2014浙江专升本数学真题版
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 集合与常用逻辑用语、等式与不等式
专题01集合与常用逻辑用语、等式与不等式考点01集合1.（2023年浙江）已知集合S={1,2,4},T={2,3},则∩=（）u 1,2,3,4u 2u 1,3,4u2.（2022年浙江）已知全集03{}689U =，，，，，集合}9{3A =，，则U A =ð（）A ．{068}，，B ．{3，9}C ．0368{}9，，，，D ．∅3.（2021年浙江）集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{2,4}B =-，则A B = （）A.{2,1,4}-- B.{2}- C.{0,1,2,4}D.{2,1,0,1,2,4}--4.（2020年浙江）集合{1,2,7,8}A =，集合{2,3,5,8}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{3,5}C ．{2,8}D ．{1,2,3,5,7,8}5.（2019年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,1,1,3B =--，则A B = （）A.{}1,1- B.{}1- C.{}1 D.∅6.（2018年浙江）已知集合A={1，2，4}，B={1，3，5，7}，则A ∪B=（）A.{1}B.{1，3，5，7}C.{1，2，3，4，5，7}D.{1，2，4}7.（2017年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,B x x x =<∈N ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2- B.{}1,1,2,3- C.{}0,1,2 D.{}0,18.（2016年浙江）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =,}7,5,3,2{=B ,则A B = A .}3,2{B .{6,7}C .}5,3,2{D .{1,2,3,4,5,6,7}9.（2015年浙江）己知集合{}230M x x x =++=，则下列结论正确的是（）A ．集合M 中共有2个元素B ．集合M 中共有2个相同元素C ．集合M 中共有1个元素D ．集合M 为空集10.（2014年浙江）已知集合{},,,M a b c d =，则含有元素a 的所有真子集个数有（）A .5个B ．6个C .7个D .8个考点02常用逻辑用语1.（2023年浙江）“=1”是“=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（2022年浙江）“21x >”是“0x >”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.（2021年浙江）已知a ，b 为实数，则“330a b -=”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（2020年浙江）“45α=︒”是“sin 2α=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.（2019年浙江）“2120191k -=”是“1k =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.（2018年浙江）命题p ：α=0是命题q ：sin α=0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（2017年浙江）命题p ：1a =，命题q ：()210a -=.p 是q 的（）A.充分且必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件8.（2016年浙江）命题甲“sin 1α=”是命题乙“cos 0α=”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分且必要条件D .既不充分也不必要条件9.（2015年浙江）命题甲“a b <”是命题乙“0a b -<”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件10（2014年浙江）“0a b +=”是“0a b ⋅=”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件考点03等式与不等式1.（2023年浙江）已知实数a>b>c,则下列结论正确的是()A.a+b<2cB.a+b>2cC.a+c>2bD.a +c<2b 2.（2023年浙江）当x>-1时、函数f(x)=2+2r10r1的最大值的最小值是()A.2B.3C.6D.103.（2022年浙江）下列不等式（组）中，其解集在数轴上的表示如图的是（）A ．|1|3x -≤B ．4020x x -<⎧⎨+≥⎩C ．2280x x --<D ．1311x x -≤⎧⎨+>-⎩4.（2022年浙江）已知00x y >>，，且221102x y +=，则xy 的最大值为__________．5.（2021年浙江）不等式3.5 1.5x -£的解集为（）A.[2,5]B.(2,5)C.(,2][5,)-¥+¥ D.(,2)(5,)-¥+¥ 6.（2021年浙江）已知实数0m n <<，则下列不等式成立的是（）A.220m n << B.22m n < C.n m m n-<- D.n m -<-7.（2021年浙江）已知3 4 (0,0)x y x y +=>>，则xy 的最大值为.8.（2020年浙江）已知a ，b ，c 是实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若22ac bc >，则a b>D ．若a b >，则22ac bc>9.（2020年浙江）若正数a ，b 满足20ab =，则2a b +的最小值为_________．10.（2019年浙江）不等式240x x -≤的解集为（）A.[]0,4 B.()0,4 C.[)(]4,00,4- D.(][),04,-∞+∞ 11.（2019年浙江）a 、b 、c 为实数，则下列各选项中正确的是（）A.0a b a c b c-<⇔-<- B.0a b a b->⇔>-C.022a b a b ->⇔->- D.0bca b c a a>>>⇔>12.（2019年浙江）正数x 、y 满足lg lg 2x y +=，则x y +的最小值等于________.13.（2018年浙江）不等式|1-3x |≥2的解集是（）A.−∞,B.−∞,⋃1,+∞C.−13,1D.1,+∞14.（2017年浙江）若x ∈R ，下列不等式一定成立的是（）A.52x x < B.52x x->- C.2x > D.()2211x x x +>++15.（2017年浙江）如图，在数轴上表示的区间是下列哪个不等式的解集（）A.260x x --≤ B.260x x --≥ C.1522x -≥ D.302x x -≥+16.（2017年浙江）若1x <-，则函数()121f x x x =--+的最小值为______.17.（2016年浙江）不等式213x -<的解集是A .(1,)-+∞B .(2,)+∞C .(1,2)-D .(2,4)-18.（2016年浙江）若1x >，则91x x +-的最小值为.19.（2015年浙江）已知()()2220x x y -++=，则3xy 的最小值为（）A ．2-B ．2C ．6-D ．-20.（2015年浙江）不等式277x ->的解集为__________．（用区间表示）21.（2014年浙江）下列不等式（组）解集为{}|0x x <的是（）A .3323x x -<-B .20231x x -<⎧⎨->⎩C .220x x ->D 12x -<x<<，则当且仅当x＝时，x（4－x）的最大值为22.（2014年浙江）若04专题01集合与常用逻辑用语、等式与不等式考点01集合1.（2023年浙江）已知集合S={1,2,4},T={2,3},则∩=（）u 1,2,3,4u 2u 1,3,4u答案B2.（2022年浙江）已知全集03{}689U =，，，，，集合}9{3A =，，则U A =ð（）A ．{068}，，B ．{3，9}C ．0368{}9，，，，D ．∅答案A3.（2021年浙江）集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{2,4}B =-，则A B = （）A.{2,1,4}--B.{2}- C.{0,1,2,4}D.{2,1,0,1,2,4}--答案D4.（2020年浙江）集合{1,2,7,8}A =，集合{2,3,5,8}B =，则A B = （）答案C A ．{2}B ．{3,5}C ．{2,8}D ．{1,2,3,5,7,8}5.（2019年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,1,1,3B =--，则A B = （）A.{}1,1-B.{}1-C.{}1 D.∅答案A6.（2018年浙江）已知集合A={1，2，4}，B={1，3，5，7}，则A ∪B=（）A.{1}B.{1，3，5，7}C.{1，2，3，4，5，7}D.{1，2，4}答案C7.（2017年浙江）已知集合{}1,0,1A =-，集合{}3,B x x x =<∈N ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,1,2-B.{}1,1,2,3- C.{}0,1,2 D.{}0,1答案D8.（2016年浙江）已知集合{1,2,3,4,5,6}A =,}7,5,3,2{=B ,则A B = A .}3,2{B .{6,7}C .}5,3,2{D .{1,2,3,4,5,6,7}【答案】D【解析】集合A ，B 中出现的所有元素1,2,3,4,5,6,7；所以答案选D 。
2014专升本高等数学真题及答案
河南省2014年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一．选择题（每小题2分，共60分）1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3] B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ,则()()()g x f x f x =--.()A.是偶函数 B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当x→0时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x +C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =,则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -Bln x x C.-21xD.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数）。
在2t=对应点处切线的方程为（）A.1x =B.1y =C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数。
则dy dx=A.11x y x +-- B.21y xy x --C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a （a>0)上连实，(0)f >0且在（0，a)上恒有'()f x >0,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.1S <2SB.1S =2SC.1S >2S D.不确定12.曲线31y x =+()A.无拐点B 有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y=12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数则()xx e f e dx --⎰=()A.()xF e c -+ B.()xF e c --+C.()x F e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[],a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线x=a,x=b,y=0所围成平面图形的面积为（）A ()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰C.()b af x dx ⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连实函数，满足()f x =21sin 1x x ++_11(),f x dx -⎰则lim ()x f x →∞=（）A.B.-6πC.3πD6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =()A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln xdx x+∞⎰B.11dx x+∞⎰C.2111dx x -⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dy y x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.2=)xy Ax Bx e+半（ B.=xy Axe半 C.=xy Ae半 D.2=()xy x e Ax B +半21.已知a,b,c 为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=则（）A.a b ⊥ 且b cB.a b b c⊥ 且 C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22、直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A、L 在π上B、L 与π平行但无公共点C、L 与π相交但不垂直D、L 与π垂直23、在空间直角坐标系内，方程222-y =1x 表示的二次曲面是（）A、球面B、双曲抛物面C、圆锥面D、双曲柱面24、极限0y 02lim+1-1x xyxy →→=（）A、0B、4C、14D、-1425、点（0,0）是函数z xy =的（）A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy ⎰⎰=（）A、0B、-1C、2D、127、设(),f x y 为连续函数，()()122-01,+,x xdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A、()212,yy dy f x y dx⎰⎰B、()2,ydy f x y dx⎰⎰C、()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D、()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A、1B、2C、0D、-113.