习题解答 (2)

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材料科学基础-张代东-习题答案(2)

第1章习题解答1-1 解释下列基本概念金属键，离子键，共价键，范德华力，氢键，晶体，非晶体，理想晶体，单晶体，多晶体，晶体结构，空间点阵，阵点，晶胞，7个晶系，14种布拉菲点阵，晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带，晶带轴，晶带定理，晶面间距，面心立方，体心立方，密排立方，多晶型性，同素异构体，点阵常数，晶胞原子数，配位数，致密度，四面体间隙，八面体间隙，点缺陷，线缺陷，面缺陷，空位，间隙原子，肖脱基缺陷，弗兰克尔缺陷，点缺陷的平衡浓度，热缺陷，过饱和点缺陷，刃型位错，螺型位错，混合位错，柏氏回路，柏氏矢量，位错的应力场，位错的应变能，位错密度，晶界，亚晶界，小角度晶界，大角度晶界，对称倾斜晶界，不对称倾斜晶界，扭转晶界，晶界能，孪晶界，相界，共格相界，半共格相界，错配度，非共格相界（略）1-2 原子间的结合键共有几种？各自特点如何？答：原子间的键合方式及其特点见下表。

类型特点离子键以离子为结合单位，无方向性和饱和性共价键共用电子对，有方向性键和饱和性金属键电子的共有化，无方向性键和饱和性分子键借助瞬时电偶极矩的感应作用，无方向性和饱和性氢键依靠氢桥有方向性和饱和性1-3 问什么四方晶系中只有简单四方和体心四方两种点阵类型？答：如下图所示，底心四方点阵可取成更简单的简单四方点阵，面心四方点阵可取成更简单的体心四方点阵，故四方晶系中只有简单四方和体心四方两种点阵类型。

1-4 试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。

证明：根据晶面指数的确定规则并参照下图，（hkl ）晶面ABC 在a 、b 、c 坐标轴上的截距分别为h a 、k b 、l c ，k h b a AB +-=，l h c a AC +-=，lk ca BC +-=；根据晶向指数的确定规则，[hkl ]晶向cb a L l k h ++=。

利用立方晶系中a=b=c ， 90=γ=β=α的特点，有 0))((=+-++=⋅k h l k h ba cb a AB L 0))((=+-++=⋅lh l k h ca cb a AC L 由于L 与ABC 面上相交的两条直线垂直，所以L 垂直于ABC 面，从而在立方晶系具有相同指数的晶向和晶面相互垂直。

习题二解答

第2章逻辑门电路2.1解题指导[例2-1] 试用74LS 系列逻辑门，驱动一只V D =1.5V ，I D =6mA 的发光二极管。

解：74LS 系列与之对应的是T4000系列。

与非门74LS00的I OL为4mA ，不能驱动I D =6mA 的发光二极管。

集电极开路与非门74LS01的I OL 为6mA ，故可选用74LS01来驱动发光二极管，其电路如图所示。

限流电阻R 为Ω=--=--=k V V V R OL D CC 5.065.05.156[例2-2] 试分析图2-2所示电路的逻辑功能。

解：由模拟开关的功能知：当A =1时，开关接通。

传输门导通时，其导通电阻小于1k Ω，1k Ω与200k Ω电阻分压，输出电平近似为0V 。

而A =0时，开关断开，呈高阻态。

109Ω以上的电阻与200k Ω电阻分压，输出电平近似为V DD 。

故电路实现了非逻辑功能。

[例2-3] 试写出由TTL 门构成的逻辑图如图2-3所示的输出F 。

&≥1F≥1A B图2-3 例2-3门电路A BF图2-4 例2-4门电路解：由TTL 门输入端悬空逻辑上认为是1可写出 [例2-4] 试分别写出由TTL 门和CMOS 门构成的如图2-4所示逻辑图的表达式或逻辑值。

解：由TTL 门组成上面逻辑门由于10k Ω大于开门电阻R ON ，所以，无论 A 、B 为何值由CMOS 门组成上面逻辑门由于CMOS 无开门电阻和关门电阻之说，所以，2.2 习题解答2-1 一个电路如图2-5所示，其三极管为硅管，β=20，试求：ν1小于何值时，三极管T 截止，ν1大于何值时，三极管T 饱和。

解：设v BE =0V 时，三极管T 截止。

T 截止时，I B =0。

此时 10)10(020--=-I v v I =2VT 临界饱和时，v CE =0.7V 。

此时mA I BS 0465.010207.010=⨯-= mA v I I I BS B 0465.010)10(7.027.0=----==v I=4.2Vv I v O BB 图2-5三极管电路A BF 图2-1例2-1 OC 门驱动发光二极管FA 图2-2 例2-2 模拟开关ΩV V 020011DD F ≈+=DD DD 44DD599F 210101021010V V V V ≈+≈⨯+=AB A F =++⋅=110≡F AB F =上述计算说明v I <2V 时，T 截止；v I >4.2V 时，T 饱和。

材料科学基础-张代东-习题问题详解(2)

第1章习题解答1-1 解释下列基本概念金属键，离子键，共价键，德华力，氢键，晶体，非晶体，理想晶体，单晶体，多晶体，晶体结构，空间点阵，阵点，晶胞，7个晶系，14种布拉菲点阵，晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带，晶带轴，晶带定理，晶面间距，面心立方，体心立方，密排立方，多晶型性，同素异构体，点阵常数，晶胞原子数，配位数，致密度，四面体间隙，八面体间隙，点缺陷，线缺陷，面缺陷，空位，间隙原子，肖脱基缺陷，弗兰克尔缺陷，点缺陷的平衡浓度，热缺陷，过饱和点缺陷，刃型位错，螺型位错，混合位错，柏氏回路，柏氏矢量，位错的应力场，位错的应变能，位错密度，晶界，亚晶界，小角度晶界，大角度晶界，对称倾斜晶界，不对称倾斜晶界，扭转晶界，晶界能，孪晶界，相界，共格相界，半共格相界，错配度，非共格相界（略）1-2 原子间的结合键共有几种？各自特点如何？答：原子间的键合方式及其特点见下表。

1-4 试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。

利用立方晶系中a=b=c ，ο90=γ=β=α的特点，有0))((=+-++=⋅kh l k h ba cb a AB L 0))((=+-++=⋅lh l k h ca cb a AC L 由于L 与ABC 面上相交的两条直线垂直，所以L 垂直于ABC 面，从而在立方晶系具有相同指数的晶向和晶面相互垂直。

结构化学习题解答(第二章)

轨道磁距为：
1(1 1) e 2 e
（c）设轨道角动量M和Z轴的夹角为θ，则：
h 0 Mz 2 0 cos h M 2 2
θ=900
（d）电子离核的平均距离的表达式为：
r r d
* 2 pz 2 pz

2
2 2 pz
2
Li2+离子1s态的波函数为：
（a）
27 a e
1s 3 0
2 6 r a0 3 3 0 0
1 2

3 r a0
27 D 4r 4r e a
2 2 1s 1s 2 1s 3
108 re a
2

6 r a0
d 108 6 D 2r r e 0 dr a a 6 2 2r r 0 r a0 a0 r 又 r 0 3 a0 1s电子径向分布最大值在距核处；
1 D1s / a0
r / a0
/ a
2 3 1s 0 1
1.60 2.00 2.30 2.50 3.00
3.50
4.00 4.50 5.00 — —
0.04 0.02 0.01 0.007 0.003 0.001< 0.001
1 D1s / a0
0.42 0.29 0.21 0.17
r r sin drdd
2
0
0
0
(e)
令

2 pz
0 r 0 , r , 90 , 得： 0
节面或节点通常不包括 r 0和r , 故 2 pz 的节面只有一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy 平面内）。亦可直接令函数的角度部分.

