高级中学分段函数综合应用汇总
分段函数的应用总结
分段函数的应用总结分段函数是数学中常见的一种函数形式，它在不同的定义域区间上有不同的表达式。
在实际问题中，我们经常遇到需要用分段函数来描述的情况。
本文将总结几个常见的应用场景，以帮助读者理解和应用分段函数。
一、电费计算电费计算是一个常见的应用分段函数的例子。
在电费计算中，电费的计算方式通常与用电量有关。
比如，一个城市的电价标准规定如下：当用电量小于等于100度时，电费为每度0.5元；当用电量大于100度且小于等于200度时，电费为每度0.6元；当用电量大于200度时，电费为每度0.7元。
我们可以用以下分段函数来表示电费的计算方式：\[ f(x) = \begin{cases}0.5x, & \text{if } 0 \leq x \leq 100 \\0.6x, & \text{if } 100 < x \leq 200 \\0.7x, & \text{if } x > 200\end{cases}\]其中，x表示用电量，f(x)表示对应的电费。
通过这个分段函数，我们可以根据不同的用电量来计算相应的电费，帮助人们合理使用电力资源。
二、阶梯药价阶梯药价是医疗领域中常用的分段函数应用。
在一些国家或地区，医疗费用的计算方式与购买的药品数量有关。
通常情况下，每种药品购买的数量越多，单价就越低。
以某种药品为例，假设其价格规定如下：当购买数量小于等于10盒时，单盒价格为30元；当购买数量大于10盒且小于等于50盒时，单盒价格为25元；当购买数量大于50盒时，单盒价格为20元。
我们可以用以下分段函数来表示阶梯药价的计算方式：\[ f(x) = \begin{cases}30x, & \text{if } 0 \leq x \leq 10 \\25x, & \text{if } 10 < x \leq 50 \\20x, & \text{if } x > 50\end{cases}\]其中，x表示购买的盒数，f(x)表示对应的药品费用。
微专题20 分段函数问题(解析版)
微专题20 分段函数问题【题型归纳目录】 题型一：函数三要素的应用 题型二：函数性质与零点的应用 题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用 【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1．已知函数223,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )A ．[0，8]B ．[8，)+∞C ．(-∞，8]D ．[8-，8]【解析】解：f （1）4=，f ∴（a ）()8f a --，当0a =时，满足条件；0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，整理得：8a ， (0a ∴∈，8]0a <时，222[()3]8a a a a ----，整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．例2．已知函数22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]【解析】解：22,0(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩， ()f x ∴为偶函数，()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1），当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，11a ∴-，故选：D ．例3．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(-∞2]D ．(2)+∞【解析】解：()y f x =的图象如图所示，(f f （a ）)2，f ∴（a ）2-，由函数图象可知2a ．故选：C ．变式1．当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266【解析】解：当1x 时，2()0f x x =； 当1x >时，66()626266f x x x x x=+--=， 当且仅当6x x=，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩取得最小值为266， 对应的x 6． 故选：A ．变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )A ．{|21}x x-B ．{|12}x x +C ．{|12}x x <+D ．{|12}x x >【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)1]1x x x ++-++即21x -此时1x <-当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-解得1221x --此时121x--总之，不等式的解集为{|21}x x -故选：A ．变式3．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．【解析】解：根据题意，23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=， 则((1))f g f -=（2）431=-=-， 故答案为：1．变式4．若函数3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1[()]9f f = ．【解析】解：3,0()(3),0log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，f ∴（9）3log 92==，[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311[()](log )(2)99f f f f f ==-=（1）3log 10==．故答案为：2；1；0变式5．已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 【解析】解：由题意22&,1(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x-，故得021x-综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．变式6．设2,||1(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是 ．【解析】解：在坐标系中作出函数()21111x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩或的图象，观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数()g x ∴的值域是[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞． 题型二：函数性质与零点的应用例4．已知函数7(13)10,7(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是()A ．11(,)32B ．1(3，6]11C ．12[,)23D ．16(,]211【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数， 则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪-<⎨⎪-+=⎩，即0113611a a a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩，即16311a <，故选：B ．例5．已知函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是() A ．15(,)38B ．15(,]38C ．1(,1)3D ．16(,]311【解析】解：函数6(13)10,6(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则满足13001681a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⎩，解得1538a <，故选：B ．例6．函数21,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200101(1)a a a a e >⎧⎪>⎨⎪+-⎩； 12a ∴<；②若()f x 在R 上单调递减，则： 01a a <⎧⎨>⎩； a ∴∈∅；a ∴的取值范围为(1，2]．故选：B ．变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩，则()y f x x =-的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-． 画出函数()y f x =与y x =的图象如图：则()y f x x =-的零点有2个． 故选：B ．变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪=-<⎨⎪>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为 ． 【解析】解：作出()f x 的图象如图： 当9x >时，由()40f x x ==，得16x =， 若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<， 因为f （a ）f =（b ）f =（c ），所以由图象可知039a b <<<<，916c <<， 由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-， 即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =， 则9ab =，所以9abc c =， 因为916c <<， 所以819144c <<， 即81144abc <<，所以abc 的取值范围是(81,144)． 故答案为：(81,144)．变式9．已知函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f=（c ），则abc 的取值范围为 ．【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩的图象如图，不妨设a b c <<，则3423c <<+由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，abc ∴的取值范围为(3,423)+．故答案为：(3,423)+．变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式． 【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-， 又()f x 为奇函数，22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，∴当0x >时，2()f x x x =-+，又(0)0f =符合上式，综上得，22,0(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩．变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，若()h t h >（2），求实数t 的取值范围．【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2,04()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩，当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，当04x <时，2()4x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2），可得(||)h t h >（2）， 即为||2t <，且0t ≠， 解得22t -<<，且0t ≠，则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 题型三：分段函数的复合例7．设函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，则正实数m 的最小值是( ) A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12m， ∴正实数m 的最小值是12． 故选：A ．例8．已知函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实数(k ∈ ) A ．1(2，1)B ．1(4，1)C ．(0,1)D ．(1,1)-【解析】解：对于函数12,1()2,1x xx f x x x --⎧⎪=⎨⎪<⎩，当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<； 当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<； 故实数k 一定在区间(0,1)之间， 若2()()g x k g x -=；则可化为22()21g x x x k=-=+； 显然有两个不同的根，若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+； 故△2444log 0k =++>； 即14k >； 综上所述，实数1(,1)4k ∈；故选：B ．例9．已知函数1|(1)|,1()21,1x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设()f x t =，可得 3()2()04f t t -+=，分别作出()y f x =和322y x =+的图象， 可得它们有两个交点，即方程3()2()04f t t -+=有两根，一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈， 由()0f x =，可得2x =； 由2()f x t =，可得x 有3个解，综上可得方程3(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为4．故选：B ．变式12．（多选题）已知函数21,0()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正确的是( )A ．在(1,0)-内一定有零点B ．在(0,1)内一定有零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点； 综上，选项BCD 正确． 故选：BCD ．变式13．（多选题）设函数||,0()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0B ．13C ．12D ．1【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根， 当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+， 由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-， 作出()f x 的图象如图： 要使()f x b =有三个根， 则01b <， 故选：BCD ．变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是()A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解 【解析】解：因为该函数为奇函数， 所以，222,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，该函数图象如下：对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确； 对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ；3()2f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或317m =-，故D 错误； 对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误． 