下列级数条件中收敛的是（）A、2n=12n-1n +1∞∑B、n nn=11-3∞∑（1）C、22n=1n +n+1n -n+1∞∑D、nn=11-n∞∑（1）30、级数2n=114n -1∞∑的和是（）A、1B、2C、12D、14二、填空题（每题2分，共20分）31、设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠⎪⎝⎭（0,1），则()f x =______.32、设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=______.33、已知(){,1ln 1x a x x x f x -<≥=，，若函数()f x 在1x =连续，则a=______.34、设33'(1)12f x x +=+是()01f =-，则()f x =______.35、不定积分cos 2xdx ⎰=______.36、若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===则()a b c ⨯ =______.37、微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =______.38、设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =______.39、函数()222,,f x y z x y z =++在点（1，1,1）处方向导数的最大值为______.40、函数()112f x x=-的幂级数展开式是______.三、计算题（每题5分，共50分）41、求极限20(1)lim1tan -1x x x e x x→-++42、设n a 为曲线ny x =与1(1,2,3,4...)n y xn +==所围的面积，判定级数1n n na ∞-∑的敛散性43.求不定积分21xdx x -⎰.44.计算定积分402x dx -⎰.45.解方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分22lnDx y dxdy +⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分22(1)(1)y x dx x y dy <++-⎰其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四．应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五．证明题（6分）53.设2e a b e <<<证明2224ln ln ()b a b a e ->-2014专升本真题答案一．选择题1-10A C B A B D B B C B 11-20C B D B C B D C C D 21-30B D D B A A C A D C 二．填空题31.1x 32.8933.134.21x x --35.1sin 22x c=36.237.2212xx x c ec e+38.239.2340.2n nn x ∞=∑,11(,)22x ∈-41.2030303030320220220(1)1tan 11tan 1(1tan 1)1tan (1)(1tan 1)tan 2tan 6sec 16tan 66lim limlimlimlimlim lim lim x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+=+-++++=+-++++=-=-=-===42.解：由题意知112110111(1212(1)(2)n n n n n x x a x x dx n n n n n n +++⎡⎤=-=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦⎰）1131123231112(1)(2)(1)(2)1(1)(2)lim 101(1)(2)1(1)(2)n n n n n n n n n n n n nna n n n n nn n n n n n n n a n n n∞∞==∞∞→∞==∞∞∞=====++++++=>++++∑∑∑∑∑∑∑故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知故与级数的敛散性相同且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛43.22212221122211(1)2111(1)(1)21(1)11212xdx d x x x x d x x c x c--+=---=---=+=-+-+⎰⎰⎰44.42x dx-⎰4422422022(2)2222224x dx x dxx x x x =-+-⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=⎰⎰45.原方程可化为21'y y x x-=为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为112ln 2ln 2231(+c)2=2x xx xdx x e dx c e x e dx c x x dx c x x xdx c x x x cx ----⎡⎤⎰⎰⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰y=e 46..'''''''2,,22222xy z xy xy z x y Z xy x zz xy y zz xy xyz z z e F ye F xe F e F zye x F e F z xe y F e z zdz dx dy x yye xe dx dy e e --------+=-=-=-∂=-=∂-∂=-=∂-∂∂=+∂∂=+--解：令F(x,y,z)=e 则故所以47.解：{}AB=3,34-- ，，{}AC=2,11-- ，{}AB*AC=3341,5,3211i j k--=--AB ×AC=22215335++=ABC 的面积等于12AB ×AC =35248.在极坐标下22221221222211222122122212lnln .2ln 22.ln ln 22122ln .224ln 224ln 2434ln 2x r rr r x y dxdy d rdrr dr r l d r dr rdrr l θπππππππππ+==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰49.由格林公式知2222222222212013410(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()(2242x oy x dx x y dy x y y x dxdy y x y y x dxdy x y dxdyd r rdr r drr l θπππ++-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂-∂+⎪⎪⎣⎦⎣⎦=-+=⎨⎬∂∂⎪⎪⎩⎭⎡⎤=--+⎣⎦=-+=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中D：x 用极坐标计算）50.解：幂级数01n n x n ∞=+∑中11n a n =+有公式知112limlim 111n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-1x =-时，幂级数为0(1)1nn n ∞=-+∑收敛；1x =时，幂级数为011n n ∞=+∑发散；故幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为[1,1)-设幂级数01n n x n ∞=+∑的和函数为()s x ，即0()1nn x s x n ∞==+∑则10()1n n x xs x n +∞==+∑由100111n n n n x x n x +∞∞=='⎛⎫== ⎪+-⎝⎭∑∑则1(1)00011(1)ln 111n x x x n x dx d x n x x +∞-===--=-+--∑⎰⎰故(1)()ln x xs x -=-即(1)1()ln x s x x-=-51.解：设场地的长为x ，宽为y ，高为h 。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文)试卷及解析
22.本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的 位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分14分。
（1）由题意知，焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，由抛物线的定义知， ，得到 ，
代入 求得 或 ，
所以 或 ，由 得 或 ，
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，
（1）因为 ，
①当 时，
若 ，则 ， ，故 在 上是减函数；
若 ，则 ， ，故 在 上是增函数；
所以， .
②当 ，则 ， ， ，故 在 上是减函数，
所以 ，
综上所述， .
（2）令 ，
①当 时， ，
若 ， 得 ，所以 在 上是增函数，所以 在 上的最大值是 ，且 ，所以 ，
故 .
若 ， ，则 ，所以 在 上是减函数，
14.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为
.
15.设函数 ，若 ，则 .
16.已知实数 、 、 满足 ， ，则 的最大值为为_______.
17. 设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 、 ，若 满足 ，则双曲线的离心率是.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（1）连结 ，在直角梯形 中，由 ， 得 ，
由 得 ，即 ，
又平面 平面 ，从而 平面 .
（2）在直角梯形 中，由 ， 得 ，
又平面 平面 ，所以 平面 .
作 于 的延长线交于 ，连结 ，则 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角.
在 中，由 ， ，得 ， ，
在 中， ， ，得 ，
在 中，由 ， 得 ，
成人高考专升本高等数学(一)考试真题及答案解析2014年
2014年成人高考专升本考试真题及答案解析高等数学（一）1.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： D2.(单选题)设则(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的微分的知识点.【应试指导】因为3.(单选题)设函数则(本题4分)A 1/2B 1C π/2D 2π标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了导数的基本公式的知识点.【应试指导】因为所以4.(单选题)设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b）可导，则在（a，b)内(本题4分)A 不存在零点B 存在唯一零点C 存在极大值点D 存在极小值点标准答案： B解析：【考情点拨】本题考查了零点定理的知识点.【应试指导】由题意知，f(x)在（a，b）上单调递增，且f(a)·f(b)<0，则y=f(x）在(a，b)内存在唯一零点。
5.(单选题)(本题4分)ABCD标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】6.(单选题)(本题4分)A -2B -1C 1D 2标准答案： D解析：【考情点拨】本题考查了定积分的奇偶性的知识点.【应试指导】7.(单选题)(本题4分)A -eBCD e标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了无穷区间的反常积分的知识点.【应试指导】8.(单选题)设二元函数(本题4分)ABCD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】因为9.(单选题)设二元函数(本题4分)A 1B 2CD标准答案： A解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的应用的知识点.【应试指导】因为10.(单选题)，则该球的球心坐标与半径分别为(本题4分)A （-1，2，-3）；2B （-1，2，-3）；4C （1，-2，3）；2D （1，-2，3）；4标准答案： C解析：【考情点拨】本题考查了球的球心坐标与半径的知识点.【应试指导】所以，该球的球心坐标与半径分别为（1，-2，3)，2.11.(填空题)设，则a=______(本题4分)标准答案： 2/3解析：【考情点拨】本题考查了特殊极限的知识点.【应试指导】12.(填空题)曲线的铅直渐近线方程为_________ .(本题4分)标准答案： x=-1/2解析：【考情点拨】本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点.【应试指导】当的铅直渐近线13.(填空题)设则y'=________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一元函数的一阶导数的知识点.【应试指导】因为14.(填空题)设函数在X=0处连续，则a=_______(本题4分)标准答案： 3解析：【考情点拨】本题考查了函数在一点处连续的知识点.【应试指导】因为函数f(x)在x=0处连续，则15.(填空题)曲线在点（0，1)处的切线的斜率k=____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了导数的几何意义的知识点.【应试指导】因为即所求的斜率k=116.(填空题)_______(本题4分)标准答案： 1/2解析：【考情点拨】本题考查了第一类换元积分法的知识点.【应试指导】17.(填空题)设函数则____(本题4分)标准答案： 1解析：【考情点拨】本题考查了变上限的定积分的知识点.【应试指导】因为18.(填空题)设二次函数则dz=______(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】因为19.(填空题)过原点（0，0，0)且垂直于向量（1，1，1)的平面方程为_________ (本题4分)标准答案： x+y+z=0解析：【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点.【应试指导】由题意知，平面的法向量为（1，1，1)，则平面方程可设为x+y+z+D=0因该平面过(0，0，0)点，所以D=0，即x+y+z=020.(填空题)微分方程的通解为y=__________(本题4分)标准答案：解析：【考情点拨】本题考查了一阶微分方程的通解的知识点.【应试指导】21.(问答题)计算(本题8分)标准答案：22.(问答题)设y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y'.(本题8分)标准答案：将2y+sin（x+y)=0两边对x求导，得23.(问答题)求函数f（x）=x3-3x的极大值.(本题8分)标准答案：所以x1=-1为f（x）的极大值点，f（x）的极大值为f(-1)=2. (8分）24.(问答题)计算(本题8分)标准答案：25.(问答题)设函数(本题8分)标准答案：因为所以26.(问答题)计算其中D是由直线x=0,y=0及x+y=1围成的平面有界区域.(本题10分)标准答案：27.(问答题)判定级数(本题10分)标准答案：所以原级数收敛(10分)28.(问答题)求微分方程的通解(本题10分)标准答案：对应的齐次方程为特征方程为（2分）特征根为（4分）所以齐次方程的通解为（6分）设为原方程的一个特解，代入原方程可得（8分），所以原方程的通解为（10分）。