应用数值分析(第四版)课后习题答案第2章

第二章习题解答1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。

(2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。

-1设A是nXn的正交矩阵。

证明A也是nXn的正交矩阵。

证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n na ij 0(i j ),b ij 0(i j)nC AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j)k1上三角阵对矩阵乘法封闭。

以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n nAA T A T A E,BB T B T B E(AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB EAB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。

(2) A是nXn的正交矩阵A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =AA-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。

A非奇异.A可逆且A-1非奇异又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设 A 是单位上(下)三角阵。

证A-1也是单位上(下)三角阵。

-1证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xnn由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1)j1故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j)类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解系。

1 21 41A= 0 11 000 01 4512 1 411 2 1 41 解： A=1 1 01 0 450 1451451 2 0 0 410 08 140 1 0 4 5 -14 514514581445故齐次线行方程组 Ax=0的基础解系为14， 2510 013. 求以下矩阵的特征值和特征向量。

无机化学（周祖新）习题解答第二章

无机化学（周祖新）习题解答第二章第二章化学热力学初步思考题1.状态函数得性质之一就是:状态函数得变化值与体系得始态与终态有关;与过程无关。

在U、H、S、G、T、p、V、Q、W中,属于状态函数得就是U、S、G、T、p、V。

在上述状态函数中,属于广度性质得就是U、H、S、G、V,属于强度性质得就是T、p。

2.下列说法就是否正确:⑴状态函数都具有加与性。

⑵系统得状态发生改变时,状态函数均发生了变化。

⑶用盖斯定律计算反应热效应时,其热效应与过程无关。

这表明任何情况下,化学反应得热效应只与反应得起止状态有关,而与反应途径无关。

⑷因为物质得绝对熵随温度得升高而增大,故温度升高可使各种化学反应得△S大大增加。

⑸△H,△S受温度影响很小,所以△G受温度得影响不大。

2.⑴错误。

强度状态函数如T、p就不具有加与性。

⑵错误。

系统得状态发生改变时,肯定有状态函数发生了变化,但并非所有状态函数均发生变化。

如等温过程中温度,热力学能未发生变化。

⑶错误。

盖斯定律中所说得热效应,就是等容热效应ΔU或等压热效应ΔH。

前者就就是热力学能变,后者就是焓变,这两个都就是热力学函数变,都就是在过程确定下得热效应。

⑷错误。

物质得绝对熵确实随温度得升高而增大,但反应物与产物得绝对熵均增加。

化学反应△S得变化要瞧两者增加得多少程度。

一般在无相变得情况,变化同样得温度,产物与反应物得熵变值相近。

故在同温下,可认为△S不受温度影响。

⑸错误。

从公式△G=△H－T△S可见,△G受温度影响很大。

3.标准状况与标准态有何不同？3.标准状态就是指0℃,1atm。

标准态就是指压力为100kPa,温度不规定,但建议温度为25℃。

4.热力学能、热量、温度三者概念就是否相同？试说明之。

4.这三者得概念不同。

热力学能就是体系内所有能量得总与,由于对物质内部得研究没有穷尽,其绝对值还不可知。

热量就是指不同体系由于温差而传递得能量,可以测量出确定值。

温度就是体系内分子平均动能得标志,可以用温度计测量。

课后习题 (2)

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第二章测试系统的基本特性
1.为什么希望测试系统是线性系统：一、目前对线性系统的数学处理和分析方法比较完善；二、动态测量中的非线性校正较困难，对许多实际的测试系统而言不可能在很大的工作范围内全部保持线性，只能在一定的工作范围和允许误差范围内当作线性系统来处理。
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2.频率响应的物理意义是什么？它是如何获得的，为什么说它反映了测试系统的性能？物理意义：在不同参数下系统（或元件）传递信号的能力。确定频率响应的方法通常有两种：①分析法基于物理机理的理论计算方法，只适用于系统结构组成易于确定的情况。 ②实验法采用仪表直接量测的方法，可用于系统结构难以确定的情况。当系统的结构参数给定，频率特性随ω变换的规律也随之确定，所以说它反映了测试系统的性能。
解：δ=3×10-4m, A=πr2=3.14×(5×10-3)2=7.85×10-5m2
工作间隙缩小∆δ=1μm时，电容变化量为
0 A 0 A 8.851012 A 8.851012 A -15 C 7 . 74 10 F 4 4 0 0 2.9910 3 10
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（2）T1=2s时f1 =0.5，幅值误差 δ1=1-A(ω)=1-=0.3763 （3）T2=5s时f2 =0.2，幅值误差 δ2=1-A(ω)=1-=0.283
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4.用一阶测量仪器测量100Hz的正弦信号，如果要求振幅的测量误差小于5%，求仪器的时间常数τ的取值范围。若用该仪器测50Hz的正弦信号，相应的振幅误差和相位滞后是多少？解： 1) f=100Hz，|δ|=|1-A(ω)|< 5%=0.05 所以 11

11简谐振动习题解答(第二版)

习题11解答：一、选择题1 一物体作简谐振动，振动方程为)4cos(π+=tAxω．在t = T/4（T为周期）时刻，物体的加速度为(A)2221ωA-．(B)2221ωA．(C)2321ωA-(D)2321ωA．[ B ]2 一质点作简谐振动，振动方程为)tAcos(φω+=x,当时间2/t T=（T为周期）时，质点的速度为（A）φωsinA（B）φωsinA-（C）φωcosA（D）φωcosA-[ A ]3 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t）关系曲线如图所示,则振动的初相位为［A ］21--4．两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和2, 若它们的振幅之比A2 /A1=2, 周期之比T2 / T1=2, 则它们的总振动能量之比E2 / E1 是(A) 1 (B) 1/4 (C) 4/1 (D) 2/1［A ］解:振动能量22222221TAmAmEEEpkπω==+=即2121212TAmEπ=2222222TAmEπ=12122222211222212122222222121221=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅==∴T T A A T T A A T A m T A m E E ππ 二、填空题1．一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，(1) 振子在负的最大位移处，则初相为；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为 - ；(3) 振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为 3 ___．2．两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为α –α1 = π/6．若第一个简谐振动的振幅为310cm, 则(1)第二个简谐振动的振幅为_10 cm ，(2)第一、二两个简谐振动的相位差为2ππ-或者2．3．两个线振动合成为一个圆运动的条件是（1），（2），（3），（4） . 解答：同频率：同振幅；两振动互相垂直；位相差为212012(k ),k ,,,π+=±± (2)三、计算题 1．一物体作简谐振动，其振动方程为)2135cos(04.0π-π=t x (SI) ． (1) 此简谐振动的周期T = 1.2 s ；(2) 当t = 0.6 s 时，物体的速度v = －20.9 cm/s ．2. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：)3234cos(2π+π=t x ．．3 一质点作简谐振动，速度最大值vm = 5 cm/s ，振幅A = 2 cm ．若令速度具有正最大值的那一时刻为t = 0，求则振动表达式?)212/5cos(1022π-⨯=-t x (SI) 4 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为多少 ? (2/3) s5. 用余弦函数描述一简谐振子的振动. 若其振动曲线如图所示，求振动的初相位和周期。

(完整版)机械制造技术基础(第2版)第二章课后习题答案(2)

《机械制造技术基础》部分习题参考解答第二章金属切削过程2-1 什么是切削用量三要素？在外圆车削中，它们与切削层参数有什么关系？答：切削用量三要素是指切削速度v 、进给量f 、背吃刀量a p （切削深度）。

在外圆车削中，它们与切削层参数的关系是：sin /sin D rD p r D ph f b a A fa κκ===切削层公称厚度：切削层公称宽度：切削层公称横截面积：2-2 确定外圆车刀切削部分几何形状最少需要几个基本角度？试画图标出这些基本角度。

答：确定外圆车刀切削部分几何形状最少需要7个基本角度：前角、后角、主偏角、副偏角、副前角、副后角和刃倾角，这些基本角度如下图所示（其中副前角、副后角不做要求）。

2-3 试述刀具标注角度和工作角度的区别。

为什么车刀作横向切削时，进给量取值不能过大？答：刀具标注角度是在静态情况下在刀具标注角度参考系中测得的角度；而刀具工作角度是在刀具工作角度参考系中（考虑了刀具安装误差和进给运动影响等因素）确定的刀具角度。

车刀作横向切削时，进给量取值过大会使切削速度、基面变化过大，导致刀具实际工作前角和工作后角变化过大，可能会使刀具工作后角变为负值，不能正常切削加工（P23）。

2-4 刀具切削部分的材料必须具备哪些基本性能？答：（P24）(1) 高的硬度和耐磨性；(2) 足够的强度和韧性；(3) 高耐热性；(4) 良好的导热性和耐热冲击性能；(5)良好的工艺性。

2-5 常用的硬质合金有哪几类？如何选用？答：（P26）常用的硬质合金有三类：P类（我国钨钴钛类YT），主要用于切削钢等长屑材料；K类（我国钨钴类YG），主要用于切削铸铁、有色金属等材料；M类（我国通用类YW），可以加工铸铁、有色金属和钢及难加工材料。

