《因式分解法、直接开平方法》教案-01
直接开平方法和因式分解法
《21.2 一元二次方程的解法之直接开平方法》教学反思
1．成功之处
通过本节课的教学，使学生理解理解一元二次方程的解法——直接开平方法，并会运用直接开平方法解一元二次方程。
学生由解一次方程向解二次方程认识转变，掌握两类不同方程解法之间的联系与区别。
通过回顾已有知识，会求一个非负数的平方根，为后面用直接开平方法解一元二次方程打下铺垫．在通过对平方根定义的回顾，激发起学生强烈的求知欲和探索愿望，会解形如
)0(2≥=n n x 以及
)0p (p n m 2≥=+）（x 的这一类方程。
本节教学需由浅入深，循序渐进，逐步深入，学生探究的问题愈来愈有挑战性，教师适当点拨和学生充分讨论从而共性，形成共识，设置由浅入深一些练习题，加深对能够用直接开平方法解一元二次方程的特征．通过例题学习，习题的训练，归纳出直接开平方法解一元二次方程的一般步骤．
2．不足之处
在这一节教学中一味追求学生回答问题的正确率，以中下等生的回答来完成解题．课堂教学还可以，而学困生的收获不大．在今后教学中要注意面向全体学生，可以分层训练，让所有的人在数学上得到不同的发展，同时不断发展学生应用数学的意识和增强解决问题的能力．。
一元一次方程的算法---直接开平方法(1)
解方程： 35 2 x
2
900
这种方法叫因式分解法，它的思路是：把一元二次 方程化为(ax+b)(cx+d)=0的形式，然后利用两个因式 相乘，至少有一个因式等于0，得到方程：ax+b=0, 或cx+d=0.
试试看
B
C
D
DBຫໍສະໝຸດ （3）方程有实数解。练习：
解方程：
小结：
1.2.1 因式分解法， 直接开平方法（1）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
学习目标
• 1 .知道解一元一次方程的基本思路是“降 次”----化二次为一次。 • 2. 能熟练地通过降次化一元二次方程为一 元一次方程。
复习：
x 1 2x 1 • 解方程： 1 1 2( x 3) 5 0, 2 2 3 解： 2 x 6 5 0, 1 去括号，得：
合并，得：2x 1 1 两边同除以2，得：x 2 2 两边同乘以6，得：3 x 1 2 2 x 1 6
去括号，得： 3x 3 4 x 2 6 合并得：7x 7, 两边同除以7, 得：x 1
解一元一次方程一般步骤：去分母，去括号，移项合 并同类项，未知数系数化“1”.
怎样解一元二次方程呢？
• 问题1.解方程： 35 2 x 900
2
回顾： 平方根 的平方根记作:____ 4 若x2 4, 那么x叫4的 _______,4
因此，x= 4 平方根 的平方根记作： 若x 2 a(a 0), 那么x叫a的 ______,a __ a x a 因此，x ____
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2
华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直接开平方法和因式分解法》这一节，主要介绍了直接开平方法和因式分解法两种解决一元二次方程的方法。
这部分内容是整个九年级数学的重要知识点，也是初中学段的难点内容。
通过这一节的学习，使学生能够熟练掌握两种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但是，对于直接开平方法和因式分解法这两种方法的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，引导学生理解和掌握这两种方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法，能够灵活运用这两种方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等环节，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握直接开平方法和因式分解法两种解一元二次方程的方法。
2.教学难点：理解直接开平方法和因式分解法的原理，能够灵活运用这两种方法解决问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元二次方程的基本概念，引导学生进入新课。
2.讲解直接开平方法：通过具体案例，讲解直接开平方法的步骤和原理。
3.讲解因式分解法：通过具体案例，讲解因式分解法的步骤和原理。
4.练习与讨论：布置一些练习题，让学生分组讨论，巩固所学知识。
5.总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置一些拓展题，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：直接开平方法1.确定a、b、c的值2.计算判别式Δ3.计算开平方根4.求解方程5.确定a、b、c的值6.求解方程的根7.因式分解8.求解方程八. 说教学评价通过课堂讲解、练习题、小组讨论等方式，对学生的知识掌握和应用能力进行评价。
《直接开平方法和因式分解法》教案
《直接开平方法和因式分解法》教案教学目标：1.理解直接开平方法和因式分解法的定义和基本概念；2.掌握使用直接开平方法和因式分解法解决简单的数学问题；3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1.理解直接开平方法和因式分解法的概念；2.运用直接开平方法和因式分解法解决问题。
教学难点：运用直接开平方法和因式分解法解决较复杂的问题。
教学准备：教学课件、白板、书本、习题等。
