基本不等式及应用PPT课件

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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a,b∈R+,则下列各式中不一定成立的是( )
A.a+b≥2 ab
B.ba+ab≥2
C.a2+abb2≥2 ab
D.a2+abb≥ ab
(2)已知 a,b,c 是两两不等的实数,则 p=a2+b2+c2 与 q=ab+bc
+ca 的大小关系是________.
B [当a2+1=2a,即(a-1)2=0 1.不等式a2+1≥2a中等号成立 即a=1时,“=”成立.] 的条件是( ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0
2.已知a,b∈(0,1),且a≠b,
D [∵a,b∈(0,1),∴a2<a,
下列各式中最大的是( )
b2<b,
A.a2+b2
一定成立的是( )
A.a-b<0
B.0<ab<1
C.
a+b ab< 2
D.ab>a+b
C [∵a>b>0,由基本不等式知 ab<a+2 b一定成立.]
3.不等式x-9 2+(x-2)≥6(其 中x>2)中等号成立的条件是( )
A.x=3 B.x=-3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x-9 2=x-2,即x=5(x=- 1舍去).]
∴a2+b2<a+b,又a2+b2>
B.2 ab
2ab(∵a≠b),
C.2ab
∴2ab<a2+b2<a+b.
D.a+b
又∵a+b>2 ab(∵a≠b),∴a
+b最大.]
3.已知ab=1,a>0,b>0,则a
B [∵a>0,b>0,∴a+
+b的最小值为( )
b≥2 ab=2,当且仅当a=b=1时取

2.2.1 基本不等式 课件(28张)

2.2.1 基本不等式 课件(28张)

【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2+b2+ b2+c2+ c2+a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2+b2(a+b2 ),
2
同理 b2+c2(b +c2),
2
c(2c++aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1-1=1-x= y+z 2 yz ,①
x
x
x
x
1-1=1-y=x+z 2 xz ,②
y
yy
y
1-1=1-z=x+y 2 xy ,③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1-1)( 1-1)( 1-1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b+c-a+c+a-b+a+b-c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a+b
2
D.
x
2+
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1

2.4 基本不等式及其应用.ppt

2.4 基本不等式及其应用.ppt
若 a、b∈R+,且 ab=P,P 为定值,则 a b 2 P ,
等号当且仅当 a=b 时成立。
例 5、
(1)若 x 0 ,则 4x 9 的最小值是

x
(2) 若 x 1,则 4x 9 的最小值是

x 1
(3)若 x 1 ,则 2x2 9x 10 的最小值 x 1


例 6、已知 a 0,b 0, c 0,
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、(1)设 a,b, c R ,求证:
a2 b2 c2 ab ac bc ; (2)已知 x, y R ,求证:
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、(1)已知 xy 0 ,求证: y x 2 ; xy
(2)已知 xy 0 ,求证: y x 2 ; xy
(3)试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ,求证: x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空:
若 x 0 ,则 x 1 2 ,若 x 0 ,则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1:
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形:
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2:
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系,结合不等式的性质(如传递性、可加
性等),推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点,构造一个辅助函数,通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式,可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立,从而推导出原不等式。
利数,可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质, 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导,来证 明对于所有正整数n,原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$,且$p < q$,有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$,用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式(AM-GM不等式):对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$,有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$,用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz不等式):对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$,有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$,用于证明与内积有关的不等式问题。

基本不等式ppt课件

基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b,$(a-b)^2 \geq 0$,即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b,$a^2 + b^2 \geq 2ab$,即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b,设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2,则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab),当x≥a+b时,f'(x) ≥0;当x ≤ a+b时, f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增,在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系,以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题,例如在给定周长的 条件下,求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题,例如利用基本不等式求根,判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b,总有$(a-b)^2 \geq 0$,即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时,基本不等式取等号。
传递性
若a≥b,c≥d,则ac≥bd。
基本不等式的证明

高中数学人教版必修五:基本不等式(共23张PPT)

高中数学人教版必修五:基本不等式(共23张PPT)
基本不等式:
ab

a
b 2
(第一课时)
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会(ICM2002)的会标
问题 :你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗?
二、自主探究 推导公式
问题 1:在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b,正方形ABCD的面积为 S ,4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看:

ab 2
看做两个正数a,b 的等差中项,
ab 看做正数a,b的等比中项,
那么上面不等式可以叙述为:
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究:如图,AB 是圆的直径,点 C 是 AB上一点,
显然,④是成立的.当且仅当 a b 时,④中的等号成立.
2019/10/5
析 : a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),
依题意有2(x+y)=36,即x+y=18, 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立,此时x=y=9,
因此,当这个矩形的长与宽都是9m时,它的 面积最大,最大值是81m2。

基本不等式及其应用ppt课件

基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x+x-4 1=(x-1)+x-4 1+1≥ 2 x-1·x-4 1+1=5.(当且仅当 x=3 时取等号)
易错点睛:(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误. (2)忽略“定值”致误.
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1:拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1,则 x(4-3x)取得最大值时 x 的值为_3_______.
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位:万元)与机器运转时间
t(单位:年,t∈N*)的关系为 s=-t2+23t-64,所以年平均利润 y=st=-t-6t4+23=-
t+6t4+23≤-2 t·6t4+23=7,当且仅当 t=8 时等号成立,故要使年平均利润最大,则 每台机器运转的时间 t 为 8,故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.
『变式训练』
4.某公司购买了一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位:
万元)与机器运转时间 t(单位:年,t∈N*)的关系为 s=-t2+23t-64,要使年平均利润最
大,则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值,所以 f ′(1)=12-2a -2b=0,即 a+b=6,又 a>0,b>0,则4a+1b=16(a+b)·4a+1b=165+ab+4ab≥5+6 4=32 当且仅当ab=4ab,即a=2b=4时取“=”,故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法): 由已知得 x+3y=9-xy, 因为 x>0,y>0,所以 x+3y≥2 3xy, 所以 3xy≤x+23y2,当且仅当 x=3y,即 x=3,y=1 时取等号,即(x+3y)2+12(x+3y) -108≥0. 令 x+3y=t,则 t>0 且 t2+12t-108≥0, 得 t≥6,即 x+3y 的最小值为 6.

