湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

某学校有名学生，其中女生名，按男女比例用分层抽样的方法， 从该学校学生中抽取 一个容量为的样 本，则应抽取男生的人 数为。
函数 f ( x) cos x b （为常数）的部分图像如图所示，则。
( x 1)6 的展开式中 x5 的系数为 （用数字作答）。
已知向量 a （）， b （）， c （），且 c xa yb ，则 。
又 AA1 AC A，所以⊥平面 AA1C1C ⑵因为⊥平面 AA1C1C ，连 A1D ，则 BA1D 是直线 BA1 与平面 AA1C1C 所成的角。
在直角
A1BD
中，
BD
1 2
AC
2 2
AB,
A1B
2AB
所以 sin BA1D
BD A1B
1 2
BA1D
30
、解：⑴因为椭圆
x2 a2
y2 b2
一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
学科王
．已知 a sin15, b sin100, c sin 200 则 a, b, c 的大小关系为 a b c a c b c b a c a b 过点（）的直线与圆 x2 y2 4 相交于两点，为坐标原点，则△ 面积的最大值为 3 2 3 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）
点在直线上，为坐标原点，则线段长度的最小值是
12 12
25
5
已知向量 a 、 b 满足| a | 7,| b | 12 a b 42 则向量 a 、 b 的夹角为
°°°° 下列命题中，错．误．的是
平行于同一个平面的两个平面平行
平行于同一条直线的两个平面平行
一个平面与两个平行平面相交，交线平行
（本小题满分分） 某公司生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产吨每种产品所需原料及 每天原料的可用限额如表所示，如果生产吨甲产品可获利万元，生产吨乙产品可获 利润万元，问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？
甲
（吨）
乙
原料限
额
（吨）
学科王
参考答案
一、 选择题
题 号
答 案
二、 填空题
C42 C20 C62
2 5
所以检测的有不合格饮料的
概率为
P( A) 1 P( A) 1 2 3 55
、解：⑴由 f x loga (x 3) 的图像过得： loga (5 3) 1，即 loga 2 1 ，
所以 a 2 。
由对数性质知 x 3 0, x 3；所以函数 f x log2(x 3) 的定义域为 (3, ) 。 ⑵因为 f x log2(x 3) ， f (m) 1所以 log2(m 3) 1
1 a
b0
F2
所以 c 1
的焦点为 F1 ，
又点
A(0,1)
在椭圆上所以
02 a2
12 b2
1，即 b2
1
a2 b2 c2 11 2
故椭圆方程为 x2 y2 1 2
⑵因为直线 AF1 的斜率 kAF1 1直线 l 过点 F1 且垂直 AF1 ，所以直线 l 的斜率 k 1 直线 l 的方程为 y x 1
、、、、、 1 32
三、解答题
学科王
、解：⑴{an } 为等差数列， a1
1, a3
5，所以公差 d
a3 a1 31
5 1 2
2
故 an a1 (n 1)d 1 2(n 1) 2n 1
⑵因为等差数列{an }
的前项和
Sn
n(a1 2
an )
Sn
100 ，所以有
n(1 2n 1) 100 ， n 10 2
函数
的单调增区间是
(,1]
[1, ) (, 2][0, )
学科王
已知 cos 3 5
，且 为第三象限角，则 tan
4 3
3
4
不等式| 2x 1| 1的解集是
3 4
4
3
{x | x 0} {x | x 1} {x | 0 x 1}{x | x 0 或 x 1}
、解：⑴ 的可能取值有，，
P(
0)
C42 C20 C62
2 5
P(
1)
C41 C21 C62
8 15
P(
2)
C40 C22 C62
1 15
故随机变量 的分布列为：
2
8
1
5
15
15
⑵设事件表示检测出的全是合格饮料，则 A 表示检测的有不合格饮料
因为检测出的全是合格饮料的概率 P( A)
学科王
湖南省 2018 年普通高等学校对口招生考试 数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页。时量分钟。 满分分