教学过程：一、引入新知识（5分钟）1.教师先向学生提出一个问题：如何快速将一个数开平方？2.引导学生思考，并对学生的回答进行梳理，引出直接开平方法和因式分解法的概念。
二、讲授直接开平方法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解直接开平方法的步骤和原理。
2.教师示范使用直接开平方法求解一个简单的开平方问题，并解释每一步骤。
三、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用直接开平方法解决一道开平方问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
四、讲授因式分解法（10分钟）1.通过例题的形式，向学生讲解因式分解法的步骤和原理。
2.教师示范使用因式分解法解决一个简单的因式分解问题，并解释每一步骤。
五、学生动手实践（10分钟）1.要求学生结合课本上的习题，独立使用因式分解法解决一道因式分解问题。
2.学生互相进行讨论和交流，并由学生代表上板解答。
六、综合练习（15分钟）1.教师出示一些较复杂的数学问题，要求学生分别使用直接开平方法和因式分解法解决。
2.学生进行小组讨论，并挑选一位代表上台解答。
3.教师针对学生的解答进行点评和总结。
七、拓展思考（10分钟）1.教师向学生提出一些拓展问题，引导学生进行思考和讨论。
2.鼓励学生思考和总结直接开平方法和因式分解法在解决数学问题中的作用和优势。
八、课堂小结（5分钟）1.教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
2.鼓励学生多做练习，掌握直接开平方法和因式分解法的应用。
华东师大版九年级上册数学精品教案第1课时直接开平方法
22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝ －2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。
九年级数学上册《直接开平方法和因式分解法》教案、教学设计
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，让学生在实际问题中发现问题、提出问题，培养他们的探究能力。
（3）通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学策略：
2.提高题：针对学有余力的学生，布置第XX页的习题4、5，这两题具有一定的挑战性，需要学生灵活运用所学方法，并具有一定的推理能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与直接开平方法或因式分解法相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并简要说明解题思路。
例如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为100元，售价为200元。为了促销，工厂决定对售价进行打折，设折扣为x（0<x<1），问折扣为多少时，工厂能获得最大利润？”
2.因式分解法：
（1）回顾因式分解的基本原理，引导学生理解其在二次方程求解中的应用。
（2）讲解因式分解法求解二次方程的步骤，结合具体例题进行分析。
（3）强调因式分解法在解决实际问题中的重要性。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组针对以下问题进行讨论：
（1）直接开平方法和因式分解法的适用场景。
（2）如何运用直接开平方法和合适的求解方法。
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，涵盖直接开平方法和因式分解法的应用。
2.让学生独立完成习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.选取部分学生的解答进行展示和评价，引导学生从中发现问题、总结规律。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结直接开平方法和因式分解法的特点和适用范围。
华师大版-数学-九年级上册-22.2.1 直接开平方法和因式分解法 教案
22.2.1直接开平方法和因式分解法教学目标：1.会用直接开平方法解形如（a ≠0,a ≥0）的方程；2.会用因式分解法解简单的一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.4.使学生经历探索解一元二次方程的过程.教学重点：会用直接开平方法解一元二次方程.教学难点：对不能直接用直接开平方法的方程能转化成用直接开平方法求解.教学过程：一．自学质疑1.解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0;【答案】（1）2±；（2）1±30±2.如果x 2=a ,那么x 叫做a 的______,记作________;（复习平方根的定义）一般地,对于形如x 2=a (a ≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得12,x x这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.分别解这两个一元一次方程，得x 1＝1，x 2＝－1.这种方法叫做因式分解法.二．交流展示：(1)方程x 2＝4能否利用因式分解法来解，要用因式分解法解，首先应化成什么形式？