鸽巢问题教学设计公开课

数学广角——鸽巢问题教案

朱小姜松

一、教学目标：

1、经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。

2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

3、培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

4、通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力；提高学生解决问题的能力和兴趣。

二、教学重点：

经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。

三、教学难点：

理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

四、教材说明：

这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理

解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，至少存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三个苹果放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两个苹果。这样的道理对于学生来说，也是很容易理解的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

五、教学设计

课前谈话：

1、同学们，今年是2016年，很多预言家都曾预言2012年是世界末日，可是没能成真，他们的预言准确

吗？知道吗？姜老师也是一位预言家，你不信?请你在纸上写三位你的好朋友的名字，我预言你的三位好朋友中至少有两位是同性，对不对？我还能预言我们全班34位同学，总有一个月份至少有3位同学出生（学生起立验证）。

2、你想不想当一名预言家？谁来试试?从一副扑克牌中抽出大小王，还剩下52张，任意抽取5张牌，谁

预言一下总有一种花色至少有几张牌？（学生预测，贴黑板上展示）前四张牌没有花色相同的，大家觉得这位预言家的运气怎么样？你现在的心情怎么样？为什么？（预测成功，我们给他5秒钟的掌声）（起立，上课）

一、由难到易，认识原理。

1、出示难题：

师：在最不利的情况下，他的预言都能实现，那么其他的情况呢?(生：一定能够实现)（板书：一定）师：其实在我们的数学世界里有些情况也是一定会发生的，我们一起来研究好不好？（点击课件）

“集会问题”

1947年的匈牙利全国数学竞赛上有这样一道题目，后来刊登在1958年6月号的《美国数学月刊》上，曾经难倒了很多的数学家：在任意6个人的集会上，一定可以找到3个互相认识的人，或者3个互相不认识的人。

师：这道题有人能够解决吗？挺难的是吧，还记得吗，姜老师教过大家，当我们面对一个很困难的问题时要把它搞懂，可以采用一种有效地策略，退一步，从简单情况入手（板书：化难为易）

2、化难为易，理解原理

（1）4进3

A、总有一个笔筒里至少放两支笔。

（点击课件）把4支笔任意放进3个笔筒里，有哪些摆法？

出示合作要求：同桌左右两个同学一组，可以写一写，画一画，摆一摆，用你喜欢的方法演示一下，并用你喜欢的方式在纸上记录下结果。（可以有空笔筒）用一个圆圈表示笔筒，用一竖线表示笔。

学生思考，摆放、画图。全班交流，（板书：枚举、画图、分解、假设）

讲评学生画图;

师：（4，0，0）这4支笔只能放在第一个笔筒里吗？（一定有一个笔筒里放进4支笔。）（3，1，0）这3支笔只能放在第一个盒子里吗？（一定有一个笔筒里放进3支笔。）

（2，2，0）（2，1，1）这两种情况一定有一个笔筒里放进2支笔。

学生枚举，分解

师：谁能摆出3个笔筒里每个笔筒里的笔都比2支少？（生：不能。）

师：所以，这几种方法都有一个共同的特点，谁看到了？谁能看得更深入一点？

生：把4支笔放进3个笔筒里，不管怎么放，一定有一个笔筒里至少放进2支笔。（重复2遍）

师：至少2支什么意思？

B、一定——最不利——平均分

师：我发现有的笔筒放了3支笔有的放了4支笔，为什么不说一定有一个笔筒至少放了3支笔、4支笔？生：因为不是一定能够实现？而且要保证至少（板书：至少）

师：如果不把所有的可能都枚举出来，只判断一种情况，能不能判断所有可能中，放的最多的笔筒里一定至少放进了几支笔？是选择最有利的还是最不利的一种情况？（板书：最不利）

师：为什么要选择最不利的一种情况？

生：如果最不利的情况都能保证总有一个笔筒至少有2只笔，那其他情况一定能成立。

师：怎样放才是最不利呢？

生1：使这个放得最多的笔筒里尽可能的少放

生2：先把笔平均着放，然后剩下的再放进其中一个笔筒里。（板书：平均分）

生3：先在每个笔筒里放一支笔，（师根据学生回答演示摆放的过程）还剩一支笔，再随便放进一个笔筒里。（点击课件）

师：这样，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现总有一个笔筒里至少有——2支笔。

师：这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个笔筒里都放一枝，就可以使放得较多的这个笔筒里的笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔。我们可以用算式把这种想法表示出来。（板书：4÷3=1（支）……1（支） 1+1=2（支））

（2）5进4……n+1进n

师：如果把5支笔放进4个笔筒里会出现什么样的结果？可以画可以不画。

师：把6支笔放进5个笔筒里呢？

师：把7支笔放进6个笔筒里呢？

把8支笔放进7个笔筒里呢？……

把100支笔放进99个笔筒里呢？

你发现了什么？

生：我发现铅笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：谁能用一句话概括这一发现？

生：将n+1支笔任意放进n个笔筒里，一定有一个笔筒至少有2支笔。（点击课件）

师：这就是我们今天要学习的抽屉原理（板书课题），我们可以把笔看做某种物体，笔筒看做抽屉，就可以说：将n+1个物体任意放进n个抽屉里，一定有一个抽屉至少有2个物体。

（3）数学史（点击课件）

我国宋代学者费衮在《梁溪漫志》一书中就运用抽屉原理来批驳“算命”。书中写到：民间用一个人