2014年成人高考专升本高等数学一真题附答案
2021年成人高考专升本高等数学一真题及答案一、选择题：每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题参考答案：A第3题参考答案：B第4题设函数f(x)在[a,b]连续，在(a，b)可导，f’(x)>0.假设f(a)·f(b)<0，那么y=f(x)在(a，b)( )参考答案：B第5题参考答案：C第6题参考答案：D 第7题参考答案：C 第8题参考答案：A 第9题参考答案：A第10题设球面方程为(x一1)2+(y+2)2+(z一3)2=4，那么该球的球心坐标与半径分别为( )A.(一1，2，一3);2B.(一1，2，-3);4C.(1，一2，3);2D.(1，一2，3);4参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。
每题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：2/3第12题第13题第14题参考答案：3第15题曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=_______．参考答案：1第16题参考答案：1/2第17题参考答案：1第18题设二元函数z=x2+2xy，那么dz=_________．参考答案：2(x+y)dx-2xdy第19题过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为________．参考答案：z+y+z=0第20题微分方程y’-2xy=0的通解为y=________．三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解容许写出推理，演算步骤。
第21题第22题设Y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y’．第23题求函数f(x)一x3—3x的极大值．第24题第25题第26题第27题第28题求微分方程y〞+3y’+2y=ex的通解．。
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 直线与圆含详解
专题04直线与圆考点01直线1.（2023年浙江）直线3−−23=0的倾斜角是（）A.150° B.120° D.60° D.30°2.（2023年浙江）直线l 经过点M(-4,1),且与过A(1,5),B(-6,3)两点的直线平行,则直线l 的方程为（）A.7x +2y+26=0B.2x-7y+15=0C.7x-2y+30=0D.2x +7y+1=03.（2022年浙江）两条平行直线220x y +-=与280x y ++=之间的距离为（）A B ．C ．5D ．104.（2022年浙江）已知三点(0,2),(2,),(5,12)A B m C 在同一条直线上，则实数的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．105.（2021年浙江）直线y x =--）A.45-°B.45°C.135°D.135-°6.（2021年浙江）直线360x y --=与坐标轴相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（）A. B.C.4D.87.（2020年浙江）直线x =的倾斜角为（）A ．0︒B ．30︒C ．60︒D ．90︒8.（2020年浙江）双曲线221x y -=与直线1x y -=交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．49.（2020年浙江）若直线y x b =+经过抛物线24x y =的焦点，则b 的值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．210.（2020年浙江）已知点(3,4),(7,6)A B -，则线段AB 的中点坐标为（）A ．(5,1)B ．(2,5)C ．(10,2)D ．(4,10)11.（2019年浙江）已知直线的倾斜角为60︒，则此直线的斜率为（）A.33-B. D.3312.（2019年浙江）动点M 在y 轴上，当它与两定点()4,10E 、()2,1F -在同一条直线上时，点M 的坐标是（）A.()0,6B.()0,5C.()0,4D.()0,313.（2018年浙江）过原点且与直线x -2y -1=0垂直的直线方程为（）A.2x +y =0B.2x -y =0C.x +2y =0D.x -2y =014.（2018年浙江）过点A (3，-2)和B (-1，2)的直线的斜率为_____.15.（2017年浙江）直线12y =+的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°16.（2017年浙江）直线1l 210y ++=与直线2l ：30x -+=的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.非垂直相交17.（2016年浙江）如图，直线32120x y +-=与两坐标轴分别交于,A B 两点，则下面各点中，在OAB ∆内部的是A.(1,2)-B.(1,5)C.(2,4)D.(3,1)18.（2016年浙江）点(2,)a 到直线10x y ++=，则a 的值为A.1-或5B.1-或5- C.1或5-D．5-19.（2016年浙江）点1(3,4)P ，2(,6)P a ，P 为1P 2P 的中点，O 为原点，且OP =a 的值为A.7B.13- C.7或13 D.7或13-20.（2016年浙江）直线1212:(1)(2)0,:(3)(1)10,l a x a y a l a x a y l l -++-=-+-+=⊥，则a =.21.（2015年浙江）直线20150y ++=的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π622.（2015年浙江）平面内，过点()1,A n -，B （n ，6）的直线与直线210x y +-=垂直，求n 的值．23.（2014年浙江）已知两点M （－2，5），N （4，－1），则直线MN 的斜率k ＝（）A .1B .－1C .12D .－1224.（2014年浙江）倾斜角为2π，x 轴上截距为－3的直线方程为（）A .3x =-B .3y =-C .3x y +=-D .3x y -=-25.（2014年浙江）直线210x y +-=与两坐标轴所围成的三角形面积S ＝．26.（2014年浙江）求过点P （0，5），且与直线:320l x y -+=平行的直线方程．考点02圆1.（2023年浙江）已知M(2,0),N(6,4),则以线段MN 为直径的圆的圆心坐标是（）A.(2,2)B.(2,4)C.(8,4)D.(4,2)2.（2023年浙江）当m=___时，圆2+2=2−6+10（m 为常数）表示的圆的半径最小.3.（2022年浙江）过点(3,0)M 作圆224x y +=的一条切线，则点M 到切点之间的距离为（）A ．1B C D ．54.（2021年浙江）设圆方程22()()x m y n m n +++=+，圆心为(3,9)--，则圆的半径为（）A. B.12C.6D.5.（2019年浙江）圆的一般方程为2282130x y x y +-++=，则其圆心和半径分别为（）A.()4,1-，4B.()4,1-，2C.()4,1-，4D.()4,1-，26.（2017年浙江）在圆：22670x y x +--=内部的点是（）A.(B.()7,0C.()2,0-D.()2,17.（2015年浙江）如图所示，在所给的直角坐标系中，半径为2，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为__________．考点03直线与圆综合应用1.（2023年浙江）已知圆C 的圆心坐标为（5，-3），半径r =5（1）求圆C 的标准方程;（3分）（2）若直线l:x+2y-4=0交圆C 相交于M,N 两点，求过这两点的圆C 的切线方程.（6分）2.（2022年浙江）直线10x y ++=交x 轴于点C ，以点C 为圆心，作过点(2,4)M 的圆．（1）求圆C 的标准方程：（4分）（2）直线50x y -+=与圆相交于A ，B 两点，求弦长||AB ．（5分）3.（2021年浙江）已知圆心为(0,2)的圆与直线40x y --=相切.（1）求圆的标准方程；（4分）（2）求x 轴被圆所截得的弦长.（5分）4.（2020年浙江）下列直线中，与圆22(1)(2)5x y -++=相切的是（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y ++=D ．210x y +-=5.（2020年浙江）设直线y x m =+与曲线221(0)x y x +=≥有公共点，则实数m 的取值范围是（）A ．[B ．[1,1]-C ．[-D ．[6.（2020年浙江）已知圆M 的圆心为(4,2)-，半径为6，直线1:20l x y +-=．（1）写出圆M 的标准方程；（4分）（2）直线2l 与1l 平行，且截圆M 的弦长为4，求直线2l 的方程．（5分）7.（2019年浙江）已知圆C 的圆心为()1,1-.（1）写出圆C 的标准方程；（2）试判断直线10x y +-=与圆C 的位置关系；若相交，求出两交点间的距离.8.（2018年浙江）已知圆C ：2+2−2=0，过点P (0，4)的直线l 与圆C 相切，求：（1）圆C 的圆心坐标和半径；（3分）（2）直线l 的方程.（6分）9.（2017年浙江）过点()1,3-的直线l 被圆O ：2242200x y x y +---=截得弦长为8.（1）求该圆的圆心及半径；（3分）（2）求直线l 的方程.（6分）10.（2016年浙江）设直线2380x y +-=与20x y +-=交于点M ，（1）求以点M 为圆心，半径为3的圆的方程；（2）动点P 在圆M 上，O 为坐标原点，求PO 的最大值.11.（2015年浙江）已知直线40x y +-=与圆()()222417x y -++=，则直线与圆的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．相交且不过圆心D ．相交且过圆心12.（2014年浙江）直线l ：230x y +-=与圆C ：22240x y x y ++-=的位置关系是（）A .相交切不过圆心B .相切C .相离D .相交且过圆心13.（2014年浙江）已知圆C ：224640x y x y +-++=和直线l ：50x y -+=，求直线l 上到圆C 距离最小的点的坐标，并求最小距离．专题04直线与圆考点01直线1.（2023年浙江）直线3−−23=0的倾斜角是（）A.150° B.120° D.60° D.30°答案C2.（2023年浙江）直线l 经过点M(-4,1),且与过A(1,5),B(-6,3)两点的直线平行,则直线l 的方程为（）A.7x +2y+26=0 B.2x-7y+15=0 C.7x-2y+30=0 D.2x +7y+1=0答案B3.（2022年浙江）两条平行直线220x y +-=与280x y ++=之间的距离为（）A B ．C ．5D ．10答案B4.（2022年浙江）已知三点(0,2),(2,),(5,12)A B m C 在同一条直线上，则实数的值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10答案B5.（2021年浙江）直线y x =--）A.45-°B.45°C.135°D.135-°答案C6.（2021年浙江）直线360x y --=与坐标轴相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（）A. B. C.4 D.8答案A7.（2020年浙江）直线x =的倾斜角为（）A ．0︒B ．30︒C ．60︒D ．90︒答案D8.（2020年浙江）双曲线221x y -=与直线1x y -=交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4答案B9.（2020年浙江）若直线y x b =+经过抛物线24x y =的焦点，则b 的值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案C10.（2020年浙江）已知点(3,4),(7,6)A B -，则线段AB 的中点坐标为（）A ．(5,1)B ．(2,5)C ．(10,2)D ．(4,10)答案A11.（2019年浙江）已知直线的倾斜角为60︒，则此直线的斜率为（）A.33-B. D.33答案C12.（2019年浙江）动点M 在y 轴上，当它与两定点()4,10E 、()2,1F -在同一条直线上时，点M 的坐标是（）A.()0,6B.()0,5C.()0,4D.()0,3答案C13.（2018年浙江）过原点且与直线x -2y -1=0垂直的直线方程为（）A.2x +y =0B.2x -y =0C.x +2y =0D.x -2y =0答案A14.（2018年浙江）过点A (3，-2)和B (-1，2)的直线的斜率为_____.答案-115.（2017年浙江）直线12y =+的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°答案C16.（2017年浙江）直线1l 210y ++=与直线2l ：30x -+=的位置关系是（）A.平行B.垂直C.重合D.非垂直相交答案D17.（2016年浙江）如图，直线32120x y +-=与两坐标轴分别交于,A B 两点，则下面各点中，在OAB ∆内部的是A.(1,2)-B.(1,5)C.(2,4)D.(3,1)【答案】D【解析】A （4,0），B （0,6）,将（3,1）代入3+2−12=0，得9+2-12<0；所以答案选D 。
铭远教育-(历年真题)2014年浙江省专升本数学试卷及解析
25、设 lim
x 0
f x 1 ，且 f x 0 ，证明： f x x . x
26、已知
2 ln 2
dt e 1
t
x
，求 x 的值. 6
浙江省 2014 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一 考试 《高等数学》试卷答案
一、选择题 1、D 解析：解题方法举例子。若 f x x, g x 即 f x g x 极限存在. 2、C 解析：y 3 x 2 3 ， 令 y 0. 得 x 1. 当 x 1 时，y 2 ； 当 x 1 时，y 2 .
x 1
lim f x lim
x 1
x 1 是不可导点.
4、A 解析：令 t x u , 则 sin t x dt
x
0
sin udu, f x sin x sin x.
x
0
1 1 1 1 x dx x dx 5、B 解析： y e x x 2 1 e dx C x arctan x C .
