《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)

《因式分解》全章复习与巩固

【学习目标】

1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；

2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；

3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是

除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.

要点三、公式法

1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2

222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边

是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）

这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以

是单项式或多项式.

要点四、十字相乘法和分组分解法

十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b

=⎧⎨

+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点五、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.

因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．

（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、分解因式：

(1)222284a bc ac abc +-；

(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．

【答案与解析】

解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-．

(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-

【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．

2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．

【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．

【答案与解析】

证明：712255-＝()72125

5- ∴712255-能被120整除．

【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．

类型二、公式法分解因式

3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．

【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．

【答案与解析】

解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ；

原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦

【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．

举一反三：

【变式】下面是某同学对多项式()()2242

464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -= 原式＝()()264y y +++（第一步）

＝2816y y ++（第二步）

＝()24y +（第三步）

＝22(44)x x -+（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．

A 、提取公因式

B ．平方差公式

C 、两数和的完全平方公式

D ．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）

若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．

【答案】

解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；

（2）244x x -+还可以分解，分解不彻底；结果为()4

2x -. （3）设2

2x x y -=．

＝()21y +2， 4、因式分解：

（1）223

69xy x y y --；

（2）()()413p p p -++.

【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.

【答案与解析】