2-6 怎样划分切削变形区？第一变形区有哪些变形特点？答：切削形成过程分为三个变形区。

第一变形区切削层金属与工件分离的剪切滑移区域，第二变形区前刀面与切屑底部的摩擦区域；第三变形区刀具后刀面与已加工表面的摩擦区域。

运筹学(胡运权第二版)习题答案(第二章)

对偶问题: st34yy11
y2 4y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
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第二章习题解答
maxZ 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(2)
st
4xx1175xx22
3x3 3x3
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第二章习题解答
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2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
st
2x1x3
3 5
x1, x2 , 0, x3无约束
maxW 2y1 3y2 5y3
y1 2y2 y3 2
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第二章习题解答
m
maxZ cjxj
j1
n
aijxj
bi
(i 1,,m1 m)
(4)
j1 st n aijxj bi
(i m1 1,m1 2,,m)
j1
xj 0 (j 1,,n1,n),xj无约束j（ n1 1,,n）
(4)
由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可行解。所以原问题目标函数值无界。
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第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题
min Z 2 x1 4 x 2 x3 x 4
x1 3 x2 x4 8
st .

无机化学——配合物结构习题解答②

无机化学——配合物结构习题解答②第10章习题解答②一、是非题1. 价键理论认为，配合物具有不同的空间构型是由于中心离子（或原子）采用不同杂化轨道与配体成键的结果。

.（）解：对2. 价键理论能够较好地说明配合物的配位数、空间构型、磁性和稳定性，也能解释配合物的颜色。

（）解：错3. 价键理论认为，在配合物形成时由配体提供孤对电子进入中心离子（或原子）的空的价电子轨道而形成配位键。

.（）解：对4. 同一元素带有不同电荷的离子作为中心离子，与相同配体形成配合物时，中心离子的电荷越多，其配位数一般也越大。

.（）解：对5. 在多数配位化合物中，内界的中心原子与配体之间的结合力总是比内界与外界之间的结合力强。

因此配合物溶于水时较容易解离为内界和外界，而较难解离为中心离子（或原子）和配体。

.（）解：对6. 由磁矩测出在[Fe(CN)6]3-中，中心离子的d 轨道上有1个未成对电子，则这个未成对电子应排布在分裂后的dr (e g )轨道上。

（）解：错7. 在强场配体形成的配合物中，分裂能大于电子成对能，形成低自旋配合物。

.（）解：对8. 在高自旋配合物中，分裂能小于电子成对能，相应的配体称为弱场配体。

（）解：对9. 按照晶体场理论，对给定的任一中心离子而言，强场配体造成d 轨道的分裂能大。

（）。

解：对10. 按照晶体场理论可知，强场配体易形成高自旋配合物。

（）。

解：错11. 晶体场理论认为配合物的中心离子与配体之间的作用力是静电引力。

（）解：对12. 具有d 0、d 10结构的配离子都没颜色，因为不能产生d -d 跃迁。

.（）解：错13. 按照晶体场理论，在八面体场中，中心离子d 轨道分裂后组成d ε(t 2g )轨道的是d x y 22-和d z2。

（）解：错14. 按照晶体场理论，在八面体场中，中心离子分裂后组成dr (eg )轨道的是d xy 、d yz 、d xz 。

（）解：错15. 按照晶体场理论，中心离子的电荷数越高，半径越大，分裂能就越小。

02章流体运动习题解答(喀蔚波)第二版

第二章流体的流动习题解答2-1 注射器活塞的面积为1.2cm 2，注射针头截面积为1.0mm 2，当注射器水平放置时，用4.9N 的力推动活塞移动了4.0cm .问药液从注射器中流出所用的时间为多少？解：设针管活塞处为点1，针头为点2，根据伯努利方程可得2222112121v v ρρ+=+p p (水平管) 由于S 1>>S 2 ，针管活塞处的流速为二阶小量，可以忽略所以两点的压强差为S F p ==∆2221v ρ， 133242s m 0.9mkg 100.1m 102.1N 9.422---⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==ρS F v 由2211v v S S =得12241261221s m 105.7m102.1s m 0.9m 10-----⋅⨯=⨯⋅⨯==S S v v 所以 s 53.0sm 105.7m 100.412211=⋅⨯⨯==---v L t 2-2 已知微风、强风、大风、暴风、12级飓风的风速分别为：3.4~5.4、10.8~13.8、17.2~20.7、24.5~28.4、32.7~36.9m ·s -1，空气密度取1.25kg ·m -3试求它们的动压(用kg ·m -2表示)，并分析相对应的陆地地面可能的物体征象. 解：由动压公式：2v ρ21=动压p 得 22213m kg 723.0sm 102)s m 4.3(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==21v ρ微风1p 222132m kg 82.1s m 102)s m 4.5(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==22v ρ微风p 微风的动压为： 0.723~1.82 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：树叶与微枝摇动不息，旌旗展开.同理可得：强风的动压为：7.29~11.9 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树枝摇动，电线呼呼有声，打伞困难.大风的动压为：18.5~26.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：树枝折断，逆风行进阻力甚大.暴风的动压为：37.5~50.4 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：坚固的房屋也有被毁坏的可能，伴随着广泛的破坏.12级飓风动压为：66.8~86.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树可能被连根拔起，大件的物体可能被吹上天空，破坏力极大.2-3 一稳定的的气流水平地流过飞机机翼，上表面气流的速率是80m ·s -1，下表面气流的速率是60 m ·s -1. 若机翼的面积为8.0m 2，问速率差对机翼产生的升力为多少?空气的平均密度是l. 25kg ·m -3.解：根据伯努利方程，上下两表面因速率差产生的压强差为])s m 60()s m 80[(m kg 25.121)(212121212132下2上2下2上---⋅-⋅⋅⨯=-=-=∆v v v v ρρρp 33m N 1075.1-⋅⨯=N 100.70.41075.1)2/(33⨯=⨯⨯=⋅∆=S p F2-4 水管里的水在绝对压强为4.0×l05Pa 的作用下流入房屋，水管的内直径为2.0cm ，管内水的流速为4.0m ·s -1，引入5m 高处二层楼浴室的水管内直径为1.0cm . 求浴室内水的流速和压强.解：设室外水管截面积为S 1，流速为v 1；浴室小水管的截面积为S 2，流速为v 2。

《现代控制理论》课后习题答案2

⎪ ⎪⎪an−2
=
−
1 2
tr( AHn−2 )
⎪⎪
#
⎨
(6)
⎪ ⎪
a1
=
−
1 tr( n −1
AH1 )
⎪ ⎪ ⎪⎩
a0
=
−
1 n
tr( AH0 )
利用式（5）和（6），未知矩阵 Hi 和 ai 可以交替计算得到，从而可求出预解矩阵 (sI − A)−1
的解。
求解预解矩阵 (sI − A)−1 的 Matlab 程序为:
x(t) = eA(t−t0 ) x(t0 )
和
∫ x(t) = eAt x(0) + t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
2.5 试求下列矩阵 A 对应的状态转移矩阵 Φ(t) 。
(1)
A
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ −2⎥⎦
，
(2)
A
=
⎡0 ⎢⎣4
−1⎤ 0⎥⎦
，
(3)
A
=
⎡0 ⎢⎣−1
1⎤ −2⎥⎦
，
⎡0 1 0 0⎤
⎡λ 0 0 0⎤
⎡0 (4) A = ⎢⎢0
⎢⎣2
1 0 −5
0⎤ 1⎥⎥ ， (5) 4⎥⎦
A
=
⎢⎢0 ⎢0
⎢⎣0
0 0 0
1 0 0
0⎥⎥ ， 1⎥
(6)
A
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
0⎥⎦
⎢ ⎣
0
λ 0 0
1 λ 0
0
⎥ ⎥
1⎥
λ
⎥ ⎦
答：（1） Φ(t) = L−1 ⎡⎣(sI − A)−1 ⎤⎦
《现代控制理论》第二章习题解答

matlab课后习题解答第二章

第2章符号运算习题2及解答1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”符号对象？3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1))〖目的〗●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。

