第4章 贪心算法PPT课件

31.10.2020
算法设计与分析
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贪心算法应用举例——找硬币
• 假设有四种硬币，它们的面值分别为二角五分、
一角、五分和一分。现找顾客六角三分钱，请
给出硬币个数最少的找钱方案。
二角 五分
一角
五分
一分
硬币个数 最少的找 钱方案
六角三分
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分析
• 找硬币问题本身具有最优子结构性质，它可以 用动态规划算法来解。但显然贪心算法更简单， 更直接且解题效率更高。
第4章 贪心算法
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第4章 贪心算法
学习要点 • 理解贪心算法的概念。 • 掌握贪心算法的基本要素：
– 最优子结构性质、贪心选择性质。 • 理解贪心算法与动态规划算法的差异。 • 理解贪心算法的一般理论。 • 通过应用范例学习动态规划算法设计策略：
– 活动安排问题；背包问题；哈夫曼编码问题。
• 该算法利用了问题本身的一些特性，例如硬币 面值的特性。
• 再例：如果有一分、五分和一角一分三种不同 的硬币，要找给顾客一角五分钱。
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结论
• 顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。 也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的 选择只是在某种意义上的局部最优选择。
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算法分析
• 设集合a包含已被选择的活动， 初始时为空。所有待选择 的活动按结束时间的非递减顺序排列：
f1f2fn
• 变量j指出最近加入a的活动序号。由于按结束时间非递减 顺序来考虑各项活动的，所以fj总是a中所有活动的最大结 束时间，即：
fj m kAa{xfk}
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A[1]=true;
首先将活动1加入集合a；
int j=1;
初始化j为1；
for(int i=2; i<=n; i++){ if(s[i]>=f[j]) { A[i]=true; j=i; } else A[i]=false; }
然后从活动2出发逐一检查：
☆ 若待选活动i与a中的所有活 动兼容，即活动i 的si不早于 最近加入a中的j活动的fj，则 活动i加入a集合，并取代活动 j的位置。
//且按结束时间的非递减排序：f1≤f2≤…≤fn排列。 A[1]=true; //用集合A存储所选择的活动
int j=1;
for(int i=2; i<=n; i++) {
//将与j相容的具有最早完成时间的相容活动加入集合A
if(s[i]>=f[j]) {A[i]=true; j=i; }
else A[i]=false; }
• 问题就是选择一个由互相兼容的活动组成的最大集合。
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活动安排问题的贪心算法
template<class Type>
void GreedySelector(int n, Type s[], Type f[], bool A[])
{ //各活动的起始时间和结束时间存储在数组s和f中
☆否则不选择该活动。
由于输入活动是以完成时间的非递减排列，所选择的下一个
活动总是可被合法调度的活动中具有最早结束时间的那个，
所以算法是一个“贪心的”选择，即使得使剩余的可安排时
间3段1.1极0.20大20 化，以便安排尽可算法能设多计与的分析相容活动。
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结论
• 算法GreedySelector的效率极高。当输入的活 动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n) 的时间就可安排n个活动，使最多的活动能相 容地使用公共资源。
• 从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以 尽可能快地求得更好的解。当达到某算法中的某一步 不能再继续前进时，算法停止。
• 实现该算法的过程该：算法存在的问题： 从问题的某一初始1. 解不出能发保；证求得的最后解是最佳的； while 能朝给定2总. 不目能标用前来进求一最步大d或o 最小解问题； 求出可行解3的. 只一能个求解满元足素某；些约束条件的可行解的 范围。 由所有解元素组合成问题的一个可行解。
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பைடு நூலகம்
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4.1 活动安排问题
• 活动安排问题：要求高效地安排一系列争用某一 公共资源的活动。
• 举例：
活动 序号 起始 时间 结束 时间
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3 0 5 3 5 6 8 8 2 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
• 当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。 虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但 对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问 题，最小生成树问题等。
• 在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解， 其最终结果却是最优解的很好近似。
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贪心法的基本思路
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问题定义
• 设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求 使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一 个活动能使用这一资源。（临界资源）
• 每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个 结束时间fi，且si<fi 。
• 如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资 源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j 是相容的。即，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与活动j相容，
• 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用 O(nlogn)的时间重排。
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举例
• 设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按 结束时间的非减序排列如下：
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
si
1 3 0 5 3 5 6 8 8 2 12
fi
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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0 311.10.220210 3 4 5 64 7 8 算9 法81设0计与11分析12 1131 14
图4-1 算法 GreedySelector
的计算过程
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时间
补充说明
• 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。 • 但对于活动安排问题，贪心算法