专题 圆锥曲线的离心率(学生版)
高考二轮微专题之圆锥曲线离心率课件(共18张PPT)
学习目标
总纲：建立关于一个, , 的方程（或不等式），然后再解方程或不等
Байду номын сангаас
式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种
1 利用圆锥曲线的定义解决；○
2 利用题中的几何关系来解决问题。
办法：○
方法1：利用焦半径取值范围建立不等式
方法1：利用定义法求离心率
方法2：利用几何关系求离心率
1
中点 A 在第一象限，且cosθ＝ .若|AB|＝|AF1|，则双曲线 C 的离心率为
4
设1 = = ，又1 − 2 = 2，
所以2 = − 2,2 = 2,
又1 − 2 = 2，1 = 4；
1
1 2 = 2， 1 2 = ，
方法3：定义法+几何关系结合
方法2：利用角度的余弦值建立不等式
方法3：利用已知的角度关系建立不等式
方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
方法5：利用方程有根建立不等式
策略一：定义法求离心率
情景导入
例 1（2021 年南京二模 7）已知双曲线
的左、右焦点
分别为 F1，F2，过点 F2 作倾斜角为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，其
情景导入
x2 y 2
练 2（2020 年湖南永州市高三三模 11 题）已知双曲线 C ： 2 2 1 a 0, b 0 的左、右顶点分别为 A ，
a
b
B ，左焦点为 F ， P 为 C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M （异于 P ， F ），与
a
b
左右两个焦点，且 PF1 PF2 0 ，线段 PF2 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
高中数学人教A选择性必修一第三章 微专题4 圆锥曲线的离心率
反思 感悟
求离心率范围的常用思路 (1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心 率的取值范围. (2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围.
本课结束
更多精彩内容请登录：
四、求离心率的取值范围
例 4 (1)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于
255a，其离心率 e 的取值范围为
A.[ 3，＋∞) C.(1， 3]
B.[ 5，＋∞)
√D.(1， 5]
解析 依题意，点(a，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离不大于255a， ∴ |bba2＋＋0a|2≤255a，解得 e≤ 5. 又∵e>1，∴1<e≤ 5，故选 D.
A. 147
B.
7 7
√C.2 7 7
D.3147
解析 因为△F1MF2是等边三角形，
故 M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即 4b2＋c2＝2c，
即 4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝ac22＝74，
故
e＝2
7
7 .
(2)设 F1，F2 分别为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一 点 P 使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝49ab，则该双曲线的离心率为__53___.
则 e＝ac＝ 3|2PF2|·3|P2F2|＝ 33.
(2)设F1，F2是双曲线C：ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点.若 |PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为___3__.
解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限， 则||PPFF11||＋－||PPFF22||＝＝62aa，， 解得||PPFF21||＝＝24aa，. 又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得4a2×2＋44ac×2－2c4a2＝cos 30°， ∴2 3ac＝3a2＋c2. 等式两边同除以 a2，得 e2－2 3e＋3＝0，解得 e＝ 3.
高中数学人教A版选修2-1 圆锥曲线复习(离心率)
过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正
三角形，则这个椭圆的离心率是（ B ）
A．
B．
C．
D．
A
B
方法二、构建关于 a，c 的齐次等式求解
步骤一：找出题目的关系，条件 步骤二：借助a,b,c之间的关系，构造a,c之间的关系，
进而求出离心率
①借助a,b或a,c的一次关系，进而求出离心率
率、等比等差中项、三角形、距离公式等找关系式）
➢2.定义法：根据条件先求出a，c，利用e=求解 ➢3.构建关于齐次等式 ➢ ①借助a,b或a,c的一次关系。 ➢ ②借助a,b,c之间的一个齐次等式化为e的一元二次
方程。
感谢聆听
单击此处添加文本具体内容
离心率范围 离心率意义
椭圆 焦点在x轴上
c,0
c2 a2 b2
e c a
1
b2 a2
0<e<1
e越大，椭圆越扁 e越小，椭圆越圆
双曲线 焦点在x轴上
c,0
c2 a2 b2
e c a
1
b2 a2
e>1
e越大，双曲线开口越大 e越小，双曲线开口越小
方法一：定义法
第一步：根据条件先求出 a，c 的值 第二步：利用 e=c公式，求出离心率
例 2．（2012•新课标）设 F1、F2 是椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的
左、右焦点，P 为直线 x＝ 上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰
三角形，则 E 的离心率为（ c ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形， ∴|PF2|＝|F2F1| ∵P 为直线 x＝ 上一点 ∴ ∴ 故选：C．
2018-2021年高考真题圆锥曲线 解答题全集 (学生版+解析版)
2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3． 2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．6．（2021•甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M （2，0），且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4． （1）求p ；（2）若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 11．（2021•上海）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足|P A |﹣|PB |＝20千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现|QA |﹣|QB |＝30千米，|QC |﹣|QD |＝10千米，求|OQ |（精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°） 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．17．（2020•海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．18．（2020•山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．19．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 20．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 21．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点． 22．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1（0＜m ＜5）的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 23．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．24．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．25．（2019•全国）已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足P A1与P A2的斜率之积等于−14，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设过坐标原点的直线l与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2√2，求l的方程．26．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD ＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．27．（2019•上海）已知椭圆x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M ，直线BF 1交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得S△F 1AB=S△F 1MN ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．28．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知√3|OA |＝2|OB |（O 为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP ．求椭圆的方程． 29．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |（O 为原点），且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率． 30．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．31．（2019•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．32．（2019•浙江）如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程； （Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．33．（2019•新课标Ⅱ）已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：△PQG 是直角三角形； （ii ）求△PQG 面积的最大值．34．（2019•北京）已知抛物线C ：x 2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝﹣1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．35．（2019•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为（1，0），且经过点A （0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l ：y ＝kx +t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |•|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． 36．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．37．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．38．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．39．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程； （2）若AP →=3PB →，求|AB |．40．（2019•上海）已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|． （1）当P(−1，−83)时，求d （P ）；（2）证明：存在常数a ，使得2d （P ）＝|PF |+a ；（3）P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d （P 1）+d （P 3）与2d （P 2）的关系．41．（2018•全国）双曲线x 212−y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．42．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．43．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．44．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（√3，12），焦点F 1（−√3，0），F 2（√3，0），圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．45．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 46．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 47．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值． 48．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为（b ，0），且|FB |•|AB |＝6√2． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值． 49．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若k ＝1，求|AB |的最大值；（Ⅲ）设P （﹣2，0），直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （−74，14）共线，求k ．50．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．51．（2018•北京）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．52．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．53．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．54．（2018•上海）已知a ∈R ，双曲线Γ：x 2a2−y 2=1（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标（2）若a ＝1，直线y ＝kx +1与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值55．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca =√63，又c =√2， 所以a =√3，则b 2＝a 2﹣c 2＝1， 故椭圆的标准方程为x 23+y 2=1；（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN 的方程为x ＝my +√2， 则圆心O （0，0）到直线MN 的距离为d =√2√m +1=1，解得m 2＝1，联立方程组{x =my +√2x 23+y 2=1，可得(m 2+3)y 2+2√2my −1=0，即4y 2+2√2my −1=0， 所以|MN|=√1+m 2⋅√8m 2+164=√2×√244=√3；所以必要性成立； 下面证明充分性，当|MN |=√3时，设直线MN 的方程为x ＝ty +m ， 此时圆心O （0，0）到直线MN 的距离d =√t +1=1，则m 2﹣t 2＝1，联立方程组{x =ty +mx 23+y 2=1，可得（t 2+3）y 2+2tmy +m 2﹣3＝0， 则△＝4t 2m 2﹣4（t 2+3）（m 2﹣3）＝12（t 2﹣m 2+3）＝24， 因为|MN|=√1+t 2⋅√24t 2+3=√3，所以t 2＝1，m 2＝2，因为直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切， 所以m ＞0，则m =√2，则直线MN 的方程为x =ty +√2恒过焦点F （√2，0）， 故M ，N ，F 三点共线， 所以充分性得证．