(2)方程x 2－1＝0能否利用直接开平方法来解，要用直接开平方法解，首先应化成什么形式？三．互动探究：x 2-900=0【答案】30±四．精讲点拨：例1.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.【答案】（1）移项，得（2）移项，得x 2＝2. 16x 2＝25. b ax =2231056x 直接开平方，得x 2＝ . 直接开平方，得x ＝. 所以原方程的解是，. 所以原方程的解是 ， . 例2.解下列方程：（1）3x 2＋2x =0；（2）x 2＝3x .【答案】（1）x (3x ＋2)=0. （2）x 2－3x =0.所以 x ＝0，或3x ＋2＝0. x (x －3)＝0.原方程的解是 x 1＝0，x 2＝. 所以x ＝0，或x －3＝0, 原方程的解是x 1＝0，x 2＝3.说明：用因式分解法解一元二次方程的根据是：若．A ．·B ．＝．0．，则．．A ．＝．0．或．B ．＝．0．. 例3. 解下列方程（1）（x ＋1）2－4＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.【解析】 两个方程都可以转化为（a ≠0,ab ≥0）的形式，从而用直接开平方法求解.【答案】（1）原方程可以变形为（x ＋1）2＝4，直接开平方，得：x ＋1＝±2.所以原方程的解是 x 1＝1，x 2＝－3.（2）x 1=4+√32x 2=4−√32说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想.五．矫正反馈：解下列方程:（1）2410x （2）2314x （3）22370x （4） 53311x x 226163921x x 【答案】(1) x 1=12x 2=-12 (2) x 1=−3+2√33x 2=−3−2√33 (3)x 1=3+√72x 2=3−√72（4）x 1=√106x 2=−√10616252±=x 45±21－=x 22=x 451－=x 452=x 32-b k x a =-2)()1(+x b x =2b(5)x 1=2√2x 2=−2√2（6）x 1=910x 2=-−152 六.小结七.布置作业。
121因式分解法,直接开平方法(一)
1.2 解一元二次方程的算法1.2.1因式分解法，直接开平方法（一）教学目标1、理解一元二次方程降次的转化思想，知道解一元二次方程的基本思想是降次，即化一元二次方程为一元一次方程；2、会用因式分解法和直接开平方法解简单的一元二次方程。
3、能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。
重点难点重点：用因式分解法和直接开平方法解形如（ax+b）2-k=0(k≥0)方程。
难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
学习及引导过程一、复习引入1、判断下列说法是否正确：（1）若ab=0，则a=0或b=0；（2）若ab=1，则a=1或b=1；（3）若(x-5)(x+2)=0，则x-5=0或x+2=0；（4）若(x-5)(x+2)=1，，则x-5=1或x+2=1。
2、若x2=a，则x叫做a的_________，x=______；若x2=4，则x=______；若x2=2，则x=_____。
二、自主探究1、试验发现观察方程：方程（1）x(x-2)=0，（2）3x(x+2)=0，回答问题：（1）你能观察出这两个方程的特点吗？（2）这两个方程的解是什么？说说你的理由。
先让学生自己完成，然后教师归纳：上述两个方程中，由于方程的右边是0，左边是两个因式乘积的形式，因此都可以根据ab=0，则a=0或b=0求解，令每个因式分别等于0，实现降次，从而求出方程的解，这种解法叫做因式分解法。
2、探究（1）：怎样用因式分解法解一元二次方程？以1.1节问题一中的方程：（35-2x）2-900=0为例。
怎样将方程化为ab=0的形式？并求出方程的解？学生思考后回答，展示方法。
本例是实际问题，提醒学生注意解的合理性。
归纳：因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）移项，使方程的右边为0；（2）将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2
浙教版数学八年级下册《因式分解法、直接开平方法、配方法》教学设计2一. 教材分析浙教版数学八年级下册的《因式分解法、直接开平方法、配方法》是整式与方程单元的重要内容。
这一部分内容主要让学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题引导学生掌握这三种方法，并在解决实际问题中体会数学的运用价值。
二. 学情分析学生在学习这一部分内容时，已有了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生理解和掌握三种不同的解法。
此外，学生需要将所学知识应用于实际问题，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，能灵活运用这些方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，体会数学在生活中的运用价值。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法。
2.难点：如何灵活运用这些方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示解题过程，提高学生的学习兴趣。