〖解答〗c1=3/7+0.1c2=sym(3/7+0.1)c3=sym('3/7+0.1')c4=vpa(sym(3/7+0.1))Cs1=class(c1)Cs2=class(c2)Cs3=class(c3)Cs4=class(c4)c1 =0.5286c2 =37/70c3 =c4 =Cs1 =doubleCs2 =symCs3 =symCs4 =sym2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是自由符号变量.sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)')〖目的〗●理解自由符号变量的确认规则。

〖解答〗symvar(sym('sin(w*t)'),1)ans =wsymvar(sym('a*exp(-X)'),1)ans =asymvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z5求符号矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置换”简洁化。

〖目的〗● 理解subexpr 指令。

〖解答〗A=sym('[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33]')DA=det(A) IA=inv(A);[IAs,d]=subexpr(IA,d) A =[ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33] DA =a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 IAs = [ d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22)] [ -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21)] [ d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)] d =1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)8（1）通过符号计算求t t y sin )(=的导数dtdy。

单片机应用技术(C语言版)习题2解答

(11)C51的变量存储器类型是指___databdataxdata__________。
(12)C51中的字符串总是以___\0________作为串的结束符，通常用字符数组来存放。
(13)在以下的数组定义中，关键字“code”是为了把tab数组存储在___程序存储器_______。Unsigned char code b[]={‟A‟,‟B‟,‟C‟,‟D‟,‟E‟,‟F‟};
3．问答题。
(1)C51语言有哪些特点？作为单片机设计语言，它与汇编语言相比有什么不同？优势是什么？
答：C51语言主要特点如下：
1.C语言数据类型丰富，运算符方便
2．语言简洁、紧凑，使用方便、灵活
3．面向结构化程序设计的语言
4．C语言能进行位操作
5．生成目标代码质量高，程序执行效率高
C语言能直接对计算机硬件进行操作，既有高级语言的特点，又有汇编语言的特点，。利用C语言编程，具有极强的可移植性和可读性，同时，它不需程序员了解机器的指令系统，只需简单的熟悉单片机的硬件，
习题2
1．单项选择题。
（1）下面叙述不正确的是。（C）
A．一一个函数main()
C．在C程序中，注释说明只能位于一条语句的后面
D．C程序的基本组成单位是函数
（2）C程序总是从开始执行的。（B）
A．主函数B．主程序C．子程序D．主过程
(3)最基本的C语言语句是。（B）
(5)C中的while和do while的不同点是什么？
答：while循环语句是在执行循环体之前先判断循环条件，如果条件不成立，则该循环不会被执行。而do while是先执行循环体后判断循环条件。
(6)简述循环结构程序的构成。
答：在给定条件成立时，反复执行某程序段，直到条件不成立为止。给定的条件称为循环条件，反复执行的程序段称为循环体。

上海交通大学线性代数教材课后答案习题二

(3)设，且已知是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且
求方程组通解。
解：(1)令
通解为
(2)
(3)
(二)
39.下面四个向量中哪个向量不能由其余三个向量线性表出？
解：作实等行变换
可见不能由其余三个向量线性表出。
40.设向量组
(1)确定a,b的值使向量是的线性组合，并写出时的表达式；
(2)a,b取何值时向量不能由向量线性表出?
(1)当且时无解；
当或时有无穷多解
时
时
(2)当时，无解；
当时，有无穷多解，通解为
(3)当时无解；
当且时有唯一解
当时有无穷多解，通解为
(4)当时无解；
当且时有唯一解
当时有无穷多解，通解为
38.求解下列各题。
(1)已知是三元非齐次线性方程组的解，，且
求方程组的通解。
(2)已知是的两个不同解，是的基础解系，求非齐次线性方程组通解。
(4)3阶，
14.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
解：(1)
逆矩阵为
(2)
逆矩阵为
(3)
逆矩阵为
(4)
逆矩阵为
15.(1)设矩阵m阶方阵A与n阶方阵B都可逆，试求：
，
(2)设矩阵都可逆，试求：
，
解：(1)
或
(2)用类似第一问方法易得
16.利用矩阵的分块技巧，求以下矩阵的逆矩阵：
习题二解答
（一）
1.用初等变换把下面矩阵化为简化行阶梯形矩阵：
(1) ; (2) ; (3) ;

现代控制理论习题解答(第二章)

第二章状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ0100010000A【解】：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s sL A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---ttees s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s s L s sL A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------tttttt teetete e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-20010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt ttA e ete e e2~0000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-121132120000421211101)(21~t t tttA Ate te eePPeet⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t ttt tt t t t t t t tt tt t ttt t tt t t e te eete ee te e e te e e te e ete e ete e e te e tee t 34838424225342222322)(222222222（5）为结构四重根的约旦标准型。

胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题

胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。

试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。

解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。

当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。

2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。

试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。

解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。

当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。

习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。

给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。

试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。

解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。

习题2及解答

习题 21．设p 、q 都是素数，且7p ＋q ，pq ＋11也都为素数，求()()22pqp q q p ＋＋的值．【答案】若p 、q 都是奇数，则7p ＋q 为偶数，它不是素数，故p 、q 中有一个为偶数．情形一设p 为偶数，则p ＝2，此时由7p ＋q 为素数，知q 为奇素数，若q ≠3，则q ≡1或2(mod3) ．若q ≡1 (mod3)，则 7p ＋q ＝14＋q ≡0(mod3)，矛盾；若q ≡2(mod3)，则pq ＋11＝2q ＋11≡4＋11≡0(mod3)，亦矛盾，所以q ＝3，此时7p ＋q ＝17，pq ＋11＝17，都是素数，故 (p 2＋q p )( q 2＋p q )＝(22＋32)( 32＋23)＝221．情形二设q 为偶数，则q ＝2，同上讨论可知p ＝3，此时(p 2＋q p )( q 2＋p q )＝(32＋23)( 22＋32)＝221．综上可知，所求的值为221．2．设12345p p p p p ＜＜＜＜是5个素数，且12345p p p p p ，，，，成等差数列．求5p 的最小值．【答案】设d 为公差，则p 1，p 1＋d ，p 1＋2d ，p 1＋3d ，p 1＋4d 都是素数．若2d ，即d 为奇数，则p 1＋d ，p 1＋2d 中有一个为偶数，它不是素数．若3d ，则p 1＋d ，p 1＋2d ，p 1＋3d 中有一个为3的倍数(它们构成模3的一个完系)，矛盾．若5d ，则p 1，p 1＋d ，…，p 1＋4d 中有一个为5的倍数只能是p 1＝5，这时公差d 是6的倍数．而5，11，17，23，29是5个成等差的素数数列，所以，p 5最小为29．3．对每个正整数n ，用()S n 表示n 在十进制表示下各数码之和．证明：对任意正整数m ，存在正整数n ，使得()()3S n mS n ＝．【答案】注意到，对任意正整数k ，(1008)k S 个＝9，于是，设1008k 个＝3n ，则n ＝336k 个，故S (n )＝3k ＋6，这样，对任意正整数m ，取k ＝3m －2，就有S (n )＝mS (3n )．说明由S (3n )≡3n (mod9)，故要求3｜S (n )，进而3｜n ，所以在先确定3n 时，要寻找一个9的倍数(例如1002k 个作为3n 就不能满足条件) ．另外，在S (2n )与S (n )之间没有上述性质，事实上，可证：S (2n )≤2S (n )；S (n )≤5S (2n )．4．求最大的正整数k ，使得存在正整数n ，满足2|31kn＋．【答案】注意到，当n 为偶数时，设n ＝2m ，有3n ＝9m ≡1(mod8)，当n ＝2m ＋1时，3n ＝9m ×3≡3(mod8)，所以，对任意正整数n ，有3n ＋1＝2或4(mod8)，故k ≤2．又22｜31＋1，所以，所求k 的最大值为2．5．设n 为正整数．证明：存在十进制表示中只出现数码0和1的正整数m ，使得|n m ．【答案】考虑数列 1，11，111，…，111n+个，其中必有两个数对模n 同余（因为任何整数除以n 所得的余数只能为0，1，2，…，n －1，共n 种情况），它们的差（大的减小的）就是符合要求的m ．6．设n 为是一个正奇数．证明：存在一个十进制表示中每个数码都是奇数的正整数m ，使得|n m ．【答案】如果(5，n )＝1，那么由上题的结论，知存在m ＝11i 个0j 个，使得n ｜m ，而n 为奇数，结合5n ，知(n ，10)＝1，故n ｜11i 个．命题获证．如果5｜n ，设5α｜n ，那么可写n ＝5α·n 1，其中5n 1．利用2.2节例5的结论，可知存在一个α位的正整数m 1，使得5α｜m 1，且m 1的每个数码都是奇数，这时，考虑数m 1， 11m m ，…，111n m m +1个，这里11i m m 个表示i 个m 1连写形成的十进制数（故上面所列的数都是5α的倍数），则存在1≤i ＜j ≤n 1＋1，使得 11j m m 个≡11i m m 个(mod n 1)，结合(n 1，10)＝1，可知n 1｜11j-i m m 个，于是记m ＝11j-i m m 个，则m 中的每个数码都是奇数，且5α｜m ，n 1｜m ，而 (5α，n 1)＝1，故5α·n 1｜m ，即n ｜m ．命题获证．7．证明：对每个正整数n ，数19817n⨯＋都是合数．【答案】若n 为偶数，则 19×8n ＋17≡1×(－1)n ＋2≡0(mod3)；若n ≡1(mod4)，写n ＝4k ＋1，则19×8n ＋17＝19×642k ×8＋17≡6×(－1)2k ×8＋4≡0(mod13)；若n ≡3(mod4)，则 19×8n ＋17＝19×642k +1×8＋17≡(－1)×(－1)2k +1×3＋2≡0(mod5) ．所以，对任意正整数n ，数19×8n ＋17是合数．8．Fibonaccia 数列{}n F 定义如下：121F F ＝＝，21n n n F F F ＋＋＝＋，n ＝1，2，…．（1）证明：该数列任意连续10项之和是11的倍数；（2）求最小的正整数k ，使得该数列中任意连续k 项之和是12的倍数．【答案】考虑数列｛F n ｝中每一项除以11(或12)所得的余数． ⑴｛F n (mod11)｝：1，1，2，3，5，－3，2，－1，1，0，1，1，…，所以｛F n (mod11)｝是以10为周期的纯周期数列，因此｛F n ｝中任意连续10项之和≡1＋1＋2＋3＋5＋(－3) ＋2＋ (－1)＋1＋0＝11≡0(mod11)，命题获证．⑵｛F n (mod12)｝：1，1，2，3，5，－4，1，－3，－2，－5，5，0，1，1，…是以12为周期的纯周期数列．直接验证，可求出满足条件的最小正整数k ＝36．说明若k 是满足⑵的最小正整数，而n 是满足⑵的正整数，则k ｜n (这个结论请读者证明) ．因此，找到满足条件的n ＝36 (｛F n (mod12) ｝的每个周期内各数之和≡4(mod12))后，只需验证36的正因数不合要求，就能断言36是符合条件的最小正整数．9．设整数a 、b 满足：2221|a b ＋．证明：22441|a b ＋．【答案】先分别证明：⑴若a 2＋b 2≡0(mod3)，则a ≡b ≡0(mod3) ； ⑵若a 2＋b 2≡0(mod7)，则a ≡b ≡0(mod7) ．这只需注意到，对任意整数x ，都有x 2≡0或1(mod3)，及 x 2≡0，1，2或4(mod7)，即可证出．现在由21｜a 2＋b 2可推出21｜a ，21｜b ，故212｜a 2＋b 2，所以命题成立．10．正整数a 、b 、c 满足：222c a b ab ＝＋＋．证明：c 有一个大于5的素因子．【答案】我们分别证明： ⑴若2｜c ，则2｜a ，2｜b ； ⑵若3｜c ，则3｜a ，3｜b ； ⑶若5｜c ，则5｜a ，5｜b ． ⑴的证明是平凡的．⑵的证明只需注意到 c 2＝a 2＋ab ＋b 2＝(a －b ) 2＋3ab ，就容易证出．对于⑶，由条件，知 4c 2＝4a 2＋4ab ＋4b 2＝3a 2＋(a ＋2b )2，而对任意整数x ，知 x 2≡0，1，4(mod5)，于是，由 3x 2＋y 2≡0 (mod5)，可知 x 2≡y 2≡0 (mod5)，即 x ≡y ≡0 (mod5)．因此，由5｜c ，知 3a 2＋(a ＋2b )2≡0 (mod5)，故 a ≡a ＋2b ≡0(mod5)，可得 a ≡b ≡0(mod5)，所以⑶成立．回到原题，当c 是2、3或5的倍数时，c 2＝a 2＋ab ＋b 2两边可分别约去22、32或52后，等式的形式保持不变．所以c 有一个大于5的素因子．11．将整数1，2，…，9填入一个3×3的表格，每格一个数，使得每行、每列及每条对角线上各数之和都是9的倍数．（1）证明：该表格中正当中那个方格内的数是3的倍数；（2）给出一个正当中方格内所填数为6的满足条件的放置方法．