综上所述，M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值； （2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程； （3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 【解答】解：（1）因为Г的方程：x 22+y 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 若B 为Г的上顶点，则B （0，1）， 所以|BF 1|=√1+1=√2，|PF 1|＝﹣1﹣m ， 又|BF 1|＝|PF 1|， 所以m =−1−√2；（2）设点A （√2cos θ，sin θ），则F 1A →⋅F 2A →=(√2cosθ+1)(√2cosθ−1)+sin 2θ=2cos 2θ−1+sin 2θ=13， 因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cosθ=−√33，故A(−√63，√63)，设直线l 的方程为y =kx +√63k +√63(k ＞0)， 由原点O 到直线l 的距离为4√1515， 则d =|√63k+√63|√1+k =4√1515，化简可得3k 2﹣10k +3＝0，解得k ＝3或k =13， 故直线l 的方程为y =13x +4√69或y =3x +4√63（舍去，无法满足m ＜−√2）， 所以直线l 的方程为y =13x +4√69；（3）联立方程组{y =kx −kmx 22+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2mx +2k 2m 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=4k 2m 1+2k2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k2，因为F 1A →∥F 2B →，所以（x 2﹣1）y 1＝（x 1+1）y 2，又y ＝kx ﹣km ， 故化简为x 1−x 2=−21+2k2，又|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√16k 2−8k 2m 2+81+2k2=|−21+2k2|，两边同时平方可得，4k 2﹣2k 2m 2+1＝0， 整理可得k 2=−14−2m 2，当m ＜−√2时，k 2=−14−2m 2＞0，因为点A ，B 在x 轴上方， 所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），则b ＝2，又因为以四个顶点围成的四边形面积为4√5， 所以12×2a ×2b =4√5，解得a =√5，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；（2）由题意，设直线l 的方程为y ﹣（﹣3）＝k （x ﹣0），即y ＝kx ﹣3， 当k ＝0时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ， 所以k ≠0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立方程组{y =kx −3x 25+y 24=1，可得（4+5k 2）x 2﹣30kx +25＝0， 则△＝（﹣30k ）2﹣4×25（4+5k 2）＞0，解得|k |＞1， 所以x 1+x 2=30k 4+5k2，x 1x 2=254+5k2，则y 1y 2＝（kx 1﹣3）（kx 2﹣3）＝k 2x 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+9=−20k 2+364+5k2，y 1+y 2＝（kx 1﹣3）+（kx 2﹣3）＝k （x 1+x 2）﹣6=−244+5k2，直线AB 的方程为y ﹣（﹣2）=y 1−(−2)x 1−0(x −0)，即y =y 1+2x 1x −2，直线AC 的方程为y ﹣（﹣2）=y 2−(−2)x 2−0(x −0)，即y =y 2+2x 2x −2，因为直线AB 交y ＝﹣3于点M ， 所以令y ＝﹣3，则x M =−x 1y 1+2， 故M(−x 1y 1+2，−3)， 同理可得N(−x2y 2+2，−3)，注意到x 1x 2=254+5k2＞0，所以x 1，x 2同号，因为y 1+2＞0，y 2+2＞0，所以x M ，x N 同号， 故|PM |+|PN |＝|x M |+|x N |＝|x M +x N |，则|PM |+|PN |=|x 1y 1+2+x2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)| =|x 1(kx 2−3)+x 2(kx 1−3)+2(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2k⋅254+5k 2−30k 4+5k2−20k 2+364+5k 2−484+5k2+4|＝5|k |，故|PM |+|PN |＝5|k |，又|PM |+|PN |≤15，即5|k |≤15，即|k |≤3，又|k |＞1， 所以1＜|k |≤3，故k 的取值范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]． 4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）因为离心率e =2√55，|BF |=√5所以{c a =2√55a =√5a 2=b 2+c 2，解得a =√5，c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 25+y 2＝1．（2）设M （x 0，y 0）， 则切线MN 的方程为x 0x 5+y 0y ＝1，令x ＝0，得y N =1y 0，因为PN ⊥BF ， 所以k PN •k BF ＝﹣1，所以k PN •（−12）＝﹣1，解得k NP ＝2，设P （x 1，0），则k NP =1y 00−x 1=2，即x 1=−12y 0，因为MP ∥BF ， 所以k MP ＝k BF ， 所以y 0x 0+12y 0=−12，即﹣2y 0＝x 0+12y 0， 所以x 0＝﹣2y 0−12y 0， 又因为x 025+y 02＝1，所以4y 025+25+120y 02+y 02＝1，解得y 0＝±√66，因为y N ＞0， 所以y 0＞0，所以y 0=√66，x 0=−√63−3√6=−5√66，所以−5√66x 5+√66y ＝1，即x ﹣y +√6=0．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2． （Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）， 将直线AB 方程代入抛物线方程可得，k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则由韦达定理有，x A +x B =2+4k2，x A x B=1，则y A y B ＝﹣4，设直线AM ：y ＝k 1（x +1），其中k 1=yA x A+1，设直线BM ：y ＝k 2（x +1），其中k 2=yB x B +1，则k 1+k 2=y A x A+1+yBx B +1=y A x B +y A +y B x A +y B(x A +1)(x B +1)=k(x A −1)x B +k(x A −1)+k(x B −1)x A +k(x B −1)(x A +1)(x B +1)=0(x A +1)(x B +1)=0， k 1k 2=y A y B (x A +1)(x B +1)=−41+2+4k 2+1=−k21+k 2，设直线l ：y ＝2（x ﹣t ），联立{y =2(x −t)y =k(x −1)，可得x R =k−2t k−2，则|x R −t|=|k−2t k−2−t|=|k−kt k−2|，联立{y =2(x −t)y =k 1(x +1)，可得x P =k 1+2t 2−k 1，则|x P −t|=|k 1+2t 2−k 1−t|=|k 1+k 1t 2−k 1|，同理可得，x Q =k 2+2t 2−k 2，|x Q −t|=|k 2+k 2t2−k 2|，又|RN |2＝|PN |•|QN |，∴|k−kt k−2|2=|k 1+k 1t 2−k 1⋅k 2+k 2t 2−k 2|，即(k−kt k−2)2=k 2(1+t)23k 2+4，∴(1+t)2(t−1)2=3k2+4(k−2)2=3(k−2)2+12(k−2)+16(k−2)2=16(k−2)2+12k−2+3=(4k−2+32)2+3 4≥34（t≠1），∴4（t2+2t+1）≥3（t2﹣2t+1），即t2+14t+1≥0，解得t≥4√3−7或t≤−7−4√3（t≠1）；当直线AB的斜率不存在时，则直线AB：x＝1，A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），∴直线MA的方程为y＝x+1，直线MB的方程为y＝﹣x﹣1，设直线l：y＝2（x﹣t），则P（1+2t，2+2t），Q(2t−13，−2t+23)，R（1，2﹣2t），N（t，0），又|RN|2＝|PN|•|QN|，故(1−t)2+(2−2t)2=√(1+t)2+(2+2t)2⋅√(2t−13−t)2+(−2t+23)2，解得t满足(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．∴直线l在x轴上截距的取值范围为(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．6．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=1 2，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A 1A 2与抛物线方程可得x ＝3， 此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系为相切，当A 1，A 2，A 3都不是坐标原点时，即x 1≠x 2≠x 3，直线A 1A 2的方程为x −（y 1+y 2）y +y 1y 2＝0， 此时有，12√1+(y 1+y 2)2=1，即(y 12−1)y 22+2y 1y 2+3−y 12=0，同理，由对称性可得，(y 12−1)y 32+2y 1y 3+3−y 12=0， 所以y 2，y 3是方程(y 12−1)t 2+2y 1t +3−y 12=0 的两根，依题意有，直线A 2A 3的方程为x −（y 2+y 3）y +y 2y 3＝0，令M 到直线A 2A 3的距离为d ，则有d 2=(2+y 2y 3)21+(y 2+y 3)2=(2+3−y 12y 12−1)21+(−2y 1y 12−1)2=1，此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系也为相切， 综上，直线A 2A 3与⊙M 相切．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，x ≥1，根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x ≥1)； （2）（法一）设T(12，m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，（16cos 2θ﹣sin 2θ）t 2+（16cos θ﹣2m sin θ）t ﹣（m 2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA |＝t 1，|TB |＝t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ，设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP |＝λ1，|TQ |＝λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ＝cos 2β，又θ≠β，故cos θ＝﹣cos β，则cos θ+cos β＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设T(12，t)，直线AB 的方程为y =k 1(x −12)+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设12＜x 1＜x 2，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，(16−k 12)x 2+(k 12−2tk 1)x −14k 12+k 1t −t 2−16=0，由韦达定理有，x 1+x 2=k 12−2k 1t k 12−16，x 1x 2=−14k 12+k 1t−t 2−1616−k 12， 又由A(x 1，k 1x 1−12k 1+t)，T(12，t)可得|AT|=√1+k 12(x 1−12)， 同理可得|BT|=√1+k 12(x 2−12)，∴|AT||BT|=(1+k 12)(x 1−12)(x 2−12)=(1+k 12)(t 2+12)k 12−16， 设直线PQ 的方程为y =k 2(x −12)+t ，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，设12＜x 3＜x 4，同理可得|PT||QT|=(1+k 22)(t 2+12)k 22−16，又|AT ||BT |＝|PT ||QT |，则1+k 12k 12−16=1+k 22k 22−16，化简可得k 12=k 22，又k 1≠k 2，则k 1＝﹣k 2，即k 1+k 2＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． 8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 【解答】（1）解：由题意知，p ＝2， ∴y 2＝4x ．（2）由（1）知，抛物线C ：y 2＝4x ，F （1，0）， 设点Q 的坐标为（m ，n ），则QF →=（1﹣m ，﹣n ）， PQ →=9QF →=(9−9m ，−9n) ∴P 点坐标为（10m ﹣9，10n ）， 将点P 代入C 得100n 2＝40m ﹣36， 整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =nm =10n25n 2+9=1025n+9n≤13，当n =35时取最大值． 故答案为：13．9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝2√2cos θ，得ρ2＝2√2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2，表示圆心为C （√2，0），半径为√2的圆． （2）设点P 的直角坐标为（x ，y ），M （x 1，y 1），因为A （1，0）， 所以AP →=（x ﹣1，y ），AM →=（x 1﹣1，y 1）， 由AP →=√2AM →， 即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1，解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x ，所以M （√22（x ﹣1）+1，√22y ），代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2＝4，表示圆心为C 1（3−√2，0），半径为2 的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|＝|（3−√2）−√2|＝3﹣2√2＜2−√2，所以圆C与圆C1内含，没有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，P A，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得l PA：y=x12x−x124，l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22，x1x24)，设l AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，d p→AB=|2k2+2b|√k+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b 2+12b−154)32，而y p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max=20√5．11．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为x 2100−y 2300=1，直线OP ：y =√33x ，联立双曲线方程，可得x =15√22，y =5√62， 即点P 的坐标为（15√22，5√62）．（2）①|QA |﹣|QB |＝30，则a ＝15，c ＝20，所以b 2＝175， 双曲线方程为x 2225−y 2175=1；②|QC |﹣|QD |＝10，则a ＝5，c ＝15，所以b 2＝200， 所以双曲线方程为y 225−x 2200=1，两双曲线方程联立，得Q （√1440047，√297547），所以|OQ |≈19米，Q 点位置北偏东66°． 