3.通过练习题和实践问题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和练习题。
2.安排学生进行预习，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如：一个长方形的长比宽多3米，宽比长少2米，求长方形的面积。
2.呈现（15分钟）呈现因式分解法、直接开平方法和配方法这三种解一元二次方程的方法，引导学生了解各自的特点和适用范围。
3.操练（20分钟）让学生通过练习题熟悉这三种方法，并及时给予指导和反馈。
练习题包括简单的一元二次方程和实际问题。
1.2.1 因式分解法,直接开平方法 第1课时湘教版九年级上册
解一元二次方程的算法
第1课时
1.2.1 因式分解法，直接开平方法
ax2 bx c 0(a 0)
1.理解一元二次方程“降次”──“二次”转化为
“一次”的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程.
在数学活动课上，老师拿来一张面积为96㎝2的长方形卡纸， 要大家把它剪成形状、大小完全一样的6个图形.小强剪完后， 发现它们恰好均为正方形，于是同桌小雨马上断定小强的正
2
27
解析： （1）用直接开平方法解得 y=〒0.7，所以y1=0.7, y2= -0.7 (2)用直接开平方法解得 a=
2 2 2 ,所以a1= , a2 = 2 2 2
（3）变形得x2=9，所以x1=3 , x2=-3.
1.解下列方程：
2
1 2 x 2 32 0 2 25 x 2 16 0 3 x 2 3 28
1 2 4 1 2 x 32 0 （2） 2 x 8 0 2 25 x 2 16=16，用直接开平方法解得 x=〒4， 解析:（1）变形得x2 0
所以x1=4, x2= -4. 1 4 x2 8 0 2 (2)变形得x2=-16，∵ x2 ＜0 ，∴原方程无解.
2.会运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程.
名言警句
精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人
们长期切磋积累的成果. 我也是慢慢学来的，
而且还要继续不断的学习.
——阿贝尔
方形边长为4㎝.你知道为什么吗？
解析：设每一个小正方形的边长为ｘ㎝，根据题意，得
6 x 96
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华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)
22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用． 二、重难点目标 【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤． 【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标 【教学重点】用公式法解一元二次方程． 【教学难点】 求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标 【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况． 【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状． 【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。
华师大版数学九年级上册22.直接开平方法和因式分解法课件
22.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和 因式分解法
1 课堂讲授 2 课时流程
形如x2＝p(p≥0)和（mx＋n）2 ＝p (p≥0)型方程的解法
用因式分解法解一元二次方程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
试一试
解下列方程：
(1) x2 =4；
(2) x210.
所以 得
（2）移项，得
x＝0或3x＋2＝0.
x1＝0，x 2
2 3
.
x2－3x＝0.
方程左边分解因式，得
x(x－3)＝0.
所以x＝0或x－3＝0.
得x1＝0，x2＝3.
知2－练
1 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可 以运用因式
分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个
一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的
解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
2
A．转化思想
B．函数思想
3
C．数形结合思想
D．公理化思想
知2－练
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( ) A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
2 一元二次方程4x2－9＝0的解为( )
A. x 3 2
3
3
C.
x1
, 2
x2
2
B. x 2 3
2
2
D.
x1
, 3
x2
3
知1－练
华师版九年级数学上册第22章1 直接开平方法和因式分解法
开平方，得 x＝±3. ∴ x1＝3，x2＝－3 .