所以通解为 ln xy x y C 0, C 为任意的常数
5 1 y 4e x e 2 x 2 2 15、
解析：
y C1e x C2e 2 x , r1 1, r2 2. y 3 y 2 y 1. 1 y * A.0 3 0 2 A 1, A . 2 1 C 4 5 2x 1 C C2 2 1 x 1 , C 5 y 4e e . 2 2 2 2 2 C1 2C2 1
8、曲线 y x ln e
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位5．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．2106．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >97．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )8．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |29．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)10．设函数f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝2(x －x 2)，f 3(x )＝13|sin 2πx |，a i ＝i99，i ＝0,1,2，…，99.记I k＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1,2,3.则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．12．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.13．当实数x ，y 满足{ x ＋2y －4≤0， x －y －1≤0， x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．15．设函数f (x )＝{ x 2＋x ，x <0， －x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．17．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．19．(本题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n .20．(本题满分15分)如图，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B -AD -E 的大小．21．(本题满分15分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R ，若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选B 由题意知U ＝{x ∈N |x ≥2}，A ＝{x ∈N |x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x ＜5}＝{2}．故选B.2．解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.3．解析：选D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S ＝S 1－S正方形＋S 2＋2S 3＋S斜面，其中S 1是长方体的表面积，S 2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S 3是三棱柱的一个底面的面积，则S ＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2×12×4×3＋5×3＝138(cm 2)，选D.4．解析：选C 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C. 5．解析：选C 由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.6．解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．7．解析：选D 当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1,0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知C 错，因此选D.8．解析：选D 对于min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A ，B 均错；而|a ＋b |，|a －b |中的较大者与|a |，|b |可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2，因此选D.9．解析：选A 解法一(特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．解法二(标准解法) 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n2(m ＋n )；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1mC 2m ＋n＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n ＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n3(m ＋n )，所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.10．解析：选B 显然f 1(x )＝x 2在[0,1]上单调递增，可得f 1(a 1)－f 1(a 0)>0，f 1(a 2)－f 1(a 1)>0，…，f 1(a 99)－f 1(a 98)>0，所以I 1＝|f 1(a 1)－f 1(a 0)|＋|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋…＋|f 1(a 99)－f 1(a 98)|＝f 1(a 1)－f 1(a 0)＋f 1(a 2)－f 1(a 1)＋…＋f 1(a 99)－f 1(a 98)＝f 1(a 99)－f 1(a 0)＝⎝⎛⎭⎫99992－0＝1.f 2(x )＝2(x －x 2)在⎣⎡⎦⎤0，4999上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5099，1上单调递减，可得f 2(a 1)－f 2(a 0)>0，…，f 2(a 49)－f 2(a 48)>0，f 2(a 50)－f 2(a 49)＝0，f 2(a 51)－f 2(a 50)<0，…，f 2(a 99)－f 2(a 98)<0，所以I 2＝|f 2(a 1)－f 2(a 0)|＋|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋…＋|f 2(a 99)－f 2(a 98)|＝f 2(a 1)－f 2(a 0)＋…＋f 2(a 49)－f 2(a 48)－[f 2(a 51)－f 2(a 50)＋…＋f 2(a 99)－f 2(a 98)]＝f 2(a 49)－f 2(a 0)－[f 2(a 99)－f 2(a 50)]＝2f 2(a 50)－f 2(a 0)－f 2(a 99)＝4×5099×⎝⎛⎭⎫1－5099＝9 8009 801<1.f 3(x )＝13|sin 2πx |在⎣⎡⎦⎤0，2499，⎣⎡⎦⎤5099，7499上单调递增，在⎣⎡⎦⎤2599，4999，⎣⎡⎦⎤7599，1上单调递减，可得f 3(a 1)－f 3(a 0)>0，…，f 3(a 24)－f 3(a 23)>0，f 3(a 25)－f 3(a 24)>0，f 3(a 26)－f 3(a 25)<0，…，f 3(a 49)－f 3(a 48)<0，f 3(a 50)－f 3(a 49)＝0，f 3(a 51)－f 3(a 50)>0，…，f 3(a 74)－f 3(a 73)>0，f 3(a 75)－f 3(a 74)<0，f 3(a 76)－f 3(a 75)<0，…，f 3(a 99)－f 3(a 98)<0，所以I 3＝|f 3(a 1)－f 3(a 0)|＋|f 3(a 2)－f 3(a 1)|＋…＋|f 3(a 99)－f 3(a 98)|＝f 3(a 25)－f 3(a 0)－[f 3(a 49)－f 3(a 25)]＋f 3(a 74)－f 3(a 50)－[f 3(a 99)－f 3(a 74)]＝2f 3(a 25)－2f 3(a 49)＋2f 3(a 74)＝232sin 49π99－sin π99>232sin 5π12－sin π12＝2326＋224－6－24＝6＋326>1.因此I 2<I 1<I 3.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．解析：S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝11，i ＝4；S ＝26，i ＝5；S ＝57，i ＝6，此时S >n ，所以i ＝6.答案：612．解析：由题意设P (ξ＝由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：2513．解析：由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2,1)，都代入1≤ax ＋y ≤4，可得1≤a ≤32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 14．解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．答案：6015．解析：结合图形(图略)，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，可得a ≤ 2. 答案：(－∞，2)16．解析：联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±b a x 可解得交点为⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.答案：5217．解析：作PH ⊥BC ，垂足为H ，设PH ＝x ，则CH ＝3x ，由余弦定理AH ＝625＋3x 2－403，tan θ＝tan ∠P AH ＝PHAH ＝1625x 2－403x＋3⎝⎛⎭⎫1x >0，故当1x＝43125时，tan θ取得最大值，最大值为539.答案：539三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．解析：(1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.19．解析：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2，舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时， c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.20．解析：(1)在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝ 2. 由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE . 所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD .(2)法一：作BF ⊥AD ，与AD 交于点F .过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B -AD -E 的平面角． 在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB . 由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6. 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝233，AF ＝23AD .从而GF ＝23.在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5714，BG ＝23.在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B -AD -E 的大小是π6.法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33·2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B -AD -E 的大小是π6.21．解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P －a 2kb 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k2，因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ，当且仅当k 2＝ba时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 22．由于－1≤x ≤1，①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1,1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8.②当－1<a <1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，在(－1，a )上是减函数，所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1＜a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1,1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4.因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知，①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数，h (x )在[－1，1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾；②当－1＜a ≤13时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13. 令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝⎛⎭⎫0，13上是增函数，故t (a )≥t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0；③当13<a <1时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2是3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0； ④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0.综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.。