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k 2k 2+1，6k 2−32k 2+1），∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3）， ∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0， 解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ，则{4a 2+1b 2=1a =2b，解得b 2＝2，a 2＝8，∴椭圆方程为x 28+y 22=1，（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝k （x +4）， 由{y =k(x +4)x 28+y 22=1，消y 整理可得（1+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣8＝0， ∴△＝﹣32（4k 2﹣1）＞0， 解得−12＜k ＜12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−32k21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k2，则直线AM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2（x +2），直线AN 的方程为y +1=y 2+1x 2+2（x +2），分别令x ＝﹣4， 可得y P =−2(y 1+1)x 1+2−1=−(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =−(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB |＝|y P |＝|(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2|，QB |＝|y Q |＝|(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2|，∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|＝|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|∵（2k +1）x 1x 2+（4k +2）（x 1+x 2）+8（2k +1）=32k 2(2k+1)1+4k2，∴|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|＝|(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 1)|＝|−(x 1+x 2)+2x 2−(x 1+x 2)+2x 1|＝1，故|PB||BQ|=1．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分． （1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2； （3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．【解答】解：（1）由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b 2，解得y A =√2，b ＝2；（2）由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝8，2a ＝4，所以|PF 2|＝8﹣4＝4，因为b =√5，则c =√4+5=3， 所以|F 1F 2|＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0＜∠F 1PF 2＜π，可得∠F 1PF 2＝arccos1116；（3）设直线l ：y =−b2x +4+b22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+b4=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM ：y =2bx 与圆x 2+y 2＝4+b 2联立，可得x 2+4b2x 2＝4+b 2， 可得x ＝b ，y ＝2，即M （b ，2），注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当y A ＞2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b4a+b2，所以有4＜b44+b2，解得b 2＞2+2√5或b 2＜2﹣2√5（舍去），因为OM →为ON →在OM →上的投影可得，OM →•ON →=4+b 2， 所以OM →•ON →=4+b 2＞6+2√5， 则OM →•ON →∈（6+2√5，+∞）．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，a 2＝4，b 2＝3，c 2＝a 2﹣b 2＝1， 所以△AF 1F 2的周长＝2a +2c ＝6．（2）由椭圆方程得A （1，32），设P （t ，0），则直线AP 方程为y =321−t (x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q （4，32•4−t 1−t），OP →•QP →=（t ，0）•（t ﹣4，0−32•4−t1−t）＝t 2﹣4t ＝（t ﹣2）2﹣4≥﹣4， 当t ＝2时，（OP →⋅QP →）min ＝﹣4．（3）若S 2＝3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2＝3d 1，A （1，32），F 1（﹣1，0），可得直线AB 方程为y =34（x +1），即3x ﹣4y +3＝0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x ﹣4y +m ＝0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m ＝﹣6或12，当m ＝﹣6时，直线l 为3x ﹣4y ﹣6＝0，即y =34（x ﹣2），联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得（x ﹣2）（7x +2）＝0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127，所以M （2，0）或（−27，−127）．当m ＝12时，直线l 为3x ﹣4y +12＝0，即y =34（x +4），联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24＝0，△＝9×（36﹣56）＜0，所以无解，综上所述，M 点坐标为（2，0）或（−27，−127）． 16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）p =116，则p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标（132，0）， （Ⅱ）直线l 与x 轴垂直时，此时点M 与点A 或点B 重合，不满足题意， 设直线l 的方程为y ＝kx +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），由{x 22+y 2=1y =kx +t，消y 可得（2k 2+1）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0， ∴△＝16k 2t 2﹣4（2k 2+1）（2t 2﹣2）＞0，即t 2＜1+2k 2， ∴x 1+x 2=−4kt 1+2k2，∴x 0=12（x 1+x 2）=−2kt 1+2k 2，∴y 0＝kx 0+t =t 1+2k2，∴M （−2kt 1+2k2，t1+2k 2），∵点M 在抛物线C 2上，∴y 2＝2px ，∴p =y 22x =t 2(1+2k 2)22⋅−2kt 1+2k2=t −4k(1+2k 2)， 联立{y 2=2px y =kx +t ，解得x 1=t(1+2k 2)−2k 3，y 1=t −2k2， 代入椭圆方程可得t 2(1+2k 2)28k 6+t 24k 4=1，解得t 2=8k6(1+2k 2)2+2k2。
学生版圆锥曲线（1）
圆锥曲线（1）一、基础训练1．若椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值是________． 2．若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O则M 到该抛物线焦点的距离为________．3．双曲线22260x y -+=上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4．已知双曲线2212x y a -=的一个焦点坐标为(，则其渐近线方程为________． 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F .若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2P F F F P F =，则曲线C 的离心率等于________． 6.若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点1(1,2作圆221x y +=的切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．二、典型例题例1 (1)椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A ，B .当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是________．(2) 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该椭圆离心率e 的取值范围是________． (3)已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是________．例2已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当AMN ∆k 的值．例3已知双曲线2213y x -=，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3) ． (1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . ①若AM MN =，求AMB ∠的余弦值；②设过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．例4如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点(1,0)P ，(0,2)Q ．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．三、作业1．点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆的焦点，如果1275PF F ︒∠=，2115PF F ︒∠=，则椭圆的离心率为________．2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为________．3.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为________．5．设P 点在圆22(2)1x y +-=上移动，点Q 在椭圆2219x y +=上移动，则PQ 的最大值是________．6．已知1F ，2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ．7. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F ，2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．8.如图，点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4) ，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．9．设A 、B 分别为椭圆12222=+b y a x ()0>>b a 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为直线4=x 上不同于点()0,4的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ．证明：MBP ∆为钝角三角形．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA = ，椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB取得最小值时，求点P 的坐标； （3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ= ，求实数λ的取值范围．。
圆锥曲线大题综合：五个方程型(学生版)
圆锥曲线大题综合归类：五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为：x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法：双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点：直线定点 15【题型七】定点：圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型：斜率和定 26【题型十一】斜率型：斜率和 29【题型十二】斜率型：斜率比 31【题型十三】斜率型：三斜率 34【题型十四】定比分点型：a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点，双曲线的左顶点为A-1,0，过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A，双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程；(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0，过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B，若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E，求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ，且l 经过原点时，AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程；(2)D 为C 的上顶点，当t =4，且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时，求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为：x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为P ，点Q 0,b ，PF 2=1，∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 经过点F 2，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积为610，求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为A，离心率为22，B为椭圆C上一动点，△FAB面积的最大值为2+1 2．(1)求椭圆C的方程；(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，x轴上点P满足PM=PN，若MN=λFP，求λ的值．题型三直线无斜率不过定点设法：双变量型【典例分析】1已知抛物线：y 2=2px p >0 ，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点，其中OA ⋅OB =-3．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB ，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB 的方程及a ；若不存在，请说明理由．1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ，B 1,0 ，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ．(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0)，证明：x 203+y 202<1；(2)求四边形ABCD 的面积的最小值．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1 ⋅PF 2 =-54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．2021年北京市高考数学试题题型六定点：直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，四点P 12,2 ，P 20,2 ，P 3-2,2 ，P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2=2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型七定点：圆过定点【典例分析】1如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py(p>0)上．(1) 求抛物线E的方程；(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12，记点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点(异于点M)，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【典例分析】1如图，已知抛物线C :x 2=4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2-|MN 1|2为定值，并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围；(Ⅱ)设O 为原点，QM =λQO ，QN =μQO ，求证：1λ+1μ为定值．.