《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)

《因式分解》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是
除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2
222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边
是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）
这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以
是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b
=⎧⎨
+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、分解因式：
(1)222284a bc ac abc +-；
(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．
【答案与解析】
解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-．
(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．
2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．
【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．
【答案与解析】
证明：712255-＝()72125
5- ∴712255-能被120整除．
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．
类型二、公式法分解因式
3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．
【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．
【答案与解析】
解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ；
原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．
举一反三：
【变式】下面是某同学对多项式()()2242
464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -= 原式＝()()264y y +++（第一步）
＝2816y y ++（第二步）
＝()24y +（第三步）
＝22(44)x x -+（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A 、提取公因式
B ．平方差公式
C 、两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．
【答案】
解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；
（2）244x x -+还可以分解，分解不彻底；结果为()4
2x -. （3）设2
2x x y -=．
＝()21y +2， 4、因式分解：
（1）223
69xy x y y --；
（2）()()413p p p -++.
【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.
【答案与解析】
解：（1）22369xy x y y --
（2）()()413p p p -++
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． 举一反三：
【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()22
2121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．
【答案】 解：（1）∵()()22
2221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=， 又n 为非零的自然数，
∴n a 是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．
n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式：（1）()()222222x x ----
（2）()2224420x x
x x +--- （3）2244634a ab b a b -+-+-
【答案与解析】
解：（1）原式()()()()()()2222
212211x x x x x x =---+=+-+- （2）原式＝()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++
（3）原式＝()()()()2
23242421a b a b a b a b ----=---+
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
举一反三：
【变式】（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．
【答案】解：将（x-y ）看成一个整体，原式=（x ﹣y+10）（x ﹣y ﹣5）．
6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，
且3223
44x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．
【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x y x y =⎧⎨
+=⎩即可. 【答案与解析】
解：∵322344x x y xy y +--＝0
∴()()224x x y y x y +-+＝0
∵()()()22x y x y x y ++-＝0
∴2x y =，x y =-，2x y =-（不合题意，舍去）
又由题意可得150x y +=
解方程组2150
x y x y =⎧⎨+=⎩ 解之得，x ＝100，y ＝50
∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．
举一反三：
【变式】因式分解：22
1448x y xy --+，正确的分组是（ ）
A ．22(14)(84)x xy y -+-
B ．22(144)8x y xy --+
C ．22
(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+- 【答案】D ；
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22
448x y xy --+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．。