故选：AC ．变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是( )A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a ∈D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若2x <-，则2x ->，则2()()23f x f x x -==---，则2()23f x x =+，2x <-． 若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-， 即2()22f x x x =---，20x -<， 当0x =，则(0)0f =． 作出函数()f x 的图象如图：对于A ，联立222y kxy x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确； 对于C ，当52x =时，52()152232f ==⨯-，则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5]2，故C 正确；对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3()2f x =的根与()f x m =根关于原点对称， 则32m =-，但0x >时，方程3()2f x =有3个根， 设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<， 则有23232x =-，得136x =，即3136x =， 122x x +=，则三个根之和为1325266+=， 若关于x 的两个方程3()2f x =与()f x m =所有根的和为0， 则()f x m =的根为256-，此时25263()2561682()36m f =-==-=-⨯-+，故D 错误， 故选：AC ．变式16．已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩其中0k ．①若2k =，则()f x 的最小值为 ；②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ． 【解析】解：①若2k =，则22,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，作函数()f x 的图象如下图所示，显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <， 又0k ，则实数k 的取值范围为01k <． 故答案为：1-；[0，1)． 题型四：特殊分段函数的表示与应用例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()}()a ab b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )A 35- B 35+ C 15+D 15-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 15152x-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --==， 当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535()(min f x f --=， 当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535()(min f x f ++== 综上所述：35()min f x -= 故选：A ．例11．已知符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的是( )A ．(())()sgn g x sgn x =B ．(())()sgn gx sgn x =-C ．(())(())sgn g x sgn f x =D ．(())(())sgn g x sgn f x =-【解析】解：符号函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，1()()3x f x =，11()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，11(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，当0x >时，kx x >，11()()033kx x -<，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；当0x =时，0kx x ==，11()()033kx x -=，(())0sgn g x =，()0sgn x =；当0x <时，kx x <，11()()033kx x ->，11(())[()()]133kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．(())()sgn g x sgn x ∴=-．故选：B ．例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A ∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是()A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A Bf x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B ABf x f x f x =，对于任意的x U ∈成立D ．若UA B =，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈， 因为1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x Bf x x B∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 中的元素， 但UB 中不可能有A 中的元素，所以()()A B f x f x ，即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立， 故选项A 正确； 对于B ，因为1,()0,()ABU x A Bf x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩， 当某个元素x 在A 中且在B 中， 由于它在AB 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠+，故选项B 错误； 对于C ，1,1,0,()0,()()ABU U U x A B x A Bf x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，1,1,1,()()0,0,0,()()A B U U U U x A x B x A Bf x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨∈∈∈⎪⎩⎩⎩，故选项C 正确；对于D ，因为1,()0,U U A x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合1,1,()0,0,A U x Ax A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 所以()1()B A f x f x =-， 即()()1A B f x f x +=， 故选项D 正确． 故选：B ．变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，这里UA 表示集合A 在全集U 中的补集，已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A Bf x f x f x =【解析】解：由题意，可得对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x Bf x x C B ∈⎧=⎨∈⎩，而UA 中可能有B 的元素，但UB 中不可能有A 的元素()()A B f x f x ∴，即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确； 对于B ，因为1,0,U U C A x C Af x A ∈⎧=⎨∈⎩，结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确； 对于C ，1,1,()0,()0,()()A BU U U x A B x A Bf x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩1,1,()()0,0,A B U U x Ax Bf x f x x C Ax C B ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩， 故C 正确； 对于D ，1,()0,()ABU x A B f x x C AB ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1ABf x =，而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A Bf x f x f x ≠由此可得D 不正确． 故选：D ．变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a bmax a b b a b ⎧=⎨<⎩，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是 ．【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2x x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，故当12x =时，()f x 有最小值13()22f =， 故答案为：32． 变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是32，则实数m 的值是 ．【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩， 由()f x 的解析式可得，11()()22m m f x f x --+=-， 即有()f x 的对称轴为12m x -=， 则113()||222m m f -+==， 解得2m =或4-， 故答案为：2或4-．变式20．设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【解析】解：画出函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩和函数1()x g x k+=的图象， 若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点， 结合图象可得：1PA PC k k k<， 112(1)3PA k ==--，111(1)2PC k ==--，故11132k <，求得23k <， 故答案为：23k <．【过关测试】 一、单选题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,14,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t的最大值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】B【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以0124t t t >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为53， 故选：B.2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1ln 21,1xx f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的不等式()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()()2,11,4--⋃-B ．()()1,22,4-C ．[)1,2-D ．[)0,4【答案】D【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10xf x f =-<=；当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=； 所以()f x 在R 上单调递增，又由()()21f ax f ax <+，则有21ax ax <+，由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩， 解不等式组，得04a <<；综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()0,3B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()()23++2,<1=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得233a ≤<， 即a 的取值范围是2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：C.4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫=-++-+⎨⎬⎩⎭，则()f x 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】在同一直角坐标系中，画出函数2123313,,4322y x y x y x x =-+=+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =， 故选：D5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3【答案】A【解析】当0x >时，由基本不等式可得()114246f x x a x a a x x=+++≥⋅+=+， 当且仅当=1x 时，等号成立；当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，由题意可得()()2min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（ ）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭【答案】C【解析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）A ．2x =-B ．3x =-C ．=2xD ．=3x【答案】A【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，由2(1)4x f x -=-知，2-1>01=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩， 解得2x =-. 故选：A ．8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()24()f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．15[-- B ．15-+ C ．1515[---+ D ．