【典例分析】1已知直线l:x=my-1，圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在(2)的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，F1F2=23且双曲线E经过点A3,2．(1)求双曲线E的方程；(2)过点P2,1作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，求证：点H恒在一条定直线上．【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知M1,0，N4,3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，A-2,0，B2,0分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点C6,0，当直线l经过点D-2,2时，直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于P，Q(异于A，B)两点，且直线AP与BQ的斜率之和为-12，求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P，Q与T均不重合)？若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点，线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)设A (-2,0),B (2,0)，过F 2的直线l 交曲线E 于M ，N 两点(点M 在x 轴上方)，设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2，求证：k 1k 2为定值．【变式演练】1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >0，b >0)，离心率e =55，P 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形，且AF 2 =λF 2C ，BF 2 =μF 2D ，若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍，试问直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型：三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且P1,32在椭圆C上，PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点，D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3，若k1+k3=2k2，证明：点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0)，过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0)，当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2．探索1k⋅1k1+1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型十四定比分点型：a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ ，求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ，N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点，原点O 到直线MN 的距离为32，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2，并且与椭圆交于A ，B 两点，若AF 2 =12F 2B ，求直线AB 的方程．题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，三角形AF1F2的周长为6，面积为3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形AF2M面积的最大值．题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图，已知点B2,1，点N为直线OB上除O，B两点外的任意一点，BK，NH分别垂直y轴于点K，H，NA⊥BK于点A，直线OA，NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若E3,0，C，G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧)，且直线EC，EG的斜率之和为0，若△CEG的面积为152，求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，ON=32，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l：y=kx+m k≠0与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l ，使得点A与点B关于直线l 对称，求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程；(2)过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l ：x =12与点F 2,0 ，过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ，且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作直线与C 交于A ，B 两点，设M -1,0 ，直线AM 与直线l 相交于点N ．试问：直线BN 是否经过x 轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2)．(1)设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22，设A 62,12 ，B -62,12，P 0,2 ，其中A ，B 两点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ，N 两点(M 在线段AB 上方)，在AN 上取一点H ，连接MH 交线段AB 于T ，若T 为MH 的中点，证明：直线MH 的斜率为定值．6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，F 1(-1,0)，F 2(1,0)，点P 为平面内的动点，且满足∠F 1PF 2=2θ，PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2．(1)求PF 1 +PF 2 的值，并求出点P 的轨迹E 的方程；(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点，B 关于原点O 的对称点为点C ，直线AF 2与直线CF 1的交点为T ．当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l 的方程．7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，短轴长等于焦距．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线交C 于P ，Q ，交直线x =22于点N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若(k 1+k 2)k 3=1，求|OP |2+|OQ |2的值．8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2：x 22+y 2=1的离心率相等，C 1的焦距是22．(1)求C 1的标准方程；(2)P 为直线l ：x =4上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线C 1的交点A ，B 满足PA PB =AT TB？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．。
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
圆锥曲线压轴大题之方法总结(学生版)
圆锥曲线大题常用方法总结一、齐次化构造【例1】(2022届海南高三下检测)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左､右焦点分别为21F F 、，点()1,0-M 是椭圆的一个顶点,21MF F ∆是等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆于B A 、两点,设两直线的斜率分别为21k k ，,且421=+k k ,求证：直线AB 过定点.【例2】(2024河南一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，其长轴长为6，离心率为e 且31＞e ，点D 为E 上一动点，21F DF ∆的面积的最大值为22，过()0,3-P 的直线21l l 、分别与椭圆E 交于B A 、两点（异于点P ），与直线8=x 交于N M 、两点，且N M 、两点的纵坐标之和为11．过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）问：平面内是否存在定点Q ，使得HQ 为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【例3】(2022抚顺一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+，若下列四点_____中恰有三点在椭圆C 上．①()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1,23,1,1,0,1,14321P P P P ;②()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222,22,2,1,0,2,24321P P P P ．（1）从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于B A 、两点，直线A P 2与直线B P 2的斜率之和为1-，过坐标原点O 作AB OD ⊥，垂足为D （若直线l 过原点O ，则垂足D 视作与原点O 重合），证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【例4】(2023隆回一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点相同，21F F 、为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，21F MF ∆面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不过原点的直线：m kx y +=与椭圆C 交于B A 、两点①若直线2AF 与2BF 的斜率分别为21,k k ，且021=+k k ，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l 的斜率是直线OB OA 、斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围．【例5】(2022北京朝阳一模)已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的离心率为3，右准线方程为33=x （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆222=+y x O ：上动点()00,y x P ()000≠y x 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A 、，证明AOB ∠的大小为定值．【例6】(2023岳麓区三模)已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛231，A ,其长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆C 交于F E 、两点，若直线AF AE 、的斜率分别为21k k ，，且221=⋅k k ．求证：直线l 恒过定点.【例7】(2022长沙模拟)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左顶点为A ,离心率为33=e ，点B 为椭圆E 上一动点，ABO ∆的面积的最大值为26.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆E 交于N M 、两点（异于点A ），以MN 为直径的圆恒过点A ．求证：直线l 恒过定点.【例8】(2022⋅新高考全国Ⅰ)已知点()12，A 在双曲线()111:2222＞a a y a x C =--上，直线l 与C 交于Q P 、两点,直线AQ AP 、的斜率之和0（Ⅰ）求直线l 的斜率；（Ⅱ）若22tan =∠P AQ ,求P AQ ∆的面积.二、定比点差法【例1】（2023徐州一模）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的短轴长为22，离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,4P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的B A 、两点，在线段AB 上取点Q ，满足PB AQ QB AP ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【例2】（2020•武昌区一模拟）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x M =+经过点()2,0-A ，离心率为33．（1）求椭圆M 的方程；（2）经过点()1,0E 且斜率存在的直线l 交椭圆于N Q 、两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接AB ，AN ．是否存在实数λ，使得对任意直线l ，都有AB AN k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2022昌平一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，点P 为E 上一动点且满足421=+PF PF ，离心率为e ，且21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线21,PF PF 交椭圆于B A 、两点，A F PF 111λ=，B F PF 222λ=，证明：21λλ+为定值.三、同构转化法【例1】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以⎪⎭⎫ ⎝⎛250、E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【例2】（2020•浙江）已知抛物线y x C =21:，圆()14:222=-+y x C 的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于B A 、两点，若过P M 、两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【例3】（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A 、满足PB P A 、的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆()014:22＜x y x C =+上的动点，求P AB ∆面积的取值范围．【例4】（2022慈溪市一模）已知抛物线2:ax y C =（a 是常数）过点()2,2-P ，动点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）当1=t 时，求直线AB 的方程；（3）证明：直线AB 过定点．【例5】（2022荔湾区模拟）已知直线03=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆C 的方程．（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2x y =相交于N M 、两点（异于原点）．证明：以MN 为直径的圆与圆C 相交．（3）若抛物线2x y =上任意三个不同的点R Q P 、、，满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．【例6】（2019天心区一模）已知椭圆()01:22221＞＞b a by a x C =+的两个焦点21F F 、，动点P 在椭圆上，且使得o PF F 9021=∠的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22-=x 上的动点T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为B A 、，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点D C 、，求CDAB 的取值范围．