【答案】⑴设表格中第i 行、第j 列的方格上所填的数为a ij ，1≤i ≤3，1≤j ≤3，则 a 11＋a 22＋a 33≡a 13＋a 22＋a 31≡a 12＋a 22＋a 32≡a 21＋a 22＋a 23≡0(mod9)，于是它们求和后，得(a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33)＋3a 22≡0(mod9)，即 3a 22＋(1＋2＋…＋9)≡0(mod9)，故 9｜3a 22，即 3｜a 22，从而表格中正当中的格子内所填数为3的倍数． ⑵下表给出的例子是中间格为612．下面的算式给出了一种判别一个数是否为19的倍数的方法：每次去掉该数的最后一位数字，将其两倍与剩下的数相加，依此类推，直到数变为20以内的数为止，若最后一个数为19，则最初的那个数为19的倍数，否则原数不是19的倍数．６７９４４８６８０２４６８４８７６１２１９４４９７６１２４５０９　１８４６８１６６２４１０例如上面判定了67944为19的倍数，而44976不是19的倍数．（1）试证明：上面的判别方法是正确的；（2）请给出判别一个数是否为29的倍数的类似方法．【答案】一般地，设数10n n a a a -是一个十进制表示下的n ＋1位数，则若它是19的倍数，那么1011n n a a a -＋a 0＝10n n a a a -≡0(mod19)，故 2011n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)，即 11n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)，这表明每次操作后的结果都是19的倍数．另一方面，若 11n n a a a -＋2a 0≡0(mod19)，则 1011n n a a a -＋20a 0≡0(mod19)，这表明 1011n n a a a -＋a 0≡0(mod19)，即 10n n a a a -≡0(mod19)，所以，每次操作后的结果是19的倍数，则操作前该数也是19的倍数．所以，题给的判别方法是正确的．对于29而言，类似的判别方法是：每次去掉最后一位，将它的3倍与剩下的数相加，以此类推，直到变为30以内的数为止．若最后的结果为29，则原数是29的倍数，否则原数不是29的倍数．13．能否将2010×2010的方格表的每个方格染成黑色或白色，使得关于表格的中心对称的方格颜色不同，且每行、每列中黑格数与白格数都各占一半？【答案】不能做到．事实上，若存在满足条件的染色方式，我们在黑格中都写上＋1，白格中都写上－1，并依表格的中心所在的两条方格线将表格分为4块，左上角那块中各数之和设为A ，右上角那块为B ，左下角那块为C ，右下角那块为D ．由条件，可知A ，B ，C ，D 都是10052个奇数之和，故A ，B ，C ，D 都为奇数，且A ＝－D ，B ＝－C (因为关于表格的中心对称的方格不同色)，而且A ＋B ＝A ＋C ＝0(这里用到每行、每列中黑、白格数各占一半)．所以，A －C ＝A ＋C ＝0，这要求A ＝C ＝0，但A 、C 都是奇数，矛盾．14．标号为1，2，…，100的火柴盒中有一些火柴，如果每次提问允许问其中任意15盒中所有火柴数之和的奇偶性．那么要确定1号盒中火柴数的奇偶性，至少需要提问几次？【答案】至少需要3次提问．先证“3次提问是足够的” ．例如：第一次为：a 1，a 2，…，a 15；第二次为：a 1，a 2，…，a 8，a 16，a 17，…，a 22；第三次为：a 1，a 9，a 10，…， a 22．其中a i 表示第i 盒中火柴的数目．这样，3个答案之和的奇偶性与a 1的奇偶性相同(其余每盒在3次提问中恰好出现2次) ．因此，经3次提问可确定a 1的奇偶性．再证“至少需要3次提问” ．如果提问只有两次，且两次中都出现a 1，那么在两次提问中必有a i 和a j ，使得a i 只在第1次提问中出现，而a j 只在第二次提问中出现，这样同时改变a 1、a i 、 a j 的奇偶性，每次答案是相同的，从而不能确定a 1的奇偶性．如果两次中都不出现a 1，在a 1都不出现时，改变a 1的奇偶性；在a 1只出现一次时，改变a 1与a i (这里a i 是与a 1同时出现的某个火柴盒)的奇偶性，那么两次答案仍是相同的，不能确定a 1的奇偶性．综上可知，至少需要提问3次．15．求所有的正整数n ，使得可以在一个n ×n 的方格表的每个方格内写上＋1或－1，满足：每个标号为＋1的方格的相邻格中恰有一个标号是－1，而每个标号为－1的方格的相邻格中恰有一个标号是＋1．【答案】用a ij 表示第i 行、第j 列上的方格内所填的数．如果存在符合要求的填法，那么我们不妨设a 11＝1(否则改变表格中所有数的符号再讨论)，此时a 21与a 22中恰好有一个为－1，不妨设a 21＝－1(否则将表格的第2行与第2列互换后再讨论)，则a 12＝1，进一步讨论，知a 22＝－1，a 13＝1，…，可知第1行中的数都是1，第2行中的数都是－1，进而，第3行中的数都是－1，第4行中的数都是1，依此递推，知当且仅当i ≡1(mod3)时，第i 行中的数都是1，而其余每行中的数都是－1．如果，n ≡0(mod3)，那么第n 行的数为－1，该行上的每个方格中相邻方格上的书都是－1，不合要求，直接验证可知其余情况都合要求．所以，当且仅当3n ，n ＞1时，存在符合要求的填法．16．设12100a a a ，，…，是1，2，…，100的一个排列，令12i i b a a a ＝＋＋…＋，i ＝1，2，…，100，记i r 为i b 除以100所得的余数．证明：12100r r r ，，…，中至少有11个不同的数．【答案】若r 1，r 2，…，r 100中只有10个不同的数，则对i ＝1，2，…，99，r i +1－r i 只有102－9＝91(这里减去9是因为r i +1＝r i 时所得的值都是零)种不同取值．但是在模100的意义下，r i +1－r i 依次为a 2，a 3，…，a 100，共有99种不同的取值，矛盾．所以r 1，r 2，…，r 100中至少有11个不同的值．17．求所有满足下述条件的正整数a 的个数：存在非负数0122001x x x x ，，，…，，使得0xa ＝200112x x x a a a ＋＋＋．【答案】若a 是一个满足条件的数，则0x a ＞1，故a ＞1．此时，对 0x a ＝1x a ＋2x a ＋…＋2001x a 两边模a －1，知 1≡200111++个(mod a －1)，所以 a －1｜2000．另一方面，若a ＞1满足a －1｜2000，则我们在x 1，x 2，…，x 2001中取a 个数为0，a －1个为1，a －1个为2，…，a －1个为k －1，这里k ＝20001a -，并取x 0＝k ，就有0x a ＝1x a ＋2x a ＋…＋2001x a ．所以，当且仅当a ＞1且a －1｜2000时，a 为满足条件的数，这样的a 共有20个．18．设m 、n 为正整数，m ＞1．证明：()21|mm n －的充要条件是()221|21mn－－．【答案】若m (2m －1)｜n ，设n ＝m (2m －1)k ，则 2n－1＝(21)2m m k-－1＝()()212mmk-－1＝()21mk -A ，其中 A ＝()222mmk -＋()232mmk -＋…＋()12mk ＋1．注意到 2mk －1＝()2km －1≡1k －1≡0(mod2m －1)，所以 ()21m -2｜2n －1．反过来，若()21m -2｜2n －1，我们先证m ｜n ．若否，设n ＝mq ＋r ，0＜r ＜m ，则由 2n ≡1(mod2m －1)，知 (2m )q ·2 r ≡1(mod2m －1)，故 2 r ≡1(mod2m －1)，但是 1≤2 r －1＜2m －1．所以2m －12 r －1，矛盾．因此m ｜n ．现设n ＝mq ，则 2n －1＝(2m －1)×B ，其中 B ＝(2m )q -1＋(2m )q -2＋…＋2m ＋1，由 (2m －1)2｜2n －1，知 2m －1｜B ，又 B ＝1 q -1＋1 q -2＋…＋1＝q (mod 2m －1)，所以 2m －1｜q ，从而 m (2m －1)｜n ．命题获证．19．设正整数a 、b 互素，p 为奇素数．证明：1p p a b a b p a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋，＝或＋．【答案】记A ＝p pa b a b ++＝a p -1―a p -2b ＋…―ab p -2＋b p -1，结合p 为奇数及b ≡―a (mod a ＋b )，知A ≡111p p p p a a a ---+++个＝pa p -1(mod a ＋b )．而 (a ，b )＝1，故 (a ，a ＋b )＝1，所以 (a ＋b ，p pa b a b++)＝(a ＋b ，A )＝(a ＋b ，pa p -1)＝(a ＋b ，p )＝1或p ．20．求最小的正整数a ，使得对任意整数x ，都有()13565|5139x x ax ＋＋．【答案】由条件，知65｜(18＋9a )(取x ＝1)，而(9，65)＝1，故65｜a ＋2，即a ≥63．当a ＝63时，利用Fermat 小定理知：对任意整数x ，都有5x 13＋13x 5＋9ax ≡13x ＋9ax ≡(3＋(－1)×3)x ≡0(mod5 )； 5x 13＋13x 5＋9ax ≡5x ＋9ax ≡(5＋9×(－2))x ≡0(mod13 )．