一． 选择题（本大题共小题，每小题分，共分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合，，则 “ x2 9 是 x 3的条件 充分必要必要不充分充分不必要既不充分也不必要
s四边形ABCD
=
1 2
BC
•
DC
•
sin
BCD
1 2
AB
•
BD
•
sin
ABD
s四边形ABCD
=
1 2
6
6
•
sin120
1 2
4
6
3 sin 45
s四边形ABCD
=
1 2
6
6
3 16 22
34
2 2
s四边形ABCD =9 3 6 6
学科王
、解：设每天生产甲乙两种产品分别为 x, y 吨，才能使公司每天获得的利 润最大，利润为万元，则
如图，画一个边长为的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第 个正方形，依次类推，这样一共画了个正方形，则第个正方形的面积为 。
学科王
三、解答题（本大题共小题，其中第、小题为选做题，满分
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（本小题满分分）
已知数列{an } 为等差数列， a1 1, a3 5 ⑴求数列{an } 的通项公式； ⑵设数列{an } 的前项和 Sn ，若 Sn 100 （本小题满分分）
、解：连结
在 BCD 中， BC=6，DC=6，BCD=120 ，
由余弦定理得 BD2 =BC2 +DC2 -2BC • DC • cos BCD
所以 BD2 =62 +62 -266cos120
即 BD=6 3
又由 BC=DC=6，BCD=120 得 CDB=CBD=30
所以 ABD=45
s四边形ABCD =sABD sBCD
即有： log2 (m 3) log2 2 所以有 0 m 3 2 3 m 5
即 m 的取值范围是 (3,5) 。
学科王
、⑴证明：因为在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BD 底面 ABC ，所以 AA1 BD 又 AB BC ∠°，为的中点
AA1 底面 ABC ，
所以 BD AC
x 2y 8
3x+2y 12
x
0
y 0
目标函数为 z 4x 5y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影 部分）即可行域。
由 z 4x 5y 得 y 4 x Z
55
平移直线 y 4 x Z
55
由图像可知当直线 y 4 x Z 经过点时，
55
直线 y 4 x Z 的截距最大，此时最大
AA1 AB BC ∠°，为的中点。
⑴证明：⊥平面 AA1C1C ；
AA1 底面 ABC ，
学科王
⑵求直线 BA1 与平面 AA1C1C 所成的角。
（本小题满分分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a b 0
（），点（）在椭圆上。
⑴求椭圆的方程；
的焦点为 F1 （）， F2
⑵直线 l 过点 F1 且与 AF1 垂直， l 与椭圆相交于两点，求的长 选做题：请考生在第题中选择一题作 答，如果两题都做，则按所做的第题计分，作答时， 请写清题号。 （本小题满分分） 如图，在四边形中，，， ∠°，∠°，求四边形的面积。
学科王
y x 1
由
x2 2
y2
消去 1
y
得： 3x2
4x
0
设坐标分别为
M ( x1,
y1 ),
N ( x2 ,
y2 )
则有
x1
x2
4 3
,
x1 x2
0
| x2 x1 |
( x2
x1 )2
4x1x2
4 3
| MN |
k 2 1 | x2 x12 3
55
解方程组
x 2y=8 3x+2y=12
得
x
2,
y
3
即点的坐标为（）
z最大值 =4 2+5 3=23（万元）
答：每天生产甲吨，乙吨，能够产生最大利润，最大利润是万元。
，求
某种饮料共瓶，其中有瓶不合格，从中随机抽取瓶检测，用ξ表示取出饮料中
不合格的评述，求： ⑴随机变量ξ的分布列； ⑵检测出有不合格饮料的概率。
（本小题满分分）
已知函数
的图像过点
（）。
⑴求 f ( x) 的解析式，并写出 f ( x) 的定义域
⑵若 f (m) 1，求的取值范围。
（本小题满分分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，