15[-+ 【答案】B【解析】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，因为2yx 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，所以()f x x x =在R 上单调递增，因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()24()f x t f x +≤，所以()2(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()222110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，所以()()22201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得150t -+≤≤， 所以实数t 的取值范围是15-+， 故选：B9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （ ）A ．最大值为1B ．无最大值C ．最小值为1-D ．无最小值【答案】AD【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪->⎩，∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，由图象可知()f x 无最小值， 故选：AD.11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ）A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求， 当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<， 所以不等式①的解为13x ≤≤；由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >， 所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或，令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12， 令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74.故选：AD.12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（ ）A ．()338f =B ．()3f x 的值域为[]3,12C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-D ．()31f x +的图像关于原点对称【答案】ABC【解析】由22113x x -++≥， 解得：24x -≤≤，故23211,24()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩或，A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤； 当42x x -或><时，3()3f x =， 故值域为[3,12]，本选项符合题意；C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =， 故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；D ．2312,33(1)3,33x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．故选：ABC ．13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）A ．()1f x x x -=为“不动点”函数B ．()253f x x x -=+的不动点为2±C ．()221,1=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩为“不动点”函数D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()()22f f x x x f x x x --+=+，则()2+1f x x x -= 【答案】ABC【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭（有一个满足足矣），所以()1f x x x-=为“不动点”函数，故A 说法正确；对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；对于C ，当1x ≤时，()221f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12x =-或=1x ；当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）； 综上：1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()22++f t t t t t t --=，整理得()2222f t t t t --+=+，所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】)1,2⎡⎣【解析】由已知，函数(2),1(),1aa x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数， 则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，所以20021a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=__________. 【答案】1-【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--， 所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-． 故答案为：1-．16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()22f x x x =-，()1g x x =+，令()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.513- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥313x -≤ 则()()(){}23133132,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩，当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭， 313313x -+<<513- 513- 513- 四、解答题18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩． 11115222f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）因为()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩且()2f a =，所以3+5=20a a ≤⎧⎨⎩，解得1a =-；或+5=20<<1a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）； 或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩，解得=3a .综上：1a =-或=3a ．19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；（2）已知函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩①求()2f ，()()1f f -②若()3f a =，求a 的值【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .所以()27f x x =+（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=2a （舍去）． 故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =+++，()22122g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；(2)若()M x 的最小值小于52，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，当()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+< ⎪⎝⎭， 所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩当1a =时，()2213,2,211, 2.2x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1： 由图可知()M x 的最小值为()512f -=．（2）()222212,2,212,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．①如图2，当21a -≤-，即12a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112a ≤<．②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．③如图4，当21a ->，即12a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112a -<<-． 综上，a 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41xx f x =+．(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x xx x f x f x --=--=-=-++． 由题意，知(0)0f =，又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，∴()()()2,1,0412,0,1410,1,0,1xx xx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪=-⎪⎪⎩，（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21x kx k x kx k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。
微专题18分段函数10种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。
处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。
盘点高考中的分段函数问题
盘 点 高 考 中 的 分 段 函 数 问 题
广 西 武呜县 罗波 高级 中学 （ ３ １ ２ 韦金 香 ５ ０ １）
（ ． 、
ｃ＾
２
ｒ
） 一一 ＋５ （ ， ｘ 上是减 函数 ， 在 １ ＋Ｃ ］ ３ 无最 大值． 分段 函数是 指在 给定 定 义域 的不 同部 分有 不 同对 气ｋ － ｚ。 —域 厂 ３ （［ ＝ ｊ
点评 ： 解题 关键是先 求 出 厂 ２ ， （ ） 然后将 ｆ ２ 看成一 （）
个数 ， 求 其 函数 值 ． 再
一
即当 ｚ 一３ － ２ 时 ， （ 一３ ∈（ ， ） ＿ ） 一 ． 厂
点评 ： 已知 函 数 在 某 一 区 间 上 的 函数 解 析 式 ， 另 求 区 间 上 的 函 数 解 析 式 ， 将 所要 求 的 区 间上 的 变量 转 常
Ｃ （ ， ） ￣ １ ＋Ｃ ） ． １ ２ Ｕ（ ／ ０， ｘ ３
Ｄ． １， （ ２）
－ ） ｋ ｋ 厂 － ｘ，ＥＲ， （ 试讨论 函数 Ｆ（ ） 的单调性．
解：
一厂１ 一尼 — （） ｚ ｚ
ｉ ＜； ｘ一 ’
ｌ ～ 一ｋ （￣１ ， ｘｘ ） …“ … ．
区间 考 查 ： （ ｘ 一－ ｚ 或 （ ｘ 一 －ｆ ｘ 是 否 成 立． －－ ） 厂 ） 厂 （ － ） （）
６ ７
解 ：（ ） ｚ ， ｚ 一２ ＋３在 （ 。 ０ 上 是单 调增 函数 ， 一。 ， ］ 最
大值是 ３ ； － ） 厂 一 ＋３在（ ，］ （ Ｏ １ 上也是增 函数 ， 最大值是 ４ ；
ｒ ＋ ２（ ． ｚ ＜ 一 １ ）；
分段函数应用题
分段函数应用题分段函数是指一个函数被分成几个不同的部分，每个部分都有不同的定义域和值域。
在实际应用中，我们经常遇到需要使用分段函数来描述问题的情况。
本文将通过几个实际应用的例子，来说明分段函数的应用。
例一：电费计算一家电力公司的电费计算方式如下：- 当用电量小于等于100度时，每度电费用为0.5元。
- 当用电量大于100度小于等于200度时，前100度每度电费用为0.5元，超过100度的部分每度电费用为0.8元。
- 当用电量大于200度时，前100度每度电费用为0.5元，100到200度的部分每度电费用为0.8元，超过200度的部分每度电费用为1元。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算电费。
设用电量为x度，则电费y（单位：元）可以表示为：```y = 0.5x 0 <= x <= 100y = 0.5 * 100 + 0.8 * (x-100) 100 < x <= 200y = 0.5 * 100 + 0.8 * 100 + 1 * (x-200) x > 200```例二：淘宝购物满减淘宝商城经常会举行满减活动，比如购物满200元减50元。
这个问题可以用分段函数来解决。
设购物金额为x元，满减后支付金额y（单位：元）可以表示为：```y = x 0 <= x < 200y = x - 50 x >= 200```例三：高考成绩转换某城市的高考成绩转换方式如下：- 当总分小于90分时，转换为A等级。
- 当总分大于等于90分且小于95分时，转换为B等级。
- 当总分大于等于95分且小于100分时，转换为C等级。
- 当总分等于100分时，转换为D等级。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算成绩等级。
设总分为x分，成绩等级为y，可以表示为：```y = A x < 90y = B 90 <= x < 95y = C 95 <= x < 100y = D x = 100```结论：通过以上几个实际应用的例子，我们可以看到分段函数在解决问题中的广泛应用。
考点04 分段函数(原卷版)