所以 65｜5x 13＋13x 5＋9ax ．综上可知，所求的最小正整数a ＝63．21．是否存在整数a 、b 、c ，使得方程20ax bx c ＋＋＝和()()()21110a x b x c ＋＋＋＋＋＝都有两个整数根？【答案】不存在这样的整数a 、b 、c ．事实上，若a 、b 、c 满足条件，我们不妨设a 为偶数(否则用－(a ＋1)、－(b ＋1)、－(c ＋1)代替a 、b 、c 讨论)，由条件，结合韦达定理知－b a 与ca都是整数，故b 、c 都是偶数，所以a ＋1、b ＋1、c ＋1都是奇数．此时，对任意整数x ，有(a ＋1)x 2＋(b ＋1)x ＋(c ＋1)≡x 2＋x ＋1＝x (x ＋1)＋1≡1(mod2)(最后一步用到x 与x ＋1中有一个偶数)．这表明方程(a ＋1)x 2＋(b ＋1)x ＋(c ＋1)＝0没有整数根，矛盾．22．求所有的正整数组（x ，y ，z ，w ），使得x ！＋y ！＋z ！＝w ！．【答案】不妨设x ≤y ≤z ＜w ，则w ≥z ＋1，若z ≥3，则w ！≥(z ＋1)·(z ！)≥z ！＋y ！＋x ！，矛盾，故 z ≤2．若z ＝1，则x ＝y ＝z ＝1，此时w ！＝3，不存在这样的w ，故z ＝2．此时w ≥3，故 w ！≡0(mod3)，所以 x ！＋y ！≡1(mod3)，而 x ≤y ≤2，故只能是 x ＝y ＝2，此时 w ＝3，故 (x ，y ，z ，w )＝(2，2，2，3)．23．求满足下述条件的整数数组（a ，b ）的组数：0≤a ，b ≤36，且()220mod37a b ＋＝．【答案】注意到，a 2＋b 2≡a 2－36b 2(mod37)，故由条件知 37｜a 2－36b 2，即 37｜(a －6b )(a ＋6b )，所以 37｜a －6b 或37｜a ＋6b ．因此，对每个1≤b ≤36，可知恰有两个a (a ≡±6b (mod37)) 满足条件，而b ＝0时，由a 2＋b 2≡0(mod37)知a ＝0．所以，满足条件的(a ，b )共有2×36＋1＝73(组)．24．设m 、n 为正整数，且22|mn m n m ＋＋．证明：m 是一个完全平方数．【答案】有条件可设m 2＋n 2＋m ＝kmn ，k 为正整数，这样，关于n 的一元二次方程n 2－kmn ＋m 2＋m ＝0①有正整数解，故△＝(km ) 2－4(m 2＋m )＝m (k 2m －4m －4)是一个完全平方数．若m 为奇数，则(m ，k 2m －4m －4)＝(m ，－4)＝1，故由△为完全平方数知m 为完全平方数．若m 为偶数，则由①知n 为偶数 (否则①的左边为奇数，矛盾)，故4｜n 2，4｜kmn ，4｜m 2，从而由①知4｜m ．设m ＝4m 1，则△＝16 m 1(k 2m 1－m 1－1)，所以，m 1(k 2m 1－m 1－1)是一个完全平方数，这时(m 1，k 2m 1－m 1－1) ＝(m 1，－1)＝1．故m 1是完全平方数，所以m ＝4m 1也是完全平方数，命题获证．25．证明：若正整数n 可以表示为三个正整数的平方和的形式，则2n 也可以表示为三个正整数的平方和的形式．【答案】设n ＝x 2＋y 2＋z 2，x ≥y ≥z 为正整数，则n 2＝(x 2＋y 2＋z 2) 2＝(x 2＋y 2) 2＋2(x 2＋y 2) z 2＋z 4 ＝(x 2＋y 2－z 2) 2＋4(x 2＋y 2) z 2＝(x 2＋y 2－z 2) 2＋(2xz ) 2＋(2yz ) 2．注意到，x 2＋y 2－z 2＞0，知n 2可表为3个正整数的平方和．26．求所有的正整数n ，使得n 的三次方根等于n 去掉最后三位数字后得到的正整数．【答案】设n ＝1000x ＋y ，这里x 为正整数，y 为整数，且0≤y ≤999．依题意知x 3＝1000x ＋y ．1000x ≤x 3＜1000x ＋1000＝1000(x ＋1)，故 x 2≥1000，x 3＋1≤1000(x ＋1)，得 x 2≥1000，x 2－x ＋1≤1000．所以 32≤x ＜33，故 x ＝32，这样 y ＝768，所以 n ＝32 768．27．证明：存在无穷多个整数n ，使得数n 、n ＋1、n ＋2都可以表示为两个整数（不必不同）的平方和．例如：22000＝＋，22101＝＋，22211＝＋，故n ＝0即为一个满足条件的整数．【答案】只需寻找正整数l ，使得l 2－1＝x 2＋y 2有正整数解．令x ＝2m 2，y ＝2m ，及l ＝2m 2＋1，就有l 2－1＝x 2＋y 2．所以，对任意正整数m ，取 n ＝(2m 2＋1) 2－1＝4m 4＋4m 2，则 n ＝(2m 2) 2＋(2m ) 2， n ＋1＝(2m 2＋1) 2＋02， n ＋2＝(2m 2＋1) 2＋12．28．求最小的正整数n ，使得在十进制表示下3n 的末三位数字是888．【答案】由条件，知n 3≡888(mod1000)，故n 3≡888(mod8)，n 3≡888(mod125)，由前者知n 为偶数，设n ＝2m ，则m3≡111(mod125)，因此m3≡111≡1(mod5) ．注意到当m＝0，1，2，3，4(mod5)时，对应地m3≡0，1，3，2，4(mod5)，所以，由m3≡1(mod5)知m≡1(mod5)，可设m＝5k＋1，这时m3＝(5k＋1) 3＝125k 3＋75k2＋15k＋1≡111(mod125)，故75k2＋15k≡110(mod125)，从而15k2＋3k≡22(mod25)，既有15k2＋3k＋3≡0(mod25)，故5k2＋k＋1≡0(mod25) ．这要求5k2＋k＋1≡0(mod25)，故5│k＋1．可设k＋1＝5l，得5k2＋k＋1＝5×(5l－1) 2＋5l，＝125l2－50l＋5(l＋1)≡0(mod25)，故5│l＋1．可设l＋1＝5r，因此n＝2m＝10k＋2＝10(5l－1)＋2＝50l－8＝50(5r－1)－8＝250r－58．结合n为正整数，可知n≥250－58＝192．又1922＝7077888符合要求，故满足条件的最小正整数为192．29．设正整数n＞1，证明：数21n－既不是完全平方数，也不是完全立方数．【答案】由于n≥2，故2n－1≡－1(mod4)，而完全平方数≡0或1(mod4)，故2n－1不是完全平方数．另一方面，若存在n＞1及正整数x，使得2n－1＝x3，则2n＝(x＋1)(x 2－x＋1)，由于x 2－x＋1＝x(x－1)＋1，其中x(x－1)为偶数(两个相邻整数中有一个为偶数)，故x 2－x＋1为奇数，这要求x 2－x＋1＝1，进而x＝1，导出n＝1，矛盾．故2n－1不是一个完全平方数．30．设a、b、c a、b、c都是完全平方数．【答案】先证：对任意正整数a a为完全平方数．qp，p、q为正整数，且(p，q)＝1，则a＝22qp，此时由a为正整数，知p2｜q2，但(p，q)＝1，故p＝1，即a＝q2．m，m为整数，则)2＝(m2即a＋b＋m 2－c，n ，n 为正有理数，则 ab ＝(n 2＝n 2－2c ，c ＝m 可知a ，b 也都是完全平方数．31．已知正整数c 是一个奇合数．证明：存在正整数a ，使得13ca ≤－，且()2218a c －＋是一个完全平方数．【答案】通过凑完全平方式来处理．由条件可设c ＝pq ，3≤p ≤q ，p 、q 都是奇数，现在需要寻找a ，使得(2a －1) 2＋8pq 是一个完全平方式，一个自然的取法是：2a －1＝2q －p ，则(2a －1)2＋8pq ＝(2q －p ) 2＋8pq ＝(2q ＋p ) 2，a ＝12(2q －p ＋1)＝q －12p -≤q －1＝c p －1≤3c－1，符合题中的要求．32．设整数a 、b 满足：对任意正整数n ，数2na b •＋都是完全平方数．证明：a ＝0．【答案】若a ≠0，注意到在a ＜0时，n 充分大后，数2n a ＋b ＜0，与2n a ＋b 为完全平方数矛盾，故a ＞0．现在设2n a ＋b ≡x 2n ，x n 为正整数，则对任意正整数n ，有x n ＜x n +1．由于 4x 2n －x 2n +2＝4(2n a ＋b )－(2n +2a ＋b )＝3b ，故 3│b │＝│2x n －x n +2│·│2x n ＋x n +2│，而 2x n ＋x n +2随着n 的增大而增大，故只能是│2x n －x n +2│＝0，即 │b │＝0，但这时2n a 与2n +1a 都要是完全平方数，这是不可能的，矛盾．所以a ＝0．33．求不能表示为42的正倍数与一个合数之和的最大正整数．【答案】对任意不能表示为42的正倍数与一个合数之和的正整数n ，考虑n 除以42所得的余数r ．若r ＝0或r 为合数，则n ≤42．下面考虑r ＝1或r 为素数的情形．若 r ≡1(mod5)，则 84＋r ≡0(mod5)，此时 n ＜3×42＝126；若 r ≡2(mod5)，则 4×42＋r ≡0(mod5)，此时 n ＜5×42＝210；若 r ≡3(mod5)，则 42＋r ≡0(mod5)，此时 n ＜2×42＝84；若 r ≡4(mod5)，则 3×42＋r ≡0(mod5)，此时 n ＜4×42＝168；若 r ≡0(mod5)，则 r ＝5，此时由于5，47，89，131，173都是素数，故n 最大为215．综上可知，所求最大正整数为215．34．求一个正整数n ，使得数n ，n ＋1，…，n ＋20中每个数都与30030不互素．【答案】由于30 030＝2×3×5×7×11×13，所以若取N ＝210k ，则N 与N ±r 都与30 030不互素，这里r 为2，3，…，10中的数．