【例7】（2021大同三模）已知抛物线x y 22=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()2,4M 为平面上的定点，点C B 、是y 轴上不同的两点．（1）求PM PF +的最小值，并求此时P 点的坐标；（2）若圆()1122=+-y x 是PBC ∆的内切圆，求PBC ∆的面积的最小值．四、非对称性韦达定理【对称韦达】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，长轴长为4，离心率为21=e ．过右焦点F 的直线l 交椭圆E 于D C ,两点（均不与B A 、重合），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l 变动时，总有21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【例1】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，焦距为2，直线l 与椭圆交于C ，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．①123k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断21k k 是否为定值，并说明理由．【例2】如图，已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，离心率为21，B A 、分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为()0＞k k 的直线l 与椭圆相交于N M 、两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记BFN AFM ∆∆、的面积分别为21,S S ，若，5611=S S 求k 的值；（3）记直线BN AM ,的斜率分别为21k k ，，求12k k 的值．【例3】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右焦点分别为()()0,10,121F F 、-，左、右顶点分别为B A 、，()y x P ,为椭圆E 上一点，且()()4112222=++++-y x y x ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过1F 的直线与椭圆E 交于D C 、两点（其中点C 位于x 轴上方），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，，求211k k +的最小值．【例4】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点T （2，0），交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记△PAT 面积为1S ，△QBT 面积为2S ，求证：21S S 为定值．【例5】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-，焦点到渐近线2x ﹣y ＝0的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值31-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G ．若不存在，请说明理由．【例6】如图，O 为坐标原点，椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上、下顶点，且32=MN （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A ，B 两点，直线AM ，BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．。
圆锥曲线离心率归类(学生版)
圆锥曲线离心率归类目录题型01 离心率基础题型02 第一定义求离心率题型03 中点型求离心率题型04 点差法型求离心率(第三定义型)题型05 渐近线型离心率题型06 渐近线中点型求离心率题型07 构造a、b、c齐次式型题型08 焦半径型离心率题型09 焦点三角形求离心率题型10 双焦点三角形余弦定理型题型11 焦点三角形双角度型题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率题型13 借助均值不等式求共焦点型题型14 焦点三角形内心型求离心率题型15 焦点三角形重心型求离心率题型16 小题大做型求离心率高考练场题型01离心率基础【解题攻略】求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.1P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F为椭圆的右焦点，PF⊥x轴，过点P作斜率为13的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()A.16B.13C.23D.562(2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习)双曲线y =kx(k >0)的离心率用e =f (k )来表示，则f (k )()A.在(0,+∞)上是增函数B.在(0,+∞)上是减函数C.在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D.是常数3(2023秋·高三课时练习)实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.34已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为C 上一点，若PF 2⊥F 1F 2，且∠PF 1F 2=30°，则椭圆C 的离心率为()A.16B.36C.13D.335已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，若△PF 1F 2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C 的离心率为( )．A.34B.45C.23D.225题型02 第一定义求离心率【解题攻略】解题时要把所给的几何特征转化为a ,b ,c 的关系式．求离心率的常用方法有：(1)根据条件求得a ,b ,c ，利用e =ca或e =1+b 2a2求解；(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的方程或不等式，利用e =ca将其化为关于e 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.2设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)点A (-2,1)为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ，使得PA +PF =8，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A.49,47B.49，47C.29,27D.29,273椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1､F 2，直线l :y =kx 与C 交于A ､B 两点，若F 2O =12AB ，∠BAF 2=θ，当θ∈π12,π6时，C 的离心率的最小值为()A.2-1B.22C.63D.3-14已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.5设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，点Q c ,a2 在椭圆的内部，点P 是椭圆上的动点，且PF 1 +PQ <5F 1F 2 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为()A.14,22B.13,32C.13,22D.14,1题型03 中点型求离心率【解题攻略】直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
妙解离心率问题(学生版)-高中数学
妙解离心率问题【目录】考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题考点二：焦点三角形顶角范围与离心率考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形考点八：焦点到渐近线距离为b考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题考点十一：渐近线平行线与面积问题考点十二：数形结合转化长度角度求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I 卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系．2.利用线段长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，PF1∈a-c,a+c；F1,F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，PF1≥c-a．3.利用角度长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若∠F1PF2=θ，则椭圆离心率e的取值范围为sinθ2≤e<1．4.利用题目不等关系建立不等关系．5.利用判别式建立不等关系．6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7.利用基本不等式，建立不等关系．1(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1)，C2:x24+y2=1的离心率分别为e1，e2．若e2=3e1，则a=()A.233B.2C.3D.62(2023•甲卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.55B.255C.355D.4553(2022•甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A.32B.22C.12D.134(2021•甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为()A.7B.13C.72D.1325(2021•天津)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|=2|AB|，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.36(2022•甲卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 ⋅BA 2=-1，则C 的方程为()A.x 218+y 216=1B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D.x 22+y 2=17(2022•全国)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1垂直，则C 的离心率为()A.5B.5C.54D.528(多选题)(2022•乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为()A.52B.32C.132D.1729(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ，F 2A =-23F 2B，则C 的离心率为．10(2022•浙江)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2．若|FB |=3|FA |，则双曲线的离心率是．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：e =1sin α+cos α=12sin α+π4，根据α范围求解值域．双曲线：e =1cos α−sin α=12cos α+π4，根据α范围求解值域．1(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π3 ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是()A.22,3-1 B.22,63C.3-1,63D.63,621(2024·高三单元测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.3-1,63B.3-1,32C.64,63D.0,632(2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.22,63B.3-12,32C.3-1,63D.22,323(2024·河南驻马店·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2(a >b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⋅BF =0，设∠BAF =θ且θ∈π4,5π12，则双曲线C 离心率的取值范围是()A.(2,2]B.[2,+∞)C.(2,+∞)D.(2,+∞)考点二：焦点三角形顶角范围与离心率F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=θ，则cos θ≥1−2e 2(当且仅当动点为短轴端点时取等号)．1(2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足ΔPF 1F 2是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为() A.12B.32C.22D.331(2024·江西抚州·高三统考期末)设F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使∠F 1PF 2=120°,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,32B.0,32C.32,1D.32,1 2(2024·宁夏·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，22B.22，1 C.0，22D.12，223(2024·高三课时练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,1考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题sin 2α2e 椭2+cos 2α2e 双2=1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围1(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是()A.22，62B.12，52C.33，6 D.24，31(2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P ，Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且QF 2⊥F 2P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则4e 21+e 22最小值等于．2(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1 =24，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 1e 2的取值范围是()A.19,+∞B.1,+∞C.13,+∞D.12,+∞考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体椭圆与双曲线的4a 通径体如图，若AF 2⊥F 1F 2，易知AF 2 =b 2a ，若AF 1 =λF 1B (λ>1)，则一定有AF 1 =λ+12⋅b 2a，根据AF 1 +AF 2 =2a 可得λ+32⋅b 2a =2a ，即λ+34⋅(1-e 2)=1⇒e =λ-1λ+31(2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M 、N 两点，若MF 2 =F 1F 2 ，且2MF 1 =NF 1 ，则双曲线C 的离心率是() A.43B.53C.52D.321(2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点.若MN +NF 2 =2MF 2 ，且MF 2⊥NF 2，则椭圆C 的离心率为() A.33B.55C.22D.662(2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，∠MF 2N =90°，且4F 2N =3F 2M ，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.33D.55考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且AF 1=λF 1B ，∠AF 1F 2=α，则e cos α=λ−1λ+1可得离心率．如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且AF 2=λF 2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，AF 2 =λ+12⋅b 2a ，借助公式e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．