考点4 分段函数以及应用一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,x-<0 ,分别代入各段函数式计算)f=)(xf-(x-,当x=0有(xf与)(xf-的值，若有)定义时0f-，则)(x(xf是偶函数.f，则))0(=(xf是奇函数；若有f(x)=)（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 81.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165B. 2C.6D.2172. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B. 41 B. 45C. 41或45D. 2【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ．2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞）【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2]3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【变式2：改编条件】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=f （1﹣x ）﹣kx+k 恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣2]∪{} B ．（﹣2+，0]∪{} C ．（﹣2]∪{} D ．（﹣2+，0]∪{}【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 .4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0） B ．[0，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．[1，+∞）【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a=-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．201910103．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N =5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈ D ．方程3f x x 恰有5个实数解10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间11．（2021·山东章丘模拟）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．15D ．1612．（2021·重庆一中高三模拟）已知()3,1011,02x ax x f x a x -⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-≥⎪⎩是定义在()1,-+∞上的函数，则（ ）A ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为()3,+∞C ．若()f x 为减函数，则a 的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 为减函数，则a 的取值范围为()0,1三、填空题13．（2021·福建宁德）已知函数()2121,1()log ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =-，则0x =___________.14．（2021·广东六校联考）若a ＞0且a ≠1，且函数,1()2,1x a x f x ax a x ⎧≥=⎨+-<⎩在R 上单调递増，那么a 的取值范围是________．15．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知函数1ln ,0()2,0x x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．16．（2021·百师联盟联考）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()12x x a x f =+-，则()()3f f =______．17．（2021·广东5月卫冕联考）若函数()23222,126,1x m x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩有最小值，则m 的一个正整数取值可以为___________.18．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．。
(新)高三分段函数的性质及应用详细讲解及训练
专题七 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩ 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
专题68 分段函数在生活实际中的应用(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲【例1】．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）写出每件产品A的销售利润z与上市时间t的关系式；（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？变式训练【变1-1】．某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为件；（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？【变1-2】．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？【例2】．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间表t （分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤t≤20时和20≤t≤40时，图象是线段．（1）当0≤t≤10时，求注意力指标数y与时间t的函数关系式；（2）一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明．变式训练【变2-1】．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．【变2-2】．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为p＝，且其日销售量y （kg ）与时间t （天）的关系如表：时间t（天）136102040…日销售量y（kg ）1181141081008040…（1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n 元利润（n ＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．1．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水（）A ．2吨B ．2.5吨C ．3吨D ．3.5吨2．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内（包括11立方米）每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为元；如果某户的燃气使用量是x立方米（x超过11），那么燃气费用y与x的函数关系式是．3．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价3.5元收费．小明家2月份用水20吨，交水费49元；3月份用水18吨，交水费42元．（1）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（2）小明家5月份用水30吨，则他家应交水费多少元？4．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下：×360+2.78×（400﹣360）＝1022（元）（1）若小明家2019年使用天然气300立方米，则需缴纳天然气费为元（直接写出结果）；（2）若小红家2019年使用天然气560立方米，则小红家2019年需缴纳的天然气费为多少元？5．在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米/分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．6．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（Ⅰ）根据题意，填写下表：购买种子的数量/kg 1.52 3.54…付款金额/元7.5101618…（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．7．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电60度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125元时，则该用户该月用了多少度电？8．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题．（1）甲，乙两地的距离为km；慢车的速度为km/h．（2）求CD段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围）（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km，请通过计算求出x的值．10．某水产市场经营一种海产品，其日销售量y（kg）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示．（1）分别求出当20≤x≤30，30＜x≤35时，y与x之间的函数关系式．（2）当单价为32元/千克时，日销售量是多少？（3）当日销售量为80kg时，单价是多少？11．“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE ﹣EF所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．12．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x（m3）之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费108元，其相应用水量为多少立方米？13．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？14．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小王4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小王5月份上网费用为98元，则他在该月份的上网时间是多少．15．为提高校园绿化率，美化校园，某示范高中准备购买一批樟树和樱花树，一共100棵，其中樟树不少于10棵．园林部门称樟树成活率为70%，樱花树的成活率为90%，学校要求这批树的成活率不低于80%．樟树的单价y1和购买数量x的函数关系以及樱花树的单价y2和购买数量x的函数关系如图所示．（1）写出y1关于x的函数关系式；（2）请你帮学校作个预算，购买这批树最少需要多少钱？16．A，B两地相距300km，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回．如图是两车离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若两车行驶5h相遇，求乙车的速度．17．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．水果种植专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按2元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式．（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共1200千克，且甲种水果不少于400千克，但又不超过乙种水果的两倍．问经销商要确保完成收购计划，至少准备多少资金？18．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y微克随时间x小时主变化如图所示，当成人按规定剂是服药后，（1）分别求出x＜2和x＞2时y与x的函数关系式，（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？19．甲骑电瓶车，乙骑自行车从西山漾公园丝绸小镇门口出发沿同一路线匀速前往太湖龙之梦乐园，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程s甲、s乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：（1）甲的速度km/h，乙的速度是km/h；（2）对比图①、图②可知：a＝，b＝；（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？20．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度，乙出发时甲离小区的距离；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，求出当25≤x≤30时s关于x的函数关系式．。
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
高中常见分段函数题型归纳.doc
匕5(osxia(小,求 f{f[f(a)]} (avO)的值.分析：求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0, f(a)=2a,又0<2a<l,怎又声〉所以,分段函数常见题型及解法分段函数是指口变量在两个或两个以上不同的范围內，有不同的对应法则的函数，它是一个函数， 非儿个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材小只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明, 因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法.1.求分段函数的定义域和值域= xw (o,2);例1・求函数xw[2,+oo);的定义域、值域. 解析：作图，利用“数形结合”易知门兀)的定义域为[一1，+°°),值 域为(-1, 2JU {3}.例2.求函数X®的值或解析：因为当沦0时，x 2+l>l ；当x<0时,-x 2<0.所以，原函数的值域M[1,4-OO )U(-oo,0).2.求分段函数的函数值例1.已知函数(I 兀 1> 1)/[/({)]解析：因为 /(i )=li-i|-2 = -14I 所以皿处心例2.(2知函数注：求分段函数值的关键是根据口变量的取值代入相应的函数段.g(x) = 练1 •设e\x<0. Inx, x > 0.练2.设2广Sv 2), log3(x2-i)3.求分段函数的最值4x + 3 (x<0)/(%) = * x-t-3(0<x< 1)例1.求函数卜小(X>1)的最大值.解析：当兀<° 吋，人ax (X )= /(°)= 3,当° VxWl 时，ZnaxS) = '(」)= ",当 X > 1 吋,~x + 5<-1 + 5 = 4综 |-有 f nax (") — °例2.设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x ・a|+l,xWR,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.1+<!*■ —解：当 x<a 吋，函数 f(x)=x 2-x+a+l 才4,a < —所以若 S 则函数f(x)在(ga ］上单调递减，从而f(x)在(・oo,a ］上的最小值为f(a)=a 2+l.<i > —/(^ ■三*a若 2,贝ij 函数f (x )^(-oo,a ］上的最小值为24<ji-lJ(-!)---« b _若 2 ,则函数f (x )在［a,+s)上的最小值为 丫 4 ，且 2*若 2 ,则函数f(x)^E ［a,+co)±的最小值为f(a)=a2+1.*丄综上，当 3时，函数f(x)的最小值是'；当2 2时，函数f(x)的最小值是a'+l ；当 2时，函数f(x)的最小值是 4.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比鮫，从I 何达到求解的冃的.4.求分段函数的解析式当x>a 时， 函数例1.在同一平面直角坐标系中，函数y = 和y = 的图彖关于直线>, = x对称，现将-v =巩兀)的图彖沿兀轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图彖是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数/(X )的表达式为()解析：当"[-2,0]时， 尸和+ 1,将其图象沿兀轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得解析式为)=+(兀-2) + 1-1 = *兀-1,所以 f(x) = 2x + 2 (XG [-1,0])?当"[0,1]时， y = 2x + l,将其图彖沿x 轴向右平移2个单位，再沿)'轴向下平移1个单位，得解析式y = 2(x-2) +1 -1 = 2x-4所以 /(x) = y% + 2 (尢c[0,2]),综上可得故选A.例2•某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2刀1 H 起的300天内，西红柿售价与上市时 间的关系用图1的一•条折线表示；西红柿的种植成木与上市时间的关系用图2的抛物线段表示： ⑴写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系 式Q=g(t); (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解析：⑴由图I 可得市场售价与时间的关系为300 r (0£/£200))B. C.f(x) =fM =2x + 2 于+ 2 2x-2 7-2[2x-2D. f(x) =2x-6 f-3(-l<x<0)(0 < x < 2)(-l<x<0) (0<x<2) (l<x<2) (2<x<4)(l<x< 2) (2 < x < 4)-• 333 、・ 、 、--- JI/' ■ / i:: ・200 300°图1V23工 153 1 、■、 』1 1 11- •十： 1 11 1 • • 1 ill 0】53 :刃 300 t图22«-300 C200<«<?iJO) 山图2可得种植成本与吋间的函数关系为(0<t<300)o(II)设t 吋间的纯收益为h(t),由题意得丄尸丄“直(pit^2Da ).200 2 2-1^5(200 <Zi300X 2002 2再求h(t)的最大值即可。
