函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)之欧阳数创编

函数与导数

时间：2021.03.02 创作：欧阳数

1. 已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（Ⅰ）解：当时，

所以曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）解：，令，解得

因为，以下分两种情况讨论：

（1）若变化时，的变化情况如下表：

+ +

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。

（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

+ +

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨

论：

（1）当时，在（0，1）内单调递减，

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若

所以内存在零点。

若

所以内存在零点。

所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。

2.已知函数，．

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设，解关于x的方程

；

（Ⅲ）设，证明：．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为

，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，

∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，

，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，

．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以

．

则，故原不等式成立．

3. 设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．注：为自然对数的底数．

【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为

所以

由于，所以的增区间为，减区间为

（Ⅱ）证明：由题意得，

由（Ⅰ）知内单调递增，

要使恒成立，

只要

解得

4. 设，其中为正实数.

（Ⅰ）当时，求的极值点；

（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析

和解决问题的能力. 解：对求导得①

（I ）当

，若

综合①,可知

所以,是极小值点,是极大值点.

（II ）若

为R 上的单调函数，则

在R 上不变号，

结合①与条件a>0，知

在R 上恒成立，因此

由此并结合

，知

5. 已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f （x ）

=ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I ）求实数b 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间；

（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

+ 0 － 0 +

↗

极大值 ↘

极小值 ↗

【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I）由

（II）由（I）可得

从而

，故：

（1）当

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为。

（III）当a=1时，

由（II）可得，当x在区间内变化时，

的变化情况如下表：

0 +

单调递减极小值1 单调递增 2 又的值域为[1，2]。

据经可得，若，则对每一个，直线y=t

与曲线都有公共点。

并且对每一个，直线与曲线

都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t

与曲线都有公共点。

6. 设函数，，其中，

a、b为常数，已知曲线与在点（

）处有相同的切线l。

（I）求a、b的值，并写出切线l的方程；

（II）若方程有三个互不相同的实根、、，其中，且对任意的，

恒成立，求实数m的取值范围。

【解析】

．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分??分）

解：（Ⅰ）

由于曲线在点（2，0）处有相同的切线，故有

由此得