1(2024·山东济南·校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为()A.23B.34C.53D.741(2024·安徽池州·高三统考期末)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1-c ,0 的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3 F 1B ，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是()A.12B.52C.32D.222(2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 2 =λF 2B ，且AF 1 ⋅AF 2 =0，椭圆C 的离心率为22，则实数λ=()A.23B.2C.13D.3考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次1已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若│AF 2 =2F 2B ，AB │=BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=11(2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=2F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.7B.2C.213D.32(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=3F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.2D.3考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形当F 2A =F 2B 或者AB =4a 时，令∠AF 1F 2=α,则一定存在①F 1M =F 2B ，②e =1cos2α1(2024·河南·高三校联考阶段练习)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点，直线l ：x -3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.153B.53C.13D.521(2024·贵州·校联考模拟预测)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x -2y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN ⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.53B.43C.153D.2332(2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1作斜率为33的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于M ,N 两点，且F 2M +F 2N ⋅MN =0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.23(2024·全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin ∠ABF 22=14，AB =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.3D.2考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线l 1:y =b a x ，l 2:y =-bax ，过右焦点作FM ⊥l 1，FN ⊥l 2，由于渐近线方程为y =±b a x ，故MF 2 OM =NF 2 ON =b a ，且斜边OF 2 =c ，故MF 2 OF 2 =NF 2 OF 2=bc ，故OM =ON =a ，MF 2=NF 2 =b .1(2024·河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段EF 2的中点，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.51(2024·吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M (异于坐标原点O )，若线段MF 1交双曲线于点P ，且MF 2⎳OP 则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52D.62(2024·山西运城·高三统考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，若线段MF 1交双曲线于点P ，且PF 2 =5PF 1 ，则双曲线的离心率为()A.264B.344C.2D.33(2024·辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A .若△OFA (O 为坐标原点)的面积等于14c 2(c 为双曲线C 的半焦距)，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.54(2024·广西南宁·统考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1 =2F 1N，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P (点O 为坐标原点)，且|ON |=|OP |，则双曲线E 的离心率e =()A.5B.3C.233D.62考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化1(2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA =FB，则此双曲线的离心率为()A.2B.53C.233D.31(2024·广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(2，+∞)B.(3，+∞)C.(2，+∞)D.(3，+∞)2(2024·江西新余·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AF =25AB，则C 的离心率为()A.305B.2C.233D.52考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以F 1F 2为直径作圆，交一条渐近线y =bax 于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则∠BF 1F 2=α2，e =1+tan 2α1(2024·全国·校联考)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 及其一条渐近线在第一象限分别交于A ,B 两点，且OF =2OA -OB(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A.2.B.3C.322D.2331(2024·山西晋城·统考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx -ay =0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O =2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.32C.3D.22(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双曲线C 的离心率为()A.1+32B.1+52C.1+3D.1+53(2024·陕西宝鸡·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，且以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第四象限交点为P ，PF 1交双曲线左支于Q ，若2F 1Q =QP，则双曲线的离心率为()A.10+12B.10C.5+12D.5考点十一：渐近线平行线与面积问题①双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a 2b 2c 2②双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1上的任意点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交于A ，B 两点，则PA PB 是一个常数c 24，S AOBP =ab 2，OA ⋅OB =a 2−b 241(2024·北京·人大附中校考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若cos ∠MF 1N =513，则C 的离心率为()A.2B.852C.5D.531(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点P 坐标为(5,m )(m >0),F 为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是.2(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)右支上一点P 作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M ，N ，O 为坐标原点，设△OMN 的面积为S ，若S ≥b 22，则双曲线C 的离心率取值范围为．(用区间作答)考点十二：数形结合转化长度角度数形结合1(2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 是C 左支上一点，PF 2 =2PF 1 ，若存在点M 满足F 1P =2MP ,OM ⋅FP 1=0，则C 的离心率为.1(2024·内蒙古赤峰·高三校考期末)已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点A 在Γ上，且AF 1 ⋅AF 2=0，射线AO ,AF 2分别交Γ于B ,C 两点(O 为坐标原点)，若F 2B =F 2C ，则Γ的离心率为．2(2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末)如图，已知双曲线C ：x 2a2-y 2a +2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线F 2M 与y 轴的正半轴交于A 点，△AMF 1的内切圆在边MF 1上的切点为N ，若MN =2，则双曲线C 的离心率为.。
高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）
圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。
来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。
，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。
二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
，可用整体代入套用公式。
解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。
这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。
三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。
专题49 离心率及其范围问题(学生版)
专题49 离心率及其范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线 离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一般说来，小题的难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ．例2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为 ．例3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程,,a b c a ,,a b c ,,a b c ,,a b c ()0,1e ∈()1,+e ∈∞为y x =，则该双曲线的离心率是 ． 例4．（2020·山西大同·高三三模）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆交于ABCD 四个点，且12AF DCF B 为正六边形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C ．2D 1例5．（2020·陕西西安·高新一中高三三模）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左焦点为(,0)F c -，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(2,0)P c ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D ．2例6．（2020·广西柳州·高三三模）已知点12,F F 分别是双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 3PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(1B ．)+∞C ．(1D ．2] 例7．（2020·安徽合肥·高三三模）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 是椭圆C 上一点，且1PF 与x 轴垂直，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ．若直线PQ 的斜率为34-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．4B ．12C ．2D 例8．（2020·江苏鼓楼·金陵中学高三三模）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：430x y -=与椭圆C 相交于A ，B 两点.若6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．50,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．13⎛⎤⎥⎝⎦【精选精练】1．（2020·江西昌江·景德镇一中高三三模）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，B为该椭圆的右顶点，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），若1//BP FQ ，则椭圆的离心率为（ ）A B ．12C ．13D ．232．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．23B ．34C D 3．（2020·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三三模）椭圆中心为原点，且焦点在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，P 为椭圆上一点，90OPA ︒∠=，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12⎡⎢⎣⎭4．（2020·北京高三三模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 5．（2020·河南洛阳·高三三模）已知双曲线T ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与T 在第一、三象限内分别交于点M ，N ，四边形12F MF N 的面积为60，周长为34，则双曲线T 的离心率为（ ）A ．135B ．137C ．125D ．756．（2020·广西南宁三中高三三模）圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)7．（2020·广西南宁三中高三三模）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 1||OP OF =（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B 1C D 18．（2020·安徽高三三模）已知P （不在x 轴上）是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>上一点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是C 的左、右焦点，记12PF F α∠=，21PF F β∠=，若sin sin a c βα=，则C 的离心率的取值范围是（ ）.A ．()1,2B ．()1+∞C ．(21+, D ．(1,19．（2020·河南高三三模）已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过()1,0F c -作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，若12F AF ∠的平分线过点1,03M c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C ．3D10．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三三模）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2C ．52D ．511．（2020·江苏如皋·高三三模）在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 为椭圆的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若3AM MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为（ ）A ．2B ．12C ．12D ．1312．（2020·邵东县第十中学高三三模）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为（ ）。