2014年浙江专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2014年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．当x→x0时，若f(x)存在极限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是( )A．当x→x0时，f(x)g(x)必定存在极限B．当x→x0时，f(x)g(x)必定不存在极限C．当x→x0时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零D．当x→x0时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限正确答案：D解析：极限运算法则，可以举反例，若f(x)=x2，g(x)=lnx，则f(x)= x2=0，g(x)=lnx＝－∞，但f(x).g(x)=x2lnx=0；若f(x)=2，g(x)=sin=2，不存在，但f(x).g(x)=不存在；可见选项D正确．2．曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点是( )A．(0，0)B．(1，2)C．(一1，2)D．(0，2)正确答案：C解析：由导数几何意义可知，k切=y′(x0)=3—3=0，所以切点坐标为(1，一2)或(一1，2)，即选项C正确．3．函数f(x)=(x2—x一2)｜x3一x｜的不可导点个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：导数定义，f′(0)=所以f′－(0)==2，f′＋(0)==－2所以函数f(x)在x=0处不可导；同理，f′(1)=所以f′－(1)=一(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝4．f′＋(1)=(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝－4，所以函数f(x)在x=1处不可导；f′(－1)==(x－2)｜x3－x｜=0，所以函数f(x)在x=－1处可导；综上可知，函数f(x)共有2个不可导点，选项B正确．4．若f(x=sin(t一x)dt，则f(x)= ( )A．－sinxB．－1＋cosxC．sinxD．0正确答案：A解析：变限函数求导数，因为sin(t一x)dt sinudu，所以sin(t—x)dt=sinudu=0一sin(一x).(一1)=－sim，可见选项A正确．5．微分方程y′＋的通解是( )A．arctanx＋CB．(arctanx＋C)C．arctanx＋CD．＋arctanx＋C正确答案：B解析：一阶线性微分方程，由通解公式可得y=e－∫p(x)dx[∫Q(x).e∫p(x)dxdx+C]=.elnxdx+C]=(arctanx+C)，可见选项B正确．填空题6．设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且f(2)=3，则=___________．正确答案：9解析：利用连续性求极限，=3f(2)=9 7．设f(x)=，则f[f(x)]=___________．正确答案：解析：求复合函数的表达式，f[f(x)]=f[f(x)]=8．曲线y=xln(e＋)(x＞0)的渐近线方程是___________．正确答案：y=x+解析：计算斜渐近线，设直线y=ax+b为所求曲线的渐近线，则a==lne=1，b=所以，斜渐近线为y=x+．9．设y=ln，则y′｜x=0=___________．正确答案：-1解析：求导函数，因为y=ln[ln(1一x)一ln(1+x)]所以y′=，故y′(0)＝－1．10．曲线y=(x＞0)的拐点是___________．正确答案：()解析：求曲线的拐点，当x＞0时，y′=令y″=0，得x=，所以拐点为()．11．由曲线y=x和y=x2所围成的平面图形的面积是___________．正确答案：解析：据题意画图，求所围平面图形的面积S=(x—x2)dx=(x2一12．将函数f(x)=sin2x展开成x的幂级数为___________．正确答案：，x∈(一∞，+∞)解析：麦克劳林展式，f(x)=sin2x=cos2x，又因cosx=x2n，x∈(一∞，+∞)，所以cos2x=(2x)2n即f(x)=，x∈(一∞，+∞)．13．设(a×b).c=1，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=___________．正确答案：2解析：混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为0．因此，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[a×(b+c)+b×(b+c)]=[a×b+a×c+b×b+b ×c].(c+a)=[a×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b).c+(a×b).a+(a×c).c+(a×c).a+(b×c).c+(b×c).a=(a×b).c－(b×c).a=2(a×b).c=214．微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为___________．正确答案：ln｜xy｜+x－y+C=0，C为任意常数解析：可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1一y)xdx=0x+ln｜x+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜+C，C为任意常数．15．设二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=C1ex+C1e2x，那么非齐次y″＋ay′＋by=1满足的条件y(0)=2，y′(0)=－1的解为___________．正确答案：y=4ex－解析：求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为r2+ar+b=0，r1=1，r2=2即(r－1)(r－2)=0，r2－3r+2=0，故a=－3，b=2．所以原微分方程为y″一3y′+2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，取k=0，因此，设特解y*=A，则(y*)′=0，(y*)″=0，代入可得A=，所以y*=，所以y″一3y′+2y=1的通解为y=C1ex+C2e2x+，再由y(0)=2，y′(0)=－1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex－解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2014年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
第1题参考答案：D第2题参考答案：A第3题参考答案：B第4题设函数f(x)在[a,b]连续，在(a，b)可导，f’(x)>0.若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在(a，b)( )参考答案：C第8题参考答案：A第9题参考答案：A第10题设球面方程为(x一1)2+(y+2)2+(z一3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( ) A.(一1，2，一3);2B.(一1，2，-3);4C.(1，一2，3);2D.(1，一2，3);4参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：2/3第12题第13题第14题参考答案：3第15题曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=_______．参考答案：1第16题参考答案：1/2第17题参考答案：1第18题设二元函数z=x2+2xy，则dz=_________．参考答案：2(x+y)dx-2xdy第19题过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为________．参考答案：z+y+z=0第20题微分方程y’-2xy=0的通解为y=________．三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题第22题设Y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y’．第23题求函数f(x)一x3—3x的极大值．第24题第25题第26题第27题第28题求微分方程y”+3y’+2y=ex的通解．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理 (2)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014浙江,理1)设全集U={x ∈N |x ≥2},集合A={x ∈N |x 2≥5},则∁U A=( ). A.⌀ B.{2}C.{5}D.{2,5}答案:B解析:由题意知集合A={x ∈N |x ≥√5},则∁U A={x ∈N |2≤x<√5}={2},故选B . 2.(2014浙江,理2)已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,则“a=b=1”是“(a+b i)2=2i ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:当a=b=1时,(a+b i)2=(1+i)2=2i,反之,(a+b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i,则a 2-b 2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“(a+b i)2=2i ”的充分不必要条件,应选A .3.(2014浙江,理3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( ).A.90 cm 2B.129 cm 2C.132 cm 2D.138 cm 2答案:D解析:由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×12×3×4=138(cm 2).故选D .4.(2014浙江,理4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=√2cos 3x 的图象( ).A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位 答案:C解析:y=sin 3x+cos 3x=√2cos (3x -π4)=√2cos [3(x -π12)],因此需将函数y=√2cos 3x 的图象向右平移π12个单位.故选C .5.(2014浙江,理5)在(1+x )6(1+y )4的展开式中,记x m y n 项的系数为f (m ,n ),则f (3,0)+f (2,1)+f (1,2)+f (0,3)=( ).A.45B.60C.120D.210答案:C解析:∵(1+x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r x r ,(1+y )4展开式的通项公式为T h+1=C 4ℎy h,∴(1+x )6(1+y )4展开式的通项可以为C 6r C 4ℎx r y h. ∴f (m ,n )=C 6m C 4n .∴f (3,0)+f (2,1)+f (1,2)+f (0,3)=C 63+C 62C 41+C 61C 42+C 43=20+60+36+4=120.故选C .6.(2014浙江,理6)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,且0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( ). A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c>9答案:C解析:由f (-1)=f (-2)=f (-3),得{-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-1+a -b +c =-27+9a -3b +c ,解得{a =6,b =11. 从而可得f (x )=x 3+6x 2+11x+c.又由0<f (-1)≤3,得0<-1+6-11+c ≤3,即6<c ≤9.故选C .7.(2014浙江,理7)在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x>0),g (x )=log a x 的图象可能是( ).答案:D解析:由于本题中函数为y=x a (x ≥0)与y=log a x ,对于选项A,没有幂函数图象,故错误;对于选项B,由y=x a (x ≥0)的图象知a>1,而由y=log a x 的图象知0<a<1,故B 错误; 对于选项C,由y=x a (x ≥0)的图象知0<a<1,而由y=log a x 的图象知a>1,故C 错误; 对于选项D,由y=x a (x ≥0)的图象,知0<a<1,而由y=log a x 的图象知0<a<1,故选D .8.(2014浙江,理8)记max{x ,y }={x ,x ≥y ,y ,x <y ,min{x ,y }={y ,x ≥y ,x ,x <y ,设a ,b 为平面向量,则( ).A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案:D解析:根据向量运算的几何意义,即三角形法则,可知min{|a +b |,|a -b |}与min{|a |,|b |}的大小关系不确定,故A,B 选项错误.当a ,b 中有零向量时,显然max{|a +b |2,|a -b |2}=|a |2+|b |2成立.由于|a +b |2=|a |2+|b |2+2a ·b =|a |2+|b |2+2|a ||b |cos <a ,b >,|a -b |2=|a |2+|b |2-2a ·b =|a |2+|b |2-2|a ||b |cos <a ,b >, 若a ≠0,b ≠0, 则当0°≤<a ,b ><90°时,显然|a +b |2>|a -b |2,且|a +b |2>|a |2+|b |2; 当<a ,b >=90°时,显然|a +b |2=|a -b |2=|a |2+|b |2;当90°<<a ,b >≤180°时,显然|a +b |2<|a -b |2,而|a -b |2>|a |2+|b |2. 故总有max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |2成立.故选D .9.(2014浙江,理9)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3,n ≥3),从乙盒中随机抽取i (i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi (i=1,2);(b)放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i=1,2). 则( ).A.p 1>p 2,E (ξ1)<E (ξ2)B.p 1<p 2,E (ξ1)>E (ξ2)C.p 1>p 2,E (ξ1)>E (ξ2)D.p 1<p 2,E (ξ1)<E (ξ2)答案:A 解析:p 1=m m+n +n m+n ×12=2m+n 2(m+n ),p 2=3m 2-3m+2mn+n 2-n3(m+n )(m+n -1), p 1-p 2=2m+n 2(m+n )−3m 2-3m+2mn+n 2-n 3(m+n )(m+n -1)=5mn+n (n -1)6(m+n )(m+n -1)>0.故p 1>p 2.ξ1的可能取值为1,2, P (ξ1=1)=C n1C m+n 1=nm+n; P (ξ1=2)=C m1C m+n1=m m+n . 故E (ξ1)=1×n m+n +2×mm+n=2m+nm+n. ξ2的可能取值为1,2,3. P (ξ2=1)=C n2C m+n2=n (n -1)(m+n )(m+n -1),P (ξ2=2)=C m 1C n1C m+n 2=2mn(m+n )(m+n -1),P (ξ2=3)=C m2C m+n2=m (m -1)(m+n )(m+n -1),故E (ξ2)=1×n (n -1)(m+n )(m+n -1)+2×2mn (m+n )(m+n -1)+3×m (m -1)(m+n )(m+n -1)=n (n -1)+4mn+3m (m -1)(m+n )(m+n -1).于是E (ξ1)-E (ξ2) =2m+n m+n −n (n -1)+4mn+3m (m -1)(m+n )(m+n -1)=(2m+n )(m+n -1)-[n (n -1)+4mn+3m (m -1)](m+n )(m+n -1)=-m (m+n -3)(m+n )(m+n -1). 又∵m ≥3,n ≥3,∴E (ξ1)-E (ξ2)<0, 即E (ξ1)<E (ξ2). 综上,应选A .10.(2014浙江,理10)设函数f 1(x )=x 2,f 2(x )=2(x-x 2),f 3(x )=13|sin 2πx|,a i =i 99,i=0,1,2,…,99.记I k =|f k (a 1)-f k (a 0)|+|f k (a 2)-f k (a 1)|+…+|f k (a 99)-f k (a 98)|,k=1,2,3.则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 2<I 1<I 3 C.I 1<I 3<I 2 D.I 3<I 2<I 1 答案:B解析:由|(i 99)2-(i -199)2|=199·2i -199, 结合题意可得I 1 =199(199+399+599+…+2×99-199) =199×99299=1. 由2|i 99-i -199-(i 99)2+(i -199)2|=299|99-(2i -1)99| ={299×100-2i 99,i ≤50,299×2i -10099,50<i ≤99.结合题意可得I 2=299×2×50(98+0)2×99=98×10099×99=(99-1)(99+1)992=992-1992<1.I 3=13(||sin (2π×199)|-|sin (2π×099)||+ ||sin (2π×299)|-|sin (2π×199)||+…+ ||sin (2π×9999)|-|sin (2π×9899)||)=13(2sin50π99-2sin 2π×7499)=23(sin 50π99-sin 148π99) =23(sin 49π99+sin 49π99) =43sin 49π99>43sin π3=2√33>1. 因此I 2<I 1<I 3,故选B .二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2014浙江,理11)若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运行后输出的结果是 .答案:6解析:第一次运行结果S=1,i=2,第二次运行结果S=4,i=3, 第三次运行结果S=11,i=4, 第四次运行结果S=26,i=5, 第五次运行结果S=57,i=6, 此时57>50,输出i=6.12.(2014浙江,理12)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P (ξ=0)=15,E (ξ)=1,则D (ξ)= . 答案:25解析:设ξ=1时的概率为p ,则E (ξ)=0×15+1×p+2(1-p -15)=1,解得p=35.故D (ξ)=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×15=25.13.(2014浙江,理13)当实数x ,y 满足{x +2y -4≤0,x -y -1≤0,x ≥1时,1≤ax+y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案:[1,32]解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y ,即y=-ax+z.