2020届高三第一次质量检测数学试卷(含答案)

高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =▲．2．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的▲条件． 3．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1=1q 2，且S 5=S 2+7，则首项a 1的值为▲．4．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为▲． 5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ， 其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太 阳与天狼星的亮度的比值为▲．6．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f +++⋯+f (50)=▲．7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为▲．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为▲． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑▲．10.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为▲．11．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是▲．12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出 了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来 的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整 数幂.那么该款软件的激活码是▲．13．已知当x ∈[0,1]时，函数y =(mx −1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是▲．14．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2 f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1)．若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17.（本小题满分15分）已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-． （1）2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域； （2）0a >，解关于x 的不等式()0F x ≥．18．（本小题满分15分）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点P ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q 处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自,A B 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽8AB cm =，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为L .（1）①设PQ x =，将L 表示为关于x 的函数； ②设PAB θ∠=，将L 表示为关于θ的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数2()(1),()ln (,)f x x a x a g x x b x a b R =++-=-∈ (1)当2b =时，求函数()g x 的单调区间；(2)设函数(),1()(),1f x x h x g x x ≤⎧=⎨>⎩若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范围；(3)设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥，且()u x 在(0,)+∞上存在零点， 求b 的取值范围.高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.(–∞，1)2.充分不必要条件3.144.a c b <<5.1010.16.27.a n =3-2n8.439.2nn+110.[1,2) 11.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.44013.(0,1]∪[3,+∞)14.（−∞,73]二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . （1）当S =∅1−m >1+m ⟹m <0 （2）当S ≠∅则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[−∞,3]．16.解：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.1）22221(13)()()()12123(01)x x x F x f x g x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=-=---=⎨+-≤<⎪⎩………2分13x ≤≤，221[0,4]x x --∈……………………………4分 01x ≤<，223[3,0)x x +-∈-……………………………6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-……………………………7分（2）(1)(1) (1)()(1)(1) (1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩……………………………9分1x ≥，()0F x ≥，0a >，令(1)12a a --=-①当2a ≥时，(1)1a -≥，所以1x ≤或1x a ≥-，即：1x =或1x a ≥- ②当02a <<时，(1)1a -<，所以1x a ≤-或1x ≥，即：1x ≥1x <，()0F x ≥，0a >得：1x a ≤--或1x ≥1x a ⇒≤--……………………13分综上：当2a ≥时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x =或1x a ≥- 当02a <<时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x ≥……………………15分18．解（1）延长QP 交AB 于点E ，则⊥QE AB ，且E 为AB 的中点， 所以142EA EB EQ AB ====，由对称性可知，PA PB =. ①若PQ x =，则04x <<，4EP x =-，在Rt PAE ∆中，PA ==所以)204L PQ PA x x =+=+<<，②若PAB θ∠=，则04πθ<<，在Rt PAE ∆中，4cos cos AE PA θθ==，tan 4tan PE AE θθ==， 所以44tan PQ QE PE θ=-=-， 所以42sin 244tan 2440cos cos 4L PQ PA θπθθθθ-⎛⎫=+=-+⨯=+⨯<< ⎪⎝⎭. （2）选取②中的函数关系式，2sin 440cos 4L θπθθ-⎛⎫=+⨯<< ⎪⎝⎭，记()2sin 0cos 4fθπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由()22sin 10cos f θθθ-'==及04πθ<<可得，6πθ=， 当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f θ'<，此时()fθ单调递减，当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f θ'>，此时()f θ单调递增， 所以当6πθ=时，()fθ取得最小值，从而钢管总长度为L 取得最小值，即所用的钢管材料最省.19.解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②。