实验三 系统的可控性与可观测性分析

实验三 系统的可控性与可观测性分析一、实验目的1．巩固控制系统能控、能观等知识；控制系统的最小实现和控制系统的能控、能观测标准型等基础知识；2．掌握使用MATLAB 判定系统可控性与可观测性的方法； 3．掌握使用MATLAB 控制系统的标准型实现；4．通过Matlab 编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。

二、实验原理与步骤(一)、可控性和可观测性的定义1.可控性的定义若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存在一个有限时刻 t1>t0 和一个容许控制 u[t0, t1]，能在t1时刻使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程X AX BU =+在t0时刻是可控的。

反之称为在 t0 时刻不可控。

2.可观测性的定义定义：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程XAX BU Y CX DU =+=+在t0时刻是可观测的。

反之称为是不可观测的。

(二)、可控性和可观测性判据1、可控性构造一个相似变换矩阵1(,,,)n c T B AB A B -=公式中，n 是系统的阶次；矩阵c T 称为系统的可控性变换矩阵。

矩阵c T 可以由控制系统工具箱中提供的()ctrb 函数来产生。

其调用格式为(,)c T ctrb A B =公式中，c T 的秩，即()c rank T 称为系统的可控性指数，它的值表示系统中可控制的状态的数目。

如果()c rank T n =，则系统是完全可控制的。

【例题1】考虑系统的状态方程模型为0100001010001000502x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 分析系统的可控性。

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0] B=[0;1;0;-2] Tc=ctrb(A,B) rank(Tc) 结果如下： >> rank(Tc)ans = 4可见，系统完全能控。

2、可观测性构造一个相似变换矩阵o T 如下1(,,,)n To T C CA CA -=公式中，n 是系统的阶次。

矩阵o T 称为系统的可观测变换矩阵。

矩阵o T 可以由控制系统工具箱中提供的()obsv 函数来产生。

其调用格式为(,)o T obsv A C =公式中，o T 的秩，即()o rank T ，称为系统的可观测性指数，它实际上是系统中可观测状态的数目。

如果()o rank T n =，则系统是完全能观测的。

【例题2】考虑系统的状态方程模型为100001010001000502x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []1000y x=分析系统的可观测性。

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0] B=[0;1;0;-2] C=[1,0,0,0] Tc=ctrb(A,B)rank(Tc) 运行结果如下： >> rank(To) ans = 4可见，系统是完全可观测的。

(二)、可控性和可观性的标准型实现先来看什么是实现，所谓实现，就是根据描述系统输入输出动态关系的传递函数建立系统的状态空间表达式，所求得的状态空间表达式保持原来传递函数的输入输出关系不变，同时反映内部动态变化。

实现不是唯一的。

下面看一个实现的例子 【例题3】有以下状态空间模型1.254 1.250.5461.250.5 1.250.5340.25 4.25 1.250.5222.25 1.750.25110xx u --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦00010202y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A=[1.25,-4,-1.25,0.5;1.25,-0.5,-1.25,0.25;0.25,-4.25,-1.25,0.5;2.25,1.75,0.25,1] B=[4,6;3,4;2,2;1,0] C=[0,0,0,1;0,2,0,2] D=zeros(2,2) Gss1=ss(A,B,C,D)Gtf=tf(Gss)%可以这样认为：Gss 就是Gtf 的一个实现，有4个状态变量现在我们继续用Gtf 来完成一个实现Gss2，命令如下 Gss2=ss(Gtf)看一下实现结果，这个实现有8个状态变量，它当然没有前面的4个状态变量的实现要好，虽然它们表示同一个系统。