作直线l 0:y=-ax ,平移l 0,最优解可在A (1,0),B (2,1),C (1,32)处取得. 故由1≤z ≤4恒成立,可得{1≤a ≤4,1≤2a +1≤4,1≤a +32≤4,解得1≤a ≤32. 14.(2014浙江,理14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 种(用数字作答). 答案:60解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有C 32A 42=36种;二是有三人各获得一张奖券,共有A 43=24种.因此不同的获奖情况有36+24=60种.15.(2014浙江,理15)设函数f (x )={x 2+x ,x <0,-x 2,x ≥0,若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是 .答案:(-∞,√2]解析:由题意得{f (a )<0,f 2(a )+f (a )≤2或{f (a )≥0,-f 2(a )≤2,解得f (a )≥-2.由{a <0,a 2+a ≥-2或{a ≥0,-a 2≥-2,解得a ≤√2.16.(2014浙江,理16)设直线x-3y+m=0(m ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A ,B.若点P (m ,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案:√52解析:由双曲线方程可知,它的渐近线方程为y=ba x 与y=-b ax ,它们分别与x-3y+m=0联立方程组,解得A (-am a -3b ,-bm a -3b ),B (-am a+3b ,bma+3b). 由|PA|=|PB|知,可设AB 的中点为Q , 则Q (-am a -3b +-am a+3b 2,-bm a -3b +bma+3b2),由PQ ⊥AB ,得k PQ ·k AB =-1, 解得2a 2=8b 2=8(c 2-a 2),即c 2a 2=54.故c a=√52.17.(2014浙江,理17)如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角) 答案:5√39解析:由于AB ⊥BC ,AB=15 m,AC=25 m,所以BC=√252-152=20 m . 过点P 作PN ⊥BC 交BC 于N , 连接AN (如图),则∠PAN=θ,tan θ=PN AN.设NC=x (x>0),则BN=20-x ,于是AN=√AB 2+BN 2=√152+(20-x )2 =√x 2-40x +625, PN=NC ·tan 30°=√33x ,所以tan θ=√33x √x 240x+625=√33√-40x +625x 2√33√625x2-40x +1, 令1x=t ,则625x 2−40x+1=625t 2-40t+1, 当t=4125时,625t 2-40t+1取最小值925,因此√625x 2-40x +1的最小值为√925=35,这时tan θ的最大值为√33×53=5√39(此时x =1254). 三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)(2014浙江,理18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a ≠b ,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sin A cos A-√3sin B cos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.分析:(1)将已知等式运用二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化为2A ,2B 的三角函数式,结合角A ,B 的范围求出2A ,2B 的关系式,然后求出角C.(2)由(1)知C ,又已知sin A ,c ,则可由a sinA=csinC求出a ,则由S △ABC =12ac sin B 知,只需求sin B 即可.结合B=π-(A+C )运用两角和的正弦公式可求sin B.解:(1)由题意得1+cos2A 2−1+cos2B2=√32sin 2A-√32sin 2B , 即√32sin 2A-12cos 2A=√32sin 2B-12cos 2B , sin (2A -π6)=sin (2B -π6),由a ≠b ,得A ≠B ,又A+B ∈(0,π), 得2A-π6+2B-π6=π, 即A+B=2π3,所以C=π3.(2)由c=√3,sin A=45,a sinA=csinC ,得a=85.由a<c ,得A<C ,从而cos A=35,故sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=4+3√310. 所以△ABC 的面积为S=12ac sin B=8√3+1825. 19.(本小题满分14分)(2014浙江,理19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =(√2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=6+b 2. (1)求a n 与b n ; (2)设c n =1a n−1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ;②求正整数k ,使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n .分析:(1){a n}为等比数列,且a1=2,要求a n,只需求公比q.又已知b3=6+b2,故由a1a2a3…a n=(√2)b n可得a1a2a3=(√2)b3,a1a2=(√2)b2,由此可求出a3,进而由a3=a1q2可求出q,则a n可求.求出a n,则a1a2…a n可求,从而b n可求.(2)①先由(1)中所求a n,b n求出c n,进而求出S n;②若存在正整数k,使得对任意n∈N*,均有S k≥S n,则说明S n具有最大值,即判断数列{c n}中各项的符号.先具体判断前4项的符号,再用作差法判断从第5项开始的以后各项的符号.解:(1)由题意a1a2a3…a n=(√2)b n,b3-b2=6,知a3=(√2)b3-b2=8,又由a1=2,得公比q=2(q=-2,舍去),所以数列{a n}的通项为a n=2n(n∈N*).所以,a1a2a3…a n=2n(n+1)2=(√2)n(n+1).故数列{b n}的通项为b n=n(n+1)(n∈N*).(2)①由(1)知c n=1a n −1b n=12n−(1n-1n+1)(n∈N*),所以S n=1n+1−12n(n∈N*).②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n≥5时,c n=1n(n+1)[n(n+1)2n-1],而n(n+1)2n −(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n-2)2n+1>0,得n(n+1)2n ≤5·(5+1)25<1.所以,当n≥5时,c n<0.综上,对任意n∈N*恒有S4≥S n,故k=4.20.(本小题满分15分)(2014浙江,理20)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=√2.(1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.分析:(1)先在直角梯形BCDE中求出BC,即可利用勾股定理验证AC⊥BC,然后利用面面垂直的性质定理将已知平面ABC⊥平面BCDE转化为AC⊥平面BCDE,从而得到AC⊥DE,最后结合已知DE⊥DC即可证得结论.(2)方法一,根据(1)问中证得的垂直关系作出所求二面角的平面角,然后分别求出其所在三角形的三边长,利用余弦定理求其值;方法二,根据(1)问证得的垂直关系建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标及二面角两个半平面的法向量,最后利用这两个法向量的夹角表示所求二面角即可.解:(1)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=√2.由AC=√2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.(2)方法一:作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连结BG,由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE 中,由CD 2=BC 2+BD 2,得BD ⊥BC ,又平面ABC ⊥平面BCDE ,得BD ⊥平面ABC , 从而BD ⊥AB.由于AC ⊥平面BCDE ,得AC ⊥CD.在Rt △ACD 中,由DC=2,AC=√2,得AD=√6. 在Rt △AED 中,由ED=1,AD=√6,得AE=√7. 在Rt △ABD 中,由BD=√2,AB=2,AD=√6, 得BF=2√33,AF=23AD. 从而GF=23.在△ABE ,△ABG 中,利用余弦定理分别可得cos ∠BAE=5√714,BG=23. 在△BFG 中,cos ∠BFG=GF 2+BF 2-BG 22BF ·GF =√32.所以,∠BFG=π6,即二面角B-AD-E 的大小是π6.方法二:以D 为原点,分别以射线DE ,DC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz ,如图所示.由题意知各点坐标如下:D (0,0,0),E (1,0,0),C (0,2,0),A (0,2,√2),B (1,1,0).设平面ADE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),平面ABD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),可算得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-√2),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,-√2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), 由{m ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-2y 1-√2z 1=0,x 1-2y 1-√2z 1=0,可取m =(0,1,-√2). 由{n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2y 2-√2z 2=0,x 2+y 2=0,可取n =(1,-1,√2). 于是|cos <m ,n >|=|m ·n ||m |·|n |=√3·2=√32.由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E 的大小是π6. 21.(本小题满分15分)(2014浙江,理21)如图,设椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ,且点P 在第一象限.(1)已知直线l 的斜率为k ,用a ,b ,k 表示点P 的坐标;(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直,证明:点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.分析:(1)因为直线与椭圆只有一个公共点,则只需联立直线与椭圆方程,消去y ,得到关于x 的一元二次方程,则由判别式Δ=0可求.(2)由直线l 1过原点且与直线l 垂直,即可求出直线l 1的方程,进而利用点到直线的距离公式求出点P 到直线l 1的距离,然后寻找不等关系消去k 即可.解:(1)设直线l 的方程为y=kx+m (k<0),由{y =kx +m ,x 2a2+y 2b2=1,消去y 得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2kmx+a 2m 2-a 2b 2=0.由于l 与C 只有一个公共点,故Δ=0,即b 2-m 2+a 2k 2=0,解得点P 的坐标为(-a 2kmb 2+a 2k2,b 2mb 2+a 2k2).又点P 在第一象限,故点P 的坐标为 P (2√b +a 2k 2√b +a 2k .(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直,故直线l 1的方程为x+ky=0,所以点P 到直线l 1的距离d=|-a 2k+b 2k|1+k ,整理得d=22√b 2+a 2+a 2k 2+b2k2.因为a 2k 2+b2k2≥2ab , 所以22√b 2+a 2+a 2k 2+b2k222√b +a 2+2ab=a-b ,当且仅当k 2=b a时等号成立.所以,点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.22.(本小题满分14分)(2014浙江,理22)已知函数f (x )=x 3+3|x-a|(a ∈R ). (1)若f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a ),m (a ),求M (a )-m (a ); (2)设b ∈R .若[f (x )+b ]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立,求3a+b 的取值范围.分析:(1)要求函数的最值需研究函数的单调性,因函数解析式含有三次式和绝对值,故需先去绝对值然后利用导数研究其单调性.又因为要求的是区间[-1,1]上的最值,故需分a ≤-1,-1<a<1和a ≥1三种情况讨论.(2)[f (x )+b ]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立,即-2≤f (x )+b ≤2对x ∈[-1,1]恒成立,也即函数h (x )=f (x )+2,x ∈[-1,1]的值域应为[-2,2]的子集,由此寻求a ,b 满足的条件,进而求出3a+b 的取值范围.解:(1)因为f (x )={x 3+3x -3a ,x ≥a ,x 3-3x +3a ,x <a ,所以f'(x )={3x 2+3,x ≥a ,3x 2-3,x <a ,由于-1≤x ≤1,①当a ≤-1时,有x ≥a ,故f (x )=x 3+3x-3a ,此时f (x )在(-1,1)上是增函数,因此,M (a )=f (1)=4-3a ,m (a )=f (-1)=-4-3a ,故M (a )-m (a )=(4-3a )-(-4-3a )=8.②当-1<a<1时,若x ∈(a ,1),f (x )=x 3+3x-3a ,在(a ,1)上是增函数; 若x ∈(-1,a ),f (x )=x 3-3x+3a 在(-1,a )上是减函数. 所以M (a )=max{f (1),f (-1)},m (a )=f (a )=a 3. 由于f (1)-f (-1)=-6a+2,因此 当-1<a ≤13时,M (a )-m (a )=-a 3-3a+4; 当13<a<1时,M (a )-m (a )=-a 3+3a+2. ③当a ≥1时,有x ≤a ,故f (x )=x 3-3x+3a , 此时f (x )在(-1,1)上是减函数,因此,M (a )=f (-1)=2+3a ,m (a )=f (1)=-2+3a. 故M (a )-m (a )=(2+3a )-(-2+3a )=4.综上,M (a )-m (a )={8,a ≤-1,-a 3-3a +4,-1<a ≤13,-a 3+3a +2,13<a <1,4,a ≥1.(2)令h (x )=f (x )+b ,则h (x )={x 3+3x -3a +b ,x ≥a ,x 3-3x +3a +b ,x <a ,h'(x )={3x 2+3,x ≥a ,3x 2-3,x <a .因为[f (x )+b ]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立,即-2≤h(x)≤2对x∈[-1,1]恒成立.所以由(1)知,①当a≤-1时,h(x)在(-1,1)上是增函数,h(x)在[-1,1]上的最大值是h(1)=4-3a+b,最小值是h(-1)=-4-3a+b,则-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2,矛盾;时,h(x)在[-1,1]上的最小值是h(a)=a3+b,最大值是h(1)=4-3a+b,②当-1<a≤13所以a3+b≥-2,且4-3a+b≤2,从而-2-a3+3a≤3a+b≤6a-2,且0≤a≤1.3)上是增函数,令t(a)=-2-a3+3a,则t'(a)=3-3a2>0,t(a)在(0,13故t(a)>t(0)=-2,因此-2≤3a+b≤0;③当1<a<1时,h(x)在[-1,1]上的最小值是h(a)=a3+b,最大值是h(-1)=3a+b+2,3所以a3+b≥-2且3a+b+2≤2,<3a+b≤0;解得-2827④当a≥1时,h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=2+3a+b,最小值是h(1)=-2+3a+b,所以3a+b+2≤2,且3a+b-2≥-2,解得3a+b=0.综上,得3a+b的取值范围是-2≤3a+b≤0.。
浙江十年(2014-2023)单独考试招生文化考试数学真题分类汇编 数列含详解