分段函数综合应用题答案
1解：（1）24分钟 （1分）（2）设水流速度为千米/分，冲锋舟速度为千米/分，根据题意得解得 答：水流速度是千米/分．（3）如图，因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设线段所在直线的函数解析式为把代入，得 线段所在直线的函数解析式为 由求出这一点的坐标 答：冲锋舟在距离地千米处与救生艇第二次相遇．2. 甲: 从100米高度出发, 均速前进, 20分钟登高300-100=200米,速度是200/20=10米/分钟, 但为了和乙的时间相关, x 要扣除2分钟,高度就是100+2*10=120米 y=10x+120 (0≤x≤18) 乙:从2分钟登高30米( 因为b=15X2=30), 从2分钟到t 分钟登高到300米, 所以 y=30+[270/(t-2)]x (0≤x≤18, 2<t≤20)（1）甲登山的速度是每分钟10米，乙在A 地提速时距地面的高度b 为30米．（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式． 甲: y=10x+120 (0≤x≤18) 乙: y=30+30x (0≤x≤9)（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A 地的高度为多少米？ 就是求当x 为何值时, 10x+120=30+30x 可解得x=4.5分, 登山时间等于x+2=6.5分,即6分30秒.此时乙的高度是 y=30+30*4.5=165米 (甲的高度是y=10*6.5+100=165, 或y=10*4.5+120=165) 距A 地的高度是165-30=135米3解：（1）150(150)y m x n =++-％ ···················· 3分（2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：150(300150)280150(500150)320m n m n ++-=⎧⎨++-=⎩％％ ······················ 5分 解得：10020m n =⎧⎨=⎩ ····························· 6分150100(150)20y x ∴=++-％12205x =+．1220(15010000)5y x x ∴=+<≤． ···················· 8分 （3）个人实际承担的费用最多只需2220元． ················ 10分4. 解：（1）•锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x≤2时，•设函数解析式为y=k1x+b1，把x=0，y=96和x=2，y=80代入得：∴y=-8x+96（0≤x≤2），、当x>2时，设函数解析式为y=k2x+b2，把x=2，y=80和x=4，y=72代入得：∴y=-4x+88（x>2）．•∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5．答：前15•位同学接完水需5.5分钟．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．② 若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水，挡0<t≤2时，则8（2-t ）+4[3-（2-t ）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t ）+[3-（2-t ）]=3（分），符合．•当t>2时，则8×2÷4=4（W 发），即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符．由图可知，函数图象过点（2，30230b 25 250b 解得：2060501012z z （11分）分）(1) 由图3可得，当0≤t ≤30时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是正比例函数，所以设市场的日销售量：y=kt ，∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60=30k ．∴ k =2．即 y =2t ，当30≤t ≤40时，市场日销售量y 与上市时间t 的关系是一次函数关系，所以设市场的日销售量：y=k 1t+b ，因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 116030040k b k b =+⎧⎨=+⎩ ， 解得 k 1=－6，b =240．∴ y =－6t +240．综上可知，当0≤t ≤30时，市场的日销售量：y =2t ，当30≤t ≤40时，市场的日销售量：y=-6t+240。
分段函数的常见题型及解法
分段函数的常见题型及解法发布时间：2021-01-18T08:18:43.572Z 来源：《教育学》2021年1月总第236期作者：陈华[导读] 对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。
分段函数在高考题中时有出现，本文结合了近几年高考的情况，整理、归纳了它的常见题型及相应的解题策略。
浙江省宁波市奉化区江口中学315500摘要：对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。
分段函数在高考题中时有出现，本文结合了近几年高考的情况，整理、归纳了它的常见题型及相应的解题策略。
关键词：分段函数函数值自变量含参数函数是我们高中数学的一个重点内容，也是学生学习中的一个难点。
分段函数作为一类特殊的函数，教材中以例题的形式出现，没有对其进行深入系统的分析，但在高考中却是一个常见的考点。
由于其对应法则比较复杂，学生在解决相关的问题时往往会受阻，本文就近几年高考中出现的常见题型及解法整理、归纳如下：题型一：求解函数值的问题1.设函数，则f(f(3))=( )A.1/5B.3C.2/3D.13/9解：所以选D2.设 ,则f(g(π))的值为( )A.1B.0C.-1D.π解：小结：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值。
题型二：求解自变量的问题3.已知函数，若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.34.设函数，若f(f(a))=2，则a= 。
解法1：若a≤0，f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0，无解；若a>0，f(a)=-a2，f(-a2)=2，解a= ，故a= 。
解法2：x2+2x+2=2(x≤0)或-x2=2(x>0)，解得x=0或x=-2，所以f(a)=0或f(a)=-2，a2+2a+2=0(a≤0)或a2+2a+2=-2(a≤0)或-a2=0(a>0)或-a2=-2，解a= ，故a= 。
分段函数知识点及常见题型总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版分段函数知识点及常见题型总结资料编号:20190726 一、分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集; （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.二、几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=（[]x表示不大于x的最大整数）.其图象如图（1）所示.图（1）取整函数的图象图（2）绝对值函数的图象2.绝对值函数 含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222x x x x x y ,其图象如图（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决. 3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2x x x x x x x x f 为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图（4）所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图（3）图（4）符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 三.分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【 】 （A ）21-（B ）2 （C ）4 （D ）11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【 】（A ）0 （B ）2- （C ）1- （D ）1 2.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【 】（A ）2- （B ）2或25-（C ）2或2- （D ）2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于_________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x ∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或.习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【 】（A ）][1,0 （B ）][2,0 （C ）](1,∞- （D ）](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是____________.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_________.例4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11图（5）∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意. 综上,a 的值为43-. 习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________.习题8. 设函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【 】（A ）x - （B ）2x - （C ）x （D ）2x习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【 】（A ）1± （B ）1- （C ）2-或1- （D ）1±或2- 4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 . 5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域（图象法）. 例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域.解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ;当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y图（6）其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-; 当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【 】（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）无最大值 解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或 函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图（6）所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【 】（A ）{}5,4,2 （B ）()5,2 （C ）()4,2 （D ）()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【 】（A ）R （B ）)[∞+,0 （C ）[]3,0 （D ）[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x x x x f .（1）用分段函数的形式表示该函数; （2）画出该函数的图象; （3）写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象;（2）求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; （3）当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图（7）。
函数的综合应用分段函数
30k+b=60 ∴
40k+b=90
k=3 解得 b= -30
∴y=3x-30 (x≥30)
（3）由函数图像 将 y=75 代入 y=3x-30 解得 x=35
所以5月份小李上网35小时。
练 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨， 计划内用水每吨水费0.5元，超出计划部分每吨按0.8元收费。
2
（2）求y与x之间的函数关系式
当x 260时，
y 1 260 10 A2 B 140
（3）月用电量为260度 时，
y
3
151 2
x(0 x 100)
x 10( x 100)
应交电费多少元？
“五一小长假”的某一天，小明全家上午 8时自驾小汽车从 家里出发，到距离 180千米的某旅游景点游玩。该小汽车离
小明全家当天17:00到家。
三．本题答案不唯一，只要合理即可，但需注意合理性， 主要体现在：
1. 9:30前必须加一次油； ① 若8:30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时 间必须第二次加油；
2. 全程可多次加油，但加油总量至少为25升。
3、试一试：近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电矛 盾越来越突出。为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新
y=7000 代入 y=300x-5000 得 x=40.
