基本原理和有限元分析的方法，并通过实例验证了其有效性。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研究未能涵盖所有相关领域，未来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析提供了理论依据和实践指导，有助于提高结构的安全性和稳定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问题，需要采用多场耦合有限元方法等。

弹性力学与有限元完整版ppt课件

E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}

有限元分析理论（弹性力学）

如果插值函数选得合适，单元分得越多、越细，得到的计算结果就越精确。当单元数趋于无穷时，计算结果就收敛于精确解。但是，随着单元数、节点数的增加，计算工作量和存储信息量就会迅速地增加，因此一般都是根据具体问题对精度的要求，只取一定数量(有限个)的单元和节点进行分析。由于这种方法需要求解大型联立方程组，因此只是在解决了计算机的运算速度和存储容量等问题后，这种方法才有实用意义并得到了迅速发展。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定性好，便于求解，占用的计算机内存也少。有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。

有限元分析报告

有限元法在工程领域的发展现状和应用有限元法(Finite Element Method,FEM),是计算力学中的一种重要的方法,它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。

有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。

对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题,有限元法则是一种有效的分析方法。

近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：（1）增加产品和工程的可靠性（2）在产品的设计阶段发现潜在的问题（3）经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本（4）模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费一、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。

由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域;然后对单元(小区域)进行力学分析,最后再整体分析。

这种化整为零,集零为整的方法就是有限元的基本思路。

有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。

离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。

所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

固体力学线弹性问题有限元分析

xy y
xz z
fx ) u
( xy x
yy y
yz z
f y ) v
V
( xz x
yz y
zz z
fz ) wdV
0
其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。
对上式进行分部积分化为弱形式可得：
V xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy dV V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
第五讲
固体力学-线弹性问题有限元分析
元计算技术部
线弹性力学作为固体力学的一个重要分支，研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础。广泛应用在建筑、机械、化工、航天等工程领域。本讲将对该分支，从其物理模型，有限元弱形式推导，以及ELAB.1.0有限元分析、 ELAB1.0有限元软件公式库实现等各个方面进行介绍。
a场材料参数
b场材料参数
➢前处理
点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。注：进入GID后要进行ELAB1.0的数据转化data→problemtype→ELAB
几何建模：建立几何模型的具体操作详见《有限元分析基础与应用》相关章节。
注：模型建立后，选择Geometry——Edit——Collapse——models，选中所建模型，按鼠标中键结束，将所有的体连为一体。保证没有孤立的点、线或者面。
V
xy xy
(1
E )(1
2
)
(0.5
)dV
V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：

弹性力学及其有限元法

弹性力学及有限元分析1、设试件两定点之间的长度为L 0，其截面积为F 0，加上拉力P 后，L 0 伸长了△L 。

我们把P/ F 0 称为拉伸应力（σ），△L/ L 0 称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/ F 0 ，ε＝ △L/ L 0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 LF PL E ∆==00εσ，弹性模量E 表征了材料的物理性质。

2、根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。

首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。

a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。

随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。

弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。

设受力方向为x 方向，x xE εσ=，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E 为常数，表示应力与应变成正比例。

通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。

b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。

当曲线超过s 点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s 点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b 点后产生颈缩。

从弹性极限到b 的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。

c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。

脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。

为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即εσd d E =。

如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA 上升，若到A 点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB 下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形''ε。

弹性力学与有限元分析.ppt

上式建立了单元中任意一点的位移与节点位移的关系，
即通过单元节点位移 e 插值求出单元中任一点位移
f (x, y)，把位移函数的这种描述形式称为插值函数形
式。形函数具有以下两个性质： 1、形函数 N i在节点 i处的值为1，而在其余两个节点处的值为0。
2、在单元中任意一点，3个形函数之和为1，即：
差太大，即单元划分中不应出现过大的钝角或过小的锐角，否则，计算误差较大。在应力较大和应力集中的区域，单元应划分细一些，以提高精度。如果边界上有集中力作用，则该点应被划分为点。
单元的大小和数目应根据精度要求来确定，在保证
精度的前提下，力求采用较少的单元。

当物体的厚度有突变或物体由不同材料组成时，不要把厚度不同或材料不同的区域划分在统一单元。
x y xy

且它们只是
x, y 的函数，与 z 无关。工程实际中，炮
筒、桥梁支座的柱形辊轴等都可简化为平面应变问题。
所以无论是平面应力问题还是平面应变问题，都只需研究3个应力分量 x ,y ,xy，3个应变分量 x , y , xy
2个位移分量 U和 V。
四、单元划分
单元划分是有限元分析的基本前提，也是有限元法解题的重要步骤。常用的单元类型有：杆单元平面单元轴对称单元