圆锥曲线的离心率专项练习(含解析)
圆锥曲线的离心率专项练习一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2BCD ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．14D 3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3B ．23C ．2D ．126．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．29．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．23D ．3310．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．263C ．3D ．211．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．32D ．2212．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A 5B 10C ．52D ．5二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____. 17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______.20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．例22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2 B．2CD ．1【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求a . 【详解】由双曲线方程可知223c a =+，因为2c e a ==，所以22234a e a+==，解得：21a = ， 又0a >，所以1a =. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法： 1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ） A ．12B．2C ．14D【答案】D 【解析】 【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．12BC ．13D【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案. 【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1213PF =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．2C 3D 23【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以e = 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A．B ．23CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为3b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a −b ，∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a −b )2=4c 2，()2222(2)4b a b a b ∴+-=-，32a b ∴=,则23b a =，22513c b e a a ∴==-=. 故选：A . 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出1b a =，再由e =可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由于双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则1b a =，因此，该双曲线的离心率为c e a =====故选：A. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A．BC ．12D【答案】A 【解析】 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a=，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得512e -=． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将直线l 的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出,A B 的纵坐标，再利用已知条件求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则2e =故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a 、b 、c 的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A．BCD【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐进线方程，可得到a 值，再由,,a b c 的关系和离心率公式，即可得到答案. 【详解】由渐近线方程为y ==，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3cea===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与a b、的关系，找到关于a b c、、的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题. 11．过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BF FA=，则C的离心率为（）A．13B3CD【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c-，由3BF FA=，得4,33bA c⎛⎫--⎪⎝⎭，点A在椭圆上，则：22224331bca b⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c ce ea a⋅=∴===.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A．5B ．102C ．52D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设2AF m =，根据1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点可知，13AF m =，4AB m =，23BF m =，再利用双曲线的定义可得1222AF AF m a -==，即a m =， 且15BF a =，然后解出21210F F c a ==，则可解得离心率的值. 【详解】如图所示，连接1BF ，设2AF m =，则4AB m =，因为1:3:4AF AB =，则13AF m =，所以1222AF AF m a -==，得a m =， 又122BF BF a -=，且233BF m a ==，所以1325BF m a a =+=， 所以22211AF AB BF +=，即12AF AF ⊥， 故2110F F a =，即210c a = 所以10c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义运用，焦点弦长的计算、离心率计算问题，难度一般，根据几何条件得出a ，c 的关系即可.二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________. 【答案】22【解析】 【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =， 由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=， 所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.【答案】6+ 【解析】 【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为11,,a b c ， 双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ， 所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得到()1242c a a =-， 即121222a a c a c a -=⇒+=.所以2121223364344e a a c c e c a c a +=+=++66≥+=+当且仅当2c =取等号， 则2134e e +的最小值为6.故答案为：6. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】 【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率． 【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得e =【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.. 【解析】 【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________1 【解析】【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解. 【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅， 所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =， 所以)113312PF PF OF c a +=+==，所以离心率3131ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______. 6 【解析】【分析】 首先联立直线与椭圆的方程求出B ，C 两点坐标，由此求出BF 、CF ，由90BFC ∠=得0BF CF ⋅=，从而可得a c 、的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】222142233c e a ==⨯= 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为90BFC ∠=，所以BF CF ⊥，所以0BF CF ⋅=，即3302222b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22231044c a b -+=，因为222b a c =-， 所以22223110444c a a c -+-=，即223142c a =，所以22223c e a ==，所以6e =， 故答案为：63【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出a 、c 的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a 、b 、c 的其次方程或不等式，借助于222b a c =-消去b ，转化为含有e 的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率；20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】 由题中条件，得到BC BA =，由此得到2234a b =，再由双曲线中222c a b =+，即可求出离心率.【详解】 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ， 则2AB a =，(),0A a -，(),0B a ，又2(0)C b ,，线段AC 的垂直平分线过点B ， 所以BC BA =2a =，则2234b a =， 所以2222223744c a b a a a =+=+=，因此2c e a ===.故答案为：2. 例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l，求双曲线的离心率． 【答案】e ＝2.【解析】【分析】先求出直线l 的方程，利用原点到直线l 的距离为3 c ，222c a b =+，求出22a c 的值，进而根据0a b <<求出离心率．【详解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，得＝c . 将b ＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e ＝，∴e ＝或e ＝2.又0<a <b ，故e ＝＝＝>. ∴应舍去e ＝.故所求离心率e ＝2.【点睛】 本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,,a b c 的等式，属于中档题．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.2.【解析】【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =，又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22c bc =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e =【解析】【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF 与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12FF P 为等腰三角形，又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =.在1RT MF O △中，1MF b ===， 所以14PF b =. 因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+.所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=， 解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.。
圆锥曲线的离心率 (2)
离心率的范围问题 学生版