答：种植时间为 40 天时，总用水量达到 7000 米3。
练习1.某市推出电脑上网包月制，每月收费用y(元） 与上网时间x（小时）的函数关系，如图，其中BA
是线段且BA∥x轴，AC是射线。
(1)若小李 4 月份上网 20 小时，他应 付________元上网费用；
高中数学数学干货｜经典分段函数专题
高中数学数学干货｜经典分段函数专题在高中数学中，分段函数是一个非常重要且常见的概念。
它由多个线性函数组成，每个函数在不同的区间上定义。
在本文中，我们将深入探讨分段函数的相关知识，并介绍一些经典的分段函数题目和解法。
1. 什么是分段函数？分段函数是由若干段不同的线性函数组成的函数。
它通常采用以下的形式表示：\[f(x) = \begin{cases}f_1(x), & x \in D_1\\f_2(x), & x \in D_2\\\cdots\\f_n(x), & x \in D_n\end{cases}\]其中，$f_i(x)$表示第$i$段线性函数，$D_i$表示第$i$段函数的定义域。
2. 分段函数的分类根据不同的特性和形式，分段函数可以分为以下几种类型：2.1 分段常值函数分段常值函数是由多个常值函数组成的函数。
在不同的区间内，函数的取值是不同的常数。
例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}1, & x < 0\\ 2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的取值为1；在$x \geq 0$的区间内，函数的取值为2。
2.2 分段线性函数分段线性函数是由多个线性函数组成的函数。
在不同的区间内，函数的斜率和截距可能是不同的。
例如，考虑以下分段函数：\[f(x) = \begin{cases}2x, & x < 0\\ x^2, & x \geq 0\end{cases}\]在$x < 0$的区间内，函数的斜率为2；在$x \geq 0$的区间内，函数的斜率为$x$。
3. 经典分段函数题目与解法接下来，我们将介绍一些经典的分段函数题目，并给出相应的解法。
3.1 题目一已知函数$f(x)$满足以下条件：\[f(x) = \begin{cases}x+1, & x < 1\\ 2x, & x \geq 1\end{cases}\]求解方程$f(x) = 3$的解。
2021-2022年高考数学专题-分段函数的性质、图象以及应用
在一个题目之中，考查多个知识点．因而分段函数已成为高考命题的一个热点．纵观近几年高考对于分段函数
的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较
强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握
比较模糊，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能
7 ，
故选 A．
例
3．已知函数
f
(x)
2x
=
x
2
1, x 1 ax, x 1
，若
f
(
f
(0))
=4 a
，则实数
a
=
（）
1/ 14
2022年高考数学提分专题
1
A．
2
4
B．
5
C．2
D．9
【答案】C
【解析】∵ f 0 20 1 2 ，∴ f f 0 f 2 22 2a 4 2a ．于是，由 f f 0 4a 得
例
1．（2021·四川武胜烈面中学校高三月考）已知函数
f
(x)
2x1 2, x 1 log2 (x 1), x
，若
1
f
(a)
3 ，则
f
(a
7)
（）
A． 7 3
【答案】B
B． 3 2
3
C．
5
4
D．
5
2/ 14
2022年高考数学提分专题
【解析】由于 2x1 2 2 ，而 f a 3，故 f a log2 a 1 3 ， a 1 23 8 ，所以 a 7 ．故
以该分段函数的定义域为[－1，2]，值域为[－1，1)．
高中分段函数综合应用汇总
高中数学单元测试-20150428满分:班级：_________姓名：_________考号：_________一、单选题（共19小题）1.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]2.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.已知函数，其中，则的值为（）A．6B．7C．8D．95.已知函数，则（）A．B．C．D．6.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图像与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．（2，4]（5，+）B．（1,2] （4,5]C．（一，1）（4,5]D．[1，2]7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.函数的图像大致是（）A．B．C．D．9.对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)10.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.对于实数和，定义运算“*”：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．13.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．14.已知函数=，若||≥，则的取值范围是（）A．B．D．[-2，0]15.函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（）A．B．C．D．若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一16.对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)17.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．18.已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是（）A．B．C．D．19.已知函数（为常数），则函数的图象恒过点（）A．B．C．D．二、填空题（共13小题）20.已知函数，则函数的零点个数为___________21.函数的值域为．22.设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是_________23.对实数定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是______________.24.设若，则的取值范围为_____________.25.函数的值域为_________.26.已知函数，则满足不等式的的取值范围是.27.已知f(x)是定义域为R的偶函数, 当x≥0时, f(x)=x2-4x. 那么, 不等式f(x+2)<5的解集是.28.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.29.已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式的解集为_____．30.稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）。
SXA268高考数学必修_分段函数常见题型综述
分段函数常见题型综述在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称之为分段函数.对于分段函数定义应把握住两点：其一，分段函数是一个函数，而不是几个函数，它由各段上的解析式(对应法则)用符号“{”合并成一个整体；其二，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.一、分段函数图象问题分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是据定义域的不同部分分别由表达式作出其图象.作图时一是要注意每段自变量的取值范围；二是要注意不连续函数图象每段端点的虚实.例1已知函数f(x)=⎩⎨⎧ 2x (x ≥0)x 2 (x ＜0),作出这个函数的图象. 解析：由于分段函数有两段，所以这个函数图象应由两条曲线组成，一条是一段抛物线，另一条是射线，如右图所示.评注：作每段图象时，可先不考虑自变量的范围，作出图象的全貌，再根据每段表达式的的自变量的范围进行取舍，留下满足条件的部分图象.二、分段函数的求值问题求分段函数的值分为两类：一类是求函数值；一类是已知函数值求自变量x 的值.解此类题主要是运用函数的性质，如何将自变量或函数值“对号入座”.例2设定义在自然数集上的函数f 满足：f(n)=⎩⎨⎧ n-13(n ＞2000)f[f(n+18)](n ≤2000)，求f(1990). 解：f(1990)=f[f(1990+18)]=f[f(2008)]=f(2008-13)=f(1995)=f[f(1995+18)]=f[f(2013)]=f(2013-13)=f(2000)=f[f(2000+18)]=f[f(2018)]=f(2018-13)=f(2005)=2005-13=1992.评注：求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后按相应对应法则求函数值.例3 设函数f(x)=⎩⎨⎧ 2－x x ∈(-∞，1]log 81x x ∈(1，+∞)，则满足f(x)=14的x 值为 ． 解析：当x ∈(－∞，1]，值域应为[12，＋∞)，当x ∈(1，＋∞)时值域应为(0，＋∞)， ∴y ＝14，y ∈(0，＋∞)，∴此时x ∈(1，＋∞)，∴log 81x ＝14，x ＝8114＝3. 评注：已知函数值求自变量x 的值上，要先确定每段函数的函数值的范围，再将所给函数值代入符合条件的一段函数进行求值，求出的的x 值要注意检验.三、分段函数的最值问题求分段函数的最值，一般有两种求法：其一是在各段上求出最值，其中最大(小)者就是函数在整个定义域上的最大(小)值；其二是作图，从图象上读出最值，然后根据所求出的各段上的最大(小)值进行比较，其中最大(小)者都是分段函数在整个定义域上的最大(小)值.