反比例函数的知识点的总结

反比例函数知识点总结 李苗
知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x
k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x
≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；
⑶比例系数0k
≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠），
②1kx y -=（0k ≠），
③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x
k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，
x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x
k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k
的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x
k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比
例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分
别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用
光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐
标轴相交。

知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数
值的增减情况，如下表：
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 反比例 函数
x k y =（0k ≠） k 的
符号 0k >
0k < 图像
性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、
第三象限，在每
个象限内，y 随x
的增大而减小。

①x 的取值范围是0x ≠，
y 的取值范围是0y ≠
②当0k
<时，函数图像的两个分支分别在第二、
第四象限，在每个象限内，
y 随x 的增大而增大。

的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如x k y =在第一、第三象限，则可知0k >。

☆反比例函数x k y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何
意义。

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，
则
OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x
k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线x k y =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是
轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。

☆ 经典例题透析
类型一 反比例函数的概念
☆ 1．判断下列各式是否表示y 是x 的反比例函数，若
是，指出比例系数k 的值；若不是，指出是什么函数.
（1）8;y x =- （2）1;9xy = （3）43;y x =- （4）1;7y x =-
（5）2=x y ； （6） x y 76-=；（7）x k y =（k 为常数，k 0≠）
☆ 2. 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数.
☆ （1）面积为常数m 的长方形的长y 与宽x 之间的关系； ☆
☆ （2）一本500页的书，每天看15页，x 天后尚未看完
的页数y 与天数x 之间的关系.
☆
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
☆ 【专题解读】 反比例函数k y x =的图象是由两个分支组
成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：
☆ （1）0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限⇔
在第一象限内，y 随x 的增大而减小. ☆ （2）0k
<⇔双曲线的两个分支在第二、四象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而增大.
☆ 3. 函数y ax a =-+与(0)a y a x -=≠在同一坐标系中
的图象可能是（ ）
专题3 反函数的图象
☆ 【专题解读】 如左下图所示，若点A （x ，y ）为反比
例函数k y x =图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，
作AC ⊥y 轴于C ，则S △AOB =S △AOC =12
S 矩形ABOC =1||2k . ☆
☆ 4. 如右上图所示，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，
过P 作x 轴的垂线交双曲线1y x =于点Q ，连接OQ ，当
点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）
A ．逐渐增大
B ．逐渐减小
C ．保持不变
D ．无法确定 ☆ 5．在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，
(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）
A ．
213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> ☆
6. 如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，
四象限内，那么k 的值是多少？
☆ 7．如果一次函数
()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为
（ ）
☆ 8. 已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数
6y x =的图象相交于A ，B 两点，点A 的横坐标是3，点B
的纵坐标是-3.
☆ （1）求一次函数的表达式；
☆ （2）当一次函数值小于0时，求x 的取值范围.
9. 已知反比例函数k y x =的图象经过点A （-2，3）.
☆ （1）求这个反比例函数的表达式；
☆ （2）经过点A 的正比例函数
y k x '=的图象与反比例函数k y x =的图象还有其他交点吗？若有，
求出交点坐标；若没有，说明理由.
☆ 10．如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与
双曲线x m y =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值
是_____.
☆
☆ 11.如右上图所示，在反比例函数2(0)y x x =>的图象上
有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则123S S S ++= ________ .
☆ 求n S S ++++......S S 321的值（用含n 的代数式来表示）
_________________
☆ 中考真题精选:
☆ 1.（江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则
下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
☆ A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.
（6,1）
☆ 2.（重庆江津区）已知如图，A 是反比例函数k y x =的
图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABC 的面积是3，
则k的值是（）
☆A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6
☆ 3.（吉林）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（）
☆
☆A、﹣1 B、 C、1 D、2
☆ 4.（辽宁阜新）反比例函数
6
y
x
=与3
y
x
=在第一象限的
图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）
☆
☆ A.3
2
B.2
C.3
D.1
☆ 5.（玉林）如图是反比例函数y=x k 1和y=x k 2（k 1＜k 2）
在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于
A 、
B 两点，若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ） ☆ A 、1 B 、2
C 、4
D 、8。