现在考虑数N ±1，我们取k ，使得210k ≡1(mod11)且210k ≡－1(mod13)，前者要求k ≡1(mod11)，设k ＝11m ＋1，后者要求 210(11m ＋1)≡－1(mod13)，解得 m ≡4(mod13)，所以，令k ＝45，则所得的21个数9440，9441，…，9460与30 030都不互素，因此取n ＝9440即可．35．是否存在连续13个正整数，其中每个数都是2、3、5、7、11中的某个数的倍数？连续14个呢？【答案】注意到，114，115，…，126这13个数都是合数，每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数，因此存在13个符合要求的数．下证：没有连续14个正整数，使得其中每个数都是2、3、5、7、11中某个数的倍数．事实上，若存在这样的14个数，考虑其中的7个奇数，设它们为a ，a ＋2，…，a ＋12．由于若两个奇数都是3的倍数，则它们的差至少为6，故这7个奇数中至多有1个数为11的倍数．同样可证这7个奇数中至多有2个数是5的倍数；至多有1个数为7的倍数；至多有1个数为11的倍数．由假设，这7个数都是3、5、7、11中某个数的倍数，故这7个奇数中分别有3个为3的倍数，2个为5的倍数，1个为7的倍数，1个为11的倍数，并且不出现一个数同时是3、5、7、11中某两个数的倍数．但是，这时要求a 、a ＋6、a ＋12为3的倍数；a 、a ＋10或者a ＋2、a ＋12中有一组数为5的倍数．必有一个数同为3和5的倍数，矛盾．36．设p 为素数，a 、n 都是正整数，且23p p n a ＋＝．证明：n ＝1．【答案】当p ＝2时，a n ＝13，知a ＝13，n ＝1．当p ＞2时，由p 为素数，可知p 为奇数，此时2p ＋3 p ＝(2＋3)(2 p -1－2 p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1) ，故 5｜a n ，即5｜a ．若n ＞1，则52｜a n ，这时，应有2 p -1－2p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1≡0(mod5) ．利用3≡－2(mod5)，p 为奇数及上式，知2 p -1－2p -2×3＋…－2×3 p -2＋3p -1≡11112222p p p p p -----++个＝p ·2 p -1≡0(mod5)，所以5｜p ，而p 为素数，故p ＝5，这导致a n ＝25＋35＝275＝52×11，n 只能为1，矛盾．因此n ＝1．37．圆周上排列着2000个点，在某个点上标上数1，按顺时针方向数两个点，在其上标数2，再数3个点标数3，依此继续，标出数1，2，…，2000．这样，有些点上没有标数，有些点上所标的数不止一个．问：被标上2000的那个点上所标的数中最小的是多少？【答案】等价于求最小的正整数n ，使得1＋2＋…＋n ≡1＋2＋…＋2000(mod2000) ． ①即(1)2n n +≡1000(mod2000)，等价于 n (n ＋1)≡2000(mod4000)，这要求 2000｜n (n ＋1) ．注意到 (n ，n ＋1)＝1，而 2000＝24×53，所以24｜n ，53｜n ＋1；或者53｜n ，24｜n ＋1；或者n 与n ＋1中有一个为2000的倍数．分别求得n 最小为624，1375，1999，其中满足①的最小的数为624．所以，被标上2000的那个点上所标的数中最小的那个是624．38．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1，2，…，800，它们将圆周分为800个间隙．现在选定某个点，将其染上红色，然后进行下述操作：如果第k 号点染成了红色，那么依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色．问：依此规则，圆周上最多有多少个点被染成了红色？证明你的结论．【答案】等价于求在模800的意义下，数列a ，2a ，22a ，23a ，…中，出现的不同的数的个数的最大值，这里a 在1，2，…，800中取值．注意到，当2n 2m (mod800)时，2n a 2m a (mod800)不一定成立；反过来，当2n a 2m a (mod800)成立时，2n 2m (mod800) 一定成立．因此，数列a ，2a ，22a ，…在模800的意义下，不同元素个数的最大值在a ＝1时可以取到，因此，只需求1，2，22，…在模800的意义下不同元素的个数．由于800＝25×52，而n ≥5时有 2n ≡0(mod25)，另外｛2n (mod25)｝为2，4，8，16，7，14，3，6，12，－1，－2，－4，－8，－16，－7，－14，－3，－6，－12，1，…故｛2n (mod25)｝中恰好有20个不同元素．结合｛2n (mod25)｝为2，4，8，16，0，0，…，可得｛2n (mod800)｝中恰好有20＋4＝24(个)不同的数．所以，圆周上至多有24个点染成了红色．39．设m 为正整数，且()2mod4m ≡．证明：至多存在一对正整数（a ，b ），使得m ab ＝，且05441a b m ＜－＜＋＋【答案】如果能确定a ＋b 的值(视m 为常数)，那么利用韦达定理的逆定理，可知至多只有一组正整数(a ，b )满足条件．由条件，知(a ＋b ) 2＝(a －b ) 2＋4ab 满足1＋4m ≤(a ＋b ) 2＜5＋4+1m 4m ＝4+1m 2) 2，即 4+1m a ＋b 4+1m 2，所以 41411141121m m m a b m m m +++++⎡⎡++++⎪⎣⎣⎩或，若4为整数；或4+1，若4不是整数．总之，a ＋b 只能取值于某两个连续正整数．而ab ＝m ≡2(mod4)，可知a 、b 一奇一偶，即a ＋b 为奇数．这样我们知道a ＋b 的值唯一确定，命题获证．40．设n 是一个大于10的正整数，且n 的每个数码都为1、3、7或9．证明：n 有一个大于10的素因子．【答案】用反证法，若n 的每个素因子都不大于10，利用条件，知n 为奇数，且n 不是5的倍数，故存在非负整数i 、j ，使得 n ＝3i ·7j ，考虑3i 与7 j 除以20所得的余数，对i ＝0，1，2，…， j ＝0，1，2，…，分别依次有｛3i (mod20)｝：1，3，9，7，1，3，…；｛7 j (mod20)｝：1，7，9，3，1，7，…．这两个都是以4为周期循环的数列，因此 3i ·7j ≡ab (mod20)，这里a 、b 都为1，3，7或9．分别计算，可知 3i ·7j ≡1，3，7或9 (mod20)，这表明，所有形如3i ·7j 的数的十位数字都为偶数，但n 的每一位数字都是1，3，7或9，矛盾．所以，n 有一个大于10的素因子．41．求所有的素数对（p ，q ），使得|1p qpq p q ＋＋．【答案】由条件可知p ≠q ，利用对称性，不妨设p ＜q ．若p ＝2，则q q ＋5≡0(mod q )，知q ＝5．直接验证，可知(p ，q )＝(2，5)符合要求．若p ＞2，则p ，q 都为奇素数．由条件知p p ＋1≡0(mod q )，故p 2p ≡1(mod q )，利用Fermat 小定理，有p q -1≡1(mod q )，于是， p (2p ，q -1)≡1(mod q ) ． ①注意到，2｜(2p ，q －1)，而(2p ，q －1) ｜2p ，故只有下面的两种情形．情形一 (2p ，q －1) ＝2，则由①知p 2≡1(mod q )，导致q ｜p ＋1或q ｜p －1，这与p ≤q －2矛盾．情形二 (2p ，q －1) ＝2p ，则由①知q ≡1(mod p )，于是0≡p p ＋q q ＋1＝2(mod p )，导致p ＝2，矛盾．综上可知，满足条件的(p ，q )＝(2，5)或(5，2) ．42．设()22010f n n n n ⋯＝1＋＋＋＋．证明：对任意整数m ，若2≤m ≤2010，则不存在正整数n ，使得()|m f n ．【答案】若存在2≤m ≤2010，使得对某个正整数n ，有m ｜f (n ) ．则由于f (1)＝2011为素数(这里2011为2011去验证)，故n ≠1，此时可写f (n )＝201111n n --．对m 的素因子p ，由m ｜f (n )知n 2011≡1(mod p )，而由Fermat 小定理知n p -1≡1(mod p )，所以，有 (2011,1)p n -≡1(mod p )．结合 p －1＜2011，及2011为素数，可得(2011，p －1)＝1，于是n ≡1(mod p )，从而 0≡f (n )≡1＋12＋…＋12010＝2011(mod p )，要求 p ＝2011，这与m ≤2010矛盾．所以命题成立．43．是否存在整数x 、y ，使得2012201120102010442011x y y y －＝＋＋？【答案】不存在这样的整数x ，y ．若不然，则有x 2012＋1＝(4y 2010＋2011)( y ＋1) ． ①注意到，4y 2010＋2011≡3(mod4)，这表明①式右边有模4余3的素因子，故存在素数p ，使得p ≡3(mod4)，且 x 2012＋1≡0(mod p ) ．由于2012为偶数，利用2.3节例2的结论知x 2012＋1的每一个奇素因子都≡1(mod4)，矛盾．。

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