江苏省启东中学高考数学最后一讲

江苏省启东中学2006年高考数学复习最后一讲各位学生：今天我从高考的三种题型来研究２００６年高考题的走向及解题过程中的信息收集、加工、处理． 一、选择题（一）高考题的走向为向量１、设非零向量a →,b →,c →,若p →=a →|a →| + b →|b →| + c →|c →|,则|p →|的取值范围是（ ）A ．[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[-3,3]分析：（Ⅰ）信息的收集：①非零向量，②a →|a →|是单位向量,③|p →|≥0；（Ⅱ）信息的加工：①分母不为0，②向量a →|a →|、b →|b →|、c→|c →|的起点移至原点，终点视为在单位圆上；（Ⅲ）信息的处理：①向量a →|a →|、b →|b →|、c →|c →|方向相同时|p →|最大为3，②向量a →|a →|、b →|b →|、c →|c →|的终点均匀分布在单位圆上时|p →|最小为0.故选C. 点评：本题涉及知识点有3个:单位向量,向量运算,模长范围确定；关键是能否看出a→|a →|是单位向量，方法中隐含数形结合、动态分析. 本题体现向量应用的灵活性,. 事实上∑=→→→=ni ii a a p 1，则|p →|[]n ,0∈，还可以求∑=→→→=ni ii a a ip 1的模的取值范围.２、Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满点[),,0+∞∈++=λλOA OP ，则Ｐ点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （Ａ）重心 （B ）垂心 （C ）内心 （D ）外心分析：（Ⅰ）信息的收集：[),,0+∞∈++=λλAC AB OA OP（Ⅱ）信息的加工：[),,0+∞∈+=λλAP（Ⅲ）信息的处理：两边乘以BC 可得0=•BC AP ． （二）高考题的走向为函数 ３、已知函数f(x)=x cosx 的定义域为(- π2 ,π2 ),当|x i |<2π(i=1,2,3)时,f(x 1)+f(x 2)<0, f(x 2)+f(x 3)<0, f(x 3)+f(x 1)<0,则有 （ ） A 、 x 1+x 2+x 3>0 B. x 1+x 2+x 3<0C 、f(x 1+x 2+x 3)≥0D. f(x 1+x 2+x 3)≤0分析：（Ⅰ）信息的收集：①f(x)=x cosx ，②定义域为(- π2 ,π2)，③f(x 1)+f(x 2)<0.（Ⅱ）信息的加工：①f(x)=x cosx 是奇函数，②在(- π2 ,π2 )上f(x)=xcosx 为单调增函数，③f(x 1) < —f(x 2).（Ⅲ）信息的处理：由（Ⅱ）中的①、③可得x 1+x 2<0，同理可得x 2+x 3<0、x 1+ x 3<0，从而得x 1+x 2+x 3<0，故选B.点评：本题涉及知识点有2个:复合函数的奇偶性，在区间上的单调性，关键是能否从函数的性质入手.本题体现函数性质的综合应用,.实际上由f(x)=x cosx 为奇函数，在(- π2 ,π2 )上为单调增函数，若x 1+x 2+x 3<0，|x i |<2π(i=1,2,3)，则f(x 1+x 2+x 3) <0. ４、已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝｜a －b ＋c ｜＋｜2a ＋b ｜，N ＝｜a ＋b ＋c ｜＋｜2a －b ｜，则M 与N 的大小关系是 （ ） （A ）M ≥N （B ）M ≤N （C ）M ＜N （D ）M ＞N 分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：Ｃ５、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为（ ）分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：D ６、已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ） A.x=1B.x=2C.x=－21D.x=21 分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：D （三）高考题的走向为立几中的体积７、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ ＝a2 ，则三棱锥P －BDQ 的体积为（ ） （A 3（B 3 （C 3（D ）不确定 分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：Ｂ （四）高考题的走向为立几中的概率８、以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ） A ．367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18385解析：此问题可以分解成五个小问题：（１）由正方体的八个顶点可以组成3856c =个三角形；（２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；（３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有244c =个；（４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率243561218358c p c ==；（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得183671;385385P =-=故选A ．（五）高考题的走向为正弦定理、余弦定理应用９、在三角形ＡＢＣ中，如果2226c b a =+则（C B A tan )cot cot +的值等于（ ） Ａ.51 B. 52 C. 71 D.72分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：B （六）高考题的走向为考查排列组合 １０、、身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( ） A 、48种 B 、72种 C 、78种 D 、84种分析：（Ⅰ）信息的收集：（Ⅱ）信息的加工：（Ⅲ）信息的处理： 答案：A 二、填空题１１、三次函数()x f 的图像过原点，且与x 轴相切于非原点的一点，若1-=x 时()x f 有极值-1，则()x f =分析：（Ⅰ）信息的收集，①三次函数()x f 的图像过原点；②与x 轴相切于非原点的一点；③1-=x 时()x f 有极值-1.（Ⅱ）信息的加工，①令()()023≠++=a cx bx ax x f ；②令切点A ()()0,0,00≠x x ，点A 既在原函数图像上又在导函数图像上；③点B ()1,1--在原函数图像上，点C ()0,1-在导函数图像上.（Ⅲ）信息的处理，①()0023,0002002030≠=++=++x c bx ax cx bx ax ，得a b x 20-=；②-1、0x 是023020=++c bx ax 的两根，既-1ab a b 322-=-，得a b 6=； ③023,1=+--=-+-c b a c b a ，得12-=-b a ，从而得()x x x x f 49234123++=. 点评：本题涉及知识点有4个:函数与图像，导数，切点，极值点.关键是能否看出特殊的切点A ()()0,0,00≠x x 既在原函数图像上又在导函数图像上，而极值点B ()1,1--在原函数图像上，对应点C ()0,1-在导函数图像上.本题注重导数的综合应用．12、已知直线01=++by ax 与圆5022=+y x 有公共点，且横坐标纵坐标均为整数，则这样的直线共有 ．分析：因为两个整数的平方和为50，这两个数的平方分别为1、49，25、25，故圆上有整数点（1，7），（1，－7），（5，5），（5，－5），（7，1），（7，－1），（－1，7），（－1，－7），（－5，5），（－5，－5），（－7，－1），（－7，1），由于这12个点任三个点都不共线，所以直线过其中一点或两点即可，又直线不过原点，因而这样的直线共有726212112=-+C C13、在公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有＝ 。

答案：100304020301020,,,q T T T T T T 且公比为也成等比数列 14、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21Λ 满足n a a a ≤≤≤Λ21，则 （结论用数学式子表示）.答案：)1(2121n m na a a ma a a nm <≤+++≤+++ΛΛ和)1(2121n m na a a mn a a a nnm m <≤+++≥-+++++ΛΛ１５、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。

答案：设两数为x 、y ，即4x ＋9y=60，又60)94()11(11y x y x y x ++=+＝)9413(601x y y x ++≥125)1213(601=+⨯，等于当且仅当x y y x 94=，且4x ＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故 应分别有6、4。

16、在正三棱锥P ABC -中，侧棱PC ⊥侧面PAB ，侧棱PC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为 答案：36π三、解答题１7、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列；(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 (Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝21-.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列. 逆命题为假. 18、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。