大家不禁要问，到底那个实现好，还有没有标准了？最小实现就是回答了这个问题。

所谓最小实现就是实现的阶次最低，或最低阶次的实现。

matlab 最小实现函数为 Gmin=minreal(G)其中，G 为原系统的LTI 对象，G1为最小实现后的LTI 对象。

【例题4】对上例中的Gss2，求出最小实现命令为：Gmin=minreal(Gss2)从结果可以看是，系统阶次回到了4阶。

1、可控标准型Ｉ设单输入系统的状态方程为：x Ax bu y Cx=+=设A 的特征多项式1110det[]n n n λI A λa λa λa ---=++++如果系统状态完全能控性1[,,...]n c rankT B AB A B n-==则可以通过线性变换1c x T x =，可以将其变成如下形式的能控标准形。

x Ax bu y Cx=+=11101101000 (00)01...c c n A T AT a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦110...01c b T b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ []1011...c n C CT βββ-==相似变换 1c x T x =变换矩阵为1211122231210...1[,,...,]......1n n c c c T A b A b Ab b T Ta a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦此可控标准型也称为可控标准型I 。

【例题5】已知能控的线性定常系统1010x 010x 11001u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ []110xy =求其能控标准型。

A=[1 0 1;0 1 0;1 0 0] B=[0;1;1] C=[1 1 0] (1)、能控性矩阵 Tc=ctrb(A,B)rank(Tc) 系统完全可控。

(2)、A 的特征多项式det(I A)λ- syms s det(s*eye(3)-A) 结果： ans = s^3-2*s^2+1 相应系数为0121,0,2a a a ===-(3)、计算变换矩阵121231210...1[,,...,]......1n n c T A b A b Ab b a a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12211[,,...,][,,]n n c T A b A b Ab b A b Ab b --==22223121210100100...110210...1021...1c T aa a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(4)、计算标准型 Abar=inv(Tc1)*A*Tc1 Bbar=inv(Tc1)*B Cbar=C*Tc1 得：即：0100x 001x 01021u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []201xy =- ２、可控标准型II如果取相似变换矩阵为可控性矩阵，即212[,,...,,]n n c T b Ab A b A b --=则，原状态空间表达式可变换为如下的可控标准型II 。

x Ax bu y Cx=+=0110010...01 0...1n a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦10...0⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ []2011...c n C CT βββ-== 【例题6】将上面的例题变换为可控标准型II 。

A=[1 0 1;0 1 0;1 0 0] B=[0;1;1] C=[1 1 0] D=0Tc=ctrb(A,B)[Ac,Bc,Cc,Dc]=ss2ss(A,B,C,D,inv(Tc)) 运行结果如下： Ac =0 0 -1 1 0 0 0 1 2 Bc =1 0 0 Cc =1 2 2 Dc = 0（３）、能观测标准形系统 xAx bu y Cx=+= 的能观测性矩阵为1C CA CA o n T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若O rank T n =，则系统能观测，通过线性变换可以将其变成如下形式的能观标准形。

001111010x 01x 0001n n a βa βu a β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []001xy =变换矩阵可取为1212111C 1CA P 1CA 10n n n a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦同上，这个也可以称为能观测标准型I【例题7】将上面例题变换为能观测标准型I和前面一样，0121,0,2a a a ===- 取变换矩阵如下：2021210100C P CA CA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[Ao,Bo,Co,Do]=ss2ss(A,B,C,D,P) 最后结果为: Ao =0 0 -1 1 0 0 0 1 2 Bo = -2 0 1 Co =0 0 1 Do = 0还可以直接把可观测性矩阵取为变换矩阵，这样得到所谓的可观测标准型II ，matlab 命令如下： P=obsv(A,C)[Ao,Bo,Co,Do]=ss2ss(A,B,C,D,P)运行结果如下：Ao =0 1 00 0 1-1 0 2Bo =122Co =1 0 0Do =三、实验方法及步骤打开计算机，运行MATLAB软件。

将上述内容写入程序编辑窗口并运行。

分析结果，写出实验报告四、【作业】1.从可控标准型和可观测标准型的A矩阵，可以得到什么结论？2.已知系统的系数矩阵为[]1202311,1,001,00201A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试判断它的可控性。

如果完全可控，将其转化为可控标准II 型。