空间单元对平面问题，一般采用三角形单元，此时单元划
分应注意以下问题：
任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角
形单元的顶点，而不能是其内点。
三角形单元的3条边长（或3个顶角）之间不应相

x y xy

x y xy

有限元分析的力学基础

SSS
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力边界S。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。

弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

*
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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§5-2 位移法
位移法求解思想：

固体力学有限元分析

f u f v f wdV T u T v T wd
V V xx xx yy yy z zz zz yz yz xz xz xy x y x y z
xy
dV
边界条件：第一类边界条件:
u u0
v v0
w w 0
第二类边界条件： Tx f1 第三类边界条件： Tx f1 (u, v, w)
Ty f 2
Ty f 2 (u, v, w)
Tz f 3
Tz f3 (u, v, w)
有限元分析
运用迦辽金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：
xy yy yz xx xy xz ( f x ) u ( f y ) v x y z x y z 0 V yz ( xz zz f z ) wdV x y z
其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。对上式进行分部积分化为弱形式可得：
xx xx
f x u f y v f z wdV Tx u Ty v Tz wd
V
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：
dV
V
V
D dV
线弹性问题属于固体力学中基础的学科分支，在ELAB1.0有限元软件中以公式库的形式提
供给大家，因此可以采用【公式库-固体力学-线弹性】直接生成的方式生成程序代码，
下面通过一个算例用ELAB1.0公式库来实现。
工程背景
三维工字形部件线弹性体，如下图所示，底面为边长为8m的正方体，上下两部分高度为2m，中间部分高度为10m。该部件的弹性模量为1.0e10N/m2，泊松比为0.3，地面边界固定，上表面施加100N的均布力载荷，分析该部件的位移、应力以及变形情况。

连续力学线弹性固体

第三章线性弹性固体到目前为止，我们已经讲述了有关连续介质的几何学、运动学和动力学的基本概念及基本关系式。

所有这些关系对各种连续介质都适用，因为在推导过程中并没有考虑是什么物质。

然而，这些方程还不足以描述特定物质在给定的荷载作用下的反响。

在同样荷载条件下，钢的反响和水的反响是不同的。

另外，对于给定的同一物质，随着荷载条件的变化，其反响也是不同的。

例如，低碳钢在适度荷载下将发生变形，去掉荷载后变形消失，物质的这种性质称为弹性。

若荷载继续增加，低碳钢将产生永久变形，甚至断裂。

造成这些不同反响的原因是由于物质的特性，而不是共性，即物质内部本构是造成这些反响的原因。

在连续介质力学中，我们不涉及物质的原子结构，而只研究物质的宏观性质。

为此，我们要建立反映物质结构差异的总体效应的方程，即本构方程(constitutive equation)。

在本章中，我们只研究线性弹性固体这种理想化的物质的本构方程，并给出这类固体的若干简单情形的静力和动力问题的解。

在本章最后，对线性弹性固体的变分原理作一简要的阐述。

3.1 线性弹性固体的力学性质为了建立线性弹性固体的本构方程，首先需要对该物质的力学性质做一些了解。

1.简单拉伸实验取一根长为l ，横截面面积为A 的细长圆柱试件。

此试件在轴向荷载P 的作用下伸长∆l ，如图3.1所示。

在线性范围内(图中OA 段)，如果把荷载卸掉，则线OA 可逆，此时试件表现出弹性。

如果再继续加载到B 然后卸载，则得到典型的OABC 线，并且将有一“永久变形”量OC 。

在一般的工程结构设计中常采用线性弹性理论。

在线性弹性范围内，我们可以假定，逐级加载不影响线性弹性性状。

为了表示加载与变形的这种线性关系，我们希望有一种与试件尺寸和由于实验装置引进的任何变量无关的材料性状的表示法，于是我们引用应力σ=P A，而应力ε=∆l l /。

在OA 段应力与应变之比为常数 E =σε(3.1.01) E 称为杨氏模量，或弹性模量。

总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点

总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012杆件在多种外力共同作用下的变形(或力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或力)，然后将这些变形（或力）叠加，从而得到最终结果。

②几何非线性问题。

若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进行分析。

这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。

③物理非线性问题。

在这类问题中，材料的变形和力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。

在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。

解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法解。

直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：平衡微分方程（1）几何方程（2）物理方程（3）(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单二、变形及刚度条件拉压：∑⎰===∆LEAxx N EAL N EANLL d )(ii 扭转：()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L弯曲：(1)积分法：)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法：()21,P P f …=()()21P f P f ++…()21,P P θ=()()++21P P θθ…三、应力状态与强度理论二向应力状态斜截面应力：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：到。