例4若x ∈Z,f(x)=⎩⎨⎧ (x 4+22)(﹣x 3+1123)(0≤x ≤40)(﹣x 2+52)(﹣x 3+1123)(40＜x ≤100),求f(x)的最大值. 解：当0≤x ≤40时，配方整理得：f(x)=(x 4+22)(﹣x 3+1123)=﹣112(x-12)2+25003,∴当x=12时,f(x)在区间[0,40]上取得最大值25003. 当40＜x ≤100时，配方整理得：f(x)＝(﹣x 2+52)(﹣x 3+1123)=16(x-108)2﹣83, 因108＞100，故f(x)在(40,100]上单调递减，而x 又为整数，所以当x=41时，f(x)在区间(40,100]上取得最大值14912， 由于25003＞14912，所以f(x)在区间[0,100]上取得最大值25003，此时x=12. 评注：求函数各段的最值要根据解析式的结构，选择适当的方法，如：①配方法：所给的函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数；②判别式法：可化为关于某变数的二次分式函数或无理函数；③不等式法；④单调性法；⑤换元法(包括三角代换和均值代换)；⑥图象法等等.四、求分段函数的解析式求分段函数的解析式的题型主要有两类：①求含有参数的分段函数的解析式；②已知一段的解析式而求另一段(或几段)的解析式.求函数的解析式方法很多，其主要方法有：待定系数法、函数性质法、图象法、换元法、方程组法等.例5 设函数f(x)=⎩⎨⎧ x 2+bx+c x ≤02 x ＞0，若f(﹣4)=f(0)，f(﹣2)=﹣2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由f(﹣4)=f(0)，知b=4，由f(﹣2)=﹣2，知c=2，于是f(x)=⎩⎨⎧ x 2+4x+2 x ≤02 x ＞0，由f(x)=x ，即 x 2+4x+2=x(x ≤0)或x=2(x ＞0)，由此解得x=﹣1或x=﹣2或x=2，方程f(x)=x 有三个解，故选C.评注：本题求解析式的是充分利用所给的函数值进行求解的，其实质是待定系数法.例6已知函数f(x)在[-6,6]上为奇函数，f(x)在[0,3]上是x 的一次函数，在[3,6]上是x 的二次函数，且当3≤x ≤6时，f(x)≤f(5)=3,f(6)=2.试求f(x)的解析式.解：因为当3≤x ≤6时，f(x)≤f(5)=3,所以在区间[3,6]上，当x=5时，函数f(x)有最大值3，故可设函数在[3,6]上的二次函数式为y=a(x-5)2+3,又f(6)=2，代入上式，求得a=-1,即二次函数式为y=﹣(x ﹣5)2+3,由于当x=3时，y=-(3-5)2+3＝－1，当x=0时函数有意义，且f(x)为奇函数，故可知图象必过原点，所以在函数区间(-3,3)上的解析式为f(x)=﹣13x, 分别以-x,-y 代换y=-(x-5)2+3中的x 、y,可求得在[-6,-3]区间上的二次函数为y=(x+5)2-3,说明：本题求解析式主要采用了两种方法：待定系数法和函数性质法，利用待定系数法求得在区间(-3,3)与区间[3，6]上的解析式，再利用函数的性质(奇偶性与对称性)求在区间[-6,-3]上的解析式.在运用函数性质法求解析式时要注意需将待求区间上的变量转化到已知解析式的区间上，再应用性质求解.五、判断分段函数的奇偶性确定分段函数的奇偶性，可先考察其定义域是否关于原点对称，然后严格按照函数奇偶性的定义在整个定义域上考虑.不能说在某一段区间上是奇函数或偶函数.例7判断函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+4x (x ≤-2)-4 (-2＜x ＜2)x 2-4x(x ≥2)的奇偶性. 解析1：作出函数f(x)的图象如图，观察图象知f(x)的图象关于y 轴对称，∴f(x)为偶函数.解析2：设x ≤-2,则-x ≥2,由此f(x)=x 2+4x,f(-x)=(-x)2-4(-x)=x 2+4x,从而有f(x)=f(-x),设-2＜x ＜2,则-2＜-x ＜2,∴f(x)=-4,f(-x)=-4,∴f(-x)=f(x),由上知，对于定义在(-∞,+∞)上的任一x,都有f(-x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.说明：判断分段函数奇偶性，可根据图象来判断(解法1)，也可根据定义来判断(解法2).六、分段函数的单调性问题确定分段函数的单调区间或判断单调性通常借助函数图象的直观性,或者利用基本函数的单调性.例8求函数f(x)=⎩⎨⎧ -x 2+3x-2(x ≥1)x 2-3x+2(x ＜1)的单调递增区间. 解：画出已知分段函数的图象，如右图所示.函数图象与x 轴交于点(1,0)与点(2,0)，在区间(1,2)上为开口向下的抛物线，故仅在区间[1,32]上该函数为增函数. 评注：本题也可以利用二次函数的单调性求解. 例9 若函数f(x)=a|x ﹣b|+2在[0，+∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是___.解析：函数f(x)=⎩⎨⎧ ax ﹣ab+2 (x ≥b)﹣ax+ab+2 (x ＜b)，因为要求f(x)在[0，+∞)上为增函数， 故只有当x ≥b 时，f(x)＝ax ﹣ab+2才有可能满足，此时a ＞0.又x ≥b 和x ≥0，∴a ＞0，b ≤0. 评注：含有绝对值的函数一般都是分段函数，常根据绝对值的意义去掉绝对值符号而写成分段形式进行求解.七、求分段函数的反函数分段函数应在各自的定义域内分别求反函数式及定义域.如果分段函数的映射不是一一映射，那么它就没有反函数.要特别注意分段函数的反函数也是分段函数.例10求函数y=x ·|x|+2x 的反函数.解析：y=⎩⎨⎧ x 2+2x(x ≥0)-x 2+2x(x ＜0),即f(x)=⎩⎨⎧ (x+1)2-1(x ≥0)-(x-1)2+1(x ＜0)， (1)当x ≥0时,y ≥0,由y=x 2+2x 得x=-1+1+y.(2)当x ＜0时,y ＜0,由y=-x 2+2x 得x=1-1-y ，∴g(x)=⎩⎨⎧ -1+1+x(x ≥0)1-1-x(x ＜0). 评注：在求解过程中，要注意开方时符号的取舍，同时注意确定每段反函数的对应的自变量的范围，一般根据原函数中的相对应一段函数的值域进行确定.八、分段函数的周期性问题分段函数的周期是函数性质中的一个难点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如，在高中阶段对于函数周期性的应用主要是对函数值及区间进行转化.例10 设f(x)是定义在区间(-∞，+∞)上且以2为周期的函数，对k ∈Z ，用l k 表示区间(2k -1，2k+1)，已知当x ∈I 0时，f(x)=x 2.(1)求f(x)在I k 上的解析式；(2)对自然数k ，求集合M k ={a|f(x)=ax 在I k 上有两个不相等的实根}.解析：(1)设x ∈(2k -1，2k+1)，∴2k -1＜x ＜2k+1⇒-1＜x ﹣2k ＜1，∵x ∈l 0时，有f(x)=x 2,∴由-1＜x -2k ＜1，得f(x -2k)=(x -2k)2，∵f(x)是以2为周期的函数，∴f(x -2k)=f(x),∴f(x)=(x -2k)2.(2)当k ∈Z 且x ∈I k 时，由(1)的结果知方程f(x)=ax 就是(x -2k)2=ax ，也即x 2-(4k+a)x+4k 2=0，此方程在I k 上恰有两个不相等实根的充要条件是：⎩⎨⎧ △=(4k+a)2-16k 2＞02k -1＜12[(4k+a)﹣a(a+8k)]2k+1≥12[(4k+a)+a(a+8k)]⇔⎩⎨⎧ a(a+8k)＞0a(a+8k)]＜2+k a(a+8k)≤2-k⇔0＜a ≤12k+1,∴所求集合M={a|0＜a ≤12k+1,k ∈Z}. 评注：本题利用函数周期进行区间的转移，从而使问题得到解决.九、分段函数的连续性问题对于分段函数的连续性主要考查函数在分界点x 0处的连续性.根据函数在某点或在区间上的连续性的定义来解决是处理此类问题的最根本的方法.例11 设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x ﹣1x (x ≠0)a (x ＝0)在x =0处连续，则实数a 的值为 12 . 解析：当x ≠0时，lim x →0f(x)=lim x →01+x ﹣1x =lim x →0(1+x)2﹣1x(1+x ＋1)=lim x →011+x ＋1=11+0＋1=12， 由连续的条件lim x →x 0f(x)=f(x 0)，得a=12. 评注：根据函数是根据函数在0点处的连续的定义来解决的，求函数的在x =0处的极限时，根据函数表达式的结构，利用分子有理化达到变形目的的.。
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高中数学单元测试-20150428满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共19小题）1.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]2.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是（）A．B ．C ．D．3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（）A．C．D．4.已知函数，其中，则的值为（）A．6B．7C．8D．95.已知函数，则（）A．B．C．D．6.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图像与x轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．（2，4]（5，+）B．（1,2] （4,5]C．（一，1）（4,5]7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C ．D．8.函数的图像大致是（）A．B．C．D．9.对任意实数a，b定义运算“” ：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)10.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．11.