微重点 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1B.14,35C.12,1D.0,142(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,53(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2B.2,+∞C.1,5D.5,+∞4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．考点二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C 2：x 2=2py (p >0)，椭圆C 1与抛物线C 2相交于不同的两点A ,B ，且四边形ABF 1F 2的外接圆直径为5c 2，若b >c ，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.55,22B.22,255C.55,255D.255,12(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1,A 2,B 1,B 2椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,13(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B =3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2)B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]考点三 利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.52(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =ba x +b 2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,133(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62B.62,+∞ C.324,62 D.62,1423(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为() A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂直平分线段AB ，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,25(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x 2m-y 24-m =1，m ∈0,4 ，过点P 2,1 可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,52C.1,2D.1,26(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,17(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,4638(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为111(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.13(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上(点P 不在x 轴上)，且PF 1 =5PF 2 .(1)用a 表示PF 1 ,PF 2 ；(2)若∠F 1PF 2是钝角，求双曲线离心率e 的取值范围.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为e．(1)若e=2，且双曲线E经过点(2,1)，求双曲线E的方程；(2)若a=2，双曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，点M在第一象限且在双曲线E上，若MF1=8，求cos∠F1MF2的值；(3)设圆O:x2+y2=4，k,m∈R．若动直线l:y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线E交于A,B时，总有∠AOB=π2，求双曲线E离心率e的取值范围．19(22-23高三下·上海浦东新·阶段练习)已知坐标平面xOy上左、右焦点为-4,0，4,0的双曲线C1:x2m2-y2n2=1m,n>0和圆C2:x2+y-a2=9a∈R．(1)若C1的实轴恰为C2的一条直径，求C1的方程；(2)若C1的一条渐近线为y=3x，且C1与C2恰有两个公共点，求a的值；(3)设a=5，若存在C2上的点P x0,y0，使得直线l P:x0xm2-y0yn2=1与C1恰有一个公共点，求C1的离心率的取值范围．。
圆锥曲线(学生版)--2024年高考数学大题突破
圆锥曲线目录【题型一】轨迹【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型四】面积比值范围型【题型五】非常规型四边形面积最值型【题型六】“三定”型：圆过定点【题型七】“三定”型：斜率和定【题型八】“三定”型：斜率积定【题型九】圆锥曲线切线型【题型十】“韦达定理”不能直接用【题型十一】“非韦达”型：点带入型【题型一】轨迹求轨迹方程的常见方法有:(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标x0,y0所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.1(2024·重庆·模拟预测)已知点F-1,0和直线m:x=2，点P到m的距离d=4-2PF.(1)求点P的轨迹方程；(2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，记k1k2 =t，是否存在t值使得△OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.2(2024·辽宁·一模)已知平面上一动点P到定点F12,0的距离比到定直线x=-2023的距离小40452，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)点A2,1,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S≤86 9.3(2024·山东淄博·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点.F 5,0 ，点P x ,y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆D :x 2+y 2=1相切，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设点A (1,0),M (0,t ),N (0,4-t )(t ≠2)，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ⊥ST ，垂足为H ，求|OH |的最大值.【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹1(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．2(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C0,1，若A,B,C三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由.3(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z对应的复数z满足z2-z2-9=7，设点Z的运动轨迹为W．点 O 对应的数是0．(1)证明W是一个双曲线并求其离心率e；(2)设W的右焦点为 F1 ，其长半轴长为L，点Z到直线x=Le的距离为d(点Z在W的右支上)，证明：ZF1=ed；(3)设W的两条渐近线分别为 l1，l2 ，过Z分别作 l1，l2 的平行线l3，l4分别交l2，l1于点 P，Q ，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．【题型三】直线所过定点不在坐标轴上存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．1已知点M 是抛物线C :x 2=2py p >0 的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足PM =22．(1)求抛物线C 的方程；(2)过A -1,1 作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点T 0,t t >0 ，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t =λk ？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．2已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为233，点P 2,3 到其左右焦点F 1，F 2的距离的差为2．(1)求双曲线C 的方程；(2)在直线x +2y +t =0上存在一点Q ，过Q 作两条相互垂直的直线均与双曲线C 相切，求t 的取值范围．3已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上任意一点Q (异于顶点)与双曲线两顶点连线的斜率之积为19，E 在双曲线C 上，F 为双曲线C 的右焦点，|EF |的最小值为10-3.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过椭圆x 2m 2+y 2n2=1(m >n >0)上任意一点P (P 不在C 的渐近线上)分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M ，N 两点，且|PM |2+|PN |2=5，是否存在m ，n 使得椭圆的离心率为223？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【题型四】面积比值范围型圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.1(2022·全国·高三专题练习)F c,0是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，其中c∈N*.点A、B分别为椭圆E的左、右顶点，圆F过点B与坐标原点O，P是椭圆上异于A、B的动点，且△PBF的周长小于8.(1)求C的标准方程；(2)连接BP与圆F交于点Q，若OQ与AP交于点M，求S△OPQS△MBQ的取值范围.2(2023下·福建福州·高三校考)如图，已知圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A(-2,0)，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|=3.(1)求椭圆C的方程；(2)记△AMF,△ANF的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围.3(2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2，左、右焦点分别为F 1,F 2，圆A 2:(x -2)2+y 2=r 2(r >0)，椭圆C 与圆A 2交于点D ，且k DA2⋅k DA 1=-34.(1)求椭圆方程.(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，与圆A 2交于M ,N 两点，且S △A 1PQS △A 2MN=3，求r 的取值范围.【题型五】非常规型四边形面积最值型求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为S DMEN=12x N-x My1-y2，为此计算y1-y2，x N-x M代入转化为k的函数求最大值.1(2023·全国·高三专题练习)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动，L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F1-3,0,F23,0，抛物线的焦点为S，记焦点S的轨迹为S．(1)求S的方程；(2)过动点P的两条直线l1,l2均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l1,l2的斜率之积为-1，求四边形PAOB面积的取值范围．2(2023·全国·高三专题练习)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，以F1F2为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形GF1F2的面积为1，其内切圆的半径为2-3．(1)求椭圆C的方程；(2)已知A是椭圆C的上顶点，过点P-2,1的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D在第二象限，直线AD、AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值．3(2023·全国·高三专题练习)如图．已知圆M :(x -2)2+y 2=81，圆N :(x +2)2+y 2=1．动圆S 与这两个圆均内切．(1)求圆心S 的轨迹C 的方程；(2)若P 2,3 、Q 2,-3 是曲线C 上的两点，A 、B 是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【题型六】“三定”型：圆过定点圆过定点思维：1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题五 第二讲 离心率专题
离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。
一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心
率，只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式，从而根据221c b e a a ==-（这是椭圆）2
21c b e a a
==+（这是双曲线），就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。
许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！
一、求椭圆与双曲线离心率的值：
（一）、用定义求离心率问题：
122121(05,,
221A.
B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ∆例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
－－－
【强化训练】1.在ABC △中，AB BC =，7cos 18
B =-
．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =．
2、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；
3、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。
4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A ．324+
B ．13-
C ．213+
D ．13+
5、如图，1F 和2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交
点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
（A ）3（B ）5（C ）
2
5（D ）31+
（二）、列方程求离心率问题：构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e
例2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为.
变式：设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6
【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.
【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲
线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
（A
（B
（C
（D
2.在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2
c ，以O 为圆心，a 为半 径的圆，过点(a 2c
，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e =．
3.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a>b>0
）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =( )
（A ）1 （B
（C
（D ）2
4.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为
5. 已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F ,过F
的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为（ ） .
A ．65 B. 75 C. 58 D. 95
二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式. 模型三：几何性质求离心率： 例3.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．
【强化训练】1.已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ， 使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．
2．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c
=，则该双曲线的离心率的取值范围是．
例4.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．1(0,]2 C
． D
．
【强化训练】1、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，
Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，
Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭
2、已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）
A ．43
B ．53
C ．2
D ．73
3、双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞。