第十二讲：游戏必胜的策略

第十二讲游戏必胜的策略
我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。

规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。

每胜一场可得一千金。

田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。

但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。

田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。

利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。

这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。

下面我们就根据这个理论来想一想对策：
例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。

例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。

如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。

请试一试，怎样才能获胜？
分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。

如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、…、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a 个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.
但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。

只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）
例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。

甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？
分析：这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况。

当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。

对一般情况可以化为特殊情况。

解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。

然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。

说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。

例3、一张3×10的长方形网格纸有30个小方格。

甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。

（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。

甲要想获胜，有何策略？
分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。

解：甲先剪下7×3的一块，把3×3的那块送给乙。

乙只能剪成1×3和2×3的两块。

若送给甲1×3的那块，正好使甲剪下1×2而获胜。

若送给甲2×3的那块，那么甲再一刀剪成1×2和2×2的两块，把2×2的送给乙。

乙只可能切成1×2的两块。

其中一块送给甲，甲还是获胜。

同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。

例4、下图是一张由4×10个方格组成的棋盘，一人持白子置于A位，另一人持黑子置于B位。

随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守下列游戏规则：
（1）不允许和对方的棋子在同一条直线上。

（2）不能越过对方棋子所在的直线。

轮到谁无路可走，就算输。

B
CA分析：为了找到规律，我们先从最简单的情况入手，以便找到获胜的策略。

解：如果棋盘只有一个方格，两子置于正方形的对角，谁先走谁输。

B
BB1
（1）AA1
(2)A
在22的棋盘上，先走者按规则只能走动一格，这时后者仍能走一格，变成(1)图中的形势因此，持白子的人第一步应沿长边移动6格到C点处，C与B是4×4的正方形对角（两个相对的顶点）然后不论黑子如何移动，白子均可移动，使他和黑子仍然处于一个较小的正方形的对角，直至变成1×1正方形，黑子认输。

总结：以上几例，实质上都是利用一种对称原理来解决的。

只要抢先给对方制造一个对称图形，输的人一定是对方。

例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。

游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。

轮到谁无法写数时，就是输者。

现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？
分析：仍然利用对称原理。

抢先给对方制造一个对称。

只要甲先写6.
解：甲先写6。

乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。

把他们分成三组（4,5）、（8,10）、（7,9）。

乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。

练习
1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。

把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？
2、桌面上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁获胜。

问获胜的策略是什么？
3、有两个箱子分别装有63、108个球。

甲乙两个轮流在任意箱中取球，规定取得最后一个球的为胜。

甲先取，他应如何取才能取胜？
4、现有三堆火柴，分别为3、
5、8根。

两人轮流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能从两堆中取，最少要取一根）。

谁取到最后一根或一堆，谁获胜。

先取的人要保证获胜的策略是什么？
5、把16枚棋子排成一行。

甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取，甲获胜。

甲有获胜办法吗？
6、图中是一张2×9棋盘。

甲置白子于A位，乙置黑子于B位。

随后两人轮流走子，每一步可沿一条横线或一条竖线中的一条至少走一格，并遵循如下规则：
（1）不允许和对方棋子处于同一条横线或竖线。

（2）不能越过对方棋子所在的横线或竖线。

（3）轮到谁的棋子无法移动就算失败，若甲先走，甲有胜乙的办法吗？。