对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．13.函数若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．14.已知函数=，若||≥，则的取值范围是（）A ．B ．C．[-2，1]D．[-2，0]15.函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，下列说法错误的是（）A．B．C．D．若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一16.对任意实数a，b定义运算“” ：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．(-2，1)B．[0，1]C．[-2，0)D．[-2，1)17.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D ．18.已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是（）A．B．C．D．19.已知函数（为常数），则函数的图象恒过点（）A．B ．C ．D．二、填空题（共13小题）20.已知函数，则函数的零点个数为___________21.函数的值域为．22.设是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是_________23.对实数定义运算“” ：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是______________.24.设若，则的取值范围为_____________.25.函数的值域为_________.26.已知函数，则满足不等式的的取值范围是.27.已知f(x)是定义域为R的偶函数, 当x≥0时, f(x)=x2-4x. 那么, 不等式f(x+2)<5的解集是.28.已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.29.已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式的解集为_____．30.稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）。
已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为___________元。
31.已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则___________32.已知函数有3个零点，则实数的取值范围是_____________________.答案部分1.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:作出函数的图象如图，直线交函数图象于如图，不妨设，由正弦曲线的对称性，可得与关于直线对称，因此，当直线时，由，解得，即，∴若满足，（互不相等），由可得，因此可得，即．故答案为：C答案:C2.考点:分段函数，抽象函数与复合函数零点与方程试题解析:由题意得该分段函数的图像如下图所示：因为方程有三个不同实数根，所以方程有三个不同的实数根，即函数的图像与直线的图像有两个不同的交点。
由上图可知：故选B答案:B3.考点:分段函数，抽象函数与复合函数导数的概念和几何意义试题解析:解：由得，是函数的一个零点，由题意得零点只有一个，所以当时，由，得，即，解得，由,解得；当时，函数，，要使函数在时没有零点，则或，又，或综上，实数的取值范围是故选C答案:C4.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:由题意得，，而所以，而所以故选B答案:B5.考点:积分分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:其中表示单位圆在第一象限部分的面积，所以其中所以故选B答案:B6.考点:分段函数，抽象函数与复合函数零点与方程试题解析:由题意得函数的图象如图所示：函数的图象与轴恰有两个公共点，即函数与的图象有2个交点．由图像可知：或故选B答案:B7.考点:函数图象零点与方程幂函数分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:这是一个分段函数， y=a(x+1)是恒过（-1,0）点的一条直线，画出分段函数和直线的图像，如下图所示，要想使得f(x)=a(x+1)有三个不相等的实数根，即直线和函数图像有三个不同的交点，直线的斜率要比图中相切的时候小，所以此题关键是计算相切时的的值. 联立解得，分析图像知，>0，，再由图像分析知大于0，，选D答案:D8.考点:函数图象分段函数，抽象函数与复合函数对数与对数函数试题解析:的定义域为，排除B、C，又当时，为增函数，排除D.答案:A9.考点:函数综合函数图象分段函数，抽象函数与复合函数试题解析: ，整理得，其图像如下图所示，由图像可得k的取值范围是[-2，1).答案:D10.考点:函数图象零点与方程分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:如图，方程要有五个不同的解，必须，所以，从而，因为只有2个解，所以要有3个解，由数形结合可得：.答案:B11.考点:分段函数，抽象函数与复合函数函数综合函数图象零点与方程试题解析: 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。
又当时，，所以，从而.答案:A12.考点:三角函数的图像与性质指数与指数函数分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:为偶函数，排除A项，当时，的周期，排除C项，当时，的周期，排除B项.答案:D13.考点:一次函数与二次函数零点与方程分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:如图，方程要有五个不同的解，必须，所以，从而，因为只有2个解，所以要有3个解，由数形结合可得：.答案:B14.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除A，B当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D答案:D15.考点:分段函数，抽象函数与复合函数函数综合零点与方程试题解析: 根据函数解析可得函数图像如图所示，由图像可知，选项D的说法错误.答案:D16.考点:函数图象分段函数，抽象函数与复合函数零点与方程试题解析:当时，即或时，，当时，即时，，如图所示，作出图象，由图象可知，要使有三个交点需满足，.答案:D17.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:作出函数图像如下图，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，，，，故；当时，，，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，.答案:D18.考点:函数综合试题解析:如图所示：由题意得：，；，所以故选A答案:A19.考点:一次函数与二次函数函数图象试题解析:分析知的图像恒过点（0,0），而函数可以看做由函数向右平移一个单位得到，所以函数的图象恒过点.答案:D20.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:函数与的图象，如图：由图可以看出，函数的零点有个.故答案为：3答案:321.考点:分段函数，抽象函数与复合函数三角函数综合试题解析:设，则，所以，由二次函数的图象可知.答案:22.考点:函数的奇偶性分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:答案:23.考点:函数图象分段函数，抽象函数与复合函数试题解析: ,即, 画出草图: 如图所示当有三个公共点时需满足或.答案:24.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:根据题意，，∴答案:25.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:当时，；当时，，故函数的值域为.答案:26.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:当时，函数是增函数，此时. 原不等式等价于或解得或，所以，即满足不等式的的取值范围是.答案:27.考点:一元二次不等式分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:∵ f(x) 是偶函数,∴f(x) =f(|x|).又x≥0时, f(x) =x2-4x,不等式f(x+2) < 5⇒f(|x+2|) < 5⇒|x+2|2-4|x+2|< 5⇒(|x+2|-5) (|x+2|+1) < 0⇒|x+2|-5< 0⇒|x+2|< 5⇒-5< x+2< 5⇒-7< x< 3.故解集为(-7,3).答案:(-7,3)28.考点:分段函数，抽象函数与复合函数试题解析:y=函数y=kx-2恒过定点M(0,-2),kMA=0,kMB=4.当k=1时,直线y=kx-2在x>1时与直线y=x+1平行,此时有一个公共点,∴k∈(0,1)∪(1,4),两函数图象恰有两个交点.答案:(0,1)∪(1,4)29.考点:分段函数，抽象函数与复合函数函数的奇偶性试题解析:由于函数是上的偶函数，则对任意，都有，又，则恒成立，∴，∴；另解：由于函数是二次函数，其对称轴是直线，又函数是偶函数，∴函数的图象关于轴对称，即直线，∴，∴；，则，∴不等式等价于，解得，∴不等式的解集为.答案:，30.考点:函数综合试题解析:由题意得：设此人应得稿费(扣税前)为元先假设此人一份书稿稿费(扣税前)符合条件（1），即则：，解得：，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前)符合条件（2），即则：，解得：，不符合条件（2）故答案为2800答案:280031.考点:函数综合试题解析:因为为偶函数，所以①，因为是奇函数，所以②，由①②可得：用替换可得，用替换可得，所以，。