高中数学：构造函数方法
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高中数学：构造函数
常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)
()
()()0(0)
()
(x g x f x F x g x f 或；
（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）
kx x f x F k x f )
()
()
(k )
(或
；
2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)
()()
(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）
)
0)
(()
(g )()
()
0(0)
()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或
；
（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)
0(x
)()
()
0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或
；
（5）)()
()
0(0)
(n )(x x f x x F x f x f n
或
;
(6))0(x
)()
()
0(0)
(n -)(x n
x
x f x F x f x f 或
;
(7))(e )
()
0(0)
()(x f x F x f x f x
或
;
(8))0(e
)()
()
0(0)(-)(x
x
x f x F x f x f 或
;
(9)
)(e )
()
0(0)
(k )(x f x F x f x f kx
或
;
(10))0(e
)()
()
0(0)
(k -)(kx
x
x f x F x f x f 或
;
(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()
()
0(0tan )(-)(x
x f x F x
x f x f 或
;
(13))0(cos cos )()
()0(0)(tanx )(x
x
x f x F x f x f 或;
(14))(cos )
()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;
(15)
()+lna ()0(0)()
()x
f x f x F x a f x 或;
(16)
()()lna ()
0(0)()
x
f x f x f x F x a
或
;
考点一。直接构造法1．（1）已知()(4
)f x f x ，且当2x 时，其导函数()f x 满足()
2()
xf x f x ，若2
4a
，
则（
）
A.2(2)
(3)
(log )
a
f f f a B.2(3)
(log )
(2)a
f f a f C.
2(log )
(3)
(2)
a
f a f f D.
2(log )
(2)
(3)
a
f a f f 解：由题：对称轴
x=2,
单增，时，单减，当时，当（)(f 2x
)(f 2x
)
()2x
x x x f C
,162
4,2log 12选a
a
。
（2）设a ＞0，b ＞0．(
) A ．若a
2222b
a b ，则a ＞b B ．若a
2
22
2b
a b ，则a ＜b C ．若
a 2
22
2b
a
b ，则
a ＞b
D ．若
a
2
22
2b
a
b ，则
a ＜b
解：对选项A ：构造函数：2
2x
f x
x ，则2l n 220
x
f
x
恒成立，故有函数
2
2x
f x
x
在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】
A 。
（3）已知函数
()f x 满足(2)1f ，且()
f x 的导函数
()
1f x x ，求解不等式
2
1()1
2f x x
x 。
解：
2
x
,0)2(g )(g 01)()(,12
1)
()
(g 2
故解集为：单增，，则x x x f x g x x
x f x 。
（4）已知函数
f x
满足：
1,00,f x f x f f
x f x 是的导函数，求解不等式
1
x
x
e f x
e
。
解：
x ,0)
0(g (g ,0)1)()
(()(,1)()(g 故解集为：）单增，则令x x f x f e x g e
x f e x x
x
x
。
（5）若)(x f 满足1)
(')
(x f x f ，4)0(f ，求解不等式3()
1x
f x e
。
解：令
)(3
)
(1
3)(f )(g x
x
x
x
x
e
x h e
e
x f e e
x x ，
)1)()
(()(h x f x f e x x
>0,g(x)单调递增，
g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.