专题05数列考点01等差数列1.（2023年浙江）若a,b,c 是公差为1的等差数列,则5,5,5构成()A.公差为1的等差数列B.公差为5的等差数列C.公比为1的等比数列D.公比为5的等比数列2.（2022年浙江）等差数列3-，1，5，…的第6项为__________．3.（2021年浙江）若等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则2021a =.4.（2020年浙江）若1,1,24x x x -++成等差数列，则x =_________．5.（2018年浙江）在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=5，a 2+a 3+a 4=11，则公差d 为（）A.6B.3C.1D.26.（2017年浙江）等差数列{}n a 中，213a =，49a =.（1）求1a 及公差d ；（4分）（2）当n 为多少时，前n 项和n S 开始为负？（3分）7.（2014年浙江）在等差数列{n a }中，已知712,35a S ==，则等差数列{n a }的公差d ＝．考点02等比数列1.（2019年浙江）等比数列14，1，4，16，…的第5项是________.2.（2018年浙江）在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1·a 3=4，则22log a =_____.3.（2016年浙江）等比数列{}n a 满足1234a a a ++=，45612a a a ++=，则其前9项的和9S =.4.（2015年浙江）在等比数列{}n a 中，若1221nn a a a +++=- ，则22212n a a a +++= （）A ．()221n-B ．()21213n-C ．41n -D ．()1413n-5.（2015年浙江）当且仅当x ∈__________时，三个数4，1x -，9成等比数列．6.（2014年浙江）在等比数列{n a }中，若23a =，427a =，则5a ＝（）A .－81B .81C .81或－81D .3或－3考点03数列综合应用1.（2023年浙江）已知数列1=2=1，r2=r1+，求5=______.2.（2023年浙江）如图所示，在下方（n+2）(n+2)(∈∗)）的正方形网格内涂色，两条对角线上的网格涂黑色，黑色网格个数记为，其余网格涂白色，白色网格个数记为，求（1）3,4,和3,4；（4分）（2）数列{（3）数列{前100项的和100.（2分）3.（2022年浙江）已知数列{}n a 满足1113,n n na a a a --==，则2022a =（）A ．3B ．23C ．12-D ．324.（2022年浙江）已知数列{}{},n n a b 满足如下两个条件：（i ）{}n a 为等差数列，公差0d >，{}n b 为等比数列；（ii ）1122331,8,28a b a b a b ====．求：（1）数列{}{},n n a b 的通项公式；（6分）（2）数列{}n n a b 的前n 项和n S ．（4分）5.（2021年浙江）已知实数0a b >>，若P 为a 与b 的等差中项，G 为a 与b 的等比中项，则（）A.P G< B.P G> C.P G£ D.P G³6.（2021年浙江）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为1a ；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为2a ；…；第n 小时内死亡n 个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为n a .由此构成数列{}n a .（1）写出数列{}n a 的前三项；（3分）（2）写出n a 与1 (2)n a n -³的关系式；（3分）（3）求通项公式n a .（4分）7.（2020年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()111,21n n a S a n *+==-∈N ，则3a=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．28.（2020年浙江）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为212⎛⎫⎪⎝⎭的正方形，构成2阶新型天线；…．按上述规则进行下去．记na 为n 阶新型天线所有正方形个数，nb 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出123,,a a a 和123,,b b b ；（6分）（2）求n a 与n b ．（4分）9.（2019年浙江）体育场北区观众席共有10500个座位.观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为第1排、第2排、…….从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位.（1）北区观众席共有多少排？（2）现对本区前5排的座位进行升级改造，改造后各排座位数组成数列{}n b .{}n b 满足：①1b 等于原第1排座位数的一半；②()212,3,4,5n n b b nn -=+=.求第5排的座位数.10.（2018年浙江）如图所示，在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形面积为a 1；在剩下的3个三角形中，再以同样方法，挖去3个三角形，记挖去的3个三角形面积的和为a 2；……，重复以上过程，记挖去的3n -1个三角形面积的和为a n ，得到数列{a n }.（1）写出a 1，a 2，a 3和a n ；（5分）（2）证明数列{a n }是等比数列，并求出前n 项和公式S n .（5分）11.（2017年浙江）已知数列：23，34-，45，56-，67，…，按此规律第7项为（）A.78B.89C.78-D.89-12.（2017年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n *∈N ），则4S =______.13.（2016年浙江）数列{}n a 满足：*111,,()n n a a n a n N +==-+∈，则5a =A.9B.10C.11D.1214.（2015年浙江）根据表中所给的数字填空格，要求每行的数成等差数列，每列的数成等比数列．求：（1）a ，b ，c 的值；（3分）（2）按要求填满其余各空格中的数；（3分）（3）表格中各数之和．（3分）15.（2014年浙江）已知函数()5,(01)()13,(1)x f x f x x ≤≤⎧=⎨-+>⎩．（1）求f （2），f （5）的值；（4分）（2）当*x N ∈时，f （1），f （2），f （3），f （4），…构成一数列，求其通项公式．（4分）专题05数列考点01等差数列1.（2023年浙江）若a,b,c 是公差为1的等差数列,则5,5,5构成()A.公差为1的等差数列 B.公差为5的等差数列C.公比为1的等比数列 D.公比为5的等比数列答案D2.（2022年浙江）等差数列3-，1，5，…的第6项为__________．答案173.（2021年浙江）若等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则2021a =.答案40394.（2020年浙江）若1,1,24x x x -++成等差数列，则x =_________．答案1-5.（2018年浙江）在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=5，a 2+a 3+a 4=11，则公差d 为（）A.6 B.3C.1D.2答案D6.（2017年浙江）等差数列{}n a 中，213a =，49a =.（1）求1a 及公差d ；（4分）（2）当n 为多少时，前n 项和n S 开始为负？（3分）答案（1）由422a a d -=得2d =-由21a a d =+得115a =另法：111339a d ad +=+=，得1215d a =-=由题设得：0n <或16n >所以，当17n =时，n S 的值开始为负7.（2014年浙江）在等差数列{n a }中，已知712,35a S ==，则等差数列{n a }的公差d ＝．考点02等比数列2.（2019年浙江）等比数列14，1，4，16，…的第5项是________.答案642.（2018年浙江）在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1·a 3=4，则22log a =_____.答案13.（2016年浙江）等比数列{}n a 满足1234a a a ++=，45612a a a ++=，则其前9项的和9S =.【答案】52【解析】1+2+33=4+5+6,即3=3,又4+5+63=7+8+9，则7+8+9=36,9=1+2+3+4+5+6+7+8+9=524.（2015年浙江）在等比数列{}n a 中，若1221nn a a a +++=- ，则22212n a a a +++= （）A ．()221n -B ．()21213n-C ．41n -D ．()1413n- 5.1x -答案{}5,7-【解析】∵三个数4，1x -，9成等比数列，∴有()214936x -=⨯=，解得5x =-或7x =．6.（2014年浙江）在等比数列{n a }中，若23a =，427a =，则5a ＝（）考点03数列综合应用1.（2023年浙江）已知数列1=2=1，r2=r1+，求5=______.答案5_2.（2023年浙江）如图所示，在下方（n+2）(n+2)(∈∗)）的正方形网格内涂色，两条对角线上的网格涂黑色，黑色网格个数记为，其余网格涂白色，白色网格个数记为，求（1）3,4,和3,4；（4分）（2）数列{},{}的通项公式；（4分）（3）数列{.（2分）解：（1）3=9,4=12，3=16,4=24（2）={2+3,为奇数2+4,为偶数={2+2+1,为奇数2+2，为偶数+201)×502=5150+5300=104503.（2022年浙江）已知数列{}n a 满足1113,n n na a a a --==，则2022a =（）A ．3B ．23C ．12-D ．32答案C4.（2022年浙江）已知数列{}{},n n a b 满足如下两个条件：（i ）{}n a 为等差数列，公差0d >，{}n b 为等比数列；（ii ）1122331,8,28a b a b a b ====．求：（1）数列{}{},n n a b 的通项公式；（6分）（2）数列{}n n a b 的前n 项和n S ．（4分）答案（1）设{}n b 的公比为q ，依题意有2(1)8(12)28d q d q +=⎧⎨+=⎩①②①的平方÷②，化简整理得271890a d --=，当3d =代入①式，得2q =．所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）1221124272(35)2(32)2nn n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，12312124272(35)2(32)2n n n S n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ，()1212(32)213222n n n n n S S S n -∴=-=-⋅--⨯+++(35)25n n =-+．5.（2021年浙江）已知实数0a b >>，若P 为a 与b 的等差中项，G 为a 与b 的等比中项，则（）A.P G <B.P G> C.P G£ D.P G³答案B6.（2021年浙江）某细胞群繁殖情况如下：最初细胞群内有10个细胞，第1小时内死亡1个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为1a ；第2小时内死亡2个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为2a ；…；第n 小时内死亡n 个，剩下的细胞都一分为二，分裂后细胞总数记为n a .由此构成数列{}n a .（1）写出数列{}n a 的前三项；（3分）（2）写出n a 与1 (2)n a n -³的关系式；（3分）（3）求通项公式n a .（4分）答案（1）118a =，232a =，358a =；（2）12() (2)n n a a n n -=-³；（3）6224n n a n =´++7.（2020年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若()111,21n n a S a n *+==-∈N ，则3a=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案A8.（2020年浙江）随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为212⎛⎫⎪⎝⎭的正方形，构成2阶新型天线；…．按上述规则进行下去．记na 为n 阶新型天线所有正方形个数，nb 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出123,,a a a 和123,,b b b ；（6分）（2）求n a 与n b ．（4分）答案（1）1145a =+=，2144317a =++⨯=，2314434353a =++⨯+⨯=．=42．（2）12114434343n n a -=++⨯+⨯++⨯9.（2019年浙江）体育场北区观众席共有10500个座位.观众席座位编排方式如图所示，由内而外依次记为第1排、第2排、…….从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位.（1）北区观众席共有多少排？（2）现对本区前5排的座位进行升级改造，改造后各排座位数组成数列{}n b .{}n b 满足：①1b 等于原第1排座位数的一半；②()212,3,4,5n n b b nn -=+=.求第5排的座位数.答案（1）由已知条件，构造等差数列{}n a ，满足1a 为第一排座位数，600n a =为最后一排座位数，且公差10d =，解得140021a n =⎧⎨=⎩或1390100a n =-⎧⎨=⎩（舍去）.故体育场北区观众席共有21排.（2）由已知得1200b =，又()212,3,4,5n n b b nn -=+=所以2204b =，3213b =，4229b =，5254b =，即第5排有254个座位.10.（2018年浙江）如图所示，在边长为1的正三角形中，挖去一个由三边中点所构成的三角形，记挖去的三角形面积为a 1；在剩下的3个三角形中，再以同样方法，挖去3个三角形，记挖去的3个三角形面积的和为a 2；……，重复以上过程，记挖去的3n -1个三角形面积的和为a n ，得到数列{a n }.（1）写出a 1，a 2，a 3和a n ；（5分）（2）证明数列{a11.（2017年浙江）已知数列：23，34-，45，56-，67，…，按此规律第7项为（）A.78B.89C.78-D.89-答案B12.（2017年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n *∈N ），则4S =______.答案2713.（2016年浙江）数列{}n a 满足：*111,,()n na a n a n N +==-+∈，则5a =A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】2−1=1,3−2=2,4−3=3,5−4=4,1=1,则5=11；所以答案选C 。
【精校】2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学理