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件

解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并,并把未知数移到 不等式的一边,常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1,得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时,要注意不等号的方向,特别是在乘以或除以一个负数时,不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根);
04
05
当 $Delta < 0$ 时,方程无 实根,有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$,其绝对值$|x|$定义为:若$x geq 0$,则$|x| = x$;若$x < 0$,则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解,找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域,即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号,将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法,求解转化 后的不等式,得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有

a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成
适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论?
即: a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作: ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习: 已知 a,b,c∈{正实数},且 a+b+c=1.
求证:1a+1b+1c≥9.
解:证明:1a+1b+
1c = a+ab+c + a+bb+c +
a+b+c c
=3+
(ba+ab)+(ac+ac)+(bc+bc)
≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=13时取等号.
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标.会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个 风车,代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1:
1、正方形ABCD的
面积S=_a__2 __b2
C 2、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1,P= lga·lgb,Q=lga+2 lgb,R=lg(a+2 b), 试比较 P、Q、R 的大小.

1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)

1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)

解析:因为 a>0,且 2x+ax≥2 当且仅当 2x=ax,
2x·ax=2 2a,
即 x= 22a时,2x+ax取得最小值, 所以 22a=3, 解得 a=18. 答案:18
5.已知 x,y 为正实数,且 x+y=4,求1x+3y的最小值. 解:因为 x,y 为正实数, 所以(x+y)1x+3y =4+xy+3yx≥4+2 3. 当且仅当xy=3yx,
(1)若 a+b=S(和为定值),当 a=b 时,积 ab 有最大值S42,可以用基本不等 式 ab≤a+2 b求得. (2)若 ab=P(积为定值),则当 a=b 时,和 a+b 有最小值 2 P,可以用基本 不等式 a+b≥2 ab求得. 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立.
1.已知 x>0,y>0,且 x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为
【解析】 对于选项 A,当 x<0 时,4x+x≥4 显然不成立;对于选项 B,符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”;对于选项 C, 忽视了验证等号成立的条件,即 x=1x,则 x=±1,均不满足 x≥2;对于选 项 D,x-1x在 0<x≤2 的范围内单调递增,有最大值 2-12=32. 【答案】 B
A.7
B.8
C.9
D.10
()
解析:选 C.因为 a,b 都是正数,所以1+ba1+4ba=5+ba+4ba≥5+2 =9,当且仅当 b=2a 时取等号.
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2,则 y=x+x-4 2的最小值为________.
(2)若 0<x<12,则函数 y=12x(1-2x)的最大值是________. (3)若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则1x+1y的最小值为________.

基本不等式及其应用PPT教学课件

基本不等式及其应用PPT教学课件
2.要通过拆、分来构造使用基本不等式的 条件
2、求 x, y, z
0, x 2 y 3z
0, 则
y2 xz

最小值为

问题:1.目标式中有多个变量,求 范围及最值时先怎么变形?
2. 应消去 x, y, z 中的哪个变量?
3.符合使用基本不等式的条件吗?
已知实数 x, a1, a2, y 成等差数列,x,b1,b2, y 成等比数列,
解不等式
恒成立
4.第 一 问 中 的 不 等 式 解 是 不 是 确 定 的 ? 与 那 个 有 关?能否举出与该问题同一种类型的问题?
解关于 x 的不等式: x2 ax 1 0
a 与 m 的地位相比有无差别?
课前热身:
4、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次
都购买 x 吨,运费为每次 4 万元,一年的总
一、课前热身:
1、函数 y loga (x 3) 1(a 0,且a 1) 的图像恒
过定点 A,若点 A 在直线 mx ny 1 0 上其中
mn
0
,则
1 m
2 n
的最小值

条件的实质是什么?
这个条件的作用是 什么?
什么时候取到最小值?
变式 1:已知 x 0 、 y 0,且 x y 1则 1 4 的最小值
中听回的,并没有真的看到,到底空中花园是否纯粹传说呢? 空中花园位于Euphrates河东面,伊拉克首都巴格达以南50里外左 右,四大文明古国之一巴比伦中。巴比伦的空中花园当然不是吊于 空中,这个名字的由来纯粹是因为人们把原本除有“吊”之外,还 有“突出”之意的希腊“kremastos”及拉丁文“pensilis”错误翻译
存储费用为 4 x 万元,要使一年的总费用与
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5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究1:
1、正方形ABCD的
面积S=_a_2___b2
C 2、四个直角三角形的
面积和S’ =_2a_b
3、S与S’有什么 样的不等关系?
S≥S’ 8
探究:
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径,C 是AB上与A、B不重合的一 点,AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE,连AD,BD,
ab
B 则CD=__ab,半径=___2_
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
2、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业:
2020年10月2日
10
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2.4(1)基本不等式及其应用
要点:
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2
两个重要不等式的有关应用
2020年10月2日
3
一正
二定 等号
2020年10月2日
4
2020年10月2日
一正 二定 等号
汇报人:XXX 汇报日期:20XX年10月10日
11
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