(2)2(x－3)2－50＝0.
将方程变成左边是完全平方
移项，得 2(x－3)2＝50.
的形式，右边是非负数的形 式(如果方程右边是负数，那
系数化为1，得(x－3)2＝25 . 么这个方程无实数根).
开平方，得 x－3＝±5. ∴ x1＝8，x2＝－2 .
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项； (2)开平方； (3)解两个一元一次方程 .
知1－讲
知1－练
例 1 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0. 解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解 .
(1)9x2－81＝0；
知1－练
解：移项，得9x2＝81. 系数化为1，得 x2＝9.
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和 因式分解法
1 课时讲解 直接开平方法
因式分解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 直接开平方法
知1－讲
1. 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解 的方法叫做直接开平方法 .
知1－讲
2-1. [中考·临沂]方程 x2－2x－24＝0的根是( B ) A. x1＝6，x2＝4 B. x1＝6，x2＝－4 C. x1＝－6，x2＝4 D. x1＝－6，x2＝－4
知2－练
知2－练
2-2. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2－5x＋4＝ 0 的两根，则这个等腰三角形的周长为( B ) A. 6 B. 9 C. 6 或 9 D. 以上都不正确
知2－讲
《 直接开平方法和因式分解法 word版 公开课一等奖教案
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!一元二次方程的解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x -k)2 =b (a≠0,ab≥0 )的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境 ,综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与 "教〞与 "学〞的整个过程 ,激发求知的欲望 ,体验求知的成功 ,增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入 ,初步认识问：怎样解方程(x +1)2 =256 ?解：方法1：直接开平方 ,得x +1 =±16所以原方程的解是x1 =15,x2 = -17方法2：原方程可变形为：(x +1 )2 -256 =0 ,方程左边分解因式 ,得 (x +1 +16 ) (x +1 -16 ) =0即 (x +17 ) (x -15 ) =0所以x +17 =0或x -15 =0原方程的解x1 =15,x2 = -17【教学说明】让学生说出作业中的解法 ,教师板书.二、思考探究 ,获取新知例1 用直接开平方法解以下方程(1 ) (3x +1 )2 =7; (2 )y2 +2y +1 =24; (3 )9n2 -24n +16 =11.【教学说明】运用开平方法解形如 (x +m )2 =n (n≥0 )的方程时 ,最|容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解以下方程：(1 )5x2 -4x =0(2 )3x (2x +1 ) =4x +2(3 ) (x +5 )2 =3x +15【教学说明】解这里的 (2 ) (3 )题时 ,注意整体划归的思想.三、运用新知 ,深化理解(1 )3 (x -1 )2 -6 =0(2 )x2 -4x +4 =5(3 ) (x +5 )2 =25(4 )x2 +2x +1 =42.用因式分解法解以下方程：5m得到大圆形场地 ,场地面积增加了一倍 ,求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.那么可列方程2πx2 =π (x +5 )2.解得x1 =5 +52,x2 =5 -52 (舍去 ).答：小圆形场地的半径为 (5 +52 )m.【教学说明】可由学生自主完成例题 ,分小组展示结果 ,教师点评.四、师生互动 ,课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a (x -k )2 =b (a≠0,b≥0 )的方程 ,只要把 (x -k )看作一个整体 ,就可转化为x2 =n (n≥0 )的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式 (单项式或多项式 )时 ,切不可约去相同因式 ,而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和 "习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的 "课时作业〞局部.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程 ,让学生小组讨论 ,归纳总结探究 ,掌握根本方法和步骤 ,合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法 ,在整个教学过程中注意整体划归的思想.本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力.写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进.因此, 写作教案具有重要地位.然而, 当前的写作教案存在" 重结果轻过程〞的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上,无视了语言的输入.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。
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《因式分解法、直接开平方法》教案
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1= ，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得 t l=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。
议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12。
[解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0，
3x-2=0，或x+3=0，
所以x l= x2=-3
(2) 去括号、整理得 x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
(x+5)(x-3)=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。
布置作业
教学后记：。