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理一、选择题(每小题5分，共50分)1.设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=( )A.B. {2}C. {5}D. {2，5}解析：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则C U A={x∈N|x＜3}={2}，答案：B.2.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当“a=b=1”时，“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立，故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件；当“(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=-1”，故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件；故选A3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A. 90cm2B. 129cm2C. 132cm2D. 138cm2解析：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).答案：D.4.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象( )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位解析：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象.答案：C.5.在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=( )A. 45B. 60C. 120D. 210解析：(1+x)6(1+y)4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f(3，0)=20；含x2y1的系数是=60，f(2，1)=60；含x1y2的系数是=36，f(1，2)=36；含x0y3的系数是=4，f(0，3)=4；∴f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)=120.答案：C.6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其0＜f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3，则( )A. c≤3B. 3＜c≤6C. 6＜c≤9D. c＞9解析：由f(-1)=f(-2)=f(-3)得，解得，f(x)=x3+6x2+11x+c，由0＜f(-1)≤3，得0＜-1+6-11+≤3，即6＜c≤9，故选C.7.在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象可能是( )A.B.C.D.解析：当0≤a＜1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D8.记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则( )A. min{|+|，|-|}≤min{||，||}B. min{|+|，|-|}≥min{||，||}C. max{|+|2，|-|2}≤||2+||2D. max{|+|2，|-|2}≥||2+||2解析：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|-|}=，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|-|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，显然不成立.由排除法可知，D选项正确.答案：D.9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i=1，2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1，2).则( )A. p1＞p2，E(ξ1)＜E(ξ2)B. p1＜p2，E(ξ1)＞E(ξ2)C. p1＞p2，E(ξ1)＞E(ξ2)D. p1＜p2，E(ξ1)＜E(ξ2)解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E(ξ1)-E(ξ2)=.答案：A10.设函数f1(x)=x2，f2(x)=2(x-x2)，，，i=0，1，2，…，99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)丨+…+|f k(a99)-f k(a98)|，k=1，2，3，则( )A. I1＜I2＜I3B. I2＜I1＜I3C. I1＜I3＜I2D. I3＜I2＜I1解析：由，故==1，由，故＜1，+=，故I2＜I1＜I3，答案：B.二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.解析：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.答案：6.12.(4分)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)= . 解析：设P(ξ=1)=p，P(ξ=2)=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以.答案：13.(4分)当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.解析：由约束条件作可行域如图，联立，解得C(1，).联立，解得B(2，1).在x-y-1=0中取y=0得A(1，0).要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1.∴实数a的取值范围是.答案：.14.(4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种(用数字作答).解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种.答案：60.15.(4分)设函数f(x)=，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是.解析：∵函数f(x)=，它的图象如图所示：由f(f(a))≤2，可得f(a)≥-2.由f(x)=-2，可得-x2=-2，即x=，故当f(f(a))≤2时，则实数a的取值范围是a≤，答案：(-∞，].16.(4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 .解析：双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x-3y+m=0联立，可得A(，)，B(-，)，∴AB中点坐标为(，)，∵点P(m，0)满足|PA|=|PB|，∴=-3，∴a=2b，∴=b，∴e==.答案：.17.(4分)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15cm，AC=25cm，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是 .(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)解析：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设BP′=x，则CP′=20-x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=(20-x)，在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=.答案：.三、解答题18.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若sinA=，求△ABC的面积.解析：(Ⅰ)△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=2·cos(A+B)sin(A-B).求得tan(A+B)的值，可得A+B的值，从而求得C的值.(Ⅱ)由 sinA=求得cosA的值.再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[(A+B)-A]的值，从而求得△ABC的面积为的值.答案：(Ⅰ)∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB，∴-=sin2A-sin2B，即 cos2A-cos2B=sin2A-sin2B，即-2sin(A+B)sin(A-B)=2•cos(A+B)sin(A-B).∵a≠b，∴A≠B，sin(A-B)≠0，∴tan(A+B)=-，∴A+B=，∴C=.(Ⅱ)∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞(舍去)，∴cosA==.由正弦定理可得，=，即=，∴a=.∴sinB=sin[(A+B)-A]=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=-(-)×=，∴△ABC的面积为=×=.19.(14分)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=(n∈N*).若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.(Ⅰ)求a n和b n；(Ⅱ)设c n=(n∈N*).记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n.解析：(Ⅰ)先利用前n项积与前(n-1)项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；(ii)本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明.答案：(Ⅰ)∵a1a2a3…a n=(n∈N*) ①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有.∵b3=6+b2，∴a3=8.∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2.∴(n∈N*).又由a1a2a3…a n=(n∈N*)得：，，∴b n=n(n+1)(n∈N*).(Ⅱ)(i)∵c n===.∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；(ii)因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4.20.(15分)如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.(Ⅰ)证明：DE⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B-AD-E的大小.解析：(Ⅰ)依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；(Ⅱ)作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由(Ⅰ)知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案.答案：(Ⅰ)在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由(Ⅰ)知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE 中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BC=.在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B-AD-E的大小为.21.(15分)如图，设椭圆C：(a＞b＞0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.(Ⅰ)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析：(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+m(k＜0)，由，消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；(Ⅱ)由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a-b..答案：(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+m(k＜0)，由，消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2-m2+a2k2=0，解得点P的坐标为(-，)，又点P在第一象限，故点P的坐标为P(，).(Ⅱ)由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a-b，当且仅当k2=时等号成立.所以，点P到直线l1的距离的最大值为a-b.22.(14分)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)-m(a)；(Ⅱ)设b∈R，若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.解析：(Ⅰ)利用分段函数，结合[-1，1]，分类讨论，即可求M(a)-m(a)；(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b，则h(x)=，h′(x)=，则[f(x)+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，转化为-2≤h(x)≤2对x∈[-1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围.答案：(Ⅰ)∵f(x)=x3+3|x-a|=，∴f′(x)=，①a≤-1时，∵-1≤x≤1，∴x≥a，f(x)在(-1，1)上是增函数，∴M(a)=f(1)=4-3a，m(a)=f(-1)=-4-3a，∴M(a)-m(a)=8；②-1＜a＜1时，x∈(a，1)，f(x)=x3+3x-3a，在(a，1)上是增函数；x∈(-1，a)，f(x)=x3-3x-3a，在(-1，a)上是减函数，∴M(a)=max{f(1)，f(-1)}，m(a)=f(a)=a3，∵f(1)-f(-1)=-6a+2，∴-1＜a≤时，M(a)-m(a)=-a3-3a+4；＜a＜1时，M(a)-m(a)=-a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f(x)在(-1，1)上是减函数，∴M(a)=f(-1)=2+3a，m(a)=f(1)=-2+3a，∴M(a)-m(a)=4；(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b，则h(x)=，h′(x)=，∵[f(x)+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，∴-2≤h(x)≤2对x∈[-1，1]恒成立，由(Ⅰ)知，①a≤-1时，h(x)在(-1，1)上是增函数，最大值h(1)=4-3a+b，最小值h(-1)=-4-3a+b，则-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2矛盾；②-1＜a≤时，最小值h(a)=a3+b，最大值h(1)=4-3a+b，∴a3+b≥-2且4-3a+b≤2，令t(a)=-2-a3+3a，则t′(a)=3-3a2＞0，t(a)在(0，)上是增函数，∴t(a)＞t(0)=-2，∴-2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h(a)=a3+b，最大值h(-1)=3a+b+2，则a3+b≥-2且3a+b+2≤2，∴-＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h(-1)=3a+b+2，最小值h(1)=3a+b-2，则3a+b-2≥-2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0.综上，3a+b的取值范围是-2≤3a+b≤0.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2014年普通高等学校招生考试浙江理数
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，zxxk 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数zxxk x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，zxxk 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值三．解答题：本大题共5小题，共72分。
2014年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学》试卷及答案
1 1 4 时， 1 且 u n 2 2 n n2
1 2
4 n
1 2
，而由 P 级数的收敛性得知：级数
n 0
1 n
收敛，所以由比较审敛法可知，原级数收敛；
22．求过点 A(1,1,1) 且与直线
x 2z 1 垂直的平面方程． y 3z 2
解：令 u n 当
n2 n2 4 n n ( n 2 n 2)
2 n
1 2
1 1 2 时， 1 且 un 2 2 n n2
， 而由 P 级数的收敛性得知： 级数
n 0
1 n
1 2
发散，所以由比较审敛法可知，原级数发散； 当
lim
lim
x , lim f ( x) lim x 1 x 1 x 1
x , lim e x 1 x 1
x x 1
1 1 e
x x 1
0
1 1 e
x x 1
x 1
0, , lim f ( x) lim
x 1 x 1
1
x 1为 f ( x) 的第一类跳跃间断点；
6
，求 x
解：
2 ln 2
dt e 1
t
x
令e t 1 u,即t ln(1 u) x
3
du (1 u ) u
e 1
2 x
3
d u 1 ( u )2
e 1
2 arctan u
3 e x 1
2(
3
arctan e x 1)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理(浙江卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出学科网的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，zxxk 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的学科网表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数zxxk x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球学科网()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为zxxk ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的学科网结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，zxxk 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 学科网已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值三．解答题：本大题共5小题，共72分。